21 февр. 2008 г.

Пи равно трём

Продолжим вчерашнюю мысль о детской наивности.

Всем хорош фильм "Rain Man" ("Человек дождя"), но есть у него один режущий глаз момент. Общение главного героя с психиатром переходит в проверку математических способностей Рэя:
- Do you know how much the square root of 2130 is?
- 46.15192304.
Вроде бы, всё хорошо, главный герой подтвердил свою "гениальность" (почему они способность считать как калькулятор называют гениальностью?). Но мы знаем, что квадратный корень из 2130 - это бесконечная дробь (46.151923036857304934417782... и ещё бесконечно много цифр). А Рэй назвал только 10 знаков (ровно столько же показывает калькулятор психиатра). Знал ли Рэй, что на калькуляторе отображается не 8, не 12, а именно 10 цифр? Почему он остановился на десятой значащей цифре? Правильно! Потому что сценаристы учились в такой школе, где им не объяснили разницу между числом и его приближением (во всяком случае, им на это было глубоко плевать).

Несколько месяцев назад мне довелось пообщаться с проверяющими районных олимпиад одного многострадального города (с населением за миллион). Они рассказывали, что в 2007-м году они впервые ощутили ужас, проверяя детские работы. Оказалось, что в очень многих работах (благо, не во всех) используется очень простая формула для вычисления длины окружности: L=6.28R. То есть вместо удвоенного Пи дети сразу используют готовое число 6.28. Тогда ещё вспомнилась шутка о том, что в штате Юта местный парламент принял закон с очень короткой формулировкой: "Пи равно трём". Скорее всего, вышел новый учебник, в котором написано, что так можно считать длину окружности. Кроме того, педуниверситеты выпустили новых учителей, которым тоже уже это кажется нормальным.

Когда в университете школьникам начинают рассказывать про комплексные числа (в частности, про корень из минус единицы), то дети смотрят на лектора с большим недоверием, ведь они точно помнят из школы, что "корня из отрицательных чисел не бывает" (все знают, если дискриминант меньше нуля, то решений нет). Ребята отказываются воспринимать знания из-за того, что в них эта уверенность сидит очень глубоко. И лектору приходится тратить очень много времени, чтобы развернуть их к себе лицом (недели уходят, пока дети поверят, что их лектор - не необразованный маразматик, не знающий даже, что нельзя вычислить корень из отрицительного числа).

Дети очень наивны и открыты. Если им сказать, что Пи равно 3.14, то они это примут близко к сердцу и будут в это верить. Ведь в раннем возрасте у них нету возможности получить ответ на вопрос "почему?" Никто не сможет объяснить, скажут, что "просто надо запомнить". Кстати, это отбивает природную любознательность. Если сказать, что "корень из отрицательного числа нельзя считать", то запомнят так хорошо, что потом это очень трудно исправить. Но ведь можно было поступить иначе: сказать, что "приближённо можно оценивать длину окружности по формуле 6.28R" или "в школе у нас недостаточно знаний, чтобы вычислять корни из отрицательных чисел". И дети это тоже поймут. Нам же так говорили в школе! И нынешним детям тоже можно сказать правду, а не навешивать лапшу им на уши.

Классическая задача из американского теста, которую обнаружил в своё время В. И. Арнольд: гипотенуза прямоугольного треугольника - 10 дюймов, а опущенная на неё высота - 6 дюймов. Найти площадь треугольника.

С этой задачей американские школьники справлялись 10 лет, но потом приехали русские школьники, и ни один эту задачу решить не мог. Почему? Потому что 30 - неправильный ответ. И здесь не такая ловушка, как в задаче, приводящей к заклиниванию головы. Здесь просто не существует треугольника, удовлетворяющего условию задачи. Поэтому и площадь его найти нельзя. Подставить числа в формулу S=0.5LH (где L- основание, а H- высота) можно, но площадь найти нельзя.

