13 мар. 2011 г.

Три задачки II

Добрый день!

Сегодня в нашей традиционной рубрике «Три чего-нибудь» мы решим три разнородные задачки: о вероятностях, разрезаниях и взвешиваниях.

Задачка 1 (она уже обошла весь интернет, поэтому источник я не знаю). Поздравляю, вас зовут Эрнест Джозеф Кинг, и вы командуете флотом США во время Второй Мировой войны!

Сегодня от вас требуется принять решение: построить один большой корабль-авианосец, или два малых. Стоимость большого авианосца - включая абсолютно все затраты - ровно такая же, как двух малых. Авианосцы вам нужны, чтобы выполнить некое секретное задание. Авианосец либо выполняет это задание, либо его уничтожает враг. При этом у большого авианосца вероятность выполнить задание успешно в два раза больше, чем у малого. Малые авианосцы работают независимо друг от друга: если один из них уничтожен, второй все еще может выполнить задание, и риск одного из них не зависит от риска второго.

Что вы выберете - построить один большой, или два малых?


Задачка 2. Разрежьте по линиям на две равные фигуры (т.е., совпадающие при наложении).

Эту задачку при мне как минимум один раз сочинили лет 10 назад, но куда раньше она была опубликована Мартином Гарднером. Впрочем, старинные задачки имеют особую ценность :)

Задачка 3. Было 8 грузиков массами 1, 2, ..., 8 грамм. Один из них потерялся, а остальные выложили в ряд по возрастанию массы. Есть весы с лампочкой, при помощи которых можно проверить, имеют ли две группы грузиков одинаковую массу. Как за 3 проверки определить, какой именно грузик потерялся?

Эта задача была на XXXIII турнире Ломоносова (кстати, любителям этого дела рекомендую и остальные формулировки по ссылке), а её автор - А. В. Шаповалов.

(последние две задачки подсмотрел в ЖЖ Константина Кнопа)

Кстати, год назад уже была заметка «Три задачки», в которой подняты темы логики, физики и пристального взгляда.

Хорошего завершения выходных!

81 комментарий:

  1. Анонимный13.03.2011, 10:54

    1. Выбераю 2 авианосца, т.к. шанс на выживание больше :)

    ОтветитьУдалить
  2. А как здесь картинку в комментарий вставить?
    Я тут фигуру разрезал... ;-)

    ОтветитьУдалить
  3. И да, авианосец должен быть большим.
    Шансы его выше, исходя из условия, что малые авианосцы независимы.
    Больше вероятность, что мелкие перебьют по очереди, а большой выживет.

    ОтветитьУдалить
  4. entropy-inc, прелесть задачек на разрезание в том, что решивший точно знает, что он правильно решил, так как легко может это проверить. Поэтому достаточно всего лишь заявить об этом факте :)

    ОтветитьУдалить
  5. Пусть вероятность выполнения задачи маленьким авианосцем будет р. Тогда вероятность выполнения задачи большим - 2р.
    1. Посчитаем вероятность выполнения задачи большим авианосцем. Вероятность большего авианосца не быть уничтоженным 1/2. Тогда вероятность успешного выполнения задания 2р*1/2=р.
    2. С двумя маленькими авианосцами с равной вероятностью 1/4 могут случиться следующие события:
    a. Будет уничтожен первый авианосец;
    b. Будет уничтожен второй авианосец;
    c. Будут уничтожены оба авианосца;
    d. Ни один не будет уничтожен.
    3. Очевидно, что вероятность успешного выполнения задания при постройке двух авианосцев будет равна сумме вероятностей успешного выполнения задания по каждому из подпунктов п.2.
    4. Считаем. По п.п.2.а,b вероятность успешного исхода р/4. По п.2.с – 0.
    5. Чуть сложнее посчитать вероятность выполнения задания по п.2.d. 1/4*(р^2+p(1-p)+(1-p)p). В скобках, последовательно, записаны ситуации, при которых
    a. задание выполнили оба авианосца;
    b. первый выполнил, второй нет;
    c. второй выполнил, первый нет.
    6. Вероятность успешного выполнения задания по п.2.d 1/4*(2p-p^2).
    7. Вероятность успешного выполнения задания двумя авианосцами: 1/4*p+1/4*p+1/4*(2p-p^2)=p-(р^2)/4.
    8. Сравниваем п.1 и п.7 – выгоднее строить большой авианосец на (р^2)/4.

    ОтветитьУдалить
  6. Поскольку вероятность - положительное число от нуля до единицы, и умножать вероятность гибели на два некорректно, то разворачиваем задачу.
    Пусть вероятность выполнить задание для большого авианостца = х, значит для маленького = х/2, значит для двух маленьких = 1-(1-х/2)*(1-х/2) = 1-(1-x+х*х/4) = x-x*х/4.

    Получается, большой выгоднее.

    ОтветитьУдалить
  7. Привычка проверять крайние значения подсказывает, что есть один вариант когда нам всё равно, что выбирать.
    Когда вероятность выполнить задание =0.В остальном согласен с предыдущим оратором.

    ОтветитьУдалить
  8. Нужно строить два маленьких.
    Обоснование следующее: вышеприведенные рассуждения сложно пытались расчитать вероятность удачи. А нужно считать вероятность неудачи. Т.е. для двух маленьких кораблей того, что одновременно потерпят неудчау и один, и второй. Т.е. произведению вероятностей их неудач.
    Если посчитать, то вероятность неудачи двух кораблей будет МЕНЬШЕ, чем вероятность неудачи одного корабля.

    ОтветитьУдалить
  9. Андрей Чижов13.03.2011, 13:05

    3 задача:
    Поименуем буквами оставшиеся грузы с самого лёгкого по самый тяжёлый: a b c d e f g
    Первое взвешивание: b + d = f
    Второе: a + g = c + e
    Третье: a + d + e = c + g
    Если вес равный пишем 1, иначе 0.
    Определение веса потерянного груза по записанному результату:
    000: 6
    001: 2
    010: 1
    011: 5
    100: 7
    101: 3
    110: 4
    111: 8

    ОтветитьУдалить
  10. Карташов Александр, вот вам простейший пример:

    вероятность для большого- 100%, значит для маленького- 50%.
    большой выполнит задачу всегда, маленькие- в 75% случаев.

    Возможно это просто невнимательность к условию.Люди просто не замечают того, что вероятность у маленьких в два раза меньше

    ОтветитьУдалить
  11. Yras76, отличная привычка.
    Вы правы, хоть в жизни нулевая вероятность практически не встречается, применять эту эвристику в математических задачах недопустимо.

    ОтветитьУдалить
  12. А по-моему все равно, какой авианосец строить. Вероятность одинакова будет.

    ОтветитьУдалить
  13. Т.к. с математикой и теорией вероятностей уже лет 15 дела не имел, но сдается мне, что при вероятности успеха 100% для большого указанная задача не имеет смысла.
    А для вероятности хотя бы 99%, полагаю, мои рассуждения верны.

    ОтветитьУдалить
  14. Да, и если считать вероятность неудачи, то для большого авианосца она равна 1-2p, тогда как для двух маленьких это (1-p)(1-p)=1-2p+p^2, что больше 1-2p.

