4 мар. 2011 г.

Формальный подход

Добрый день!

Сегодня мы будем говорить об очень важной проблеме - подмене существа дела правдоподобным наукообразным текстом. Меня эта беда очень волнует, потому что формальный подход в образовании набирает силу, что не идёт на пользу школьникам (и тем, кто из них вырастает). Поэтому я прошу вас найти терпение на все три части.

Часть 1. Всё лучшее детям.

Давайте вспомним пару похожих задачек:
1) Одну обнаружил в своё время В. И. Арнольд в американском тесте: «гипотенуза прямоугольного треугольника - 10 дюймов, а опущенная на неё высота - 6 дюймов. Найти площадь треугольника».
2) Вторая до сих пор встречается в очень распространённом в России учебнике геометрии и предложена в прошлой заметке: «найдите радиус окружности, вписанной в треугольник с площадью 60 и периметром 24» (увы, в учебнике без оговорок указан ответ 5).

Как многие понимают, тонкость этих задачек состоит в том, что требуется найти несуществующую величину. В самом деле, не существует треугольников с таким соотношением площади и периметра (гипотенузы и высоты, опущенной на неё), поэтому и площадь не определена.

И тут выходит на сцену формальный подход: если в условии задачи противоречие, то любой ответ правильный. Поскольку в таком виде это звучит нечётко, то можно построить более аккуратное «доказательство»:
«Решением задачи вида "Пусть P. Доказать Q." является доказательство теоремы P -> Q. Решением задачи вида "Пусть P. Вычислить X." является доказательство теоремы "P -> X = F", где F - число. Если из P выводимо противоречие, то из него тривиально выводимо X = F, где F - любое число.» (почти точная цитата их комментариев к заметке о первой задачке).

Вроде бы всё гладко? Любое число (кстати, почему только число?) можно считать ответом к обеим этим задачкам, так как в них требуется найти свойство несуществующего объекта. Или вы видите ошибку в этом рассуждении? Или не видите её, но чувствуете, что она есть? В любом случае, разбор будет в третьей части этой заметки.

Часть 2. Как учить простому?

Можно учить детей числам, многократно считая с ними яблоки/морковки/игрушки. Это работает веками. Полагаю, все читающие эту заметку учились считать именно так. А можно, получив образование, узнав из лекций первого курса, например, про аксиомы Пеано, попробовать научить ребёнка сначала им («как можно учиться считать, не понимая, что такое натуральное число?»). Но что-то я не видел детей, усвоивших сначала эту аксиоматику, а потом научившихся уверенно считать...

Когда в школе рассказывают про понятие длины отрезка, то не делают естественных оговорок о том, что длина - это неотрицательное число, определённое для существующего отрезка, обладающее рядом свойств. Почему не делают? Потому что понятие длины достаточно интуитивно, а если произносить много (необязательных на данном этапе) слов, то можно отбить весь интерес к учёбе. Когда дети выберут, что хотят быть математиками, то будет возможно говорить с ними строгими математическими определениями (так как дети сами это выбрали). Но начинать с них - это почти невозможное дело.

Ещё раз, чтобы не путаться:
Нужен ли строгий подход в математике? Да, он необходим!
Возможно ли строго формулировать математические понятия людям без математической культуры (школьникам, постигающим азы)? Не знаю. Пока я не вижу такого пути. Разными людьми постоянно предпринимаются попытки давать вместо ясного, простого и обозримого определения какое-нибудь нагромождение слов, отбивающих охоту учиться. Я верю, что они хотят «как лучше», но пока не вижу добившихся успеха на этом пути. Предлагаю разбор примера с изучением квадратных уравнений (вторую половину текста).

Часть 3. Смысл в бессмысленности

Где же была ошибка в первой части?

Распространённое заблуждение состоит в том, что из ложного утверждения следует что угодно. Если опираться на это предположение, то легко доказать утверждение «площадь несуществующего треугольника равна 30». Но тонкость состоит в том, что из ложного следует только истинное или ложное. Если же человек постоянно сталкивается только с истинными или ложными высказываниями (как в задачнике по логике), то он забывает про остальные. А они есть.

Наборы букв делятся на имеющие и не имеющие смысл. И только осмысленные можно разделить на истинные и ложные. Не верите? Тогда предложите разумный способ определить, истинным или ложным является высказывание «гкостспушвд»? (это я кулаком по клавиатуре провёл)

(Небольшая оговорка: в разных классических книгах по логике используются слегка разные термины. Например, некоторые авторы делят все наборы букв на высказывания (то, что бывает истинным или ложным) и всё остальное. Мы же в данном тексте используем слово «высказывание» как синоним «утверждения» или даже «фразы»)

Другими словами, фраза «площадь несуществующего треугольника равна 30» не может являться истинной или ложной, так как это не утверждение, а набор букв. Конечно, речь о случае, когда мы используем естественное определение площади (т.е. предполагаем, что площадь определена только для существующих объектов). Поэтому данная фраза не следует из любого ложного утверждения, как казалось ранее.

То же самое со второй задачкой. Что значит фраза «5 является радиусом окружности, вписанной в несуществующий треугольник»? Как можно определить истинность или ложность этого набора букв? (не расширяя понятия длина и окружность, конечно) Что вообще такое «окружность, вписанная в несуществующий треугольник»?

