30 апр. 2008 г.

Об интуиции и вероятности (парадокс Монти-Холла)

В заметке про автобусные билетики мы упомянули интуицию. В самом деле, профессионал должен чувствовать, где правильное решение, чтобы сделать первые попытки в его направлении. Это позволяет выигрывать время и экономить силы. Наверняка вы видели людей, которые в первые секунды загораются идей проверить некоторые варианты (и часто этого хватает, чтобы решить проблему), но если ничего не вышло, то начинают серьёзно думать. То есть они пытаются (и успешно) сократить перебор, тем самым повышая свою эффективность.

Сейчас я приведу пример работы интуиции.

Помните, была раньше в телевизоре передача "Поле чудес" (может и сейчас ещё есть), в которой ведущий предлагал две шкатулки (одна с призом, а вторая - пустая)? Тогда представьте, что он предложил не две, а три шкатулки (всё как раньше - одна с призом).

И вот игрок выбирает одну из трёх шкатулок, но её ещё не открыли. Представили?
А теперь ведущий (который знает, где приз) открывает одну шкатулку (пустую).

То есть на подносе осталось две закрытых шкатулки (одну из которых выбрал игрок) и одна открытая (пустая). Значит, осталось две закрытых шкатулки, в одной из которых находится приз. То есть, с вероятностью 50% игрок указал на шкатулку с призом. Правильно?

В самом деле, если есть две шкатулки, в одной из которых находится приз, то указав на одну из них, счастливчик выиграет с вероятностью 50%. Верно ведь?

Теперь, даже если Якубович спросит, уверен ли участник игры в своём выборе или же хочет поменять его (выбрать другую шкатулку), то менять смысла нет. Ведь и в одной, и в другой шкатулке приз находится с вероятностью 50%.

Это была иллюстрация классического парадокса Монти Холла. Мы только что посмотрели, как интуиция нам подсказала, что выигрыш будет с вероятностью 1/2, хотя на самом деле, конечно, вероятность выигрыша была 1/3 (а поменяв свой выбор в последний момент, игрок мог получить приз с вероятностью 2/3).

Давайте поймём, с чем это связано. Думаю, ясно, почему интуиция нам подсказала, что выигрыш будет в половине случаев - мы ведь много раз сталкивались в жизни с таким раскладом: есть два варианта, один из них правильный, следовательно, в половине случаев мы его угадаем.

Математическое же объяснение короткое и простое, но понять его мешает как раз эта бытовая интуиция. Когда игрок первый раз показал на шкатулку, он угадал где приз с вероятностью 1/3. Значит, в оставшихся двух шкатулках приз будет в двух случаях из трёх. Когда ведущий открыл одну тех двух шкатулок, то вероятность того, что приз в одной из них осталась равной 2/3. Но раз одна шкатулка открыта, то в другой приз будет именно с этой вероятностью 2/3.

Если вам ещё не верится, что вероятность выигрыша игрока не одна вторая, то проведите эксперимент с игральными картами: возьмите три разных карты, решите, какая из них будет выигрышной, после чего сыграйте сами с собой пару десятков раз (это займёт буквально пару минут). Когда я объяснял этот парадокс, мне хватило 14 итераций, чтобы интуиция засомневалась и позволила логике думать :) После этого эксперимента перечитайте ещё раз объяснение в абзаце выше - всё должно встать на свои места.

Это был пример неправильной работы интуиции. Напишите, пожалуйста, в комментариях, попались ли вы на эту ловушку (тоже посчитали, что выигрыш будет в половине случаев) или сразу поняли, что вас обманывают (конечно, если вы заранее не знали этого финта).

Мораль же понятна: надо сталкиваться с подобными ловушками как можно чаще, чтобы натренировать свою бытовую интуицию обходить их. Именно поэтому я рекомендую родителям и учителям выделять время для решения и обсуждения подобных задачек с самого детства. Конечно, есть задачки разной сложности на разные возраста. Если алгебраический подвох (где обычная интуиция мешает сделать всё правильно) имеет смысл класса с восьмого-девятого, то задачу про Кощея (в которой интуиция всеми силами отгоняет от правильного действия) можно решать лет с шести-девяти. Ну а трамвайные билетики стоит начинать уже с пяти-шести лет, переходя постепенно к автобусным (здесь развивается не только интуиция, но и быстрый перебор, настойчивость и быстрый счёт, что тоже нужно). Есть огромное множество хороших развивающих интуицию задач, решив которые, избавляешься от многих серьёзных иллюзий. И жизнь показывает, что именно люди без подобных шор добиваются большего успеха, потому что не прячутся от него в своих заблуждениях. Поэтому я буду и далее публиковать подобные разборы.