    ОтветитьУдалить
  15. Ой, действительно. Стоило мне не только в уме прикинуть, но и бумажку в руки взять. Приношу свои извинения за ошибку и введение в заблуждение :(

    ОтветитьУдалить
  16. (A) Прежде всего важно четко понять в чём заключается задача: требуется принять самое разумное решение из двух возможных вариантов в условиях неполной информации - либо построить один большой, либо два маленьких авианосца. Отсюда ясно, что ответы типа: Когда вероятность выполнить задание для большого авианосца = 0 - нам всё равно какое решение принять, а когда вероятность выполнить задание для большого авианосца = 1 - надо строить большой авианосец не имеют абсолютно никакой ценности, и конечно же не являются решением задачи. Нам эта вероятность не задана, тем не менее мы должны принять конкретное и недвусмысленное решение из двух, и только двух, возможных вариантов, и обосновать почему выбранный вариант мы считаем наиболее разумным.

    (B) Я утверждаю, что разумнее строить два маленьких авианосца, и попробую это обосновать. Обозначим количество боеголовок, т. е. количество попыток или выстрелов, которое есть у противника для уничтожения нашего авианосца (или авианосцев), через n. Разумно считать что это количество, другими словами боеспособность нашего противника, не зависит от того, что мы решили построить - один или два авианосца. Конечно мы не знаем количественное значение n, но я утверждаю, что решение построить два маленьких авианосца является более разумным при любом конкретном значении n.

    Для простоты и ясности рассмотрим отдельно следующие частные случаи: n=1, n=2; а затем общий случай n>=2.

    (1) Случай n = 1 является тривиальным - два маленьких авианосца гарантируют исполнение задания.

    (2) Случай n = 2. Обозначим вероятность для большого авианосца уцелеть после одной попытки противника уничтожить его через p: 0 <= p <= 1, а соответствующую вероятность для маленького авианосца - через q. По условию задачи: p^2 = 2q^2 (^ - означает возведение в степень). Важно отметить, что это условие накладывает ограничение на диапазон возможных значений q: 0 <= q <= 1/√2.

    Уцелеть большому авианосцу после двух попыток его уничтожения противником - равносильно выполнению задания. Аналогично, уцелеть хотя бы одному из двух маленьких авианосцев после двух попыток их уничтожения - тоже равносильно выполнению задания. Следовательно, большой авианосец может выполнить задание с вероятностью P = p^2, а два маленьких - с вероятностью Q = q^2 + 2(1-q)q. Сравнивая теперь P и Q, мы обнаруживаем, что иногда P > Q, иногда P < Q, а иногда P = Q - всё зависит от конкретного значения p.

    Какое же решение разумнее принять, когда мы не знаем о p ничего кроме того, что 0 <= p <= 1? Здравый смысл подсказывает, что разумнее принять такое решение, которое даёт большую вероятность выполнения задания для как можно большого набора значений p. А таким решением является именно вариант с двумя маленькими авианосцами, потому что оно даёт большую вероятность выполнения задания для подавляющего большинства значений p: 0 < p < 2√2/3.

    (3) Общий случай n >= 2. По условию задачи: p^n = 2q^n. Теперь формулы для P и Q принимают вид: P = p^n; Q = q^n + n(1-q)q^(n-1). После простых алгебраических операций приходим к выводу: решение построить два маленьких авианосца разумнее, потому что оно даёт большую вероятность выполнения задания для подавляющего большинства значений p: 0 < p < n 2^(1/n) / (n+1)

    ОтветитьУдалить
  17. Анонимный14.03.2011, 9:13

    Если взять вероятность выполнения задания большим авианосцем за р, то один малый авианосец выполнит задание с вероятностью р/2 , значит один(люой) из малых авианосцев выполнит задание с вероятностью р/2+р/2=р. Означает, что строить безразлично малые или большой, НО два малых могут выполнить задание одновременно, тогда к этой вероятность необходимо добавить (р/2)*(р/2). Выходит что два малых авианосца гарантированно с большей вероятностью выполнят задание.
    Андрей

    ОтветитьУдалить
  18. После дальнейшего размышления, мне думается, что, вообще говоря, разумнее было бы посмотреть на значение следующего интеграла:

    ∫[Q(p) - P(p)]dp, где интеграл берётся от 0 до 1, и убедиться, что он положителен при любом значение n.

    Оказывается, так оно и есть, поэтому наш первоначальный вывод не отвергается, а напротив, тем самым усиливается:

    ∫[Q(p) - P(p)]dp = [2^(1/n) - 1]/2 > 0 для всех n >= 2

    ОтветитьУдалить
  19. Анонимный Андрей,простите за прямоту, но плохо у Вас с тервером,так вероятности не складываются.
    Делать сейчас нечего, поэтому распишу детально.
    Большой корабль:
    р(успех)=р
    р(провал)=1-р
    Маленькие:
    р(успех1 и успех2)=(р/2)*(р/2)
    р(успех1 и провал2)=(р/2)*(1-р/2)
    р(провал1 и успех2)=(1-р/2)*(р/2)
    р(провал1 и провал2)=(1-р/2)*(1-р/2)
    р(успех хотя бы одного)=1-р(провал1 и провал2)=р-р*р/4
    Очевидно что при р>0 выгоднее большой.

    ОтветитьУдалить
  20. Артур,а какое отношение ваш комментарий имеет к начальной задаче? Где в ней указано про попытки врага уничтожить корабли? Написано ясно и конкретно
    1)Авианосец либо выполняет это задание, либо его уничтожает враг.
    2)у большого авианосца вероятность выполнить задание успешно в два раза больше, чем у малого.

    Если хотите рассмотреть похожую задачу, но с какими-то другими ограничениями, то полностью опишите постановку условий.
    Например:
    Можно построить или один большой корабль или 2 маленьких.Вероятность выполнить задачу у большого корабля больше,чем у маленького в два раза.Вероятность погибнуть после неуспешной попытки тоже в два раза больше у большого корабля.Живой корабль может зайти на следующую попытку с теми же условиями.
    Вот это чем-то похоже на то, что Вы пытаетесь решить.

    ОтветитьУдалить
  21. Анонимный14.03.2011, 18:22

    Построить один маленький, а оставшиеся деньги распилить.

    ОтветитьУдалить
  22. Артур,а какое отношение ваш комментарий имеет к начальной задаче? Где в ней указано про попытки врага уничтожить корабли? Написано ясно и конкретно
    1)Авианосец либо выполняет это задание, либо его уничтожает враг.
    2)у большого авианосца вероятность выполнить задание успешно в два раза больше, чем у малого.
    - Yras76

    Yras76, это очень хороший вопрос. Эта задача, в определённом смысле, напоминает известный парадокс Бертрана с распределением хорд окружности.

    Прежде всего, согласитесь, что вряд ли враг сможет уничтожить авианосец(цы), если он не будет пытаться его (их) уничтожить :-). А называется такое действие попытка, потому что по условию задачи мы знаем, что успех врага совсем не гарантирован.

    Теперь очень важно отметить, что в вашем анализе, заметили ли вы или нет, вы делаете скрытое предположение, которое совсем не гарантировано в условиях задачи. Неявное допущение заключается в уверенности, что у врага есть больше, чем одна попытка уничтожить наш авианосец. А ведь из условий задачи этого не следует, и это совсем не гарантировано.