Я уважаю людей, стремящихся к чёткости и ясности. Мне и самому хочется, чтобы как можно больше текстов допускали только один смысл. Но нельзя же погрязать в формальном исполнении правил (например, логического правила «из ложного следует что угодно», забывая, что это правило относится только к осмысленным фразам).

Мы же не хотим вырастить из школьников тупые винтики, которые выполняют любую глупость. Мало кому нужны подчинённые, которые, понимая, что делают неправильно, доведут дело до провала, а потом скажут: «Босс, я выполнял Ваше распоряжение с точностью до буквы». Боссы ведь тоже ошибаются. Поэтому надо уметь найти неточности в указаниях начальника (а начать можно хотя бы с проверки корректности своих ответов на математические задачки).

Что вырастает из детей, если их учить только формальному подходу? Два года назад мы рассматривали несколько примеров. Поэтому ещё раз прошу: не обманывайте детей. Хватит подсовывать школьникам формальные тексты вместо сути, не мешайте детям развиваться.

48 комментариев:

  1. Мне кажется, что фраза "площадь несуществующего треугольника" содержит два утверждения: "имеется несуществующий треугольник Х", "площадь треугольника Х равна 30".

    Цитата по случаю: "Драконов не существует. ... Имеется три типа драконов: нулевые, мнимые и отрицательные. Все они, как было сказано, не существуют, однако каждый тип - на свой особый манер". (С.Лем).

    ОтветитьУдалить
  2. Про Бурбаки жалко, что ничего не сказали. Несколько цитат оттуда:

    Николя́ Бурбаки́ (фр. Nicolas Bourbaki) — коллективный псевдоним группы французских математиков (позднее в нее вошли несколько иностранцев), созданной в 1935 году.
    Шарль Дени Бурбаки, французский генерал, фамилия которого была взята в качестве псевдонима

    Целью группы является написание серии книг, отражающих современное состояние математики. Книги Бурбаки написаны в строгой аксиоматической манере и имеют целью дать замкнутое изложение математики на основе теории множеств Цермело-Френкеля (в доработке Бернайса и Гёделя).

    ...Имея целью создать полностью самодостаточную интерпретацию математики, основанную на теории множеств...

    ...В трактате все математические теории описываются на основании аксиоматической теории множеств в духе крайней абстракции. Например, определение обыкновенного натурального числа 1 в «Теории множеств» даётся следующим образом:

    http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ru/c/cc/Bourbaki_term1.gif

    ...полная запись обыкновенной единицы состоит из десятков тысяч знаков!...Такой уровень абстракции (причём в трактате, не посвящённом исключительно математической логике), разумеется, не мог не вызвать нарекания.

    Представители современной математики часто критикуют подход, представленный в книгах Бурбаки, ныне называемый «бурбакизмом», обвиняя его в излишней заформализованности и «истреблении духа математики»...

    ОтветитьУдалить
  3. вообще-то те. Кто занимаеться образованием именно хотят. Государству нужны послушные винтики, которые будут в точности выполнять указания. Даже если и ошибочные.
    Или это был сарказм? :)

    ОтветитьУдалить
  4. У каждой задачи есть прагматическая сторона и математическая сторона. В процессе решения проблема формализуется, находится её решение (в виде математического доказательства) и переинтерпретируется опять в терминах исходных обстоятельств -- т.е. применяется к ситуации.

    Первая и последняя стадия не имеет отношения к математике: математики замкнута в среде формальных систем и никак не связана прямо ни с "реальными миром", ни с естественными языками: то, что математики используют фразы на естественных языках в трудах по математике, обусловлено отсутсвием адекватных инструментов по работе с формальными утверждениями и оказательствами, во-первых, и трудностью восприятия формальных доказательств человеком во-вторых.

    Фразы на естественном языке, которые неверно называются "доказатьствами", являются описанием формального доказательства с настолько отброшенными деталями, чтобы их полное восстановление не требовало никаких умственных усилий и занимало небольшое, ограниченное сверху время (однако математическая грамотность может потребоваться).

    Есть и ещё более высокоуровневый способ преподносить доказательства -- через описание _идеи_ доказательства, когда передаётся только та информация, которая может потребовать значительных _усилий_ или _времени_, а остальные шаги оставляются на усмотрение принимающей стороны.

    При преподавании математики перед преподавателем стоят две цели (помимо других): обьяснить, что такое математика, и научить её применять. Для первой цели необходимо понимание (формальных) доказательств, умение их записывать и умение находить наикратчайшее доказательство. Для второй цели необходимо умение формализовывать задачу, и умение интерпретировать полученные результаты наиболее эффективным образом.

    Таким образом, лучшим вариантом ответа с точки зрения эффективности преподавания будет и упоминание о несуществовании такой окружности, и обьяснение, что математически тут любой ответ верен.

    То, что вы называете математическое доказательство "правдоподобным наукообразным текстом" и вся часть 3 вашего поста, говорит о серьезный пробелах в вашем понимании того, что такое формальное математическое доказательство, что такое аксиоматический метод и для чего он нужен. Также очень показательно то, что вы путаетесь в словах естественного языка и не пытаетесь переходить к формальным утверждениям.

    Теперь по поводу "Я уверен, что у Вас есть веские возражения. Поэтому было бы очень интересно лучше понять позиции друг друга.".