61 комментарий:

  1. Мозг сломал совсем ) Но понял )
    Попробую пояснить по другому.
    [x] [ ] [ ] - три коробки. [x] - коробка с призом
    В итоге всё сводится к трем вариантам:
    (x) [ ] [ ] - человек выбрал коробку с призом
    ( ) [x] [ ] - человек выбрал коробку без приза
    ( ) [ ] [x] - человек выбрал коробку без приза

    после того как ведущий уберет пустую коробку
    останется соответственно
    (x) [ ]
    ( ) [x]
    ( ) [x]

    То есть действительно шансы у выбранной коробки 1/3, а у "отсеянной" ведущим 2/3

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Анонимный14.04.2017, 11:49

      Огромное спасибо

      Удалить
  2. Анонимный01.05.2008, 23:55

    Илья, поясните пожалуйста: "Значит, в оставшихся двух шкатулках приз будет в двух случаях из трёх. ... открыл одну из тех двух шкатулок, то вероятность того, что приз в одной из них осталась равной 2/3". В первом случае вероятность 2/3 относится к двум шкатулкам,в следующем предложении уже к одной. Как произошел этот переход?

    ОтветитьУдалить
  3. Дело в том, что под словами "в оставшихся двух шкатулках приз будет..." Илья подразумевал как раз то, что приз будет в одной из шкатулок. То есть, не было перехода от двух шкатулок к одной, просто сказано другими словами.

    Меня тоже немного смутила формулировка в этом месте - я запутался в шкатулках, попробую перефразировать. Если мы выбрали шкатулку A, то мы угадали с вероятностью 1/3, значит приз находится в шкатулках B или C с вероятностью 2/3. Когда ведущий открывает шкатулку (пусть, B), то суммарная вероятность того, что приз в шкатулках B или C не изменяется, и равна 2/3. Но приз не может быть в шкатулке B, значит, он находится в шкатулке C с вероятностью 2/3.

    ОтветитьУдалить
  4. Анонимный02.05.2008, 19:51

    7vies, большое спасибо за разъяснение, хотя с точки зрения логики и оно не бесспорно: кода мы знаем что в одной из шкатулок что-то есть, а в другой нет, то о вероятностях уже не может быть речи: т.к. она равна единице, а не двум третям.
    Все равно не понимаю: была одна вероятность (при первой выборке 1/3), осталось две шкатулки, вероятность изменилась, и стала 1/2. Почему мы рассматриваем события как взаимозависимые? Где корреляция между отсевом первой шкатулки, и выбором второй? Заранее спасибо всем, кто потрудиться объяснить.

    ОтветитьУдалить
  5. В принципе, о вероятностях можно говорить всегда. Например, то, что в шкатулке нет приза эквивалентно тому, что в шкатулке есть приз с вероятностью 0. Соответственно, если в шкатулках "B или C" есть приз с вероятностью 2/3, и при этом в шкатулке B он находится с вероятностью 0, то отсюда логично вытекает, что он находится в шкатулке C с вероятностью 2/3.

    Что касается ваших рассуждений - неверно утверждение о том, что вероятность стала 1/2 когда остались две шкатулки. Вероятность 1/2 будет у равновероятных событий, в данном же случае это не так.

    Не знаю, почему Илья сослался на английскую википедию, есть и хороший русский аналог, рекомендую.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Анонимный20.08.2013, 6:52

      А они что не равновероятны? Ведущий сказал я уберу одну шкатулку пустую и мы с вами сыграем заново по новой, в две шкатулки. Убрав шкатулку она вышла из системы и никак не влияет на результат. Если первоначально три шкатулки берутся за сто процентов, то убирая одну пусть даже не верную, вы игрока ставите перед новым выбором (важно это понимать, что игрок СНОВА ВСТАЕТ ПЕРЕД ВЫБОРОМ, СНОВА ОЦЕНИВАЯ СВОИ ШАНСЫ ИСХОДЯ ИЗ ДВУХ ШКАТУЛОК), а значит игра как бы начинается заново: две шкатулки 50/50 шансы 1 к 2-ум, выбирай!

      Удалить
    2. Уважаемый аноним, Вы правы, что игрок заново встаёт перед выбором, но напрасно обязываете его игнорировать то, что он знал ранее. Увы, это очень распространённая ошибка (в комментариях выше и ниже, а также в статье википедии, например, она многократно разобрана).

      Удалить
  6. 7vies, спасибо, что всё разъяснил, пока я узежал от компьютера вообще и интернета в частности :)

    Я полагаю, что нужно много разных объяснений этого "парадокса" с различных сторон, потому что наша интуиция мешает проникнуть в голову мысли, что вероятность выигрыша будет не 50%. Если мы в чём-то уверены, то слушаем не очень внимательно. И остаточные эффекты этого явления как раз мешают сходу разобраться с этими вероятностями. Думаю, в винипедии именно для этого приведены разные подходы к объяснению.

    ОтветитьУдалить
  7. Задача имеет смысл, если ведущий не знает в какой из коробок лежит приз. Тогда он своим действием действительно может помочь играющему, ну если случайно не откроет своим ходом коробку с призом. Но вот если ведущему известно что где лежит, то он может начать свою игру и рачет игрока на интуицию может быть вполне обоснованным.

    ОтветитьУдалить
  8. Алексей, ведущий заведомо открывает пустую коробку, потому что знает, где что лежит.
    И от "своей игры" ведушего вероятности победы у игрока не меняются: если он будет настаивать на своём первом решении, то выиграет с вероятностью 1/3, а если сменит - то с вероятностью 2/3. В этом и красота.

