30 апр. 2012 г.

Интересное в мае 2010

Добрый день.

Два года назад мы говорили о физике и случайностях:

- В одной заметке того месяца мы сформулировали задачу о растворении пружины в кислоте, а уже в следующей постарались понять, куда же «девается» энергия. Хоть эту задачу и можно отнести к классическим и общеизвестным, споры о ней, наверное, не утихнут никогда. И объяснить это очень легко — гораздо проще иметь своё мнение, основанное на «здравом смысле и физике за 8 класс», чем разобраться в проблеме.

- В одной из заметок мая мы задались вопросом о природе случайности. Вопрос этот не так прост, как кажется. Довольно скоро мы постарались сформулировать некоторые тезисы о случайных процессах, но, конечно, копать в эту сторону можно сколь угодно подробно.

- Ещё в мае мы вспомнили «парадокс лжеца» (полезное упражнение для всех, кто его ещё не победил), а также подумали о том, как можно было бы понимать постоянное усложнение мозга (и какого досадного сценария для человечества тут можно было бы опасаться).

Хорошего дня!

Запись о заметках прошлых месяцев стала традиционной, поэтому перечислю предыдущие выпуски: интересное в апреле, марте, интересное в феврале, интересное в январе 2010 года, интересное в декабре, интересное в ноябре, интересное в октябре, сентябре, августе, июле, июне, мае, апреле, марте, феврале, январе 2009 года, интересное в декабре, ноябре, октябре, сентябре, августе, июле и июне, интересное в первые три месяца жизни блога.

17 апр. 2012 г.

Почему виноват умный?

Добрый день.

Многие из вас слышали разные версии высказывания о том, что если два человека конфликтуют, то в конфликте непременно виноват тот из них, кто умнее. Самая краткая формулировка, наверное, звучит как-то так: «В споре виноват умнейший». Но что это значит? Почему он виноват?

В самом деле, если умный человек имеет обоснованное мнение, отличающееся от позиции глупца/юнца, то что плохого в попытке разъяснить? Что плохого в распространении разумной позиции? Люди, задающие такие вопросы, не понимают, в чём именно виноват умный...

Речь же не о том, что людям надо поделиться на закрытые группы равной квалификации, чтобы ни в коем случае не состоялся диалог между «умным» и «глупым». Такие диалоги не только совершенно нормальны, но и нужны. А в чём же тогда дело?

Чтобы понять это, надо сначала разобраться, почему в комментариях иногда появляются резкие реплики. Почему безусловно умный человек, неоднократно показавший развитость своей головы, демонстрирует что-то животное и незрелое? Зачем надо «наезжать» на оппонента, какой толк в завуалированных оскорблениях? (и это уже не говоря о внезапном мордобое при спорах лицом к лицу)

Разгадка проста — человек подобен маятнику. Будучи выведенным из равновесия, он старается в него вернуться. И чем сильнее было воздействие, тем интенсивнее будет попытка вернуться в комфортное состояние. Но нельзя забывать, что человек всё же является гораздо более сложной и интересной штукой, чем какой-то маятник. Он же имеет свободу! И поэтому не обязан вести себя тупо и прямолинейно.

Раз мы понимаем, что глупые резкие выпады — это всего лишь попытка поскорее погасить внутреннюю волну, например, негодования, то мы не менее хорошо понимаем, что у людей есть куда более эффективные способы возвращаться к равновесию. И тут проявляется важное «но»: если бы вместо глупой неправильной реакции мы выждали хотя бы 10 секунд, то обязательно бы вспомнили об этих способах. Но нет, сильная эмоция выключает разум на какое-то время, поэтому умный собеседник внезапно превращается в неуравновешенного глупца.

Именно в этом вина умного — он «забыл» подумать о других способах, поэтому проявил себя предельно плоско и неэффективно. Ну а если в споре двух умных людей один не сдержался, то второй просто «обязан» подыграть ему (понять, что это только что было, а потом ещё и выправить последствия выпада первого, ведь он и сам обескуражен). И если он не сможет этого сделать (или хотя бы не постарается), то какой же он умный после этого? Он обычный участник спора двух глупцов.

А как вы сдерживаете себя, когда «спинной мозг» мгновенно всё решил, уже схватил в руки топор (придумал едкий комментарий)? Бывало ли, что вы успевали удалить свою слишком резкую реплику до того, как её увидел оппонент? Или вам удаётся ловить себя ещё до отправки?

Хорошего дня!

11 апр. 2012 г.

Средний выигрыш

Добрый день.

Уже три недели прошло с выхода заметки «От Колмогорова к Максвеллу, Лапласу, Байесу», уже более сотни интереснейших комментариев написано, множество копий сломано, несколько заблуждений сформулировано и разобрано. Иногда, к сожалению, собеседники переходили на личности, называли высказывания друг друга чушью, не убедившись, что правильно поняли друг друга. Но не зря борьбу за правду называют борьбой.