    Я не стою ни на каких "позициях", у меня нет "мнений", я либо знаю, либо нет (хотя иногда ошибаюсь). Особенно удобно я себя чувствую при занятиях математикой -- миром, в котором господствует строгий аргумент и невозможность давления авторитетом. Если вы допускаете у себя позиции и мнения -- а вы допускаете, судя по вашим заявлениям, я не вижу резона продолжать разговор с вами, так как нет никакого способа вам что-то показать или заставить вас пойти и узнать правду, заполнив зияющие пробелы в ваших знаниях.

    Прощайте.

    ОтветитьУдалить
  5. Vag, я рад был с Вами пообщаться.

    Жаль, что Вы не нашли в себе времени или сил, чтобы указать на конкретную ошибку в моём тексте. Как и все нормальные люди я осознаю, что могу заблуждаться, поэтому искренне хочу разобраться.

    Если вдруг Вы не окончательно попрощались, а всё же читаете мой комментарий, то ответьте, пожалуйста, на один вопрос:
    Почему Вы настаиваете, что именно число является ответом на вопрос, какова площадь того треугольника? (т.е. почему бы, например, не доказывать, что любой ромб является площадью несуществующего треугольника?)

    ОтветитьУдалить
  6. Вместо множества неинтересных слов, отбивающих интерес к учебе можно изменять форму информации. Школьникам рассматриваемые примеры высказываний наверняка было бы довольно просто и интересно понимать и запоминать при разборе парадокса лжеца. Таким образом можно формировать комплекс знаний, укладывающийся в требования строгих формулировок.

    ОтветитьУдалить
  7. Мне кажется:
    1) Если экзамен не устный (лицом к лицу) то такие задачи - это убийство для экзаменуемого.
    2) Хороший учитель обязан иногда(!) давать такие задачи, чтобы заставить учеников думать.
    3) "Чему равна площадь несуществующего треугольника?" - вопрос выходящий за пределы математики (уж точно школьной).

    ОтветитьУдалить
  8. Трудно не согласитья с утверждением, что утверждение “площадь несуществующего треугольника равна 30” не имеет смысла. И дело здесь даже не в том, что говорить о “площади несуществующего треугольника” бессмысленно. Это утверждение содержит в себе, я бы сказал, более фундаментальный грех: говорить о “несуществующем треугольнике” уже бессмысленно. Как все хорошо знают, в геометрии Эвклида объект, называемый треугольником, может имеет всякие свойства как, скажем, свойство быть равнобедренным, прямоугольным, или иметь положительную площадь и т. д., вплоть до того, чтобы быть вырожденным с нулевой площадью. Но свойство быть “несущесвующим” не является одним из свойств, которыми треугольник наделен в геометрии Эвклида.

    Утверждение “в геометрии Эвклида нет прямоугольного треугольника, обладающего следующими свойствами: гипотенуза равна 10 дюймов, а опущенная на неё высота равна 6 дюймов” не только имеет смысл , но является также истинным утверждением. Тогда как утверждение “прямоугольный треугольник с гипотенузой в 10 дюймов и высотой, опущенной на гипотенузу, в 6 дюймов - это несуществующий треугольник” является полнейшим абсурдом, т. е. оно уже не имеет смысла, не говоря даже о какой бы то ни было площади.

    Илья поднимает серьезную и тонкую проблему здесь, но мне думается, что он также совершает, хотя и ненаказуемый, но тем не мене очень серьезный логический проступок.

    Но об этом в следующий раз: на работе хотя бы иногда надо делать работу, за которую работодатель платит, иначе и уволить могут.

    ОтветитьУдалить
  9. Илья Vagу: Я рад был с Вами пообщаться,
    Но зачем же так спешить-то попрощаться.
    Эмоциональный Vag не ответил,
    Можно сказать - сыграл вентиль.
    Видно, математику так легче защищаться.

    ОтветитьУдалить
  10. Анонимный05.03.2011, 9:50

    Зря Вы ругаете формальный подход. Как раз таки формальный подход призван вносить ясность и строгость в рассуждения. Другое дело как этим формальным подходом пользоваться - в полной мере или наплевательски.

    У каждой функции, помимо её например алгебраической записи, обязано быть описание области допустимых значений аргументов. Там где область допустимых значений аргументов не задана, функция не имеет никакого значения. Причем если мы занимаемся математическим описанием физической задачи (т.е. формализацией), то обязаны задать область допустимых значений исходя из физической природы аргументов тоже, не только математической.

    Например y=1/x. Область допустимых значений - любое x кроме 0. Но если мы собираемся ответить на вопрос, какова частота y колебаний волны длиной x, то ответ будет y=1/x, где x > 0, т.к. отрицательных длин волны не бывает.

    Аналогичные рассуждения и в задаче про радиус вписанного треугольника. Мало привести выражение для радиуса r=2s/p, надо еще указать на область допустимых значений для s, p, исходя из физического смысла задачи: s>0, p>0, s<=power(p, 2)*tg(pi/6)/12.

    Проблема не в том, что формальный подход применяется к физическим или жизненным задачам(это единственный способ решить задачу математическим аппаратом), а в том что он неправильно применяется, не до конца, не как положено.

    ОтветитьУдалить
  11. Уважаемый аноним,
    а разве я не за ясность и строгость в рассуждениях? Я именно за неё!
    И заметка эта о том, что если действовать формально (спустя рукова), не подключая голову, а бездумно применяя некоторые правила (забывая об остальных), то можно далеко уйти от разумных выводов и действий.