    ОтветитьУдалить
  9. Разобрался, согласен. Если ведущий обязан открыть одну из оставшихся коробок и обязательно ту, в которой нет приза, то никакой своей игры он сделать не может. Красиво.

    ОтветитьУдалить
  10. На самом деле задача неверно сформулирована. Вернее, не полностью. В полном условии игрок заранее знает, что после выбора ведущий откроет одну из невыбранных дверей в любом случае - вне зависимости от того, был выбор игрока верным или нет. Отсюда и получаем, что открытие ведущим двери не несет никакой информации (мы и так знали, что он ее откроет, и что она будет пустой). А раз оно не несет информации, то и условия эксперимента остаются неизменными: поэтому вероятность 2/3 остается на одной невыбранной двери

    Этот парадокс я и раньше встречал. Кстати, понял его только раза со второго (между первым и вторым разом прошло месяца два), и то не сразу. Но когда понял, то и сам уже легко объяснял его другим. И сам писал прогу для его проверки: что произойдет, если игрок всегда будет менять выбор, при большом числе опытов. Схема испытаний Бернулли. При n=10000 у меня получалось 6600 с небольшим побед и 3300 поражений

    Кстати, для проверки есть сходная (на первый взгляд) задача, достаточно показательная:
    Из 12 стульев осталось 3. За одним поехал Киса Воробьянинов, а отец Федор нашел два других. Бендер пошел по следам Федора и нашел его тогда, когда он уже распотрошил один из стульев. Бендер предлагает Федору поменяться стульями - имеет ли смысл Федору это делать?

    ОтветитьУдалить
  11. Avialaynen, спасибо за интересный пример со стульями - тоже ярко получается :)

    ОтветитьУдалить
  12. Ну да, здесь задача другая. Потому что дверь открывает не ведущий (который знает, где что, и откроет только пустую дверь), а сам игрок (который расклада не знает, и потому бьет наугад). То есть действие игрока несет информацию - следовательно, это уже новый эксперимент, поэтому вероятности будут 1/2 и 1/2

    ОтветитьУдалить
  13. Avialaynen, спасибо за шикарное дополнение! Эта задачка - идеальное продолжение разговора об интуиции и вероятности. Ещё раз спасибо :)

    ОтветитьУдалить
  14. ВЫ пишите:
    Бытовая интуиция может помешать решить логическую ситуацию. Нужно не вводить себя в заблуждения бытовой интуицией а решать по логике.

    И при этом (внимание!) Вы предлагаете в качестве примера БЫТОВУЮ ситуацию (конверты, деньги, Якубович, козы за дверьми и т.п.). Каков вопрос - таков ответ. На бытовую ситуацию вы получаете бытовой ответ.

    И он верный и вот почему.. (пожалуйста, наберитесь терпения и попробуйте меня понять. Мне бы проще изложить свои мысли устно, но попробую напечатать, итак) В предложенной бытовой ситуации человеку даётся всего один шанс, одна попытка и именно поэтому не важно, какой выбор он сделает, при поиске вероятностей и всего одной выборке (одной попытке) всё что меньше единицы - сокращается до 0,5, т.е. тот анекдот про динозавра весьма верен, ведь человек на площади первый и единственный раз и кто знает, может это площадь динозавров?

    Но я с Вами категорически согласен про интерации с картами, или про любые другие варианты доказательства этого парадокса, где есть много попыток, много шансов. Достаточно всего лишь поставить задачу таким образом: Якубович даст на выбор 100 троек конвертов, что делать, чтобы в итоге заработать больше денег? Тогда тактика отказа от первого выбора даст свои плоды, будет работать. Или если конвертов будет очень много, тогда тоже может помочь такая тактика, не смотря на единственность шанса.

    Дело именно в погрешности... в реальной жизни 2/3 никогда не равны 20/30 или 66/99... Если погрешность, допустим, единичка, то 66/99 от 65/99 не сильно отличается, а вот 2/3 от 1/3 отличаются кардинально!

    Это всёравно что быть немножко беременной или на 1/3 мёртвым... одна треть из ста двадцати людей (40) могут быть мёртвыми, но одна треть от ста - не могут. И одна треть от двух - не может умереть.

    Грубо говоря, если следовать формальной логике, поменяв свой выбор с первого конверта на оставшийся, вы гарантированно получаете 2/3 денег. Но в реальности вым никто не отсчитает часть, либо всё, либо ничего.

    Если у вас будет сто шансов выбирать из троек конвертов, то действительно, велика вероятность, что вы получите 2/3 от всех побывавших в конвертах денег.

    Кстати, я бы ещё ввёл такое понятие как вероятность вероятности, которая зависит от количества итераций:

    Мало интераций - вероятность того, что вероятность выигрыша повлияет на результат минимальна.
    Много интераций - вероятность того, что вероятность выигрыша повлияет на результат максимальна.

    Один раз сыграть в игру - вероятность того, что "парадокс Холла" сработает - минимальна, т.е. скорее всего не повлияет на результат.
    Сто раз сыграть в игру - вероятность того, что "парадокс Холла" сработает - максимальна, т.е. скорее всего будет непосредственно влиять на результат.

