3 мар. 2010 г.

Парадокс Бертрана (с хордой окружности)

Жизнь сложна, а у любого вопроса есть масса аспектов, поэтому за всеми тонкостями уследить почти невозможно. Но это не мешает каждому из нас иметь какое-то мнение по многим поводам. Да, мы понимаем, что знаем далеко не всё о предмете разговора, но уже склонились к какому-то решению на основании имеющихся соображений... А у собеседника может быть совсем другой взгляд на тот же вопрос, хотя человек он умный.

Что делать? Если хочется разобраться в вопросе, то надо понять аргументы несогласного. И тогда может реализоваться один из следующих трёх вариантов:
1) Будет выявлена ошибка в его рассуждениях - тогда он перейдёт на нашу сторону.
2) Мы проникнемся его доводами, уяснив слабость своих - тогда сменим свою точку зрения.
3) Осознав разумность слов оппонента, мы не увидим особых проблем в своей позиции. Другими словами, мы не придём к выводу, чья позиция сильнее, так как обе достаточно тверды или зыбки. Значит, надо ещё копать.

Первые два результата достаточно хороши, потому что позволяют двум людям приблизиться к истине. А третий ещё лучше, так как порождает сомнение там, где его не было, но где оно должно было быть. Очень часто лучше не знать ответ на вопрос, чем быть уверенным в неправильном ответе.

И этот процесс понимания чужой позиции и ясного изложения своих аргументов я считаю очень полезным упражнением. Оно тренирует собственный навык понимания других людей (хода их мыслей), что очень помогает во многих профессиях, предполагающих принятие решений и взаимодействие с людьми.

Итак, задача Жозефа Луи Бертрана, опубликованная впервые в 1889 году:

С какой вероятностью сторона вписанного в окружность правильного треугольника окажется меньше случайно выбранной хорды в этой окружности?

Эту задачу часто называют парадоксом Бертрана, потому что есть как минимум три способа её решения, дающих разные ответы. Какой из них верный? Это мы обсудим позже. А пока давайте поймём каждое из этих решений, чтобы лишний раз потренироваться вникать в чужое рассуждение. Естественно, полезнее всего будет, если сначала вы придумаете своё собственное решение - тогда будет честная возможность понять чужие взгляды на вроде бы простую вещь.

1) Любая точка круга (кроме центральной) однозначно задаёт хорду, серединой которой является. И эта хорда окажется длиннее стороны нашего правильного треугольника тогда и только тогда, когда её середина лежит внутри круга, вписанного в треугольник. Радиус этого круга равен половине радиуса исходной окружности. Это значит, что площадь маленького круга в четыре раза меньше площади большого. Поэтому вероятность того, что случайная точка окажется внутри вписанного круга, равна 1/4. Другими словами, ответ 1/4.

Парадокс Жозефа Луи Бертрана2) Мы всегда можем так «довернуть» воображаемый вписанный треугольник, чтобы одна из его вершин совпала с одним из концов хорды. Соответственно, координаты второго конца хорды однозначно задают всю хорду. Вершины треугольника делят окружность на три равные дуги, поэтому второй конец хорды с равными вероятностями попадает на каждую из них. Но хорда оказывается длиннее стороны треугольника только в том случае, если пересекает его сторону (т.е. ровно в одном случае из трёх). Получается, что хорда окажется длиннее стороны треугольника в 1/3 случаев.

3) Хорду в окружности можно однозначно задать точкой на радиусе, если проводить её через выбранную точку и перпендикулярно этому радиусу. Какой из радиусов брать? Годится любой вектор из центра до окружности, так как при повороте конструкции ничего не поменяется. Тогда получается, что случайная хорда длиннее стороны вписанного треугольника, если случайная точка радиуса попадёт на ту половину радиуса, которая ближе к центру окружности. Выходит, ровно в половине случаев случайная хорда будет больше стороны вписанного треугольника.

Ну как, хоть одно из этих решений совпало с тем, которое вы придумали? И если да, то в какой мере вы теперь уверены в его правильности? ;)

В первом случае мы задали хорду, выбрав случайную точку внутри окружности, во втором - на окружности, а в третьем - на радиусе. Каждый раз мы честно исходили из равномерности распределения точки по носителю, чтобы получить равномерность распределения хорд. Но ответы у нас получились очень разные. Что это значит? Это мы обсудим в комментариях и одной из следующих заметок.

Если предложенная игра в разные рассуждения показалась вам слишком сложной, то могу порекомендовать парадокс, который мы разбирали два года назад (с Якубовичем на «Поле чудес»). А после неё уже можно будет переходить к более интересным вероятностным задачкам :)

Хорошего дня!

95 комментариев:

  1. Это значит, что в ряде случаев вы по нескольку раз посчитали одинаковые хорды

    ОтветитьУдалить
  2. Какая-то случайность непрозрачная получается.

    ОтветитьУдалить
  3. У нас бесконечное число исходов. По этому число хорд, которое короче или длиннее бесконечно много. А дальше уже вступает в силу сравнение бесконечно больших множеств. Могу предположить, что мощности множеств хорд которые короче и хорд которые длиннее одинаковы, но мощность множества - это не число элементов в нем, по этому однозначно и объективно посчитать вероятность нельзя.

    ОтветитьУдалить
  4. Хорды по-разному распределены. Зададим хорду, "равномерно", например, методом 3 - получается, что она задана "неравномерно" для метода 1 (1/2 точек в среднем круге, который по площади равняется только 1/4 круга).