    В моём же анализе, я как раз пытаюсь доказать, что разумность решения построить два авианосца (вывод - прямо противоположный вашему) не зависить от количеста имеющихся у врага в наличии попыток, т.е. я не делаю скрытого предположения, что у врага есть по крайней мере две попытки.

    Правда, я тоже делаю допущение, но явное, и четко оговариваю, в чем моё допущение: Разумно считать, что количество попыток или выстрелов, которое есть у противника для уничтожения нашего авианосца (или авианосцев), другими словами боеспособность нашего противника, не зависит от того, что мы решили построить - один или два авианосца.

    ОтветитьУдалить
  23. На мой взгляд исходную задачу более наглядно изображает другая ситуация:
    Корабли приплыли и обстреляли Купертино, чтобы уничтожить Стива Джобса.После этого на них обрушивается вся мощь NATO, трансформеров и летающих тарелок после которой от них остаются одни дырочки.

    ОтветитьУдалить
  24. А если фигуры получились зеркальными задача считается выполненной?
    Yras76 - отличная иллюстрация!
    Авианосец либо выполняет это задание, либо его уничтожает враг.
    По-моему из данного предложения явно следует что попытка выполнить задание у авианосца всего одна и если с этой попытки задание не выполнено, то авианосец уничтожается с вероятностью 100%
    Arthur Baraov - в ваших выкладках гараздо больше одного предположения. Самое неправильное на мой взгляд - то что "уцелеть хотя бы одному из двух маленьких авианосцев после двух попыток их уничтожения - тоже равносильно выполнению задани" - т.е. вы рассматриваете прямо противоположную задачу - вероятности уничтожения авианосцев, а ведь об этом вообще ничего не сказано. Возможно вероятность выполнения задания вообще не связана с тем, выживет ли в конечном счете авианосец.

    ОтветитьУдалить
  25. А если фигуры получились зеркальными задача считается выполненной?
    Да.изначально задача на разрезание бумажных фигурок, так что крутить можно как хочешь.

    ОтветитьУдалить
  26. Вы решаете не задачу из поста, а какую-то свою.
    В задаче не написано, что враг будет экономить патроны.Явно написано Авианосец либо выполняет это задание, либо его уничтожает враг. У события есть вероятность благоприятного исхода Р для большого корабля и Р/2 для маленького.
    Вот сюда уже входит и количество снарядов у врага, и сколько у него пушек, и сколько раз наводчик сбегает в туалет, и какое у него зрение.
    Вы примотали к ней количество попыток противника уничтожить корабли, причем защищающаяся сторона у вас бьёт первой, насколько я понял.

    ОтветитьУдалить
  27. На мой взгляд исходную задачу более наглядно изображает другая ситуация:
    Корабли приплыли и обстреляли Купертино, чтобы уничтожить Стива Джобса.После этого на них обрушивается вся мощь NATO, трансформеров и летающих тарелок после которой от них остаются одни дырочки.
    -Yras76

    Yras76, если я правильно понял, вы ссылаетесь на то, что противник скорее направит батарею ударов на уничтожение кораблей, скорее чем попытается сделать это с одной попытки. Я меня нет особого возражения против такой линии рассуждения - это действительно вполне разумное и оправданное предположение. Но это лишь полбеды.

    Дело в том, что ваш способ подсчёта вероятностей основан на гораздо более сильном неявном допущении: чтобы ваши расчёты обрели смысл, количество огневого усилия, потраченного на попытку уничтожения большого авианосца, должно быть ровно удвоено в случае двух маленьких. Это неявное допущение станет особенно явным, и очевидным даже для не очень внимательного наблюдателя, как только вы рассмотрите частный случай когда в наличии у противника есть всего лишь один боевой снаряд.

    В этом главная проблема с вашим анализом, а не в том, что у врага заведомо больше одной ракеты.

    ОтветитьУдалить
  28. Похоже диалог себя исчерпал :-). Вопросов больше не имею.

    ОтветитьУдалить
  29. Анонимный15.03.2011, 13:43

    Для двух малых авианосцев выполнение задания события несовместимые. Ведь если к примеру один авианосец выполнил задание (уничтожил ПЛ к примеру) миссия считается выполненной. В таком случае для второго авианосца вообще не имеет смысла сниматься с якоря. Если они действуют в разных частях моря, то также не могут одновременно найти ПЛ , которая находится в одной (определенной точке). Если задание распределено в просторах океана, то следует его рассматривать как несколько зависимых от выполненных ранее подзаданий. Мне кажется это как раз тот случай, который хотел показать Артур с "многоразовым" авианосцем.

    ОтветитьУдалить
  30. Анонимный15.03.2011, 15:46

    Я уверен, что командующий флотом США Эрнест Джозеф Кинг,не примет решение на заказ авианосцев, пока он не узнает подробный суть секретного задания,пока он не получит максимум информации об этой операции. Поскольку благополучный исход операции будет зависеть от этого. Лично я заказал бы большой авианосец при отсутствии информации, чтобы наверняка выполнить секретное задание о котором нам не говорят. - Заурби-

    ОтветитьУдалить
  31. Было бы очень нелегко оспаривать решение Заурби построить большой авианосец, если бы такое решение обеспечивало выполнение секретного задания, как он говорит, наверняка. Но беда в том, что, по условию задачи, ни одно из решений не даёт гарантии исполнения задания наверняка.

    Аноним (15.03.11 13:43) приводит интересные доводы, и я безусловно приветствую и апплодирую искреннему желанию комментатора разобраться в тонкостях этой проблемы, но это не совсем то, что я имел ввиду в своем решении.

    ОтветитьУдалить
  32. Хочу поблагодарить Илью ещё раз за эту очень интересную задачу. Я пытался объяснить моё понимание того, в чём же всё-таки её тонкость - а она безусловно присутствует в этой задаче. Похоже, что большинство восприняло эту проблему просто как очередную задачку из сборника задач по теории вероятностей, т.е. суть этой задачи будто бы сводится к простой проверке умеете ли вы правильно складывать и перемножать вероятности.

    Я пытался объяснить, что эта проблема, с присущей ей нарочитой неопределённостью, является по своей сути проблемой из теории принятия решения, а не просто задачей на подсчёт вероятностей. Теперь я вижу, что мои усилия не увенчались особым успехом, и кроме себя, по-видимому, некого винить. Тем не менее, попытаюсь ещё раз.

    Теория принятия решения - это целая область математики, наиболее известным представителем которой является Abraham Wald. Теория вероятностей - составная и очень важная часть этой науки, но теория принятия решения не сводится к теории вероятностей за исключением, пожалуй, частного случая, когда так называемая payoff(cost) function имеет одинаковое значение для всех возможных выборов для принятия решения.

    По-видимому все обратили внимание, что в задаче делается специальная оговорка: Стоимость большого авианосца - включая абсолютно все затраты - ровно такая же, как двух малых. И это, конечно, не случайно. Скажем, если вместо этого в условиях задачи было сказано: Стоимость большого авианосца - в полтора раза меньше, чем стоимость двух малых, тогда для всех было бы совершенно очевидно, что к подсчету вероятностей мы должны прицепить каким-то образом разницу в стоимости при принятии оптимального, в каком-то опрелённом смысле, решения. Другими словами, было бы совершенно очевидно, что мы имеем дело именно с проблемой из теории принятия решения.