    Спасибо за внимание :)

    ОтветитьУдалить
  15. Кстати, мой ответ вполне схож с мнением анонима:
    "Почему мы рассматриваем события как взаимозависимые? Где корреляция между отсевом первой шкатулки, и выбором второй? "

    И ещё раз на всякий случай добавлю - схема парадокса работает, но не в том случае, который описан в примере, где выбор нужно сделать один и навсегда.

    ОтветитьУдалить
  16. Анонимный29.08.2009, 3:15

    В фильме "21" приводится этот пример

    C уважением,
    http://dm-tolstyh.livejournal.com/

    ОтветитьУдалить
  17. Андрей Макарцов, можно вводить свои собственные новые понятия, но назначать им старые названия - Вы так обошлись со понятием "вероятность". Но не надо надеяться, что все в мире примут новый смысл старого слова.

    У математиков есть давно устоявшееся представление о вероятностях и статистике. И чтобы не путать Ваши термины с классическими, лучше придумывайте своим понятиям другие названия. Тогда не будет терминологической путаницы.

    ОтветитьУдалить
  18. Но ведь по сути мы изначально выбираем из двух коробок, потому как одна пустая коробка будет ВСЕГДА откинута. Если отказаться от непосредственной нумерации коробок - то вероятность выигрыша при первом же выборе равна 50%. Замена ничего не меняет.

    ОтветитьУдалить
  19. Zarf, Вы вводите своё новое понятие, которое имеет свойство: "если произойдёт одно из этих двух событий, то их мера вашего нового понятия будет одинакова". Если Вы будете называть это вероятностью, то мы запутаемся. Это - не вероятность. Математики давно придумали определение вероятности, а Вы предлагаете новый смысл называть старым словом. Из-за этого вся путаница.

    P.S. Попробуйте провести пару десятков экспериментов! Попросите друга сыграть роль ведущего, возьмите три спичечных коробка и одну спичку (чтобы отмечать "призовой коробок"). Просто проверьте разные тактики (всегда менять коробок, никогда не менять коробок). В первом случае Вы будете выигрывать примерно в двух случаях из трёх, а во втором - в одном случае из трёх (конечно, на достаточно большом количестве итераций - хотя бы пару десятков нужно). Удачи!

    ОтветитьУдалить
  20. Илья, спасибо за полезную для мозгов задачку. Еще в школе первый раз узнал парадокс Монти-Холла. Много экспериментировали с бывшими одноклассниками. Как сказал кто-то из известных: "Мозг человека всегда будет загадкой, потому, что единственным инструментом для изучения мозга является сам мозг." Поэтому нам порой и сложно применять логику для борьбы с интуицией и наоборот.
    Вобще, с большим количеством сыгранных вариантов, в пределах погрешности, действительно оказывается вернее не менять свой выбор. Это как с Иглой Бюффона - чем больше количество проведенных экспериментов - тем точнее результат.
    Кстати, есть сериал Числа(Numb3rs) созданный братьями Тони и Ридли Скоттом. Там была серия, где объясняется решения прадокса Монти-Холла, помимо этого в каждой серии используется какой-нибудь математический метод, я многое от туда почерпнул, и всем советую!

    ОтветитьУдалить
  21. Семен, Вы, наверное, хотели написать «с большим количеством сыгранных вариантов, в пределах погрешности, действительно оказывается вернее менять свой выбор» (так как менять выгоднее).

    В Numb3rs я посмотрел первую серию, но она не произвела впечатления. Раз Вы говорите, что дальше будет осмысленнее, то я попробую ещё пару серий глянуть. Спасибо.

    ОтветитьУдалить
  22. На интуитивном уровне изменение вероятности после акции ведущего можно пояснить так: теперь мы точно знаем, на что менять, если менять вообще.

    ОтветитьУдалить
  23. Анонимный04.06.2010, 17:02

    Нашла блог, подписалась по RSS. С удовольствием пока читаю. Кстати, прочитала пока, допустим, 5 сообщений из 17 - понравилось. Какова вероятность, что не отпишусь в будущем? (= что понравятся остальные заметки)
    По поводу процента вероятности - мне это напомнило анекдот про блондинку, которуюб спрашивают, какй процент того, что она сегодня встретит слона на улице. "50 на 50 - или встречу, или нет" - отвечает блондинка. И она в чем-то права :)

    ОтветитьУдалить
  24. Уважаемый аноним, добро пожаловать!
    Надеюсь, что отписываться не придётся :)

    ОтветитьУдалить
  25. а не есть ли это подмена понятия "вероятность выигрыша игрока" понятием "вероятность приза в оставшихся коробках"? ведь фишка тут в том, что когда игрок кидается на "оставшуюся" коробку, в которой якобы бльше вероятность выигрыша, коробка, которую он бросил, тут же автоматически переходит в "оставшуюся", а которую он выбрал второй раз, переходит в разряд "с меньшим шансом выигрыша"?

    ОтветитьУдалить
  26. лис,
    нет, такой лингвистической игры здесь нет.
    Коробка, от которой отказался игрок не переходит в категорию "оставшихся". Дело в том, что сменить коробку игроку предлагаю ровно один раз за партию, поэтому ему всегда приходится выбирать между своей (которую выбрал сам) и одной из оставшихся (среди которых известна пустая).