    Этот парадокс говорит о том, что понятие "взять наугад" определяет само себя лишь в самых простых случаях.

    ОтветитьУдалить
  5. IMHO, посчитать можно, но нужно правильно задать распределение хорд — в решении это не всегда так, т.е. в ряде случаев хорды распределены неравномерно. Нужно только прояснить, что именно определяет хорду (делает её уникальной).

    ОтветитьУдалить
  6. mercury13-kiev, в этой задаче нельзя "взять наугад" — вы обязательно должны выбрать как провести хорду через точку. Есть много вариантов, но только один верный.

    ОтветитьУдалить
  7. Ну как, хоть одно из этих решений совпало с тем, которое вы придумали? И если да, то в какой мере вы теперь уверены в его правильности? ;)

    Я думаю в мере Лебега. :-)

    ОтветитьУдалить
  8. Анонимный03.03.2010, 22:56

    В принципе, понятно, что для решения задачи надо просто правильно выбрать, относительно чего хорды будут распределены равномерно.
    Т.к. исходно говорилось про _окружность_, то и применять эту равномерность, наверное, стоит к ней. А на окружности хорда задается двумя точками, но т.к. нас интересует только положение, но не длина, то и учитывать распределение надо только для одной. Т.е. я за вариант 2 (именно так я и решил сначала, так что, я в этом смысле пристрастен).

    Сейчас подумал, что есть еще вариант, когда равномерно будет распределена _длина_ хорды, тогда вроде как получается (2 - sqrt(3))/2

    ОтветитьУдалить
  9. Задача в такой формулировке не имеет решения. Ответ зависит от способа задания случайной хорды. Поскольку он в условии явно не указан, то однозначного ответа быть не может.
    1-й вариант верен, когда хорда задаётся точкой внутри окружности.
    2-й вариант - когда выбираются две случайные точки на окружности.
    3-й вариант - когда задаётся случайная точка на радиусе.

    Т.е. варианты различаются равномерным распределением на площади, окружности и радиусе.

    Например если взять 3-й вариант и разбить радиус на кусочки размером dx(сколь угодно малая величина), плотность концов хорд будет распределена неравномерно с точки зрения 2-го варианта(выбора точек на окружности). Отсюда и разница.

    ОтветитьУдалить
  10. А у меня нарисовалось еще одно решение с вероятностью arccos(1-sqrt[3]/2)/pi
    :)

    ОтветитьУдалить
  11. Анонимный04.03.2010, 2:52

    Поддержу MASTAN.

    Попробую обобщить.
    У хорды есть 3 скалярных параметра:
    - координата центра
    - точка на окружности (или угол)
    - длина

    Любая пара этих параметров однозначно определяет хорду и не менее однозначно даёт третий параметр.
    И зависят они друг от друга нелинейно. То есть при равномерном распределении любой одной пары, любая другая пара будет распределена неравномерно.

    Возможных пар 9, без повторов 6:
    - 2 координаты центра (вариант 1)
    - координата центра + угол (+-вариант 3)
    - координата центра + длина
    - 2 угла (+-вариант 2)
    - угол + длина
    - 2 длины (по-координатные)

    Все варианты где длина распределена равномерно имеет ответ, если я правильно ошибаюсь :) :
    1-sqrt[3]/4

    а остальные 3 уже рассмотрели.

    Вот и недостающее условие :)

    Виталий

    ОтветитьУдалить
  12. Внимание: спойлер!
    Всё не так просто. Некий Эдвин Томпсон Джейнс аж в 1973 (почти через сто лет после Бертрана) предложил свое решение этого парадокса.

    ОтветитьУдалить
  13. Вопрос в том, сохраняется ли равномерное распределение среди множества хорд, если параметры её задающие были равномерно распределены среди своих множеств, а если не сохраняется, то как зависит.

    ОтветитьУдалить
  14. alexsmail, кстати да, в русскоязычной википедии статьи пока нет. Надеюсь, это обсуждение задачи ускорит её написание :)

    Quark Fusion, как выше уже разобрались, из равномерности параметра не следует равномерность функции. Зависимости могут быть самыми разными - три примера уже предложены в самой заметке.

    Вопрос скорее в том, каким критерием пользоваться, чтобы отличить из всех возможных способов выбирать хорду именно тот, который даёт настоящее равномерное распределение.

    ОтветитьУдалить
  15. Внимание: спойлер!

    Вот здесь есть хорошая иллюстрация к тому "каким критерием пользоваться".

    ОтветитьУдалить
  16. Хорда, как и любая прямая однозначно определяется двумя точками, через которые проходит. Во всех вариантах решения предлагается определять вероятность по какой то одной точке. Мне кажется это и приводит к разным результатам.

    Своё решения я посчитать не в силах, но суть сводится к тому, что общая вероятность состоит из вероятностей двух точек: вероятность нахождения первой точки в окружности из решения №1 (т.е. если первая точка
    во внутренней окружности, то уже однозначно больше)
    и вероятность нахождения второй точки между двумя касательными к внутренней окружности из первой точки.

    Вероятность нахождения второй точки между касательными переменная, она уменьшается по мере удаления первой точки от центра окружности.

