14 апр. 2008 г.

Автобусные билеты

Есть замечательный способ развития в ребёнке хорошей памяти и быстрого счёта, интуиции и упорства, имя которому - решение автобусных билетиков. Сразу оговорюсь, что не всем детям это будет интересно. Но и здесь, как я понимаю, очень большую роль играет мастерство взрослых, предлагающих эту игру. Если родителям или старшим братьям/сёстрам это интересно, то и подрастающее поколение радостно получает нужные для жизни навыки.

Формулируется всё немного скучно, что даже сразу не понятно, что в этом интересного: дано 6 цифр, надо между ними так расставить основные арифметические знаки (+, -, *, / и скобки), чтобы в результате вычислений получилось 100. По сложившейся традиции, цифры не склеивают (то есть, "12" - это две цифры 1 и 2, их можно сложить, вычесть, перемножить или поделить первое на второе, но нельзя считать это числом двенадцать).

Например, если нам предлагают билетик "123456", то его можно решить такими способами:

(попробуйте расставить знаки, чтобы вышло 100, прежде чем смотреть варианты решения ниже)









1 + (2+3+4)*(5+6) = 1 + 9*11 = 100

или так

-1*2 + 3 * (4 + 5*6) = -2 + 3*34 = 100

Обычно у билетиков есть несколько принципиально разных решений (как в данном случае). Есть "сложные" билеты, которые невозможно решить без использования деления (жизнь показала, что их труднее всего решать, но и удовольствия от них больше). Конечно, есть и нерешаемые билеты (их примерно 24% от всех, то есть три из четырёх решаемы).

Я знаю много людей, игравших в это в детстве "кто быстрее" - это было очень интересно, если билет видели одновременно (например, когда ехали на пляж на автобусе, то по очереди решали билеты друг-друга). Как правило, это люди, добившиеся успехов сначала в учёбе, а потом и в работе. Конечно, мы не будем путать здесь причину и следствие, но этот факт говорит о том, что в некоторых семьях, много занимающихся развитием детей, этот тип задачек считается полезным.

Давайте коротко перечислим, почему такие задачки полезно решать (опять же, не всем, а только тем, кому интересно):
1. Задача переборная, поэтому ребёнок учится быстро считать (причём, это не тупое зубрение таблиц сложения и умножения, а решение более сложной задачи, в которой приходится проводить много вычислений "как бы между делом"). Такой же быстрый эффект даёт географический тренажер - ребёнку интересно набрать очков больше, чем, например, папа, поэтому он осваивает карту лучше, чем мог бы на самых лучших уроках географии.
2. Чтобы быстрее решить задачу, надо избавиться от повторений уже пройденных путей. То есть, не пытаться много раз одним и тем же неправильным способом решать задачу. В результате, ребёнок хорошо развивает быструю память, которая нужна для успеха почти в любых современных задачах.
3. Для ещё более быстрого решения можно сделать перебор вариантов более направленным. То есть, выработать такую хорошую интуицию, так хорошо начать чувствовать задачку, что работающее решение "само" будет приходить в голову в течение нескольких десятков секунд. Многие люди, приблизившиеся к совершенству в своей области, подтвердят, что часто "подсказки" им приходят в голову "сами" - у них так развилась интуиция в их предметной области, что мозг решает многие их задачи сам. И дать ребёнку почувствовать, каково это - это несомненное благо.
4. Ну и ещё один очевидный плюс - такой тип задачек формирует у человека упорство. Согласитесь, эта задачка сама по себе не весёлая- просто так расставлять знаки между цифрами скучно (с этим даже компьютер справиться может). Но наличие мотивирующих факторов (обычно, конкуренция) подталкивает ребёнка к решению билетика. Лишь в идеальном мире мы занимаемся только тем, что интересно нам на каждом этапе. А в реальной жизни иногда приходится делать скучные механические вещи. И это тоже надо уметь, "не уставая" в первую же минуту.

Сейчас люди всё реже пользуются автобусами, но в большинстве маршруток получить заветный автобусный билетик можно. Кроме того, интересно бывает "собрать" билетик из случайных цифр (например, с номеров автомобилей на стоянке). Да было бы желание, а билетик найдётся! Детям нравится играть и выигрывать, поэтому я очень рекомендую попробовать автобусные билетики с вашими знакомыми.