Эту задачу можно давать как пример "задачи с подвохом", но нельзя ставить в учебник или тест в качестве типовой, не указывая детям, что они попались в ловушку. Детей нельзя так обманывать.

Задача учителя состоит в том, чтобы не мешать ребёнку учиться. Забивая гвозди в голову школьника по самую шляпку, запрещяя ему думать, учитель/родитель просто калечит его будущее. Что значит "нельзя считать корень из отрицательного числа"? Запрещено? Почему запрещено? Кто нам это запретил? Не обманывайте ребёнка, не тратьте свой авторитет на то, чтобы сообщить откровенную ложь.

И когда будете смотреть со своими детьми фильм "Человек дождя", уточните, что корень из 2130 - это не то, что влезло в окошко калькулятора. И вообще, что в телевизоре часто показывают глупости.

45 комментариев:

  1. Насчет гениальности больше скажу. Если взять такой точный подсчет, как в фильме, в постсоветских странах такой гений считался бы больным и, возможно даже, умственно отсталым.

    Ведь у нас считается, что все люди, которые резко отличаются от других, "не такие как все". И под "не такими" часто считают хуже всех, но никак не лучше.

    ОтветитьУдалить
  2. Анонимный21.02.2008, 13:26

    Немного не соглашусь с предидущим оратором, дело не в том что у нас "иных" воспринимают больными, зрить надо в корень: человеку не нужно считать как калькулятор!
    Если 2 * 2 может делать машина пусть она это и делает, а человек должен путем логических рассуждений прийти к тому что в этой ситуации нужно именно 2 умножить на именно 2.

    ОтветитьУдалить
  3. Spomoni, в этом и дело, что главный герой фильма отлично запоминал большие объёмы данных (телефонную книгу с номерами, например) и отлично считал (как раз с точностью калькулятора).
    Почему-то в американских фильмах именно эти свойства называются гениальностью. Хотя тут нет ни творчества, ни проявления высшей степени одарённости. Его может заменить обычный компьютер (причём, компьютер будет быстрее и точнее).
    Но то, что эти способности являются особенностью, конечно, соглашусь.

    ОтветитьУдалить
  4. Да ладно счёт, есть более феерические примеры - гениальными считаются люди, у которых в голове большая свалка фактов. И это далеко не только в "американских фильмах".

    ОтветитьУдалить
  5. Анонимный24.02.2008, 15:36

    Жаль что сегодня учителя всё меньше и меньше внимания уделяют воспитанию в детях качеств необходимых для самообразования.

    ОтветитьУдалить
  6. Разве его где-то называли гениальным? Насколько я помню, Ральф страдал от аутизма, и при всем восхищении его необычными способностями о гениальности там речь не шла.

    ОтветитьУдалить
  7. Kaes, да, его именно называли гениальным. Цитата:

    - How much is 4,343... times 1,234?
    - 5,359,262.
    - He's a genius.
    - That's right.

    дальше хуже:

    - Do you know how much the square root of 2,130 is?
    - 46.15192304.
    - That's amazing. That is amazing. He should work for NASA or something.

    То есть явно формулируется, что способность умножать четырёхзначные числа и считать из них корни - это признак гениальности и необходимые качества для работника NASA.

    ОтветитьУдалить
  8. Анонимный15.03.2008, 13:26

    Из статьи про праздник числа "Пи":
    "В американском написании сегодняшняя дата выглядит как 3.14, вот почему именно в этот день отмечается этот праздник. Можно конечно его было бы отмечать и 31 апреля (31.4), но тогда этот день отмечался бы не каждый год."

    "...поздравлять окружающих с днем «пи» нужно сегодня в 1:59, в соответствии с цифрами числа «пи» - 3,1415926… Но можно воспользоваться «европейским» вариантом написания времени -- и перенести торжественный момент на 15:92."

    Вот так вот. 31 апреля... в 15:92... собираемся и празднуем.