    ОтветитьУдалить
  17. Ошибку во втором способе я нашла быстро: множества точек кусков окружности, чьи длины соотносятся как 1/3, имеют одинаковые мощности.
    Так что второе рассуждение дает 1/2, а не 1/3, как кажется на первый взгляд.

    ОтветитьУдалить
  18. Алексей, я не понимаю, Вы в своём решении вибираете пару точек на окружности или внутри неё.

    Юлия А, почему из равенства мощностей двух множеств следует, что надо учитывать только одно из них?

    ОтветитьУдалить
  19. А где сказано что хорды выбраны равновероятно? Сказано лишь, что они выбраны случайно. Так что, скажем, случайный выбор всегда одной и той же хорды является допустимым, а значит и любой ответ в [0;1] является правильным.

    ОтветитьУдалить
  20. Илья Весенний, я выбираю две точки внутри окружности.

    В решении №1 говорится, что "Любая точка круга (кроме центральной) однозначно задаёт хорду, серединой которой является." Если я правильно понимаю, то все остальные хорды, серединами которых эта точка не является - не учитываются в решении.

    ОтветитьУдалить
  21. halyavin, вопрос в том, что такое равновероятно для хорд, а не в том, нужно ли оно здесь.

    Алексей, почему же не учитываются? Все остальные хорды, серединами которых эта точка не является, тоже имеют какую-то свою середину, так ведь? У нас есть взаимно однозначное соответствие множества всех хорд и всех точек внутри окружности (кроме центральной точки и всех диаметров). Поэтому все хорды будут учтены при выборе случайной точки из круга.

    ОтветитьУдалить
  22. Илья Весенний, я не совсем правильно выразился, конечно они учитываются, но вот при выборе случайной точки мы не определили однозначно хорду. Я считаю, что надо тыкнуть ещё раз, чтобы однозначно её определить.

    А из вероятностей для двух точек получать правильное решение.

    ОтветитьУдалить
  23. У задачи может быть и еще одно решение. Нужно найти априорное распределение Джеффриса хорд и уже согласно ему считать вероятность. Это распределение обладает тем замечательным свойством, что не зависит от того, рассматриваем ли мы углы, длины или расстояния до центра - оно зависит только от существа самой задачи. К сожалению, для нахождения ответа таким способом придется взять четыре сложных интеграла, но я надеюсь, что Mathematica мне поможет.

    ОтветитьУдалить
  24. Ой, что ж это я - распределение Джеффриса задает плотность вероятности параметров неизвестного распределения (принадлежащего известному семейству распределений), а не само распределение. К задаче этот метод применять нельзя.

    ОтветитьУдалить
  25. По поводу первого решения.
    через центральную точку проходит бесконечное множество диаметров, поэтому нельзя её исключать из рассчетов, как это сделано в вашем решении.
    Как её учитывать - непонятно (как сложить бесконечное число точек внутри окружности и бесконечное число диаметров через центр), но очевидно, что свой вклад в повышение вероятности более длинной хорды оно внесет.

    Лично я склоняюсь ко второму варианту.
    Хотя для полноты картины предложу четверый вариант:
    1/2 - либо длиннее, либо короче :)

    ОтветитьУдалить
  26. colog,

    Jaynes, E. T. (1973), "The Well-Posed Problem" (PDF), Foundations of Physics 3: 477–493

    ОтветитьУдалить
  27. Илья, я не говорила, что учитывать нужно только одно из них.
    Из равенства мощностей следует, что брошенная наугад точка равновероятно попадет в одно из них. То есть вероятность попадания в каждое 1/2.
    А не 1/3, как кажется, если измерять длину.

    ОтветитьУдалить
  28. Юлия А, из равенства мощностей двух множеств вовсе не следует, что брошенная наугад точка равновероятно попадёт в одно из них.

    Предложу контрпример: разобьём окружность на две дуги: 1/100 от длины окружности и 99/100 (оставшаяся дуга). Мощности этих двух дуг равны, но случайная точка окружности попадает на первую дугу только в одном проценте случаев, верно?

    ОтветитьУдалить
  29. А вы задумывались как выбрать случайную точку в круге? По какой системе координат?

    Если рассматривать хорду, как она описана в Википедии, то можно развернуть окружность в линию и выбрать на ней две точки равномерным случайным распределением, что даст нам равномерное распределение в множестве хорд.

    ОтветитьУдалить
  30. alexsmail,
    это действительно красивое решение, приводящее, кстати, к варианту №2 Бертрана. Но вот только оно основано на творческой интерпретации задачи, в которой равномерно распределенные по плоскости прямые падают на так же равномерно распределенные круги. Ни о чем таком в условии сказано не было, это даже не подразумевалось. Может быть и другая интерпретация с другим ответом. Например, наш круг - это не маленький кусочек евклидовой плоскости, а вся плоскость Лобачевского, изображенная в виде модели Клейна. Так как модель Клейна, подобно карте Земли, изображает плоскость Лобачевского с искажениями, инварианты переноса и поворота выглядят на ней совсем не так, как на обычной плоскости, и ответ получится, скорее всего, другой (мне кажется, он будет стремиться к нулю). Я как раз хотел получить аналогично "непредвзятый" ответ с помощью метода Джеффриса, но только по рассеянности перепутал его область применения. :)

    В общем, хорошо поставленный вопрос должен содержать половину ответа. А если её нет, приходится додумывать ее самостоятельно, читая между строк, анализируя контекст задачи и полагаясь на свое чувство прекрасного. В итоге разные люди получат разные ответы на разные вопросы, и только уточнение задачи определит, кто решил ее верно.