    Моё видение этой проблемы можно было бы сформулировать вкратце следующим образом: Несмотря на недвусмысленное заявление в условиях задачи, что Стоимость большого авианосца - включая абсолютно все затраты - ровно такая же, как двух малых, эта проблема всё-таки остаётся проблемой теории принятия решения. Почему? Потому что при принятии решения мы должны иметь ввиду потери противника на уничтожение наших кораблей, точно также как мы вынуждены были бы учесть наши расходы на постройку кораблей в том случае, если бы эти стоимости различались.

    Именно это соображение и позволит разрешить неопределённость, с которой мы имеем дело - какой именно способ подсчёта вероятностей является адекватным в этой проблеме? Если мы хотим свести проблему принятия решения к подсчёту вероятностей, что является вполне разумным, тогда мы уже теряем свободу выбора как именно подсчитывать вероятности - это должно быть сделано так чтобы расходы противника были одни и те же для обеих вариантов решения, о которых идёт речь в задаче.

    Именно это соображение инвариантности расходов противника и является ключом к решению этой проблемы, которая позволяет разумно разрешить присущую ей нарочитую неопределённость. Именно это я имел ввиду, когда сравнил эту проблему с проблемой Бертрана, где три возможных варианта подсчёта вероятностей считались абсолютно равноправными в течение ста лет, пока наконец Edwin Jaynes не указал на принцип инвариантности, позволивший прийти к убедительному выводу, что всё-таки одно решение из трёх является более адекватным.

    Именно поэтому я заявил в своём решении: Разумно считать, что количество попыток или выстрелов, которое есть у противника для уничтожения нашего авианосца (или авианосцев), другими словами боеспособность нашего противника, не зависит от того, что мы решили построить - один или два авианосца.

    ОтветитьУдалить
  33. Arthur Baraov, в самом деле, данный текст условия позволяет увидеть в себе разные задачи (на всякий случай поставлю ссылку на парадокс Бертрана, раз мы его уже два раза вспомнили всвязи с этим).

    ОтветитьУдалить
  34. Анонимный16.03.2011, 9:28

    Yras76 комментировал...

    Маленькие:
    р(успех1 и успех2)=(р/2)*(р/2)
    р(успех1 и провал2)=(р/2)*(1-р/2)

    Думаю нельзя однозначно таким образом определить вероятность провала одного из авианосцев. Несмотря на то что они действуют независимо, задание дано одно а не два. Таким образом фразу авианосец либо выполняет задание либо будет уничтожен не следует воспринимать буквально в случае с двумя авианосцами. Иначе приходим к выводу что, когда один из авианосцев выполнил задание (так как оно одно), то у второго вероятность быть уничтоженным равна 1. Если задание состоит из двух частей тогда большой авианосец должен выполнить оба задания и вероятность этого события будет равна P^2. Тогда в случае провала одного из маленьких авианосцев второй будет выполнять задание проваленное первым.

    С уважением Андрей.

    PS: по моему мнению задача не появилась бы на "Весеннем" блоге если бы имела тривиальное решение.

    ОтветитьУдалить
  35. Анонимный16.03.2011, 12:49

    Извиняюсь , что не в топик, но тем не менее... глядя на парадокс Бертрана, пришел к совершенно неожиданному для себя заключению. Во всех трех предложенных решениях сумма вероятностей того что хорда либо больше либо меньше стороны равна 1. Значит вероятность провести хорду равную стороне вписанного треугольника равна 0, а следовательно вписать равносторонний треугольник в окружность можно с вероятностью 0, т.к. у вписанного треугольника сторона равна одной из хорд окружности.

    ОтветитьУдалить
  36. PS: по моему мнению задача не появилась бы на "Весеннем" блоге если бы имела тривиальное решение
    Когда все привыкли искать подвохи, очень весело закинуть примитивную задачу.

    ОтветитьУдалить
  37. В этом нет ничего удивительного: непрерывная вероятность основана на теории мер, а мера отдельной точки, т.е. её длина, или даже множества счетного числа точек на действительной оси равна нулю. Например, если вы случайно выберете точку из отрезка действительной оси 0<=x<=1, вероятность что вы попдёте на точку x=1/2 равна нулю. Это "парадокс" непрерывности.

    ОтветитьУдалить
  38. Аноним 16.03.11 12:49 мог бы возразить нам: но ведь существует несчетное множество таких вписанных треугольников. Дело в том, что мера любой линии на плоскости, т.е. её площадь, равна нулю. Поэтому наиболее педантичные часто говорят: вероятность того или иного события равна тому-то с точностью до меры ноль.

    ОтветитьУдалить
  39. Анонимный16.03.2011, 17:51

    Поскольку основной ударной силой авианосца является палубная авиация, и учитывая тот факт, что малый авианосец не способен разместить на своем палубе определенный класс самолетов, от которых возможно и будет зависет успех выполнения задания, мы не сможем приравнять возможность большого авианосца с возможностью 2-х малых авианосцев. Нужно еще обратить внимание на тот факт, что по условиям задачи мы принимаем решение во времена 2-й мировой войны, и мы не должны думать про какие то ядерные ракеты, при помощи которых можно уничтожить авианосец. - Заурби-

    ОтветитьУдалить
  40. Басня И. А. Крылова:

    Yras76, Заур, и Бараов Артур

    Однажды, находясь на загородной даче,
    Илья Весенний поставил простую задачу:
    Сколько ног всего у австралийского кенгуру,
    Если, в придачу к двум, хвост считать за ногу?

    Yras76, видно сразу, знаток арифметики
    Ответил быстро, без ненужной патетики:
    Два плюс один равняется три - не понятно?
    Его голос из туалета звучал очень внятно.

    Что же вы забыли про передние то ноги!
    Да простят вам такое наши добрые боги.
    Два плюс два будет безусловно четыре -
    Таков был ответ поступивший от Заура.

    Долго мотал неспешно Артур и отмотал затем:
    Передние конечности не в счёт? Нет проблем!
    А может кенгуру стоят без подмог на хвосту?
    Пожалуй - да. Значит ног у него три, попросту.

    ОтветитьУдалить
  41. Анонимный17.03.2011, 12:33

    Рабочий день потерян.. фигура не поддается

    ОтветитьУдалить
  42. Уважаемый аноним, выше в комментариях были подсказки (это на случай, если фигура совсем не соглашается разрезаться :)

    ОтветитьУдалить
  43. второй час над второй задачей сижу ))

    ОтветитьУдалить
  44. На всякий случай замечу, что применять тервер к задачам, в которых не предполагается многократного повторения, — как минимум спорно.

    ОтветитьУдалить
  45. evle,

    Как вы вероятно знаете, есть две фундаментально разные интерпретации теории вероятности. Приверженцы одного направления, которых называют частотниками, считают что эта теория применима только к многократно повторяющимся явлениям. Самым воинствующим и самым нетерпимым представителем этого направления был фон Мизес. Другое направление, самым ярким представителем которого был Лаплас, считает, что теория вероятности это не что иное как здравый смысл доведённый до вычисления, и следовательно имеет бесконечно более широкую область применения, чем просто анализ повторяющихся явлений. Edwin Jaynes пошёл даже дальше; он считает, что теория вероятности это - ни много ни мало - расширение Аристотелевской логики, где каждое утверждение либо истинно либо ложно, до утверждений, истинность которых может принимать любое значение от нуля (false) до единицы (true).

