Парадокс Бертрана (с хордой окружности)

Жизнь сложна, а у любого вопроса есть масса аспектов, поэтому за всеми тонкостями уследить почти невозможно. Но это не мешает каждому из нас иметь какое-то мнение по многим поводам. Да, мы понимаем, что знаем далеко не всё о предмете разговора, но уже склонились к какому-то решению на основании имеющихся соображений... А у собеседника может быть совсем другой взгляд на тот же вопрос, хотя человек он умный.

Что делать? Если хочется разобраться в вопросе, то надо понять аргументы несогласного. И тогда может реализоваться один из следующих трёх вариантов:
1) Будет выявлена ошибка в его рассуждениях - тогда он перейдёт на нашу сторону.
2) Мы проникнемся его доводами, уяснив слабость своих - тогда сменим свою точку зрения.
3) Осознав разумность слов оппонента, мы не увидим особых проблем в своей позиции. Другими словами, мы не придём к выводу, чья позиция сильнее, так как обе достаточно тверды или зыбки. Значит, надо ещё копать.

Первые два результата достаточно хороши, потому что позволяют двум людям приблизиться к истине. А третий ещё лучше, так как порождает сомнение там, где его не было, но где оно должно было быть. Очень часто лучше не знать ответ на вопрос, чем быть уверенным в неправильном ответе.

И этот процесс понимания чужой позиции и ясного изложения своих аргументов я считаю очень полезным упражнением. Оно тренирует собственный навык понимания других людей (хода их мыслей), что очень помогает во многих профессиях, предполагающих принятие решений и взаимодействие с людьми.

Итак, задача Жозефа Луи Бертрана, опубликованная впервые в 1889 году:

С какой вероятностью сторона вписанного в окружность правильного треугольника окажется меньше случайно выбранной хорды в этой окружности?

Эту задачу часто называют парадоксом Бертрана, потому что есть как минимум три способа её решения, дающих разные ответы. Какой из них верный? Это мы обсудим позже. А пока давайте поймём каждое из этих решений, чтобы лишний раз потренироваться вникать в чужое рассуждение. Естественно, полезнее всего будет, если сначала вы придумаете своё собственное решение - тогда будет честная возможность понять чужие взгляды на вроде бы простую вещь.

1) Любая точка круга (кроме центральной) однозначно задаёт хорду, серединой которой является. И эта хорда окажется длиннее стороны нашего правильного треугольника тогда и только тогда, когда её середина лежит внутри круга, вписанного в треугольник. Радиус этого круга равен половине радиуса исходной окружности. Это значит, что площадь маленького круга в четыре раза меньше площади большого. Поэтому вероятность того, что случайная точка окажется внутри вписанного круга, равна 1/4. Другими словами, ответ 1/4.

2) Мы всегда можем так «довернуть» воображаемый вписанный треугольник, чтобы одна из его вершин совпала с одним из концов хорды. Соответственно, координаты второго конца хорды однозначно задают всю хорду. Вершины треугольника делят окружность на три равные дуги, поэтому второй конец хорды с равными вероятностями попадает на каждую из них. Но хорда оказывается длиннее стороны треугольника только в том случае, если пересекает его сторону (т.е. ровно в одном случае из трёх). Получается, что хорда окажется длиннее стороны треугольника в 1/3 случаев.

3) Хорду в окружности можно однозначно задать точкой на радиусе, если проводить её через выбранную точку и перпендикулярно этому радиусу. Какой из радиусов брать? Годится любой вектор из центра до окружности, так как при повороте конструкции ничего не поменяется. Тогда получается, что случайная хорда длиннее стороны вписанного треугольника, если случайная точка радиуса попадёт на ту половину радиуса, которая ближе к центру окружности. Выходит, ровно в половине случаев случайная хорда будет больше стороны вписанного треугольника.

Ну как, хоть одно из этих решений совпало с тем, которое вы придумали? И если да, то в какой мере вы теперь уверены в его правильности? ;)

В первом случае мы задали хорду, выбрав случайную точку внутри окружности, во втором - на окружности, а в третьем - на радиусе. Каждый раз мы честно исходили из равномерности распределения точки по носителю, чтобы получить равномерность распределения хорд. Но ответы у нас получились очень разные. Что это значит? Это мы обсудим в комментариях и одной из следующих заметок.

Если предложенная игра в разные рассуждения показалась вам слишком сложной, то могу порекомендовать парадокс, который мы разбирали два года назад (с Якубовичем на «Поле чудес»). А после неё уже можно будет переходить к более интересным вероятностным задачкам :)

Хорошего дня!