    ОтветитьУдалить
  31. Quark Fusion, как раз случайную точку в круге выбрать достаточно легко.

    А чем этот метод с выбором двух точек на окружности отличается от второго метода, описанного в этой заметке? Они совершенно одинаковы! Просто от выбора первой точки на окружности ничего не зависит, так как саму окружность можно "довернуть" (здесь применимы соображения о симметричности случая). Естественно, честный подсчёт по методу, на котором Вы настаиваете, тоже даст ответ 1/3.

    ОтветитьУдалить
  32. Прозрачная ж совершенно задачка... Не "два конверта".
    Сразу возникает вопрос - как выбирается случайная хорда. Как только он возник - все понятно.

    ОтветитьУдалить
  33. В первом и третьем пунктах однозначно нарушается понятние "случайной хорды".
    Со вторым еще сложнее.
    Что-то более правильное чем второй - придумать не получается.
    Тут уже было сказано, что хорду можно однозначно задать двумя параметрами. А в этом пункте она определяется одним.
    Вобщем вообще запутался :)

    ОтветитьУдалить
  34. Ровно 50%. Для решения задачи я задался вопросом - а сколько вообще длин хорд присутствует в окружности и стало очевидным, что все эти длины можно вписать всего лишь в половину окружности. Пусть все рассматриваемые нами хорды (нам ведь важна лишь их длина) будут параллельны основанию треугольника. Согласитесь, что это условие позволяет нам выбрать _любую_хорду_ допустимой длины. Сами же длины хорд будут равномерно распределены между 0 и 2R. Сторона нашего вписанного правильного треугольника t пересекает радиус R в точке r, причем R = 2r (cм.http://ru.wikipedia.org/wiki/Правильный_треугольник). Получается, что выбирая произвольную точку х на радиусе R мы также выберем и некую случайную длину хорды! А т.к. R = 2r, то выбранная хорда будет длинее стороны треугольника t ровно в половине случаев. Илья, так ли это? Или задача и правда не имеет решения?

    ОтветитьУдалить
  35. Илья Весенний, я как раз и писал про метод 2 — он, естественно, не отличается. Для любой точки окружности существует бесконечное количество вторых точек, для всех других — идентичный случай, поэтому можно одну из точек зафиксировать.
    Мне кажется, что если понимать хорду, как соединение двух точек на окружности, то правильный ответ будет 1/3, а остальные — неправильные.

    ОтветитьУдалить
  36. codebaker, я с вами не согласен — докажите, что длины хорд среди множества всех существующих хорд распределены равномерно.

    ОтветитьУдалить
  37. А давайте попробуем уйти от бесконечности? Определим круг как правильный многоугольник из конечнего числа углов, и хорду, как отрезок соединяющий эти углы, а вписаный треугольник, как треугольник, вершины которого совпадают с вершинами нашего "круга" и решим задачу в этих условиях?

    ОтветитьУдалить
  38. Анонимный05.03.2010, 20:20

    Uss(e)r

    Мне тоже нравится третий вариант Бертрана и похожее на него решение codebaker.
    Какова бы ни была хорда, ее можно расположить на перпендикулярном ей диаметре. На всей длине диаметра длина искомых хорд ограничена расстоянием, равным диаметру вписанного круга, или одному радиусу описанной окружности. Поэтому достаточно рассчитать вероятность попадания центра хорды в расстояние, равное радиусу описанной окружности. То есть ½.

    Ищем ошибки Бертрана. На мой взгляд, вариант №1 Бертрана неверен, поскольку допускает равенство рапределения центров хорд и рапределения хорд. Тогда как очевидно, что через одну точку может проходить бесконечное количество хорд, поэтому распределение центров хорд меньше, чем распределение самих хорд. Кроме того, как верно заметил AlexI, при таком подходе центральная точка дает дополнительную бесконечность диаметральных хорд.

    Вариант № 2 Бертрана также неверен, поскольку учитывает распределение координат только второго конца хорды. Очевидно, не учтено распределение координат первого конца.

    ОтветитьУдалить
  39. Анонимный, в варианте №2 второй конец распределён точно так же, как и первый, так что распределение первого конца учтено. Прочитайте мой комментарий от 05.03.10 19:35.

    ОтветитьУдалить
  40. Анонимный05.03.2010, 20:42

    Uss(e)r

    Quark Fusion, не вижу доказательства в комментарии от 05.03.10 19:35
    Там лишь допущение о возможности фиксации конца. То есть вероятность распределения припавнена к нулю.

    ОтветитьУдалить
  41. Илья,
    Спасибо вам - вы публикуете очень интересные задачки!

    Поразмышлял над этой пару дней - появились кое-какие мысли. Формулу пока приводить не буду (может я уже ошибся), скажу лишь численный результат - 2/9.

    Поскольку спойлеры читать не хочется, не могли бы прокомментировать "правильность" такого результата?
    Если я на верном пути, приведу формулу и рассуждения. Если нет - буду думать дальше.

    Спасибо!