Ну и последнее: с маленькими детьми (до третьего класса где-то) обычно играют в трамвайные билетики. В них даны четыре цифры вместо шести, а получить надо 10, а не 100.

Приведу пример классического трамвайного билетика: "1199". Не начинайте знакомство ребёнка с этим жанром задачек с такого трудного билета. Но попробуйте решить сами, если ещё не сталкивались с ним :)
Напоминаю, что цифры мы не склеиваем (поэтому решение 1*19-9=10 не подходит).

Как всегда жду вашего диагноза задачке в комментариях:
1. Давно знал, легко решил,
2. Давно знал, тогда долго решал,
3. Не знал, легко решил,
4. Не знал, долго решал.

Кроме того, хотелось бы услышать ответ на такой вопрос: хотите ли вы, чтобы я иногда предлагал "сложный" автобусный билет в этом блоге? Если есть желающие поломать голову раз в неделю, то это мы устроить можем :)

42 комментария:

  1. Пример занятный, минуту тупил :)
    Раз в неделю решить билетик - выглядит интересной разминкой. В своё время думал о том, чтобы программой выбрать "интересные" билетики, т.е. те, которые имеют только нетривиальное решение, и желательно одно. Жаль, руки не дошли.

    ОтветитьУдалить
  2. А в этом билете только 4 арифметических действия или можно посложнее использовать?

    ОтветитьУдалить
  3. Анонимный15.04.2008, 14:46

    Развлечение со складыванием цифр в билетиках действительно интересное. Тоже когда в автобусе езжу обычно пытаюсь сложить сотню. Иногда быстро получается, а иногда приходится и всю дорогу думать-разминаться:) Правда у нас в правилах склеивание цифр разрешено (что должно упрощать задачу).
    Интересный пример с трамвайным билетиком. Раньше не встречал, при кажущейся простоте, решение получилось не сразу.

    ОтветитьУдалить
  4. Александр, традиционно используют четыре действия и скобки. Думаю, два комментария выше подтверждают, что задача решаема этими средствами :)

    ОтветитьУдалить
  5. Не знал о такой задачке. Было бы неплохо, если бы вы выкладывали на блог наиболее интересные варианты билетиков. Раньше в автобусных билетиках искал только счастливые. Мне на работу идти 10 минут пешком, сейчас будет чем заняться по дороге :-)
    А эту задачку я решил уже подходя к работе.

    ОтветитьУдалить
  6. Хорошая задачка. Пришлось использовать бумагу. В уме не решил.

    ОтветитьУдалить
  7. Здраствуйте. Понравилась задачка. Сначала решилась легко с испоьзованием возведения в степень. Потом пришлось поломать голову в течение примерно часа, отвлекаясь на работу.

    Сам обычно стараюсь получить не 10 или 100, а 0 - что, как оказалось намного проще.

    Есть еще другой вариант, разлагать 4х-значное число на простые множители. Когда бываю в метро делаю это с номерами вагонов. Например:
    2166=2*3*19*19

    ОтветитьУдалить
  8. Никогда не слышал о таких задачах. Деление целочисленное?

    ОтветитьУдалить
  9. Сергей, нет, деление обычное. То есть может получиться обыкновенная дробь в результате вычислений.

    ОтветитьУдалить
  10. 1. 1199 хорош несомненно. Не знаю, долго ли я его решал - но решал именно перебором.
    2. Сам я цифры традиционно склеивать разрешаю. Многие задачи становятся резко проще, а разрешимость сильно скачет вверх. Понятно, что всё, разрешимое с только одиночными цифрами, остаётся таковым и с разрешением склеивать :).
    3. Да, кидать билеты - хорошая идея.

    ОтветитьУдалить
  11. Спасибо за тёплые слова, публикую следующие автобусные билетики, раз это интересно :)

    ОтветитьУдалить
  12. Встречная загадка.
    Решить тот же 123456, но что б каждый из знаков был задействован хотя бы один раз.

    ОтветитьУдалить
  13. Oleg, спасибо за интересную модификацию задачки! Пришлось чуть-чуть поломать голову :)
    У этого простого билета и впрямь есть другие интересные решение. Кстати, их знание помогает решить билетики из следующей темы.