    ОтветитьУдалить
  27. Добрый вечер. Предлагаю вам обмен ссылками на тему интуиции. Мои статьи по теме можно прочитать здесь:http://matuga.blogspot.com/2010/06/poleznye-znaniya-chem-opasna-intuitsiya.html Мы поможем друг другу с трафиком и наши читатели еще полнее для себя осветят тему интуиции.
    Ваш блог очень интересен.Я стал вашим постоянным читателем.

    ОтветитьУдалить
  28. matuga, спасибо за предложение, но я не занимаюсь такими искусственными вещами.
    Я подписался на Ваш блог, поэтому очень может быть, что в скором времени поставлю ссылку на Ваш интересный материал.

    ОтветитьУдалить
  29. Использовать методы ТВ можно тогда, когда опыт обладает свойством повторяемости. Следовательно, правильная, с точки зрения ТВ, стратегия обоснована, если Вы заядлый игрок.

    ОтветитьУдалить
  30. Долго пытался понять, думал что шутка:) Но не думаю что википедия врет, но все равно не могу понять. Почему открытая коробка отдает свою вероятность (1/3) только одной (случайной!) коробке, помоему она должна равновероятно увеличивать вероятность нахождения приза в двух оставшихся коробках, то есть 50%-50%

    И еще, если представить что у нас есть А B С, и мы как ведуший знаем что С пустая. И есть два игрока - первый выбирает А, второй B. Ведущий открывает пустую С. для первого игрока получаем А 0.3 B 0.6. Для второго наоборот А-0.6 B-0.3. То есть вероятность нахождения приза в коробке зависит от абсолютно случайного несвязанного выбора наблюдаемого - но это же бред?

    ОтветитьУдалить
  31. Begemot, википедия в данном случае не врёт. Проблема в том, что Вы используете математические термины, вкладывая в них неведомый бытовой смысл (например, "открытая коробка отдает свою вероятность...").

    Если отказаться от некорректных упрощений, а правильно пользоваться теорией вероятностей, то всё встанет на свои места. Я буду рад ответить на любые вопросы по теме. Пожалуйста, прочитайте ещё раз пояснения (например, в русской википедии - http://ru.wikipedia.org/wiki/Парадокс_Монти_Холла ). Возможно, полезно будет самостоятельно провести эксперименты ( http://ru.wikibooks.org/wiki/Программы,_моделирующие_парадокс_Монти-Холла ), чтобы мозг меньше сопротивлялся при чтении объяснения эффекта.

    Это естественно, что многие не понимают эту задачу. В самом деле, она хорошо обманывает нашу интуицию, которая буквально кричит, что вероятности должны быть равными. Но разобраться в этом можно. Спрашивайте, пожалуйста, если что-то будет не очень ясно.

    ОтветитьУдалить
  32. Анонимный11.04.2011, 3:27

    На одном сайте (не помню каком) прочитал хорошее объяснение парадокса Монти-Холла (как писал автор он объяснял его своей маленькой дочке).
    Есть 2 коробки: одна пустая, а в другой 3 шара: один черный и два белых.
    Затем из коробки с шарами в пустую коробку вслепую перекладывается один шар.
    Цель: заполучить черный шар.
    Какую коробку вы выберете? :)
    А ведущий, после перекладывания одного шара, заглядывает в коробку с двумя шарами, и доверительно говорит:"Я Вам точно скажу, один шар в этой коробке - белый!"
    Мне кажется, что это хорошее объяснение.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Даже если ведущий не врёт, всё равно непонятно, имел ли он в виду ровно один белый шар или не менее одного. Во втором случае он ничего ценного не сообщил, и шансы, что чёрный шар в первой коробке, равны 1/3. (Правда, если шар из второй коробки придётся тащить вслепую, шанс его вытащить тоже 1/3). В первом же случае ясно, что чёрный шар заведомо во второй коробке, раз там только один белый. (И вероятность его вытащить вслепую 1/2) Но откуда мне знать, что ведущий своими "доверительными" комментариями не сбивает людей с пантылыку? Может, он сказал эту двусмысленную фразу именно потому, что увидел два белых шара.

      Удалить
    2. > Но откуда мне знать, что ведущий своими "доверительными" комментариями не сбивает людей с пантылыку?
      В этих задачах у ведущего нет свободы воли. Он действует по заранее оговоренным правилам (и мы знаем, по каким именно).

      В обобщении этой задачи ведущий уже может хитрить. А здесь он обязан действовать по инструкции.

      Удалить
    3. Даже если в задаче анонима ведущий действует по инструкции, этой инструкции мы не знаем.

      Удалить
    4. Почему же не знаем? Условие зафиксировано, в комментариях несколько раз уже были даны пояснения, которые не должны были оставить сомнений в том, что у ведущего нет свободы, а есть чёткая инструкция, которую мы знаем.

      Удалить
  33. Уважаемый аноним, спасибо за это чудесное описание!