    Я абсолютно убеждён, что будущее теории вероятности за второй, Байесовской, интерпретацией. Смотрите не прозевайте эту революцию.

    ОтветитьУдалить
  46. Анонимный21.03.2011, 16:41

    Я была уверена будут даны правильные ответы под катом...
    Ну ладно.
    Я бы выбрала один большой авианосец. Вот почему: и так понятно, без всяких формул, что оба варианта эквивалентны абсолютно. Но я решила посмотреть со стороны человеческих ресурсов, как это сделал бы Эрнест))) На двух авианосцах в случае провала погибнут два замечательных пилота, а на одном - один. Выбор очевиден. Вот так то.

    ОтветитьУдалить
  47. Уважаемая анонимка,

    Очень разумное, и очень человечное соображение. Однако следует заметить, что авианосец это не самолёт, авианосец это корабль с огромным количеством боевых самолётов и ещё большим количеством персонала, обслуживающего этот корабль. Так что, в случае неудачи, погибнет гораздо больше, чем один или два пилота. Мы также не знаем где больше персонала - в большом авианосце или в двух маленьких. Другими словами, к сожалению, у нас нет достаточно информации, чтобы адекватным образом учесть очень важный фактор, о котором вы говорите.

    ОтветитьУдалить
  48. Анонимный24.03.2011, 6:40

    Разрешите не согласиться с Артуром и поддержать анонимку. Мы знаем, что в случае невыполнения миссии погибнут все. Но в случае выполнения с большим авианосцем все однозначно: он не пострадает, а вот из двух маленьких вполне может остаться только один. Поэтому строить один большой авианосец все таки гуманнее по отношению к экипажу. А вот с финансовой точки зрения, скорее всего большой авианосец потребует больших вложений на содержание , обслуживание и поддержание в боеспособном состоянии , для потенциального следующего задания. Ведь речь идет о авианосце, а не управляемой ракете.

    ОтветитьУдалить
  49. Очень весомый аргумент в пользу большого авианосца! Правда этот аргумент неявно предполагает, что в случае неудачи людские потери будут одинаковыми, т. е. суммарное количество людей на борту двух маленьких в точности равно количеству людей на борту большого авианосца. Хотя мы этого и не знаем, это моё возражение довольно слабое, потому что допущение хотя бы приблизительно одинакового количества людей не лишено определёного смысла с точки зрения здравого смысла. Моё более сильное возражение против большого авианосца все же остаётся: адекватный подсчёт вероятности успеха показывает, что у двух маленьких шансы всё-таки лучше.

    Адекватным подсчётом вероятности я называю тот, который исходит из того что количество средств в наличии у врага для уничтожения наших авианосцев не зависит от того что именно мы решили построить - один большой или два маленьких.

    ОтветитьУдалить
  50. @Arthur Baraov: с такими допущениями как у Вас можно и арифметическую задачу решать кучей способов и получать разные ответы. Например 1+1=10 в определенных обстоятельствах.

    В задаче нет ничего ни про какие снаряды и т.п.

    ОтветитьУдалить
  51. По второй задачке перерисовал в excel:
    C2-B2-B3-B4-B5-C5-D5-D4-E4 = C4-C3-D3-E3-F3-F4-F5-E5-E6

    ОтветитьУдалить
  52. elhana, оригинальный подход к передаче изображений Вы нашли! Конечно, Ваше решение корректно. Надеюсь, этот Ваш комментарий поможет тем, кто ещё не одолел эту задачку.

    ОтветитьУдалить
  53. А можно пояснение к третьей?
    Не очень понятно как она решается.
    Я так понимаю, надо найти 3 таких взвешивания, которые разбивают группу возможно потерянных (1-8) пополам? А как их найти?

    ОтветитьУдалить
  54. sans17, ответ на третью задачку был предложен выше в комментарии.

    А чтобы до чего-то такого дойти, надо пробовать разные взвешивания, анализируя их полезность. Если поиграться немного с вариантами, то станет ясно, что хоть какую-то информацию даёт очень ограниченный набор взвешиваний. Успехов в разборе задачки!

    ОтветитьУдалить
  55. Например 1+1=10 в определенных обстоятельствах. - elhana

    Согласен с вами полностью. Например, голый вопрос: Верно ли утверждение 1+1=10? не допускает, вообще говоря, однозначного ответа. Для того чтобы получить однозначный ответ на этот вопрос, мы должны знать о какой системе счисления идёт речь: в двоичной системе это утверждение истинное, тогда как в десятичной - ложное.

    Но если у вас есть серьёзное и убедительное основание полагать, что речь идёт именно о десятичной системе, ваш ответ должен быть: это утверждение ложное. Вот о чём мы копья ломаем. В отличии от математики, где как правило нет никаких недоговорённостей, в жизни мы практически никогда не имеем полной информации, тем не менее мы должны принимать, и принимаем, однозначное решение исходя из разумных допущений и правдоподобных рассуждений. Вот об этом речь.

    Смысл этой задачи об авианосцах, как я её понимаю, заключается именно в как можно более разумном выходе из состояния неполной информации.

    Чтобы избежать излишних недоразумений, хочу особо подчеркнуть: я не претендую на то, что моё понимание смысла этой проблемы лучше, чем ваше или всех остальных - это всего-навсего моё понимание :-)

    P.S. Похоже не все поняли, что этот блог не только, и не столько о решении арифметических и более сложных математических задач. Цель блога была чётко сформулирована его автором в самом первом посте года 3 назад; думаю не лишне ознакомиться с этой декларацией всем, кто обнаружил этот замечательный блог сравнительно недавно.

    ОтветитьУдалить
  56. У меня вопрос не совсем по теме.
    Кто из вас тем или иным образом участвует в системе образования, и каких (педагогических, организационных) уcпехов смог добиться? Было бы приятно и полезно послушать советы разумных и интересных людей, которые сюда часто заходят :)
    Ну и самого Илью, естественно :)
    Если про это уже был пост, в котором все желающие высказались, просто перенаправьте

    ОтветитьУдалить
  57. Алексей, мы тут постоянно делимся своими соображениями, так что трудно ощутить нехватку советов. Другое дело, что ко всем идеям надо относиться осторожно, ведь все люди могут заблуждаться.

    ОтветитьУдалить
  58. Анонимный01.04.2011, 18:29

    Про корабли.

    Замечательная цитата (и показательная):

    >>Смысл этой задачи об авианосцах, как я её понимаю, заключается именно в как можно более разумном выходе из состояния неполной информации.<<

    НЕ НАДО искать тайный эзотерический смысл в математической задаче. В математических задачах речь обычно идет об абстрактных объектах, котолрые называются авианосцами (адмиралами, нектами и яблоками) исключительно для того, чтобы выразить абстрактное условие человекочитаемым языком.

    Вероятность успеха минимум одного маленького корабля равна Х-1/4(Х^2), это следует напрямую из формулы сложения вероятностей совместных событий, и тут нет никаких подводных камней, подвохов и неточностей.

    Решая математическую задачу не надо ориентироваться на схоластов, мистиков, психоаналитиков, богословов, юристов, поэтов и прочих профессиональных искателей сокровенного смысла.