Комментарии к той записи сами по себе очень интересны (и продолжение темы, начатой в заметке, конечно, скоро будет опубликовано), но сегодня я предлагаю начать обсуждать интересную задачу из тех комментариев, в которой неожиданным образом показывает себя понятие «средний выигрыш». Ну а для тех, кто не очень любит теорию вероятностей, есть специально заготовленная коллекция «пирожков» (спасибо всем, кто вспомнил свои любимые «пирожки» в комментариях!).

Итак, задача:
Представьте, что вы изобрели такую стратегию игры на фондовой бирже, что она позволяет с вероятностью 90% удваивать торговый капитал, а с вероятностью 10% полностью его терять. Ясно, что с такой стратегией нельзя подставлять под риск весь свой капитал — какой-то процент надо держать в запасе, чтобы всегда можно было возобновить игру, когда «черный лебедь» слизнет весь торговый капитал. Вопрос: какую долю капитала было бы оптимально использовать для игры, а какую всегда сохранять?

Тонкость этой задачи в том, что надо сначала определить, что такое «оптимально» (вспомните задачу Бертрана, в которой понятное и простое условие можно было понимать самыми разными способами). Многие считают, что в этой задаче достаточно посчитать математическое ожидание выигрыша, чтобы определить, на какую сумму играть.

Давайте проделаем это. Пусть x (число от 0 до 1) — доля капитала, которую мы всегда сохраняем. Каким будет средний выигрыш M1(x) за одну игру?

M1(x) = 0.9 * (x + 2 * (1 - x)) + 0.1 * x
(т.е. с вероятностью 90% мы удвоим капитал (1-x), сохранив сумму x, а с вероятностью 10% у нас останется только x).

Давайте найдём x, чтобы функция M1(x) приняла максимальное значение. M1(x) = 1.8 - 0.8 * x. Получается, что чем меньше x, тем выше средний выигрыш. Пожалуй, тут не поспоришь, при одной игре с такими выгодными условиями неразумно оставлять себе хоть что-то, а стоит играть на все.

А что будет при серии из двух игр? Давайте вычислим M2(x).

M2(x) = 0.9^2 * (x + 2 * (1 - x))^2 + 0.1^2 * x^2 + (1 - 0.9^2 - 0.1^2) * (x + 2 * (1-x)) * x
(т.е. с вероятностью 81% [0.9 в квадрате] нам повезёт удвоить капитал дважды, сохраняя на каждом этапе долю x от него, с вероятностью 1% мы дважды проиграем [и сохраним тогда всего x^2 денег], а в остальных случаях мы один раз удвоим капитал (1-x), сохранив x, а один раз «умножим его на x», причём, неважно, в каком порядке).

Найдём x, при котором M2(x) имеет максимальное значение:
M2(x) = 0.64 * x^2 - 2.88 * x + 3.24.
Легко видеть, что эта функция задаёт параболу, ветви которой идут вверх, а наименьшее значение принимается при x > 1. Другими словами, максимальное значение на интервале [0, 1] функция M2(x) принимает в при x=0. Получается, и в серии из двух игр выгоднее не оставлять часть капитала, а «играть на все».

И так далее.

Теперь возникает вопрос: если бытовая интуиция говорит нам «сохрани хоть сколько-то, чтобы иметь возможность возобновить выгодную игру, если вдруг не повезёт», а сухая математическая наука говорит «выгоднее всего играть на всю сумму», то кому верить?

Ну и попутно ещё масса вопросов:
- Верно ли, что математическое ожидание выигрыша будет максимальным при нулевом x для любого количества игр?
- Что такое «оптимальная стратегия» при такой игре? (не «какой она является», а «как понять, что найденная стратегия является оптимальной»)
- Какую сумму x вы бы откладывали от имеющихся денег, если бы планировали сыграть большое количество игр (например, миллион игр)? А если бы всего 3 игры? А если 10 игр?

Хорошей недели!

1 апр. 2012 г.

Удачные розыгрыши 1 апреля

Добрый день!

Поздравляю всех с днём математика!

Живы ещё люди, которые помнят древние легенды о том, что давным-давно и далеко-далеко были богатыри, имеющие дивную традицию — каждый год 1 апреля они весело шутили и разыгрывали друг друга. Сейчас традиция умерла, детали их подвигов уже забыты, но какие-то воспоминания остались.

Поделитесь, пожалуйста, в комментариях своими весёлыми воспоминаниями. Видели ли вы по-настоящему удачные розыгрыши? Бывало ли так, что запланированный розыгрыш ломался из-за внезапных обстоятельств? А бывало ли, что шутка от этого становилась ещё мощнее?

Хорошего празднования!

Понравилась заметка? Подпишитесь на RSS-feed или email-рассылку.

Хотите поделиться ссылкой с другими? Добавьте в закладки:



Есть вопросы или предложения? Пишите письма на адрес mytribune АТ yandex.ru.

С уважением,
      Илья Весенний