    ОтветитьУдалить
  9. Про отрицательные числа я узнал в первом классе. В столовой, в интернате на ключе у завхоза я прочитал "3-5" (это был всего навсего номер кабинета) и заявил "три минус пять равно нолю"!

    А меня поправили, сказав что "три минус пять будет минус два". И сказали, что есть отрицательные числа. Трагедией это не стало :) С 6 по 9 класс я был в первой тройке математиков класса :)

    (Двое других были более дотошными или практичными, я оставался мечтателем ;) )

    ОтветитьУдалить
  10. А еще в школе с начальных классов крепко-накрепко вбивают, что на ноль делить нельзя. Причём делается это таким категоричным, не терпящим возражения голосом, что потом в вузе удивляешься - хех, вот сколько лет нас обманывали в школе.
    А еще любят говорить, что есть только приставка по-, а приставки па- нет. Но ведь есть слова падчерица, пасынок, патрубок, паводок

    ОтветитьУдалить
  11. На первой паре мат. анализа в университете мой лектор так и сказал - забудьте всё, чему вас научили в школе :)

    ОтветитьУдалить
  12. Начал писать комментарий, он получился длинный, решил отдельный пост. По мере написания поста, понял, что и его надо разделить на две части.

    ОтветитьУдалить
  13. alexsmail, спасибо за интересные диалоги.

    ОтветитьУдалить
  14. Я внёс небольшие поправки.
    Кстати, второй линк я дал не верный, должен быть вторая часть

    И у меня был один уж очень одиозный ляп, я назвал 3 числом иррациональным. :-) Я имел ввиду, естественно корень из трёх.

    ОтветитьУдалить
  15. Анонимный12.03.2010, 16:58

    >С этой задачей американские школьники справлялись 10 лет, но потом приехали русские школьники, и ни один эту задачу решить не мог.

    Когда я учился, то в учебнике попалась очень похожая задача с несуществующим треугольником.
    (было примерно в 1998 году, Новосибирск)

    ОтветитьУдалить
  16. 2 Alex4438
    Нам в школе насколько я помню повезло больше, и пожилая учительница математики грамотно разъяснила что на ноль делить нельзя, но вообше будет можно но это объяснят в институте, ну или как то так :)

    ОтветитьУдалить
  17. На ноль как число делить нельзя и в институте. Деление на ноль в институте имеет смысл только при предельном переходе в котором на самом деле присутствуют не ноль, а некий математический объект (например, функция или последовательность, стремящийся к нулю). 2/0 неопределенно и в институте. Когда говорят, что 2/0=+Inf, имеет ввиду, что запись 2/0 это на самом "укороченная" запись lim 2/x при x->0, т.е. вкладывают совершенно другой смысл в нею. В каком смысле, правда, это является "расширением" обычной арифметики ведь 2/3=lim 2/3 при x->0.

    ОтветитьУдалить
  18. Анонимный05.05.2010, 15:25

    А мы в школе проходили и комплексные числа, и бесконечности, и пределы, и деления на ноль соответственно.
    А сейчас что, этому только в институтах учат?

    ОтветитьУдалить
  19. Уважаемый аноним, увы, сейчас в редкой школе дают хорошее представление о таких базовых понятиях.

    ОтветитьУдалить
  20. Аноним, просто ради интереса, какое определение предела вам дали в школе?
    Мой комментарий, получился довольно длинным, поэтому я написал его отдельным постом Пи равно трём. Часть III. Предел функции

    ОтветитьУдалить
  21. Анонимный23.09.2010, 17:51

    Мне кажется, что в учителя иду двоечники, и идут просто, что бы поиздеваться над детьми (иначе зачем? зарплату то там не платят). На тему учителей вообще можно книгу написать. Это самые бестактные и в принципе невоспитанные люди, как можно детям, у которых что то не получается, кричать "вы что, дебилы?" ,- чему учит школьный учитель?