    ОтветитьУдалить
  34. Анонимный30.05.2011, 16:09

    Парадокса никакого нет, если не менять выбор, игрок также будет выигрывать в 2/3 случаев :) Проверено, попробуйте сами если не верите. Мозг привычно цепляется за авторитеты (в данном случае Логику), и сам себе что нужно доказывает, не желая уйти из своей зоны комфорта.

    ОтветитьУдалить
  35. Уважаемый аноним, а Вы уверены, что правильно проводили эксперимент? Опишите, пожалуйста, как именно Вы проверяли, что без смены выбора игрок угадывает одну из трёх шкатулок с вероятностью 2/3? Очень похоже, что что-то неаккуратно посчитано.

    ОтветитьУдалить
  36. Знал уже про этот парадокс, попадался на него ^_^
    Кстати, лично я, чтобы убедить свою сознание в абсурдности происходящего, придумал для себя свой собственный пример:
    имеем миллиард коробок. После выбора, ведущий оставляется закрытывами опять же только две (!)
    Именно после этого мой мозг наконец-то просёк тему.
    P.S. Все ошибки допущены случайно по вине неграмотности автора.

    ОтветитьУдалить
  37. Авти, это хороший способ разобраться.
    Спасибо, что написали о нём (надеюсь, кому-то ещё поможет).

    ОтветитьУдалить
  38. Вероятность 1/2 соответствует случаю, когда ведущий НЕ знает, в какой из шкатулок приз, и вообще-то может открыть как пустую шкатулку, так и шкатулку с деньгами. (В этом случае ведущий говорит "а деньги-то были здесь", и игроку ничего не достаётся) И интуиция как раз подсказывает, что ведущщий либо не знает, где приз, либо использует своё знание так, чтобы шансы игрока уменьшить. Поэтому шкатулку менять не надо. Ведь в условии же не сказано, что ведущий, во-первых, предлагает сменить шкатулку всегда, во-вторых, всегда открывает пустую.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. > И интуиция как раз подсказывает, что ведущий либо не знает, где приз, либо использует своё знание так, чтобы шансы игрока уменьшить
      В условии сказано, что
      1) ведущий знает, где приз,
      2) он открывает шкатулку, в которой приза нет.

      Удалить
    2. То, что ведущий открыл шкатулку в данном случае, ещё не значит, что открыл бы в любом. Может, он, например, получил инструкцию открывать пустую и предлагать изменить выбор только тогда, когда игрок выбрал шкатулку с призом. Или, допустим, в зависимости от того, получит ли неизвестный игроку сигнал.

      Удалить
    3. Я могу понять, что Вам может хотеться решать другую задачу и игнорировать мои слова о том, что Вы избегаете важные моменты условия. Давайте, чтобы меньше сомневаться, обратимся, например, к википедии - http://en.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall_problem. В условии сказано, что ведущий открыл бы шкатулку в любом случае, причём никаких неизвестных игроку сигналов нет и не может быть. Условие простое (да и задача несложная). Поясните, пожалуйста, что именно Вы не понимаете. Я постараюсь ответить, если пойму вопрос.

      Удалить
    4. Не понимаю, где У ВАС написано, что ведущий открывает пустую шкатулку в ЛЮБОМ случае. Ведь я же решала задачу из Вашего блога, а не из английской википедии.

      Удалить
    5. Это хорошее возражение, так как мы говорим не об одном конкретном эксперименте (в котором, как сказано в условии, ведущий открыл пустую шкатулку), а о серии опытов. Ваш вопрос, конечно, имеет смысл, спасибо. Я стараюсь писать ясно, но не все возможные способы непонимания успеваю предусмотреть. Благодарю, что обратили внимание на этот момент.

      По этому поводу мне вспоминаются тезисы из заметки «Нечёткие формулировки». Если кратко, то идея такая:
      - можно усложнять условие задачи, делая её очень сложной для понимания человеком, но исключающей неправильное понимание,
      - а можно упрощать текст, позволяя большему числу людей вникнуть в суть вопроса, но оставляя белые пятна.

      Я стараюсь найти хоть в каком-то смысле оптимальное состояние между двух крайностей (в том числе, благодаря критическим комментариям). Прямо сейчас я не могу вспомнить, чтобы ещё кто-то столь же странно понимал условие задачи, как Вы. У Вас оригинальный и настойчивый ум, это очень ценно!

      Удалить
  39. Анонимный19.07.2012, 18:03

    я всё понял но я всегда угадываю спервого раза не меняя решение!!

    ОтветитьУдалить
  40. Анонимный21.10.2012, 8:49

    Я понял на таком примере:

    Есть колода карт, пускай из 36 карт. Задача - вытащить туза пик. Сначала Игрок вытаскивает любую карту, затем Шулер (игрок, который всегда может вытащить необходимую карту из колоды) вытаскивает одну карту.

    Достоверно известно, что один из нас вытащил необходимую карту. Надо ли меняться?

    Шанс, что карту вытащил Игрок = 1/36
    Шанс, что карту вытащил Шулер = 35/36 (единственный плохой случай для него - если карту вытащил Игрок).

    Очевидно, что меняться надо. Для лучшей аналогии, можно сказать, что Шулер вытаскивает не 1 карту, а по очереди открывает любые карты, кроме "выбранной" и в итоге и у Игрока и у Шулера остается по 1 карте.