    >Мало привести выражение для радиуса r=2s/p, надо еще указать на область допустимых значений для s, p
    Это где такое требование написано? Необходимо указать, к чему относится эта формула (для каких объектов доказана). Данная формула, например, доказана для любых многоугольников, описанных около окружности. И сама эта формулировка уже очень ограничивает сферу применимости (в частности, из неё следуют Ваши неравенства для случая, когда многоугольник является треугольником).

    А если по каждому чиху выписывать все ограничения, то получим толстенные книги, которыми нельзя пользоваться. Приведу пример, чтобы далеко не ходить:

    Что такое периметр p треугольника со сторонами a, b и c? Обычно говорят, что p=a+b+c. Но, если следовать Вашему требованию на указание всех ограничений, то к этому простому определению надо ещё добавить, что данная формула верна при выполонении следующих трёх неравенств: a+b>=c, a+c>=b, b+c>=a. А теперь давайте дадим определение периметра четырёхугольника или пятиугольника. Понятно, что все эти естественные ограничения можно выписать в компактном виде для произвольных многоугольников. Но столь же понятно, что они автоматически следуют из определения фигур, для которых мы определяем периметр, поэтому каждый раз копипастить все ограничения неразумно.

    ОтветитьУдалить
  12. После внимательного ознакомления с интересным диалогом между Vagом и Ильей, у меня сложились следующие два впечатления; если они не соответсвуют действительности прошу меня извинить.

    Впечатление (1): Vag отождествляет логическое высказывание Из A следует B с другим логическим высказыванием Из A можно логическим путем вывести B. Если это моё впечатление верное, то Vag демонстрирует полное непонимание ветви математики, которая называется формальная логика. Отождествление вышеприведенных двух логических высказываний есть пожалуй самый большой грех, который можно совершить в формальной логике.

    В частности, Vag считает, что следующее логическое утверждение является истинным: Из ложного утверждения A можно логическим путем вывести любое утверждение B.

    Впечатление (2): Илья соглашается с Vagом, что логическое утверждение Из ложного утверждения A можно логическим путем вывести любое утверждение B является истинным, но только при условии, что B должно быть при этом ложным или истинным логическим утверждением, а не бессмысленной белибердой.

    Уверенность во Впечатлении (1) у меня довольно высокая, но не совсем уверен, что Впечатление (2) верное, поэтому прежде чем дальше распинаться, я хотел бы попросить уважаемых Vagа и Илью подтвердить мои впечатления или указать на их неправильность или неточность.

    ОтветитьУдалить
  13. Сначала о задаче.
    Я всё же склонен полагать, что проблема здесь не в формальном подходе, а в переходе от формулировки задачи на естественном языке к формальной постановке и обратно. Получается, что Vag, вероятно, прав в комментарии к этой заметке, но неправ в комментарии к старой. Если мы начали строить какое-то формальное решение, то вполне можно пользоваться конструкцией «X=30» как осмысленным высказыванием. Оспаривать этот вывод и его осмысленность не стоит.
    Вместо этого предлагаю внимательно посмотреть на предложенное определение решения (которого я, кстати, больше нигде не нашёл, да и вообще не представляю себе универсального определения решения для всех классов задач). В нём, во-первых, решением задачи «вычислить x» становится не число, а доказательство, во-вторых, перепутаны операции логического следствия и логического вывода, в-третьих, нет проверки на корректность исходных данных. В результате получаются совершенно удивительные и бессмысленные вещи: решением любых задач, у которых решения нет, (например, уравнения 1/x = 0 или несовместной системы уравнений) становится вообще всё что угодно применением тех же рассуждений, что и для рассматриваемой задачи.
    Строить логические цепочки, пользуясь некорректными определениями и философствовать на тему «что считать решением задачи, если её условия некорректны» мне не очень интересно, очевидный ответ «условия некорректны, задача отсутствует» считаю вполне достаточным.

    Теперь об обучении.
    Прежде всего, нужно понять две цели: 1) для чего объяснять школьникам математику и 2) для чего школьники будут изучать математику. Точных ответов не знаю, не факт, что они есть и всегда одинаковые, однако очень важно, чтобы школьники понимали, зачем им всё это надо, и как полученными знаниями пользоваться.

    Когда я учился в институте, у нас был предмет «уравнения математической физики». Занятия проходили следующим образом: лектор давал очередной тип уравнений, писал и доказывал алгоритм решения, несколько теорем о их свойствах; на практических занятиях он повторял алгоритм решения, решал одно-два уравнения из задачника, потом по очереди вызывал к доске несколько человек. За всё это время нам ни разу не сказали, что из себя представляют эти самые уравнения, где они применяются, в чём смысл коэффициентов и чем по сути отличаются разные типы. Нам дали всю формальную теорию, но практически никто не понял, что со всем этим делать. Те, кто зубрил, списывал или действовал строго по данному алгоритму, получали на экзамене хорошие отметки, остальные, даже если сами к концу года разобрались, обычно не могли уже наверстать ушедшие впустую лекции. Примерно тогда я, наконец, понял, что давать формальную теорию можно только после того, как станет понятна суть изучаемого предмета, на пальцах, в картинках, как угодно.