    Необходимо быть бухгалтером и приходовать в кассу ровно столько денег, сколько в кассу принесли, а затем из производить расчет из ровно полученной суммы. А иначе недалеко или до сумы или до тюрьмы

    ----------
    :( не получается войти по OpenID - nusuth.myopenid.com

    ОтветитьУдалить
  59. Про пользу бухгалтерии и жизненно-важную необходимость бухгалтерского образа мышления.

    Эмоциональный и категоричный комментарий анонимного бухгалтера, выраженный на человеко-трудно-читаемом языке с турецким акцентом, невольно напомнил мне следующую замечательную (и совсем не показательную :-)) цитату:

    - Бросьте, Адам! - сказал великий комбинатор. - Я знаю всё, что вы намерены сделать. После псалма вы скажете: Бог дал, Бог и взял, потом: Все под Богом ходим, а потом ещё что-нибудь, лишённое смысла, вроде: Ему теперь всё-таки лучше, чем нам. Всего этого не нужно, Адам Казимирович. Перед нами простая задача: тело должно быть предано земле.


    P. S. Математическая задача специально для бухгалтера: сколько будет, если в трёхлитровую банку добавить два литра воды, где уже есть два литра?

    Хорошие бухгалтеры, как говорил Корейко, везде нужны.

    ОтветитьУдалить
  60. Анонимный02.04.2011, 19:06

    восемь.
    или четырнадцать.
    или сто миллионов тыщ эре.
    Смотря о чем вы забыли спросить в задаче.
    -------
    бухгалтер.

    ОтветитьУдалить
  61. Сказка Баженова для взрослых детей.

    Однажды жена бухгалтера потащила своего мужа противу его воли на оперу Россини Севильский цирюльник. В отличие от Паниковского, который, как известно, не любил слишком большое скопление честных людей в одном месте, наш бухгалтер не любил схоластов, мистиков, психоаналитиков, богословов, юристов, поэтов и прочих профессиональных искателей сокровенного смысла. А паче всего он не одобрял и не любил присутствие какой бы то ни было неопределённости вообще. В силу этого свойства его цельного характера, бухгалтер наотрез отказывался играть на фондовой бирже, где с самого утра почему-то не объявляют открыто и недвусмысленно куда пойдёт цена той или иной акции - вверх или вниз.

    Так или иначе, когда певец на сцене начал нудно петь: Фигаро здесь, Фигаро там, Фигаро здесь, Фигаро там, прямолинейный бухгалтер без извилин не выдержал, вскочил со своего места в партере, и громко заявил: Фигаро - не квантовая частица, он не может быть одновременно и здесь и там. Перестаньте морочить нам голову, скажите чётко где Фигаро наконец, и кончайте базар.

    А если серьёзно, вот хорошая игра, и математическая задача без всяких неопределённостей, для бухгалтера и всех остальных, кто предпочитает тёплую и уютную однозначность математики тревожной и неизбежной неопределённости реальной жизни.

    Два бухгалтера, каждый с большим мешком монет, сидят друг против друга за столом обычной прямоугольной формы. Один кладёт копейку на стол, затем второй делает то же самое, и так далее, по очереди. Каждая копейка лежит плашмя на столе и нахлёст с другими, уже лежащими на столе копейками, не допускается. Игрок, который последним кладёт монету на стол, забирает деньги на столе. Кто выиграет, если оба игрока будут следовать лучшей стратегии?

    ОтветитьУдалить
  62. Анонимный02.04.2011, 23:24

    Продолжу отвечать вопросом на вопрос.
    >>Вероятность успеха минимум одного маленького корабля равна Х-1/4(Х^2)?
    >>это следует напрямую из формулы сложения вероятностей совместных событий?
    Задача решена правильно или непраивльно?
    Для решения следует или не следует привлекать дополнительные данные/предположения/теории, не указанные напрямую в условии?

    Скажете, что я неправ (еще лучше, если подскажете - где искать неправоту) - я буду молча искать правильное решение.

    Или продолжите рассказывать смешные, но, к сожалению, не относящиеся к делу анекдоты?
    (Жалко конечно, что это анекдот не про бухгалтера - их настолько мало, что я был бы рад лишнему)
    --------------
    бухгалтер.

    ОтветитьУдалить
  63. Анонимный03.04.2011, 0:46

    Кстати, пользуясь случаем, прошу помощи.

    Ситуация такая: я попал на этот блог, потому что искал материалы по "парадоксу двух конвертов".
    У меня есть решение, которое, как мне кажется, правильное. И это решение, как мне кажется, полностью исключает парадоксальность задачи.
    (Подчеркиваю - как мне кажется, это важно, потому что я достаточно далек от профессиональной математики).

    Если коротко, то, выбрав первый конверт, при решении выбирать или не выбирать второй некорректно говорить о какой бы то ни было вероятности относительно суммы в нем. Вероятность найти большую или меньшую сумму существует при первоначальном выборе конверта. Далее условия игры не меняются, и делая второй выбор, мы на самом деле меняем первоначальное решение на противоположное, которое не является вероятным, а зависит от первого. То есть, выбор второго конверта - это "продолженный" выбор первого. В свою очередь, при выборе первого конверта мы имеем вероятности нахождения большей или меньшей суммы 1/2 к 1/2, математическое ожидание выигрыша - 1/2 от общей суммы в обоих конвертах, или 1,5 минимальные суммы.


    Проблема в том, что мне кажется, что мое решение очевидно и просто, но я не нашел ничего похожего на него (в том числе при разборе ошибочных решений).
    Житейский опыт мне подсказывает, что если далекий от математики человек (я) имеет простое решение, которое тем не менее, неочевидно для профессионалов, то скорее всего этот человек не далек от математики, а просто недалек :)

    Так вот, я прошу помощи человека, который бы согласился потратить свое время на то, чтобы помочь мне разобраться в парадоксе, выслушать мои соображения (предупреждаю, что что я могу высказываться, как верно заметил Arthur Baraov, "с турецким акцентом") и указать на ошибки в моих рассуждениях (если таковые есть, что следует из бОльшей вероятности именно такой ситуации).

    Прошу только не давать ссылки на материалы в интернете. Я прочел достаточно, но тем не менее обращаюсь за помощью.

    Заранее спасибо тому, кто сочтет возможным откликнуться.

    моя почта roman.goose на rambler.ru

    ОтветитьУдалить
  64. Анонимный03.04.2011, 1:14

    Черт. Башка трещит.
    Только что переформулировал свое решение.
    На мой взгляд, в парадоксе ошибочно формулируются рассуждения игрока:

    "Я выбрал первый конверт. У меня некая сумма Х. В другом конверте вероятно нахождение кака 2Х, так и 0,5Х. Математическое ожидание выигрыша при выборе второго конверта - 2Х/2+0,5Х/2=1,25Х"

    Мое рассуждение:
    "Всего в двух конвертах сумма Х, распределенная по конвертам как 1/3Х и 2/3Х. Я выбрал первый конверт, у меня некая сумма. С вероятностью 0,5 это может быть как 1/3Х, так и 2/3Х.
    ЕСЛИ я выбрал 1/3Х, ТО во втором конверте 2/3Х
    ИНАЧЕ ЕСЛИ я выбрал 2/3Х, ТО во втором конверте 1/3Х.
    Если я поменяю свой конверт, то до сообщения информации о том, какая в нем сумма, мои предположения о ее размере будут строиться похожим образом:
    ЕСЛИ в первый раз я выбрал сумму 1/3Х, то сейчас у меня 2/3Х
    ИНАЧЕ ЕСЛИ в первый раз я выбрал сумму 2/3Х, то сейчас у меня 1/3Х.
    Оба раза я могу рассчитать математическое ожидание суммы (напомню, что Х - сумма В ОБОИХ конвертах):
    1/3Х*0,5 + 2/3*0,5 = 2/6Х = 0,5Х.
    (хотя, поскольку я считаю, что выбор второго конверта уже не является случайным событием, я не применяю к нему понятие математического ожидания)

    ОтветитьУдалить
  65. Эх, товарищ Орлов, бескрылый вы человек ! - реплика одного героя из старомодного фильма про комсомольцев, осваювающих Сибирскую тайгу.