    ОтветитьУдалить
  22. Уважаемый аноним, конечно, за всех не отвечу, но я не ставил себе цели издеваться над детьми и не кричу "вы что, дебилы?". Скорее всего, Вы говорите о конкретных людях, а не об учителях вообще, верно? Кстати, это вполне нормально, что люди идут заниматься тем, что им нравится, зная о маленьких зарплатах. Часто ли большие деньги платят тем, кто занят любимым делом?

    Если же Вы хотите сказать, что среди учителей есть много бестактных и невоспитанных людей, то с этим глупо спорить, так как таких людей полно среди представителей многих других профессий.

    Я согласен, что лучше было бы, если бы учителя были идеальными людьми, с которых стоит брать пример. Увы, это не всегда так.

    ОтветитьУдалить
  23. Анонимный26.09.2010, 23:52

    Что такое "большие деньги", предлагаю не обсуждать(у меня на первом месте понятие "большие запросы").
    Возможно я попал в очень спецефическую школу, и все остальные школы отличаются в корень, но там где я учился, учителя в среднем вели себя с учениками бестактно, постоянно в присутствии класса, посреди урока, могли высмеивать тетрадь ученика, если та не понравилась, одежду, пенал... да что угодно, а ученик должен стоять и молча слушать, потому как учили уважать взрослых. Хорошо бы, чтоб взрослых кто то научил уважать детей так же.
    Конечно это не относится ко всем. Примерно в 5ом классе мы познакомились с учительницей информатики, она к нам на Вы обращалась, мы были в шоке от непривычки. Помнится также учительница рисования, которая после уроков и на каникулах занималась с теми, кому это было интересно (и правда не ради денег).
    И совсем не в идеальности дело, мне кажется что "злые" учителя за что то мстят нарошно или не знают как заработать авторитет детей, и вот тут мне снова непонятно, зачем эти люди идут в учителя, что для них есть любимое дело?

    ОтветитьУдалить
  24. Зачем идут в учителя? Случаев очень много:
    - кто-то идёт в преподавание, потому что думает, что ему это интересно,
    - кому-то кажется, что "если не он, то кто?",
    - кто-то любит, когда его слушают,
    - кому-то кажется, что он хороший учитель, поэтому стоит этим заниматься,
    - кого-то больше никуда не берут,
    - (есть ещё масса вариантов).

    Увы, конкурс в педагогические ВУЗы очень низкий, поэтому в них часто поступают по остаточному принципу (если больше никуда не берут, то некоторые школьники поступают в местный педагогический колледж, чтобы получить хоть какое-то высшее образование).

    Ну а раз отбора в учителя нет, то мы видим среди учителей не идеальных людей, а вполне нормальных. Если общество не отбирает лучших своих представителей для преподавательской деятельности, то наивно надеяться на хорошее образование детей этого общества.

    ОтветитьУдалить
  25. > о 30 - неправильный ответ.

    Неправильно. "30" -- правильный ответ. Потому что если в условии задачи противоречие, любой ответ правильный.

    ОтветитьУдалить
  26. Vag, возможно, парламентарии некоторых стран радостно бы проглосовали за это утверждение. Но в научной среде тезисы не считают правильными на том и только том основании, что их невозможно подтвердить (а в данном случае проблема именно в том, что невозможно доказать, что 30 является верным ответом, так как невозможно предъявить такой треугольник, чтобы честно измерить его площадь).

    ОтветитьУдалить
  27. >Vag, возможно, парламентарии некоторых стран радостно бы проглосовали за это утверждение.

    Я не вижу, какое отношение имеет это утверждение к обсуждаемой теме.

    > ... невозможно доказать, что 30 является верным ответом ...

    Это доказывается чрезвычайно просто: из противоречия следует любое утверждение, в том числе это.

    ОтветитьУдалить
  28. >Это доказывается чрезвычайно просто: из противоречия следует любое утверждение, в том числе это.
    Из какого противоречия?

    У нас сейчас есть две позиции:
    1) 30 - это площадь любого несуществующего треугольника,
    2) площадь несуществующего треугольника неопределена,

    Почему правильно выбирать первую?