    ОтветитьУдалить
  14. Я знала, что задачка решается через дроби, поэтому быстро нашла решение.
    Это кстати один из таких спорных моментов в математических задачках - они все разделяются на типы, и фактически, если вы когда-либо втречались с задачкой какого-либо типа, вы ее скорее всего распознаете, и найдете решение. Таким образом, да, развивается скорость перебора и привычка сводить все проблемы к уже известным простейшим решениям, но это совсем не развивает творческую сторону личности. Ну то есть мне самой кажется минусом, хотя может я неправильно понимаю, что такое творчество :) Но вот постоянное осознание того факта, что ничего принципиально нового в жизни не изобретается, а идет постоянное приспособление старых приемом для решения новых задач и проблем - мне это мешает чувствовать себя полноценным мыслящим творческим человеком, а не автоматом с хорошей памятью. Было бы интересно услышать от вас комментарий по этому поводу: считаете ли вы творчество таким же способом быстрого перебора вариантов по каким-то уже известным алгоритмам, с целью найти ранее неизвестный вариант, или вы согласны с тем, что творчество - это нечто иное, просто это за рамками этого проекта-блога.

    ОтветитьУдалить
  15. Светлана, если эта задачка для Вас оказалась слишком простой, то рекомендую порешать другие автобусные билетики (на блоге есть несколько заметок о них).

    Что касается творчество, то это, мне кажется, мало имеет отношения к данному типу задачек. Автобусные билетики - это об интуиции, концентрации, высокой скорости, хорошей памяти и настойчивости.

    А вопрос "как рождается идея?" - сам по себе очень интересен. Я постоянно ищу принципиально новые типы задач, чтобы лишний раз убедиться в том, что есть ещё много не открытого. Рекомендую почитать материалы различных конкурсов головоломок - в них обычно публикуют идеи победителей, которые завораживают своей неожиданностью.

    Вторая мысль - человек, серьёзно занимающийся математикой (подозреваю, в других науках этот эффект слабее, но тоже очень заметен), хорошо видит, как много есть всего ещё не открытого. И познание этих узких областей науки - очень тонкое творчество, доступное, к сожалению, далеко не всем (это связано с очень заметной специализацией исследователей последние десятилетия).

    Вообще, о появлении идей очень интересно читать автобиографии великих учёных - крайне рекомендую прочитать воспоминания по близким Вам темам, многие сомнения пропадут, а Вы снова почувствуете себя полноценным мыслящим творческим человеком! Удачи!

    ОтветитьУдалить
  16. Илья, спасибо, тряхнула стариной, порешала ваши новые билетики, ответила в теме :)
    Есть над чем подумать, кстати. Мне оказывается не способностей не хватает, а смелости :)
    Хороший у вас блог, зарядка для мозга, чтобы почувствовать себя свежее :)

    ОтветитьУдалить
  17. Напишу здесь о поиске решения для той задачки, можете удалить, конечно.

    В первом случае, увидев столько троек, я сразу решила проверить, какие числа из билетика на них делятся, и что получается, чтобы можно потом использовать. Дальше понятно, что как только находим, что 318/3=106, то остальное уже мелочи.

    Во втором случае я сначала пошла проторенным путем, выясняя, что и на что делится, и что я с этими числами могу сделать. Ничего не получалось, я тогда стала выделять двузначные числа, и смотреть, что остается, и что я с остатком могу сделать. Оказалось, что к 83 надо прибавить все остальные однозначные. Какое-то очень просто решение, может существует еще одно?

    В третьем случае у меня упорно получалось 99 (или 101) несколько раз. Потом перемножила 6*8=48, вписала его вместо оригинальных 68, и сразу все получилось.

    Замечу, что чтобы быстро решать такие билетики. нужно иметь представление о приемах быстрого сложения, типа что 48+34= 48+32+2, чтобы в уме быстро прикидывать, какой остаток получается (типа 2, а значит, нужно еще что-то с остатком 2 или 8, чтобы до нуля, то есть до 100). Ну и конечно знать, как быстро проверить делимость на 3,4,5,6,7,8,9,11. (На 7 - не помню уже). Это ускоряет перебор.