    ОтветитьУдалить
  14. На всякий случай приведу одну ссылку. Возможно, она будет полезна. http://zadolba.li/story/4455

    ОтветитьУдалить
  15. Не видел перед отправкой комментарий Артура Баранова, полностью с ним согласен, стоило у себя это подчеркнуть отдельно.

    ОтветитьУдалить
  16. Если на всё смотреть в широком контексте реальной жизни, не сужая свой взгляд, то практически любую вещь, или высказывание, можно не только рассматривать с разных точек зрения, но даже, я бы сказал, такое отношение к вещам является весьма здоровым и часто может привести к совершенно неожиданным и парадоксальным выводам. Чтобы не быть голословным, я хотел бы проиллюстрировать это пространное заявление на конкретном примере задачки с треугольником из американского учебника, которую якобы Арнольд обнаружил, а не выдумал сам из головы.

    У меня нет никаких особых оснований не доверять лично Арнольду, кроме как отметить, что люди часто выдумывают разные вещи и выдают это за действительное по разным причинам - иногда с совершенно безвредной и благонамеренной целью развлечь людей, а иногда с определённой идеологической или пропагандистской целью. Вот конкретный пример. Интервью с Владимиром Познером в передаче Два Против Одного:

    http://www.youtube.com/watch?v=ovy7J1Fpeng

    Не берусь судить с какой целью, но обе стороны намеренно искажают действительность: Женский голос правильно читает английский текст, где черным по белому написано, что счет выставят, но в Америке неспособность оплатить выставленный медицинский счет пациентом не является поводом для законного преследования пациента в судебном порядке.

    Теперь обратно к 'американской' задачке. Можно поспорить с Ильёй, и весьма обоснованно, что именно он увлекается формальным подходом, и что всё-таки правильным ответом в этой задаче является 30. Вместе с тем я считаю, что Vag дает совершенно нелепое обоснование правильности этого ответа. Всё это звучит весьма парадоксально и, пожалуй, вызывающе и претенциозно. Но позвольте мне объясниться, прежде чем судить меня чересчурь строго.

    Если в Америке правильным ответом на поставленную проблему считался 30, то это четко говорит о том, что ни создатель этой задачи, ни учителя не только не заметили промашку в её постановке, но очевидно не имели ввиду проверить способность учеников ловить такого рода несуразицы. Их цель, очевидно, заключалась в проверке знания формулы для площади треугольника и умения проделать несколько арифметических операций, для того чтобы получить в результате значение площади в 30 квадратных дюймов. Все - ни больше, ни меньше.

    Илья, конечно, может кричать, ломая руки: Но это же не правильно, и вы прекрасно знаете, что это не правильно. На что мы можем спокойно ответить: Илья, не будь формалистом, не замыкайся в математическую оболочку - там очень тесно и неинтересно - смотри на вещи шире как в лире.

    Вот другая иллюстрация к тому общему заявлению, с которого я начал эту заметку. Около входа в мужской туалет с табличкой на двери Не работает стоит мужик с озабоченным выражением на лице и спрашивает вас, с отчаянием показывая на злосчастную табличку: Вы не подскажете где ближайший туалет в рабочем состоянии? Что является правильным ответом в подобной ситуации, с её очевидным подтекстом? Формальный и математический точный ответ: Ближайший туалет в рабочем состоянии - это соседний с этим женский туалет, или же ответ, которого от вас ожидают услышать с определенной надеждой и недвусмысленной целью: Есть другой мужской туалет этажом ниже.

    ОтветитьУдалить
  17. Arthur Baraov, для начало нужно попросить спрашивающего определить метрику и пространство, в котором он хочет найти минимум расстояния. :-) Заодно, можно обсудить новости построения супер-струнной теории и экспериментов на БАКе...А там глядишь, и никому ответ на этот вопрос не нужен будет. :-)

    ОтветитьУдалить
  18. evle,

    Весьма рад, что наши мнения совпали, ибо, согласно новаторской интерпретации теории вероятности как расширения формальной логики, зачинателем которой был Американский физик Edwin Jaynes, этот факт увеличивает вероятность истинности логического утверждения, что мое понимание обсуждаемого вопроса имеет определённый вес. Было бы ещё лучше, если бы наши единомышленники были внимательны до такой степени, чтобы не искажать наше имя, поскольку тогда вероятность, о которой я говорю, пошла бы ещё выше.

    ОтветитьУдалить
  19. для начало нужно попросить спрашивающего определить метрику и пространство, в котором он хочет найти минимум расстояния. :-) - alexsmail

    Спасибо, alexsmail. Лично я склонен доверять людям с хорошим и добрым чувством юмора, но боюсь, что мужик с вопросом около закрытого на ремонт туалета, которого я описал выше, по понятным и, согласитесь, уважительным причинам не сумел бы оценить по достоинству эту великолепную шутку :-)

    ОтветитьУдалить
  20. Arthur Baraov
    Ой! Мозг зачем-то сам вставил несуществующую букву.

    ОтветитьУдалить
  21. Arthur Baraov , в этой заметке я хотел только сформулировать, что не любая фраза следует из ложного высказывания.

    evle, спасибо за такое ясное и чёткое изложение! Вы своим комментарием опередили новую заметку о тонкостях перевода. Уверен, Вам есть что добавить в комментариях к ней.

    А с урматами у меня похоже было :(
    Поэтому подписываюсь под «давать формальную теорию можно только после того, как станет понятна суть изучаемого предмета».