    ОтветитьУдалить
  29. Решением задачи вида "Пусть P. Доказать Q." является доказательство теоремы P -> Q. Решением задачи вида "Пусть P. Вычислить X." является доказательство теоремы "P -> X = F", где F -- число с плавающей точкой. Если из P выводимо противоречие, то из него тривиально выводимо X = F, где F -- любое число.

    ОтветитьУдалить
  30. > Из какого противоречия?

    В условии P содержится утверждение, что-то типа "существует прямоугольный треугольник с гипотенузой длины 10 и высотой длины 6, опущенной на гипотенузу". В геометрии минимальная гипотенуза треугольника с высотой 6 равна 12. Отсюда абсурдное утверждение 10 >= 12.

    ОтветитьУдалить
  31. Эта задача имеет решение: "Доказать, что для всех треугольников с гипотенузой длиной 10 и высотой длиной 6 площадь равна 30". Эта тоже имеет: "Доказать, что если существует треугольник с гипотенузой длиной 10 и высотой длиной 6, его площадь 30". А эта не имеет решения: "Доказать, что существует треугольник с гипотенузой длиной 10 и высотой длиной 6, и вычислить его площадь".

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Анонимный16.08.2014, 3:22

      Пофиг, что дискуссия была давно, но! (для будущих читателей, так сказать)
      О чем вообще речь, Vag?! Даже в самой статье говорится о том, что важнее думать, что "тупо" считать в уме корни из 100500 это не гениальность. О том, что именно человек, в отличие от ЭВМ, должен обнаруживать нестыковки и направлять вычисления в нужное русло!
      А вы тут пишете, что если есть некорректно поставленная задача, то она непременно должна иметь решение. Ссылаетесь на какие-то определения... Да, все эти формулировки нужны в точных науках, но здесь от учеников требуется другое. Сообразительность! И умение решать те редкие задачи, которые должны учить их ДУМАТЬ, а не просто считать по шаблонным формулам.
      Вы бы еще в задачке про "электричку и дым" подняли вопрос о корректности формулировки, доказательстве и пр. Но совсем не для этого задаются такие задачки, совсем не для этого.

      И напоследок, если уж все-таки говорить об утверждениях и формулировках. Специально прочитал все комменты, но не убедили меня никакие аргументы, что если в задаче противоречие, то любой ответ правильный. Тут ответ либо "нет решения", либо гнать на составителей задач, че мол фигню задаете, и потом решать корректную. А то если решение есть, значит мы признаем, что есть-таки треугольник с гипотенузой 10 и высотой 6. Тогда видимо и стороны треугольника это не прямые отрезки? А значит и сумма углов не равна 180? Так можно и до аксиом дойти. Нельзя принимать противоречия за истину, иначе они порождают новые. Что есть полный бред (речь пока только про евклидову геометрию).

      Удалить
  32. Vag, эти аргументы были сразу понятны, но надо же разобраться, почему будет правильно привести исходную задачу именно к такому виду...

    В любом случае, спасибо, что начали интересную дискуссию. Предлагаю продолжить её в комментариях к свежей заметке на эту же тему. После неё я планирую написать ещё одну заметку (так как в комментариях неудобно работать с длинными текстами) со своим мнением о столь формальном подходе в преподавании (мне казалось, что в последних абзацах данного текста всё достаточно ясно, но оказалось, что надо ещё раз вернуться к этой теме).

    ОтветитьУдалить
  33. > со своим мнением о столь формальном подходе в преподавании

    Какой смысл вы вкладываете в слова "теорема", "доказательство", "геометрия"?

    ОтветитьУдалить
  34. Svetlana, у меня здесь исключительно классическое понимание: смыслы слов "теорема" и "доказательство", представленные в классических учебниках логики, меня полностью устраивают.
    С "геометрией" я тоже ничего особенного не выдумывал - это раздел математики, возникший (судя по названию) из задач измерения земельных участков, а потом развившийся до изучения плоских и пространственных объектов и структур, отношения между этими объектами и так далее.