    ОтветитьУдалить
  18. Светлана, спасибо за такой подробный разбор. Единственное уточнение: эти билетики предполагают решение без склеивания цифр в числа. То есть, нельзя использовать "318" как трёхзначное число - надо обязательно поставить знаки между цифрами.

    Ваши решения тоже хорошие, но это решения других задач (и другой сложности). Предлагаю Вам попробовать справиться с этими же билетиками, поставив между всеми шестью цифрами хотя бы один знак из следующих шести: +, -, *, /, ( и ). Удачи!

    ОтветитьУдалить
  19. Никогда про это не знал, что билетик билетик может быть не только счастливый, но еще и с задачкой. Сейчас решим. Оч. интересно.

    ОтветитьУдалить
  20. Анонимный30.08.2009, 16:06

    без подсказки с дробями никак не рашалось, а потом хватило одного взгляда

    ОтветитьУдалить
  21. Илья, спасибо Вам огромное за интереснейшие задания! Я впервые на Вашем блоге, но, думаю, не последний. Нашла для себя много полезной информации и пищи для рассуждений - то, что нужно для разминки интеллекта после каникул ))))
    Задачку про билетик (1199) решила за минуту, без подсказок. Думаю, процесс разгерметизации мозгов пошел )))) Еще раз спасибо!

    ОтветитьУдалить
  22. Julia, спасибо за тёплые слова!
    И поздравляю с решение трамвайного билетика. Предлагаю порешать автобусные:
    1) http://my-tribune.blogspot.com/2008/04/blog-post_17.html
    2) http://my-tribune.blogspot.com/2009/03/blog-post_26.html
    Удачи!

    ОтветитьУдалить
  23. Задачу решал относительно долго, про такой тип услышал впервые.

    Решал перебором: последовательно исключив все знаки, которые могли бы стоять
    после единицы, потом после минус единицы (причём исключение каждого следующего
    знака шло быстрее), пришёл к выводу, что перед единицей стоит скобка. Быстро
    исключив ситуацию, когда закрывающая скобка стоит после второго знака, начал
    перебирать варианты знаков, которые могли бы быть между скобкой и оставшейся
    девяткой. Ответ нашёлся очень быстро, помогло ваше предупреждение, о том, что
    дроби — самое сложное.

    ОтветитьУдалить
  24. ZyX, спасибо за описание хода решения, это всегда очень интересно!

    ОтветитьУдалить
  25. Вернувшись с совещания минут 20 пытался решить задачу с 1199, не получилось, начать читать комментарии, увидел, что деление не обязано быть целочисленным, после этого решил задачу мгновенно. :-)
    Надо сказать, что первые 10 минут я пытался получить 100, а не 10, не внимательно прочитал условие. :-)

    Также я думал, что раз задача для детей, то деление обязано быть целочисленным.

    Мгновенно я решил потому, что я "чувствовал", что не хватает мне 1 для решения. А имея целочисленное деление и 9 с единицами означает, что надо "сообразить лишнюю" 1/9 всего, так как она при умножение на 9 даст искомую единицу.

    ОтветитьУдалить
  26. В вашем блоге первый раз узнала про такие задачки, очень вдохновилась :)
    Подсказка, что решение идет через дроби тоже очень сильно помогла, решила мгновенно. Подумалось, что в обычной жизни нет привычки пользоваться дробями, все переводится на более удобный для письма вариант: 0,5 0,8564 и т.д., что, конечно, не позволяет увидеть целый пласт простых решений.

    ОтветитьУдалить
  27. Анонимный07.05.2010, 12:03

    Интересные задачки. Никогда этим раньше не занимался. Решил за пару минут.

    ОтветитьУдалить
  28. Анонимный20.10.2010, 0:36

    очень интересно, раньше никогда не знал. решал полдня — не решил, потом нашёл решение методом брутфорса на Perl и немного расстроился, потому что из-за "с маленькими детьми" дроби не принимал во внимание вообще.
    радует, что так много людей решили быстро :)

    ОтветитьУдалить
  29. Уважаемый аноним,
    есть много билетиков, которые невозможно решить без дробей (именно их относят к сложным).