    ОтветитьУдалить
  42. Oleg, спасибо за тёплые слова!
    Было бы интересно узнать, как Вы получили ответ 2/9 - пишите, пожалуйста. И интереснее всего было бы понять, почему этот ответ более правильный, чем три уже предложенных в заметке :)

    ОтветитьУдалить
  43. Илья,

    Прочитав все комментарии, я увидел, как минимум, одно упоминание своей идеи. И, судя по всему, этот ответ не очень-то "правильный". Но в таком случае теперь мне уже хочется понять, где ошибка в моих рассуждениях, поэтому позвольте изложить свои мысли ;)

    Суть вопроса сводится к понятию "случайности" выбора хорды. Если не сказано иное, очевидно, подразумевается равномерное распределение. Предмет равномерности (что именно должно быть равномерно распределено) и стал предметом обсуждения.

    Мне показалось, что наиболее правильно считать равномерным распределение хорд - такое распределение, при котором мы будем равномерно-случайно брать любую хорду из существующих (как шары из корзины). На окружности число хорд бесконечно. Однако, на правильном многоугольнике число всех "хорд" уже можно посчитать.

    Таким образом, я решил посчитать X - число всех "хорд" в правильном N-угольнике. Затем Y - число таких "хорд", которые длиннее вписанного в окружность равностороннего треугольника (очевидно, что тут подразумевается окружность, к которой стремится наш многоугольник при увеличении N). Для простоты я стал рассматривать только N кратные трем (6, 9, 12, ...) - для них легко построить вписанный равносторонний треугольник.

    Построив несколько частных случаев, я составил формулы для чисел X и Y, которые зависели от N. Взяв отношение Y / X и устремив N к бесконечности, я получил 2/9.

    Я мог ошибиться в расчетах, но мне хотелось бы услышать комментарий по поводу самой идеи. Разве это не самый верный путь - как бы "посчитать" все нужные хорды, аналогично тому, как мы бы посчитали черные и белые шары в корзине?

    ОтветитьУдалить
  44. Дмитрий07.03.2010, 22:09

    Oleg, вероятно, Вы ошиблись именно в расчетах. У меня по Вашему методу получилось 1/3. Конечно, и я мог ошибиться, но вроде бы Ваш метод и должен соответствовать варианту номер 2.

    ОтветитьУдалить
  45. Спасибо Дмитрий,

    Я перепроверил расчеты - у меня была ошибка. Я еще раз тщательно пересчитал, проверил на многих частных случаях - теперь ошибки быть не должно :)
    При увеличении N, искомое отношение действительно стремится к 1/3.

    В таком случае, если для любого правильного многоугольника искомая вероятность однозначно равна (стремится к) 1/3 (и других вариантов нет), мне кажется это и должен быть самый "правильный" ответ.

    В противном случае непонятно, в какой момент (при увеличении N) должен возникать "переход к непрерывности" и вероятность 1/3 должна меняться на что-то еще. С чего бы?

    ОтветитьУдалить
  46. У меня получилась 2/3. Считал так: по сути, каждую построенную хорду мы можем развернуть так, чтобы она была параллельна какой-то одной выбранной нами стороне треугольника. (поворачиваем ее мы только для нашего удобства) Следовательно, все хорды, что попадают в промежуток от края до стороны, и те, что попадают в симметричный промежуток с другой стороны круга - меньше, а все, что в середине между двумя сегментами - больше. Дальше: считаем, что "случайность" хорды зависит от выбора обеих ее концов на окружности. Остается оценить длины дуг сегментов, в которых хорда меньше стороны треугольника. Длина одной дуги - 2пR/3, двух, соответственно, 4пR/3, длина окружности у нас 2пR, итого ответ: хорда длиннее стороны в 2/3 случаях.

    Вот еще задачка, в свое время взорвавшая мозг (я ее так и не решил): на бесконечную плоскость случайно падают три точки. Какова вероятность того, что образованный ими треугольник будет остроугольным?

    ОтветитьУдалить
  47. В общем, я считал по третьему методу, только "случайность" хорды считал не по радиусу, а по длине окружности.

    ОтветитьУдалить
  48. Берем определение хорды http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A5%D0%BE%D1%80%D0%B4%D0%B0_%28%D0%B3%D0%B5%D0%BE%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D1%8F%29
    И становится ясно, что правильный ответ - №2

    ОтветитьУдалить
  49. Олег, тут дело не в определении хорды, а в способе ее построения.
    Ведь согласитесь, по какому бы из трех предложенных способов мы не построили хорду, все они соответствуют определению из википедии - соединяют две точки на окружности.

    ОтветитьУдалить
  50. 2Юлия А
    Соединять то они соединяют, но разные точки на окружности становятся "неравноправными" в результате применения таких способов построения.

    ОтветитьУдалить
  51. Вспомнился случай из моего студенчества. Он отдаленно похож на этот.

    Однажды дали нам задание - разбросать рэндомом точки внутри круга, примерно у половины студентов они располагались неравномерно.
    У одних было сгущение по краям(слева-справа или сверху-снизу) - это был результат того, что они получали х точки, фиксировали его, затем получали у, проверяли условие вхождения в круг, если не проходило - получали новую у.
    У других сгущение было посередине - это объяснялось выбором полярной системы координат.

    ОтветитьУдалить
  52. Вообще, проще всего разрезать окружность - представить ее в виде отрезка и тогда все станет совсем очевидно.

    ОтветитьУдалить
  53. Анонимный09.03.2010, 17:14

    1 и 3 варианты не учитывают хорд проходящих через центр круга. Второй вариант, на мой взгляд, правилен.
    Степан.