    Совсем другая задача, если играют два обычных Игрока оба из которых действуют "наугад". Например, один Игрок взял 1 карту, другой 35 карт. По очереди открываются случайные (! обязательное условие) карты второго Игрока до тех пор пока не откроется необходимая.

    В каком-то из опытов ситуация может дойти до того, что у каждого из Игроков останется по 1 карте. Есть ли смысл меняться в этом случае? Нет!

    ОтветитьУдалить
  41. Анонимный24.11.2012, 19:20

    Смотрите, вес просто!
    Допустим вот 3 двери:
    [1] [2] [3] - приз не известно где.
    1/3 1/3 1/3 - шансы выпадения.
    К примеру выбираем 1 дверь.
    [1выбрали] [2] [3]
    1/3 2/3
    Ведущий к примеру открывает 3 дверь.
    Остается 2 двери:
    [1] [2]
    1/3 2/3 - шанс 2 двери остается 2/3, а это значит, выбирая другую дверь, вы удваиваете шанс выигрыша.
    Вот другой пример:
    [1] [2] [3]
    Если всего 3 двери и 1 приз, то выиграть приз - 1/3~33%
    А если всего 2 пустые двери, то шанс выбрать пустую дверь равен 2/3~66%
    И не важно, какую дверь откроет ведущий, ведь вы остаетесь при своем выборе, а значит - шанс выйграть машину равень ~33%!
    А теперь допустим мы меняем выбор!
    Допустим вы сразу попали на приз что ~33%, и поменяли выбор.
    Естественно вы получите пустую дверь.Но это если вы попали на машину!А ее шанс ~33%, а это меньше 66%.Тоесть шанс в итоге на пустую дверь ~33%!
    А так как изначально 2 двери, то шанс ее выбрать сначала -66%.
    Попадая на пустую дверь, ведущий открывает еще пустую, тоесть это понятно, что если поменять выбор, вы естественно получите приз!
    Получается, если не менять выбор, то шанс на приз ~33%, и на пустую дверь ~66%.То есть вероятнее вы выберете пустую дверь.
    А если менять, то шанс на приз ~66%, а на пустую дверь ~33%.
    Вероятнее вы выиграете приз!
    Надеюсь оба объяснения понятны!


    ОтветитьУдалить
  42. Анонимный06.06.2013, 4:42

    Народ кому непонятно - попробую объяснить проще.
    Есть 2 варианта развития событий(если мы меняем дверь):
    1) Изначально мы выбираем правильную дверь, затем ведущий открывает неверную дверь, и если мы меняем выбор, то выбираем неверную дверь.
    2) Изначально мы выбираем неверную дверь, затем ведущий открывает вторую неверную дверь, и если мы меняем выбор, то выбираем правильную дверь.

    Но т.к. изначально мы выбираем неправильную дверь с вероятностью 66%, а правильную с вероятностью 33%, значит 2 вариант развития событий более вероятен, следовательно нужно менять дверь.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Анонимный03.02.2014, 22:58

      Интересная получается вещь,что вероятность на дверях зависит от наблюдателя ,игрока.Допустим осталось две двери .Приводят ещё одного игрока и просят выбрать между двумя дверьми.Для нового игрока шансы равны 50 процентам ,а у старого игорока почему- то вероятность угадывания разная 66 и 33 процента соответственно.

      Удалить
    2. "Интересная получается вещь,что вероятность на дверях зависит от наблюдателя ,игрока."
      Нет, не получается! Значит вы в корне не понимаете, почему некоторые события могут быть равновероятными, а остальные - совсем таковыми не являются.

      Давайте уясним. Если есть N дверей, и причем оговаривается, что вероятности нахождения приза в них ОДИНАКОВА, то вероятность найти приз за одной из дверей, очевидно, будет 1/N. В нашем случае условия задачи тоже говорят, что все двери имеют одинаковый шанс 1/3. Если по каким-либо причинам вероятности распределения по дверям НЕ ОДИНАКОВЫ, то ни о каких 1/N и речи быть не может. Например, вероятность того, что на площади вашего города вы встретите слона. Все мы знаем, что ответ 50% в корне неверен. Но почему, ведь возможно только 2 исхода - встретим / невстретим. Но!! Вероятность самих исходов не одинакова. И раз в условии задачи про слона это не оговаривается, то мы исходим из своих соображений хдравого смысла. Учитываем, какой город (африканское поселение или обычный русский городок), что за год на дворе (вдруг в будущем слоны уменьшаться и станут как домашние питомцы, гуляющими во дворах), и профие факторы, вобщем приходим к тому, что вероятность встретить слона будет ничтожно малой, но не 50%, что и наблюдается в реальной жизни. Но вероятность, конечно же, все-таки есть - цирк на эту площадь приедет, например.