    ОтветитьУдалить
  30. Анонимный26.12.2010, 19:06

    ух-ты, ни черта не понимаю в математике и все выше описанные алгоритмы мне чужды,сидела час наверное,очень понравилось...хочу еще!:)

    ОтветитьУдалить
  31. Анонимный08.04.2011, 11:03

    Спасибо за прекрасный блог.
    Но вот эту задачку не смог решить:
    >> Решить тот же 123456, но что б каждый из знаков был задействован хотя бы один раз.

    можно узнать ответ ?

    ОтветитьУдалить
  32. Анонимный08.04.2011, 15:03

    я был невнимателен.
    Оказалось, что знаки можно использовать как унарные операции.
    В этом случае ответ:
    (-1 * 2/3 + 4) * 5 * 6

    но мне кажется, что это не совсем корректно.
    Все таки знаки надо расставлять МЕЖДУ цифрами, то есть использовать бинарные операции.

    ОтветитьУдалить
  33. Уважаемый аноним, есть разные правила решения автобусных билетиков. Кто-то позволяет себе склеивать цифры, а кто-то запрещает унарные операции. Прелесть ситуации в том, что правила можно определить лично для себя, чтобы самому было интересно. Если же приходится принимать участие в мат. боях, то имеет смысл потренироваться решать билетики по правилам организаторов, чтобы меньше времени терять на недопонимания и неправильные привычки.

    ОтветитьУдалить
  34. Анонимный11.04.2011, 10:57

    Уважаемый Илья,любые правила хороши.
    Но то, что унарные операции разрешены, видно только из второго примера, а и исходя из условий, как мне кажется, следует, что унарные операции запрещены.
    Цитирую:
    ... дано 6 цифр, надо МЕЖДУ НИМИ так расставить основные арифметические знаки (+, -, *, / и скобки), чтобы в результате вычислений получилось 100. По сложившейся традиции, цифры не склеивают (то есть, "12" - это две цифры 1 и 2, ИХ можно СЛОЖИТЬ, ВЫЧЕСТЬ, ПЕРЕМНОЖИТЬ или ПОДЕЛИТЬ первое на второе.

    Наверное, лучше это оговаривать явно, во избежание путаницы.

    ОтветитьУдалить
  35. Ох уж этот минус перед действиями... Можно требовать так расставить знаки, чтобы модуль получившегося выражения был равен сотне, например.

    Вы правы, стоит чётче оговаривать условия.

    ОтветитьУдалить
  36. Анонимный25.05.2011, 11:39

    Да уж! Полчаса, наверное, голову ломала. А ответ смотрится так просто!

    ОтветитьУдалить
  37. Анонимный23.10.2011, 12:15

    Не поняла про 1199. У меня получилось только если в степень возвести. Так можно?

    ОтветитьУдалить
  38. Уважаемый аноним,
    эту задачу интересно решить одними только арифметическими действиями (+, -, *, /). С возведением в степень или склейкой цифр каждый может :)

    ОтветитьУдалить
  39. Анонимный18.12.2012, 2:14

    Случайно набрел на блог, читаю потихоньку.
    1199 решилось быстро - десятку тут можно получить только как 1+9, соответственно, задача сводится к тому, как из 199 получить просто девять.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Есть и другие способы получить 10. И именно они нужны для решения этой задачки.

      Удалить
  40. Анонимный13.08.2015, 3:11

    Мне нравиться Ваш блог уже несколько лет. Тоже стала решать про билетики.Заметила, что не все билетики решаются, процентов 40-никак.Но я использовала знакида только между цифрами.А так иногда хорошо при склеивании цифр получается!

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Вариация со склеиванием цифр тоже встречается, но при таких правилах становится гораздо проще. Думаю, это имеет смысл практиковать на самом начальном уровне, а потом всё же лучше решать настоящие билетики :)

      Заодно могу поднять Вашу оценку доли разрешимых билетов: решение есть у примерно 76% автобусных билетиков. И очень многие неразрешимые видны сразу (например те, в которых три нуля подряд, а остальные цифры не 4, 5 и 5 и т.д.). Другими словами, многие из тех, что Вы не смогли решить, решение всё-такие имеют.

      Удалить

Понравилась заметка? Подпишитесь на RSS-feed или email-рассылку.

Хотите поделиться ссылкой с другими? Добавьте в закладки:



Есть вопросы или предложения? Пишите письма на адрес mytribune АТ yandex.ru.

С уважением,
      Илья Весенний