    Сеанс одновременных и прямолинейных ответов на столь же прямолинейные вопросы бухгалтера.

    В: Задача решена правильно или непраивльно?
    О: Задача вообще не решена. В задаче спрашивается: Что вы выберете - построить один большой, или два малых? Следуя вашему нездоровому примеру воспринимать всё формально, хочу спросить: Где в задаче требуется подсчитать вероятность чего-то?

    В: Для решения следует или не следует привлекать дополнительные данные/предположения/теории, не указанные напрямую в условии?
    О: Да, следует. Если хотите понять почему, потрудитесь, пожалуйста, перечитать внимательно всё что до сих обсуждалось выше.

    В: Скажете, что я неправ (еще лучше, если подскажете - где искать неправоту) - я буду молча искать правильное решение.
    О: Да, скажу. Подсказываю: попробуйте вместо формально правильного, но некритического подхода к вещам, к более плодотворному и вдумчивому анализу вещей. Это поможет вам в жизни, которая, в отличие от математики, полна неопределённостей, и где практически никогда ничего не задано и приходится самому домысливать всё что отсутствует - как можно более сообразно реальности.

    P. S. И как насчёт копеечной задачи? Я надеялся, что она вам понравится своей определённостью. Вы совершенно зря её проигнорировали, она, между прочим, допускает очень чёткое и очень красивое решение.

    ОтветитьУдалить
  66. Анонимный03.04.2011, 1:40

    Еще одна конвульсия взбудораженного мозга:
    Вот такие вот рассуждения игрока:

    "Я выбрал первый конверт. У меня некая сумма Х. В другом конверте вероятно нахождение кака 2Х, так и 0,5Х. Математическое ожидание выигрыша при выборе второго конверта - 2Х/2+0,5Х/2=1,25Х"

    становятся верными при несколько другой игре:

    мне дают на выбор два конверта, я выбираю один из них, показываю сумму Х в нем, а затем мне предьявляют ДВА ДРУГИХ конверта (конверт, отвергнутый мной первом туре убирают, или же возможно, его предъявляют в составе тех двух других, предварительно хорошенько перемешав их - но это мелочи технической организации игры), в которые распорядитель игры положил соответственно 2Х, и 1/2Х. Вот тут да, условия игры меняются на втором шаге и игрок может рассуждать о вероятности. Но это действительно, совсем другая игра.

    ОтветитьУдалить
  67. Анонимный03.04.2011, 1:46

    Arthur Baraov.
    Спасибо за прямой ответ. в соответствии с обещанием, тему авианосцев закрываю.
    Копеечную задачу решать не буду - честно признаюсь, что не знаю как решать подобные задачи.
    Может согласитесь помочь с двумя конвертами?

    ОтветитьУдалить
  68. Дорогой бухгалтер с взбудораженным мозгом,

    Не сочтите за нескромность, но хочу порекомендовать вам мой доклад с решением проблемы двух конвертов, который был предложен вниманию участников международной конференции MaxEnt 2010 (30th International Workshop on Bayesian Inference and Maximum Entropy Methods in Science and Enginnering), состоявшейся во Франции в прошлом году:

    http://www.lss.supelec.fr/MaxEnt2010/paper/013.pdf

    ОтветитьУдалить
  69. Анонимный03.04.2011, 2:02

    К сожалению, тексты подобного уровня я и по русски не понимаю, что уж говорить об английском.
    Если не хотите помочь (естественно, вам надо поставить на место зарвавшегося бухгалтера) - так хотя бы не протягивайте камень вместо хлеба.

    ОтветитьУдалить
  70. Анонимный03.04.2011, 3:13

    Кажеся я понял.

    Я решал задачу о двух конвертах, исходя из того, что игра проводится однократно. (или же многократно, но каждый тур, так сказать, независим от предыдущих - либо играют разные игроки, либо перед игроком не стоит задача максимизировать свой выигрыш во всей серии игр).

    Для серии игр, согласен, возможна какая то стратегия. Даже так - такая стратегия, скорее всего, существует.
    Это очевидно даже на простом примере: в однократном туре игры математическое ожидание зависит только от вероятностей нахождения сумм в конвертах, сама общая сумма, хоть и неизвестна, может считаться вполне определенной. Однако, при расчете математического ожидания в серии игр на результат влияют как значения вероятностей, так и значения сумм, участвующих в каждом туре, таким образом, мат.ожидание зависит как от значений вероятностей, так и от значений сумм.

    Какая именно это стратегия и какие сложные расчеты тут необходимо применять к предсказанию сумм - моему бухгалтерскому уму неведомо и неинтересно.

    Однако, в постановке условий парадокса я нигде не видел столь значимого условия о том, что игра проводится более одного раза и стоИт задача максимизации общего выигрыша, это условие как то само собой всплывает во всех построениях, в которых парадокс решается.

    Признаю правоту Arthur'a Baraov. Видимо, со времен, когда я учился в школе, в математике стало общепринятым при решении задач исходить из дополнительных данных, поставляемых левой пяткой.

    ОтветитьУдалить
  71. Анонимный03.04.2011, 4:00

    Хотя нет. При моем подходе к решению задачи - математическое ожидание в серии игр будет равно 0,5*sum(Х).
    пойду убью себя апстену...

    ОтветитьУдалить
  72. Анонимный03.04.2011, 6:28

    Arthur Baraov
    Я понял, о чем вы мне говорили относительно задачи об авианосцах:
    >>Подсказываю: попробуйте вместо формально правильного, но некритического подхода к вещам, к более плодотворному и вдумчивому анализу вещей.

    С таким подходом к задаче с авианосцами, действительно, невозможно дать окончательный ответ о том, что выгодно строить - на практике, слишком много дополнительных условий, которые придется учесть.

    Однако, позволю себе уточнить мою позицию. Любая математическая задача является лишь моделью реальности, заведомо не учитывающей все параметры исходной практической задачи. Учитываются лишь самые существенные, иначе решение задачи стало бы чрезвычайно сложным и затраты на решение, возможно, не оправдались бы полученным результатом. Таким образом, упрощение задачи - цель сугубо практическая, и, говоря вашими же словами, "как можно более сообразна реальности".

    Отсюда собственно вывод - нужно определиться, что считать целью постановки задачи об авианосцах - найти решение в пределах сформулированной в задаче модели (тогда оно = "выгоднее строить большой авианосец"), либо определить, соответсвует ли модель реальности в достаточной степени. В этом случае решение будет не в виде готового ответа, а в виде обоснованного предложения дополнить условия задачи необходимыми условиями. При этом дополнительные условия должны быть существенными и, что важнее, математически обрабатываемыми.