    ОтветитьУдалить
  22. Распространённое заблуждение состоит в том, что из ложного утверждения следует что угодно.
    Это не заблуждение, а нормальное правило вывода в логике. Из него не следует ерунды, о которой вы говорите. И это не удивительно. Столько людей его применяют, и если вы найдёте какие-то реальные проблемы, это будет открытием. Типа парадокса Рассела. ;)

    Вы спутали «решение задачи» и «доказательство теоремы». Теорема лишь утверждает, что некоторое решение задачи является правильным. Возьмём для примера задачу «найдите радиус окружности, вписанной в треугольник с площадью 60 и периметром 24». Допустим некто думает, что нашёл решение 12. Тогда гипотеза может выглядеть так:

    ∃о:окружность. радиус_окружности(о,12)∧ ∃т:треугольник. окружность_вписана_в_треугольник(о,т)∧площадь_треугольника(т,60)∧периметр_треугольника(т,24)

    Как видите, в гипотезе нет импликации, поэтому применить «из абсурда следует что угодно» нельзя. Абсурдное утверждение «∃т:треугольник. площадь_треугольника(т,60)∧периметр_треугольника(т,24)» входит в гипотезу как один из аргументов конъюнкции. Это означает лишь то, что , чтобы доказать теорему, раньше придётся доказать абсурдное утверждение.

    ОтветитьУдалить
  23. Поэтому подписываюсь под «давать формальную теорию можно только после того, как станет понятна суть изучаемого предмета».
    Это убеждение сильно повредило мне в прошлом. Я ждал, когда же придёт понимание сути предмета, а время-то шло. Оказалось, что понимание приходит с опытом. Чтобы понять, надо поработать с понятием, для чего надо знать формальное определение. Вместе с упомянутым убеждением это даёт порочный круг. К сожалению, я поздно начал мыслить самостоятельно и поздно избавился от этого порочного убеждения.

    ОтветитьУдалить
  24. В гипотезе нет импликации, но решение задачи есть доказательство теоремы, которая представляет собой импликацию: "∃т:треугольник. площадь_треугольника(т,60)∧периметр_треугольника(т,24) -> радиус_вписанной(т,30)", а эту теорему уже можно доказать с использованием выведения любого утверждения из абсурда. Я исходил именно из этой формализации http://my-tribune.blogspot.com/2008/02/blog-post_21.html?showComment=1298931928030#c2803905778457386313

    ОтветитьУдалить
  25. > Это убеждение сильно повредило мне в прошлом
    Мне также. Выработка автоматизмов без понимания здорово подрывает возможность научения и приобретения понимания в будущем. Выработка ложных расплывчатых интуиций, которые не нанизываются на стержень формального изложения, здорово уродует учащегося математике и портит его ум.

    ОтветитьУдалить
  26. @beroal: Анализируя свой субоптимальный путь, я придумал начальную программу введения в математику http://vagston.blogspot.com/2008/11/introductory-course-to-applied-math-no.html

    ОтветитьУдалить
  27. И.В.>> Распространённое заблуждение состоит в том, что из ложного утверждения следует что угодно.
    beroal > Это не заблуждение, а нормальное правило вывода в логике.
    Далее в заметке поясняется, что если "что угодно" является осмысленным высказыванием, то это утверждение верно.

    beroal > Как видите, в гипотезе нет импликации, поэтому применить «из абсурда следует что угодно» нельзя.
    Об этом как раз следующая заметка: важно иметь одинаковые договорённости о том, как понимать предложенный текст условия. Его можно трактовать разными способами. И перед обсуждением, что является правильным, надо договориться, как именно мы понимаем задачу.

    > Выработка автоматизмов без понимания здорово подрывает возможность научения и приобретения понимания в будущем.
    Есть взгляд, что выработка автоматизмов без понимания - это и есть чрезмерная формализация (не понимаем, что делаем, но делаем по жёстким формальным правилам).

    Повторю пример: можно ли объяснить ребёнку, что такое число (например, через систему аксиом), не научив его считать? Если знаете способ сделать это, то поделитесь, пожалуйста.

    К чему этот пример? К тому, что иногда для понимания сути вопроса надо этот вопрос порешать какое-то время без чётких определений (потому что их пока не понять). Впрочем, я согласен, что есть много случаев (мне такое попадалось много раз в программировании), когда люди умеют что-то делать, но не знают теории. И это в самом деле очень мешает дальнейшему обучению такого человека. Вы верно подметили, что это уродует учащегося и портит его ум.

    ОтветитьУдалить
  28. > Чтобы понять, надо поработать с понятием, для чего надо знать формальное определение.

    @beroal: Кстати о формальном изложении. Посмотрел я на ваши теории на вашем сайте. Почему вы не используете Цезаря? Это же издевательство над читателем. Вот, посмотрите, например: http://vag.biz.nf/theories/toc.html

    ОтветитьУдалить
  29. В гипотезе нет импликации, но решение задачи есть доказательство теоремы, которая представляет собой импликацию… Я исходил именно из этой формализации
    А. Я как-то сразу решил по умолчанию, что эта формализация бредовая и никому в голову не придёт. :)

    ОтветитьУдалить
  30. Vag, оффтопичные вопросы задавайте в моём блоге. Илье Весеннему они точно не нужны. Live Journal поддерживает OpenID.