    ОтветитьУдалить
  35. > ... в классических учебниках логики ...

    Представьте, пожалуйста, определения слов "теорема" и "доказательство", которым вы пользуетесь.

    ОтветитьУдалить
  36. И определение слова "формально" также, пожалуйста.

    ОтветитьУдалить
  37. Можно дать короткое определение, например, "доказательства", но оно будет опираться на термины "аксиома" и "правило вывода", для которых придётся подтянуть определения "противоречивости", "выводимости", "истинности" и так далее (т.е. в любом случае, оно не будет полным). А можно дать развёрнутое и подробное определение, но тогда оно не поместится не только в комментарий, но и в длинную заметку.

    Поэтому, чтобы я не угадывал, какого уровня детализации Вы от меня ждёте, дайте, пожалуйста, определения терминов, которые Вам интересно узнать у меня, а я отвечу, совпадает моё их понимание с Вашим или нет. Это будет продуктивно.

    ОтветитьУдалить
  38. > для которых придётся подтянуть определения "противоречивости",
    > "выводимости", "истинности" и так далее (т.е. в любом случае, оно не будет полным)

    В корректном определении этих понятий не упоминаются <<"противоречивости", "выводимости", "истинности" и так далее>>.

    > ... совпадает моё их понимание с Вашим или нет ...

    У меня нет какого-то "своего понимания терминов". Я использую общепринятые определения понятий.

    Формальным языком называется множество цепочек символов определенного алфавита (фраз).

    Формальной системой называется совокупность формального языка, непустого конечного подмножества его фраз (они называются аксиомами данной системы) и непустого конечного множества правил вывода.

    Правилом вывода называется отображение непустого множества непустых множеств фраз на множество фраз.

    Теорема определяется индуктивно. Теоремой называется аксиома или фраза, для которой существует правило вывода, в которой она в правой позиции, а в левой позиции множество теорем.

    Доказательством теоремы T называется фрагмент последовательности фраз, такой, что последняя фраза фрагмента есть T, и каждая фраз последовательности является либо аксиомой, либо для неё существует правило вывода, в которой она стоит в правой позиции, а все фразы из множества в левой позиции упоминаются в последовательности до неё.

    Математической теорией называется множество теорем определённой формальной системы.

    Формальной записью называется последовательность фраз формального языка.

    ОтветитьУдалить
  39. Прекрасно!
    Вы, как и я, пользуетесь классическими определениями данных терминов.

    ОтветитьУдалить
  40. Тогда у меня нет предположений, почему вам не очевидно, что 30 -- правильный ответ.

    ОтветитьУдалить
  41. Как я обещал позавчера, заметка с ответами на Ваши вопросы готова. Предлагаю продолжить дискуссию в комментариях к ней. Я уверен, что у Вас есть веские возражения. Поэтому было бы очень интересно лучше понять позиции друг друга.

    Ещё раз благодарю, что начали эту интересную дискуссию!

    ОтветитьУдалить
  42. На всякий случай продублирую здесь ссылку на заметку, поясняющую мою фразу «надо же разобраться, почему будет правильно привести исходную задачу именно к такому виду...» выше.

    ОтветитьУдалить
  43. Анонимный20.08.2014, 9:28

    Жаль вы отмодерировали и не запостили мой предыдущий коммент (1-2 недели назад). Так значит в вашем блоге делается...

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. На всякий случай я ещё раз пересмотрел все комментарии за последние три недели. К этой заметке был только за 16 августа (т.е. за 4 дня до этого Вашего комментария). Вы о нём? Если нет, то напишите, пожалуйста, ещё раз.

      Удалить

Понравилась заметка? Подпишитесь на RSS-feed или email-рассылку.

Хотите поделиться ссылкой с другими? Добавьте в закладки:



Есть вопросы или предложения? Пишите письма на адрес mytribune АТ yandex.ru.

С уважением,
      Илья Весенний