    ОтветитьУдалить
  73. Анонимный03.04.2011, 10:59

    тэк... разобрался с серией игр, в которой стратегией является обмен конверта только в том случае, если сумма в нем меньше некоторой заранее придуманной. Выигрыш действительно больше, чем при случайном выборе конверта (совершение обмена в каждом случае совпадает со случайным выбором).
    Просчитал на компутере. Поскольку на компутере нельзя смоделировать выбор случайного числа в пределах от нуля (не включая) до плюс бесконечности, суммы в модели выбирались из фиксированного диапазона. Эксперимент показал, что максимум выигрыша растет от минимальной суммы до 1/2 максимального значения, затем уменьшается. Если в качестве сигнального значения в стратегии использовать минимальную и максимальную границы диапазона, то игра сводится к случайному выбору конвертов (выигрыш при котором равен 1/2 общей разыгрываемой суммы).
    Таким образом, понятно, что стратегия работоспособна в любых пределах меньше максимального значения разыгрываемых сумм (хотя наиболее выгодна половина такого значения).
    Однако если в качестве максимального значения выбрана бесконечность?(и правомерно ли это) КАКОЕ значение выбрать в качестве сигнального для стратегии? Можно выбрать любое конкретное, так как бесконечность заведомо больше любого конкретного числа. Но это не гарантирует максимизацию выигрыша. Можно ли выбрать не число, а функцию от суммы, найденной в конверте - такую, чтобы ее значение было заведомо больше любого значения от этой суммы? (подозреваю что нельзя, так как здесь получается не число, а переменная, причем, как я смутно подозреваю, обладающая свойствами бесконечно большой величины; к тому же на практике это приведет к обмену конверта в каждом случае, а это то же самое, что выбирать его случайно)
    Вот ЭТО парадокс.
    Всем спасибо.

    ОтветитьУдалить
  74. Анонимный03.04.2011, 16:47

    Играя серию игр по стратегии "обмен конвертов только если первоначальная сумма ниже некоторой" мы на самом деле вводим в исходную постановку задачи одно очень важное дополнение, которое позволяет нам несколько влиять на вероятность [не]благоприятного исхода.
    Если суммы в конвертах распределены равномерно на некотором (пусть и неизвестном) диапазоне, я могу строить следующее предположение: чем меньшую сумму я обнаружил в первом конверте, тем с большей вероятностью она окажется именно меньшей среди двух конвертов (и наоборот - чем больше сумма, тем скорее она является удвоенной). Численно выразить эту вероятность я затрудняюсь, но зависимость определенно есть. Соответственно, чем меньшую сумму я обнаружил, тем с большей вероятностью я совершил невыгодный выбор. Соответственно (как в парадоксе Монти-Холла) я пользуюсь возможностью изменить выбор на противоположный и "превратить" неблагоприятный выбор в благоприятный.
    Таким образом, увидев сумму в первом конверте, я на самом деле получаю дополнительную информацию, поэтому решение о выгодности обмена конвертов (но только в описанных случаях) вовсе не является парадоксальным - оно просто некоторым образом предсказывается.
    Кстати, возможно, рабочей будет и такая стратегия:
    Перед первым туром я не знаю о распределении сумм вообще ничего, поэтому совершаю выбор случайно. В дальнейшем я принимаю решение об обмене, если найденная сумма ниже половины среднего значения всех ранее обнаруженных, и не меняю - если выше. В течение игры накапливаю статистику, и начинаю играть все выгоднее и выгоднее.

    ОтветитьУдалить
  75. Жаль, что задачку Артура о монетках на столе не стали дожимать. Она несложная, но забавная.

    ОтветитьУдалить
  76. Вы решаете не задачу из поста, а какую-то свою.
    В задаче не написано, что враг будет экономить патроны.Явно написано Авианосец либо выполняет это задание, либо его уничтожает враг. У события есть вероятность благоприятного исхода Р для большого корабля и Р/2 для маленького.
    Вот сюда уже входит и количество снарядов у врага, и сколько у него пушек, и сколько раз наводчик сбегает в туалет, и какое у него зрение.
    Вы примотали к ней количество попыток противника уничтожить корабли, причем защищающаяся сторона у вас бьёт первой, насколько я понял.

    ОтветитьУдалить
  77. В задаче не написано, что враг будет экономить патроны. Явно написано Авианосец либо выполняет это задание, либо его уничтожает враг. У события есть вероятность благоприятного исхода Р для большого корабля и Р/2 для маленького. Вот сюда уже входит и количество снарядов у врага, и сколько у него пушек, и сколько раз наводчик сбегает в туалет, и какое у него зрение. - макс

    Трудно спорить с невнимательным читателем. В моих рассуждениях не только не предполагается, что враг будет экономить патроны, а с точностью до наоборот. Если бы вы внимательно следили за ходом моего анализа, вы бы неизбежно поняли: мои расчёты основаны именно на предположении, что враг использует всё что имеется в наличии для цели уничтожения авианосца(ев), до последнего "патрона" так сказать - как в случае одного, так и в случае двух авианосцев.

    Повторяю для тугодумов и невнимательных читателей. Независимо от того сколько раз наводчик сбегает в туалет, и какое у него зрение - как у орла или как у летучей мыши - и независимо от того сколько именно авианосцев мы решили построить, количество средств у врага для уничтожения нашего(их) авианосца(ев) не изменится. Это количество инвариантно, и враг использует всё это количество сполна - как в случае одного, так и в случае двух авианосцев.

    Вот в чём мой главный аргумент. Неужели так трудно понять такую простую вещь ?!

    ОтветитьУдалить
  78. Если внимательный и вдумчивый читатель понял бы наконец мой главный аргумент о постоянстве средств в наличии у врага для уничтожения нашего(их) авианосца(ев), и тем не менее хотел бы возразить против этого аргумента, вот как это можно было бы сделать разумным образом.

    Он мог бы возразить: ведь мы не знаем по какой именно причине большой авианосец имеет больше шансов на успех, в частности, это вполне может быть связано с каждым из следующих двух возможных причин.

    (1) Большой авианосец действует не только быстрее маленького, но действует настолько быстро, что что враг возможно даже не успевает воспользоваться всеми средствами у него в наличии до того как большой авианосец достигнет цели (в тех случаях когда цель достигается, конечно).

    (2) Большой авианосец возможно имеет больше шансов на успех в силу того, что он, в дополнение ко всему прочему, также уничтожает ту или иную часть средств врага (до того как враг успеет воспользоваться этой частью средств), предназначеных для уничтожения авианосца, эффективнее чем это делает маленький авианосец.

    Вот такого рода возрожения представляют собой серьёзный контраргумент против моего допущения инвариантности количества средств в наличии у врага для уничтожения нашего(их) авианосца(ев).

    ОтветитьУдалить
  79. Анонимный17.07.2011, 4:08

    2 шт. однозначно выгоднее. Как в шахматах, атака одной фигурой (даже ферзем) - не делается
    ___________
    Андрей

    ОтветитьУдалить

Понравилась заметка? Подпишитесь на RSS-feed или email-рассылку.

Хотите поделиться ссылкой с другими? Добавьте в закладки:



Есть вопросы или предложения? Пишите письма на адрес mytribune АТ yandex.ru.

С уважением,
      Илья Весенний