    ОтветитьУдалить
  31. beroal > Это не заблуждение, а нормальное правило вывода в логике.
    Далее в заметке поясняется, что если "что угодно" является осмысленным высказыванием, то это утверждение верно.

    Не вижу необходимости вводить «осмысленность». В языке математической логики иногда отличают синтаксически некорректные логические формулы. Ах да, в теории типов терм может не пройти проверку типа. Но возиться со «смыслом», что бы это ни было, нет нужды. Путает.

    ОтветитьУдалить
  32. > А. Я как-то сразу решил по умолчанию, что эта формализация бредовая и никому в голову не придёт.

    Ну, здрасте. А откуда вы гипотезу тогда взяли? Это же и есть антецедент импликации теоремы.

    ОтветитьУдалить
  33. Повторю пример: можно ли объяснить ребёнку, что такое число (например, через систему аксиом), не научив его считать? Если знаете способ сделать это, то поделитесь, пожалуйста.
    Вы сводите математику к обучению ребёнка считать. Так давно уже учат считать на палочках, и никто не требует заменять это аксиомами Пеано. Но вы слишком обобщили один этот эмпирический факт. Встречный вопрос. Как научить юношу теории групп? Группа — это лишь то, что записано в её аксиомах. Как объяснить, что элементы носителя группы не есть конкретный математический объект, не состоят из «палочек» или что там ещё?

    ОтветитьУдалить
  34. > А. Я как-то сразу решил по умолчанию, что эта формализация бредовая и никому в голову не придёт.
    Ну, здрасте. А откуда вы гипотезу тогда взяли? Это же и есть антецедент импликации теоремы.

    Гипотезу я выдумал сам. Я думаю, так правильно формализовать геометрические задачи. Ну, я бы так сделал.

    ОтветитьУдалить
  35. > Гипотезу я выдумал сам.

    То есть, вы рассматриваете только доказательство, абстрактно, без его места в теории. Ок, в таком случае точно так же из противоречия в гипотезе выводимо любое заключение, т.е. любой ответ формально верен. _|_ |- P.

    ОтветитьУдалить
  36. @beroal: Анализируя свой субоптимальный путь, я придумал начальную программу введения в математику
    Я вообще-то к программам отношусь настороженно. :) Составление программ подменяет более конкретные действия.

    Что такое программа? Это сборник уже известных материалов, в новой комбинации. Я там увидел незнакомые мне пункты, например, «Notion of encoding». Если это что-то новое, вы должны написать этот раздел сами. Я бы поставил «Art of proof» сразу после изучения языка математической логики, так как, чтобы писать и проверять формальные доказательства, не нужно знать model theory и прочая, даже таблицы истинности не нужны! Тогда можно изучать формальную логику в ещё более молодом возрасте.

    ОтветитьУдалить
  37. > Гипотезу я выдумал сам.

    То есть, вы рассматриваете только доказательство, абстрактно, без его места в теории. Ок, в таком случае точно так же из противоречия в гипотезе выводимо любое заключение, т.е. любой ответ формально верен.

    Нет. Ответ не есть что-то, что нужно вывести из гипотезы. Ответ — это число «12» внутри гипотезы. Решить задачу — найти число, подставить его в мою гипотезу вместо «12» и доказать новую гипотезу. Гипотезу доказать. Блин, неужели это так трудно понять.

    ОтветитьУдалить
  38. Vag, я вижу, вы в online, но ссылка ICQ в вашем форме blogger.com не работает (Firefox предлагает мне загрузить файл cmd.php), и я не вижу другого способа с вами связаться. Я не прочь обсудить, но не хочу сорить в чужом блоге.

    ОтветитьУдалить
  39. > Если это что-то новое
    Это дико старое и элементарное: это отношение между картой и территорией. http://yudkowsky.net/rational/the-simple-truth

    > , так как, чтобы писать и проверять формальные доказательства, не нужно знать model theory и прочая, даже таблицы истинности не нужны!

    Да, вы правы. Я передвинул "Art of Proof" на последнее место после всего, кроме Model Theory, Proof Theory и метарассуждений.

    Все эти пункты -- это, в общем, и есть обьяснение того, что такое математическая логика, с чем она связана и как ее использовать.

    ОтветитьУдалить
  40. > Не вижу необходимости вводить «осмысленность».
    Она нужна хотя бы на этапе перевода с человеческого на математический язык. Как доказать утверждение "лдорываплдорипмлдио"? А никак! Оно не имеет смысла и не может быть переведено в термины логики.

    > Так давно уже учат считать на палочках, и никто не требует заменять это аксиомами Пеано.
    Вот именно! Иногда надо сначала пощупать объект, а потом уже лучше понять, что это такое.

    > Встречный вопрос. Как научить юношу теории групп?
    Сначала мы рассматриваем простейшие группы (из одного, из двух элементов), мусолим всячески аксиомы, смотрим на то, как можно поменять операцию, чтобы получить другую группу из данной и т.д. Надо силами ученика построить "почти группы" (для которых ровно одна аксиома не выполняется), чтобы ещё лучше начать в них ориентироваться. Постепенно юноша начинает чувствовать аксиомы, поэтому ему можно давать формулировки простейших теорем и предлагать их доказывать самостоятельно, можно рассматривать примеры более сложных групп. Как-то так.