      Теперь ближе к делу. Как я уже писал, в задаче подразумевается/оговаривается, что вероятность приза за каждой дверью одинакова и равно 1/N = 1/3. И игрок начинает играть с этого момента. Далее ведущий одну (заведомо пустую) дверь убирает. Теперь внимание! С этого момента оставшиеся ДВЕ двери имеют уже НЕ РАВНЫЕ вероятности. Равными они были у ТРЕХ дверей до того, как убрали пустую. Но почему у двух дверей вероятности не равны, спросите вы? Потому что, если раньше равномерная вероятность была гарантирована условиями задачи, то сейчас это условие уже нельзя применять для оставшихся дверей. Событие - убирание ЗАВЕДОМО ПУСТОЙ(!) двери - меняет распределение вероятности, и причем ТОЛЬКО СРЕДИ ТЕХ дверей, которые не выбрал игрок (при N = 3 таких дверей будет 1), потому что любую из оставшихся не выбранных вами дверей ведущий в любой момент может открыть, пока среди них не останется одна не открытая дверь и + та, на которую указали вы (вспомните это предложение ниже для случая N = 100). Поэтому для нового человека, который придет когда останется N=2 двери, вероятности НЕ будут 50 на 50. Они все так же и останутся 1/3 на 2/3, или 33% на 66%.
      Другой пример нарушения равномерной вероятности - если из колоды в 36 карт вытащили допустим 12 карт, то уже нельзя говорить о том, что вероятность встретить каждую из мастей одинакова и равна 1/4. Нет, теперь мы уже не можем судить об их одинаковости, даже если в этих 12 картах было по 3 карты каждой масти (ведь мы об этом не знаем заранее пока нам не скажут).

      Удалить
    3. Что касается самого решения. Если вам так трудно его понять, то представьте, что дверей было не 3, а большое количество, например N = 100. Мы выбрали одну дверь с вероятностью 1/100. Ведущий (согласно условиям задачи!) убирает все двери кроме одной, именно в этом кроется смысл. Или по-другому, убирает N - 2 дверей, для трех это 1, для 100 это 98. Само собой убирать он может только пустые двери, опять же по условию задачи. Поэтому последняя дверь из тех 99, что вы изначально не выбрали - либо пустая если ваша первая оказалась призовой, либо с призом если ваша первая была пустой. А теперь снова внимание! Из огромного количества дверей (99) ведущий оставил одну единственную, имея возможность убирать только пустые! В таком случае, если вы В ПЕРВЫЙ РАЗ все-таки ОШИБЛИСЬ, то именно эта дверь содержит приз! Теперь вспомните, вероятность вашей ошибки при выборе первой двери равна 99/100 = 99%. Значит если вы поменяете свой выбор на оставшуюся дверь (напоминаю - в случае вашей ошибки на первой двери), то приз ваш с вероятностью 99%. А что если вы не ошиблись на первой двери? Вероятность НЕ ОШИБКИ, то есть угадать дверь сразу, равна 1/100 = 1%. Значит у вас есть 1% сфейлится и не получить приз, если вы выберете вторую дверь. Понятное дело, что шанс фейла всегда есть, но если дверь совсем не менять никогда, то и вероятность вашего выигрыша всегда будет 1%! Против 99% при постоянном выборе второй двери! Ощутите разницу! Для трех дверей ВСЕ ТО ЖЕ САМОЕ, только все N = 100 надо заменить на N = 3.

      Этому парадоксу (подумайте, если б все было так просто как кажется на первый взгляд, назвали бы его парадоксом??) уже много-много лет. Решение давно уже существует и без вас. Поэтому не надо УТВЕРЖДАТЬ, что решение неверное, а вы такие умные, уверены в том что ответ 50/50... Если что не понятно - спрашивайте, что именно вам не понятно, но ни в коем случае не утверждайте о ее неверности!! Спасибо за внимание тем кто дочитал.

      Удалить
  43. Анонимный03.11.2016, 14:40

    Голуби лучше решают эту задачу, чем люди: https://habrahabr.ru/post/313452/

    ОтветитьУдалить
  44. Гусейн Гурбанов, Баку, Азербайджан23.11.2016, 18:00

    РЕШЕНИЕ ПАРАДОКСОВ: 1. «Что было раньше: яйцо или курица?»

    Даются два понятия «ЯЙЦО» и «КУРИЦА» и в РЯДУ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНО РАЗВЁРТЫВАЕМЫХ ПОНЯТИЙ (РПРП) требуется найти понятия предшествующие к каждому из них.

    В РПРП для "ЯЙЦА" предшествующим является "КУРИЦА", ибо понятием «эмбрион» (или другими ) не интересующим нас по постановке вопроса мы можем пренебречь.

    В РПРП для "КУРИЦА" пренебрегаемым понятием является «цыплёнок», но не «треснувшееся яйцо (из которого старается вылупиться цыплёнок)», ведь в постановке вопроса не акцентировано внимание на обязательности рассмотрения лишь яйца целостного состояния, т. е. для "КУРИЦА" предшествующим является не то понятие на котором акцентирован вопрос, а его разновидность.
    ВЫВОД: "КУРИЦА"

    ОтветитьУдалить

Понравилась заметка? Подпишитесь на RSS-feed или email-рассылку.

Хотите поделиться ссылкой с другими? Добавьте в закладки:



Есть вопросы или предложения? Пишите письма на адрес mytribune АТ yandex.ru.

С уважением,
      Илья Весенний