    ОтветитьУдалить
  54. Дмитрий09.03.2010, 22:01

    Олег:
    Берем определение хорды...
    И становится ясно, что правильный ответ - №2


    Вот так прямо сразу и все ясно? Хорда соединяет две точки окружности. Точку на окружности можно задать углом радиус-вектора от некоторого нулевого направления. Т.е. наша хорда - двумерная случайная величина (X,Y), где X и Y распределены на отрезке [0; 2π]. Искомой вероятностью будет интеграл от плотности вероятности f(x,y), областью интегрирования окажутся две полосы внутри квардата со стороной 2π, параллельные диагонали и образованные точками деления сторон на три части. Если распределение (X,Y) равномерное, то f(x,y)=1/4π^2 внутри квадрата, и мы получим ответ 1/3. Но при разных распределениях (X,Y) мы можем получать самые разные ответы. Можно лишь согласиться с тем, что равномерное распределение (X,Y) представляется наиболее "интуитивно справедливым".

    ОтветитьУдалить
  55. На мой взгляд само определение хорды задаёт её распределение и правильный ответ: 1÷3−1÷∞, потому как есть 1÷∞ (один из бесконечности) случаев, когда хорда будет равна стороне треугольника, кстати таких хорд бесконечное количество :)

    Методы 1 и 3 уже оперируют не с окружностью, а с кругом.

    ОтветитьУдалить
  56. Дмитрий10.03.2010, 19:27

    Quark Fusion:
    само определение хорды задаёт её распределение

    Но в определении хорды ничего не говорится о распределении.

    Методы 1 и 3 уже оперируют не с окружностью, а с кругом.

    Да, но при этом дают вполне корректные способы построения хорды.

    ОтветитьУдалить
  57. Ну я предполагаю, что на окружности есть некое распределение точек и треугольник не должен зависеть от этого распределения, иначе его позиция будет влиять на вероятность — распределение равномерное. Да и вообще, я принимаю это распределение не как случайное — точки отстоят друг от друга на равном, бесконечно малом расстоянии.

    Если предположить, что между точками конечное расстояние, но размер окружности бесконечный — распределение по этим способам изменится, поскольку вероятность считается при равномерном распределении по исходному параметру.


    Вообще есть много разных бесконечностей, точнее бесконечно в периоде много — тут мы опрерируя одной бесконечностью получаем другую, не равную ей, с другими свойствами. При этом простыми способами мы не можем отобразить одну бесконечность на другую. Все наши мысли о соотношении между двумя разными частями новой бесконесчности при таком простом подходе становятся неверны, т.к. распределение изменяется. Чтобы установить зависимость распределения нужно знать как хорды получаются из точек, а в задаче даётся несколько способов. Каждое из множеств построенных хорд бесконечно, но эти множества не равны.

    ОтветитьУдалить
  58. Дмитрий10.03.2010, 20:53

    Quark Fusion:
    на окружности есть некое распределение точек и треугольник не должен зависеть от этого распределения, иначе его позиция будет влиять на вероятность

    В задаче не говорится о позиции какого-либо конкретного треугольника, а только о длине стороны правильного треугольника, вписанного в окружность, которая просто-напросто равна радиусу. Так что фактически мы ищем вероятность того, что случайная хорда длиннее радиуса.

    я принимаю это распределение не как случайное

    А в задаче-то спрашивается именно про случайную хорду.

    Если предположить, что между точками конечное расстояние, но размер окружности бесконечный — распределение по этим способам изменится, поскольку вероятность считается при равномерном распределении по исходному параметру.

    Не понял, зачем рассматривать окружности бесконечных размеров. От радиуса окружности искомая вероятность не зависит, вместе с ним пропорционально растут и длина стороны вписанного правильного треугольника, и длины хорд. Не понял также, как от размера окружности может измениться распределение, по какому именно параметру распределение равномерное, и что дает основание вообще предполагать его равномерным, Вы же сами начали с того, что "есть некое распределение точек.

    Последний абзац совсем не понял.

    ОтветитьУдалить
  59. Сторона треугольника не равна радиусу, что за бред? Вы ошиблись.

    Случайная хорда из неслучайного распределения. При случайном распределении будет случайный ответ.

    Мне показалось, что рассматривать окружность бесконечного размера с конечным интервалом между точками можно также как и конечную окружность с бесконечно малым интервалом между точками — и там и там количество точек бесконечно и умножая вторую окружность на бесконечность мы получаем первую.
    От радиуса тут ничего не зависит, но в одном из решений зависит от распределения точек на этом радиусе.
    От размера окружности не может изменится распределение, оно меняется от расположения точек.
    Да, распределение должно быть таким, чтобы позиция треугольника от него не зависила, при условии, что вершины треугольника — точки это возможно только если интервал между этими точками одинаковый. Если есть зависимость от расположения треугольника на окружности, то ответ зависит от этого расположения, которое нам не известно.

    ОтветитьУдалить
  60. Дмитрий10.03.2010, 22:48

    Quark Fusion:
    Сторона треугольника не равна радиусу, что за бред? Вы ошиблись.

    Извиняюсь, радиус, умноженный на корень из 3, пропорциональна радиусу.

    От размера окружности не может изменится распределение, оно меняется от расположения точек.

    Так расположение точек собственно и формирует распределение.