    ОтветитьУдалить
  41. > Не вижу необходимости вводить «осмысленность».
    Она нужна хотя бы на этапе перевода с человеческого на математический язык. Как доказать утверждение "лдорываплдорипмлдио"? А никак! Оно не имеет смысла

    Я бы всё-таки сказал, что оно синтаксически некорректно.

    > Встречный вопрос. Как научить юношу теории групп?
    Сначала мы рассматриваем

    Отлично. У меня нет возражений. Добавьте ещё примеров более практических, ну там числа, число-значные функции, многочлены. Так и я бы хотел учиться. ;)

    ОтветитьУдалить
  42. > Гипотезу доказать. Блин, неужели это так трудно понять.

    Отчего же. Понять легко.

    > Ответ не есть что-то, что нужно вывести из гипотезы. Ответ — это число «12» внутри гипотезы.

    Неправильна ваша формализация. Потому что она соответствует задаче «Доказать, что существует треугольник с площадью 60, периметром 24 и найти радиус вписанной в него окружности».

    А задача звучала так: «Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник с площадью 60 и периметром 24».

    ОтветитьУдалить
  43. Неправильна ваша формализация. Потому что она соответствует задаче «Доказать, что существует треугольник с площадью 60, периметром 24 и найти радиус вписанной в него окружности».

    А задача звучала так: «Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник с площадью 60 и периметром 24».


    Ну хорошо, можно так:

    ∃т:треугольник. 12=радиус_окружности(окружность_вписанная_в_треугольник(т)) ∧ площадь_треугольника(т,60) ∧ периметр_треугольника(т,24)

    По сути то же самое, я заменил некоторые отношения на функции. Всё равно ерунды типа «любое решение верно», не получится.

    ОтветитьУдалить
  44. > Ну хорошо, можно так

    Это опять задача "Доказать, что существует треугольник с радиусом вписанной 12, площадью 60 и периметром 24".

    Это совсем не то же самое, что "Дан треугольник с площадью 60 и периметром 24. Найти радиус вписанной окружности."

    Та же ошибка.

    ОтветитьУдалить
  45. Слова «дан» в задаче нет, перечитайте пост. ;) Поэтому переменную, обозначающую треугольник, одинаково приемлемо связывать с помощью ∀ и ∃, хотя о варианте с ∀ я сразу не подумал. Выбор зависит от того, кто как понимает естественный язык, а это субъективно. Поэтому я не вижу смысла обсуждать, является ли мой вариант ошибочным или правильным. Для меня он правильный. :)

    ОтветитьУдалить
  46. Анонимный09.03.2011, 8:18

    [quote] И заметка эта о том, что если действовать формально (спустя рукова), не подключая голову, а бездумно применяя некоторые правила (забывая об остальных), то можно далеко уйти от разумных выводов и действий.
    [quote/]

    У нас видимо разные понятия термина "формально". Определение.

    Опр 1. Формализация - процесс перевода задачи в термины математики.
    Этот самый процесс составляет большое искусство и при переводе важно учесть все мелочи. Искусство прикладного математика здесь как раз проявляется в учете этих мелочей и недопущении таких ситуаций,
    чтобы в конце концов возможно было получить отрицательные частоты или треугольники с невообразимым соотношением площади и периметра.
    Наш лектор по прикладной математике на первой же лекции объяснил нам сначала следующее: Если Вы правильно формализовали задачу, то Вы её сможете решить. Достаточно всего лишь применить матаппарат к исходным данным.
    А затем он дал нам более сильное утверждение: Если Вы правильно формализовали задачу, то Вы её уже решили. Т.е. всё остальное тривиально.


    [quote]
    Мало привести выражение для радиуса r=2s/p, надо еще указать на область допустимых значений для s, p
    Это где такое требование написано?
    [quote/]
    На той же лекции.

    ОтветитьУдалить
  47. Анонимный09.03.2011, 10:02

    ЗЫ
    Если я Вас Илья правильно понял, Вы настаиваете на том, что (по крайней мере во время преподавания математики) необходимо всеми силами стремиться возвести решение каждой задачи в ранг произведения искусства.

    В качестве контрпримера - да, поучительно, но не надо вырабатывать такие инстинкты.
    Я же считаю, что надо учить слушателей правильно выполнять формализацию, а всё остальное можно поручить роботу (компьютеру, студенту, технику, обезьяне в конце концов, нужное подчеркнуть). Насчет тех же треугольничков со вписанной окружностью. Научите детей, как сказать "треугольник" в терминах r, p, s и тогда они не допустят таких проколов.

    ОтветитьУдалить
  48. > Слова «дан» в задаче нет, перечитайте пост.

    Я знаю, я специально его туда добавил.

    Итак, мы свели предмет разногласий к вопросу, какая интерпретация «Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник с площадью 60 и периметром 24» точнее: «Дан треугольник с площадью 60 и периметром 24. Найти радиус вписанной окружности» или «Доказать существование треугольника с площадью 60 и периметром 24 и найти радиус вписанной окружности».

    Я понимаю вашу точку, но не вижу достаточно аргументов для заключения равноправности интерпретаций.

    ОтветитьУдалить

Понравилась заметка? Подпишитесь на RSS-feed или email-рассылку.

Хотите поделиться ссылкой с другими? Добавьте в закладки:



Есть вопросы или предложения? Пишите письма на адрес mytribune АТ yandex.ru.

С уважением,
      Илья Весенний