    распределение должно быть таким, чтобы позиция треугольника от него не зависила

    Под это требование подходит любое распределение. В постановке задачи вообще не требуется реально вписывать в окружность треугольник в какой-либо позиции. Сравнивается длина хорды с длиной стороны такого треугольника, которая одинакова в любой позиции и выражается через радиус.

    При случайном распределении будет случайный ответ.

    О том и речь. Приведенные три примера именно это и иллюстрируют.

    ОтветитьУдалить
  61. Выше я немножечко ошибся в интерпретации полученного решения. В общем, хорда длиннее стороны в 1/3 случаев, все верно.

    ОтветитьУдалить
  62. Под это требование подходит любое распределение.
    Нет, не подходит, если бесконечно много хорд сосредоточены в одной(двух) точке, а во всех других — по одной, то всё зависит от того, как относительно сторон треугольника расположена эта точка (две точки). Так, к примеру, если большинство хорд на диаметре, то больше хорд будет длиннее стороны треугольника.

    Сторона треугольника выражается через радиус? Ну и что? Через длину окружности она тоже выражается. Или длина хорды выражается через радиус, но это уже бред и не рассматривается.

    Надеюсь, что мы уже разорались, что тут ответ зависит от распределения, о котором ничего не сказано, и его нельзя без этого распределения вывести, а значит, задача не имеет решения, если само определение не определяет (неявно) равномерное распределение оснований хорд — об этом нам также, выходит, не известно, а значит — задача не имеет решения.

    ОтветитьУдалить
  63. Дмитрий13.03.2010, 21:20

    Quark Fusion:
    всё зависит от того, как относительно сторон треугольника расположена эта точка

    Как раз от этого ничего не зависит. Если выбрана хорда и ее длина оказалась больше (или меньше) стороны правильного треугольника, вписанного в окружность в определенной позиции, то можно сколько угодно вращать треугольник, ориентируя его в любых ракурсах относительно хорды, ее длина так и останется больше (или меньше).

    А относительно зависимости от распределения - да, тут мы пришли к общему выводу.

    ОтветитьУдалить
  64. Ну да, от поворота треугольника ничего не меняется — я уже забыл, что думал, когда это писал. Всё зависит от расположения точек относительно друг друга. Два решения из трёх считают, что точки внутри круга расположены каким-то образом, одно — что точки на окружности.

    ОтветитьУдалить
  65. Вспомнил свою ошибку — я привязялся к варианту с фиксированием одной точки на вершине треугольника и с его поворотом поворачивалась эта точка и получался другой набор хорд. То есть одна точка меняла своё положение относительно других.

    ОтветитьУдалить
  66. Анонимный19.03.2010, 18:13

    Если я ничего не путаю, хорда взаимно-однозначно связана с дугой, которую стягивает. А радиус дуги равномерно распределен от нуля до π. Сторона треугольника — тоже хорда, угол соотв. дуги — 2/3π. Получается ответ №2 — вероятность 1/3.

    ОтветитьУдалить
  67. Уважаемый аноним, говоря "радиус дуги", Вы, вероятно, подразумеваете угол (раствор)?

    ОтветитьУдалить
  68. Анонимный24.03.2010, 2:16

    Уважаемый Илья, да, конечно, я имел в виду угол. Сам не знаю, как меня угораздило эти слова перепутать, видимо, слово "радиан" из подсознания не ту ассоциацию вытянуло... стыдно-то как...

    ОтветитьУдалить
  69. Уважаемый аноним, у всех бывают описки - это мелочи :)

    Важнее другое:
    Вы верно пишете, что "хорда взаимно-однозначно связана с дугой, которую стягивает". Но столь же правильно и другое утверждение - "хорда взаимно-однозначно связана с точкой, являющейся её серединой" (верно для хорд, не проходящих через центр окружности). А раз так, то ответ 1/4 тоже верен.
    Более того, "хорда взаимно-однозначно связана с расстоянием до центра окружности" (с точностью до поворота). Из этого сразу делаем вывод о том, что ответ 1/2 тоже корректен.

    Собственно, игра как раз в этом - объяснить, почему один способ лучше других. Или найти ещё одно объяснение, которое лучше трёх предложенных :)

    ОтветитьУдалить
  70. Анонимный25.03.2010, 20:00

    Вы долго будете обсуждать какое решение правильное?
    Каждое из этих решений правильное, просто в каждом случае у вас разные вероятностные пространства элементарных событий. Вероятность зависит от того как вы определите случайный треугольник. Всем учить определения!
    http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%92%D0%B5%D1%80%D0%BE%D1%8F%D1%82%D0%BD%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%81%D1%82%D1%80%D0%B0%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D0%BE

    ОтветитьУдалить
  71. Уважаемый аноним, Вы, видимо, хотели сказать, что всё зависит от определения случайной хорды. С треугольником-то всё ясно - от него нужна только длина стороны, а само его положение никому не интересно.

    А обсуждать правильность надо именно за тем, чтобы понять аргументы "за" каждое из решений. Чтобы стало отчётливо ясно, что тот ответ, который только что казался единственно верным, вдруг перестаёт быть привлекательным, хотя в нём не видны явные проблемы.

    Понимаете, "учить определения" - это не идеальный выход. Я видел много людей, которые зазубрили определения, но не понимали их. Мы же здесь пытаемся понять нюансы. И торопиться в таких вопросах не следует.

    P.S.
    На будущее:
    ссылки на википедию лучше оформлять тэгами, чтобы не городить неудобную ссылку на три строки.

    ОтветитьУдалить
  72. Анонимный26.03.2010, 12:57

    Да, конечно я имел ввиду хорду, это я оговорился. Решение зависит от того как вы определите случайную хорду.
    Знать определения не является панацеей, это не достаточное условие, но необходимое для того чтобы дискуссия хотя бы имела смысл, иначе она становится не конструктивной.
    Вы сказали что пытаетесь понять аргументы "за" каждого из решений. Считаете ли вы, что существует только одно правильное решение?

    ОтветитьУдалить
  73. Похоже, что в итоге мы пришли к тому, что либо хорда не совсем полностью определена, а конкретно — что же первично: расстояние от центра (радиус), точка середины (а почему не две точки равноудалённые от середины?) или две точки концов хорды.

    Думаю, что на самом деле мы просто не знаем каким образом круг сложен из точек, а поэтому мы просто не можем решать подобную задачу. Все ответы можно признать не на 100% верными, поскольку ни один из них не подтверждает, что точки внутри круга распределены именно так (каждый способ задаёт своё распределение хорд). Лично мне больше всего нравится способ, не учитывающий точки внутри круга.
    Однако, опираясь на разницу между кругом и окружностью и определение хорды как отрезок, соединяющий две точки окружности, мне кажется, что рассматривать внутренность круга вообще не стоит, соответственно все методы, опирающиеся на точку внутри круга — тоже. Я могу принять тот факт, что всё множество хорд не пересекает всех точек внутри круга, а значит и точка внутри круга не однозначно связана с хордой (для однозначности требуется дополнительное условие), а вот две точки определяют хорду совсем однозначно. Что самое интересное, так это то, что одну точку на плоскости нельзя однозначно определить относительно другой точки, а на окружности абсолютно любые две точки однозначно задают длину хорды. (На плоскости нужна ещё точка, определяющая круг.)

    ОтветитьУдалить
  74. Дмитрий27.03.2010, 17:05

    Анонимный: Считаете ли вы, что существует только одно правильное решение?

    В исходной статье приведены три вполне корректных рассуждения. И видимо, можно еще придумать. То, что они приводят к разным ответам - результат того, что в каждом из них неявно предполагается равномерным распределение конкретной, в каждом случае своей, случайной величины.

    Как на практике проверить вероятность? Провести большое количество экспериментов и заняться подсчетом количества. Вот как только дойдет дело до генерации случайных хорд, так сразу и станет ясно, что от генератора все и зависит. А корректен любой способ построения, если он в результате на выходе дает хорду.

    Выше я уже изложил чисто формальное решение. Для того, чтобы вычислить вероятность, надо проинтегрировать плотность вероятности. А плотность вероятности - это характеристика распределения случайной величины, т.е. некоторая данность. Из условий задачи она нам неизвестна.

    ОтветитьУдалить
  75. Анонимный17.04.2010, 23:32

    "Правильное" решение этой проблемы можно получить, если подходить к ней как физик, а не математик. Именно так и сделал Jaynes, который и был физиком. Попробую объяснить его аргументы, как я понимаю их. Главная его идея заключается в том, что мы не должны добавлять ничего, скрытно или явно, к тому, что задано в условиях задачи. В условиях задачи ничего не сказано о положении и размере окружности на плоскости, поэтому мы не должны предполагать, что мы их знаем. Следовательно, правильным является то решение, которое инвариантно по отношению к положению и размеру окружности. Дальше Jaynes доказывает, что существует только одно решение, удовлетворяющее требованию инвариантности, поэтому именно это решение и разумнее всего считать правильным.

    Теперь попробую объяснить, как бы я подошел к решению этой проблемы. Представьте себе "дождь" прямых линий, падающих с неба на бесконечную эвклидовую плоскость. Конечно, дождь может быть более интенсивным в одном месте, чем в другом, а в некоторых местах вообще нет дождя. Ориентировка упавших линий на плоскости также может иметь как предпочтительное одно направление, чем другое. Если такого рода неравномерность распределения дождя имеет место, то ответ, который мы получим, очевидно будет зависеть от того, где мы поместим нашу окружность и от её размера. С другой стороны, если интенсивность додждя одинакова везде на бесконечной плоскости и ориентировка упавших линий распределена равномерно от 0 до 360 градусов в каждой точке бесконечной плоскоти, тогда очевидно мы получим один и тот же ответ не зависимо от положения и размера нашей окружности. Это означает, что при расчете вероятности, о которой идет речь в задаче, мы должны рассматривать не только точки внутри окружности, а точки во всей бесконечной эвклидовой плоскости. Я не провел математические расчеты, но что-то мне подсказывает, что мой подход приведет к тому же результату, что и подход Jaynes, потому что мой подход удовлетворяет требованию инвариантости, о которой говорит Jaynes.

    Кстати, Илья, получил Ваше письмо с возражениями по поводу проблемы двух конвертов, на которое я ответил с моими комментариями, но не знаю получили ли Вы мой ответ.

    Arthur

    P.S. Credit is due to my wife for typing all this in Russian.

    ОтветитьУдалить
  76. Arthur, спасибо Вам и Вашей жене, что нашли время так чётко и ясно всё записать! Выше была ссылка от alexsmail на статью Jaynes, но гораздо удобнее увидеть основную идею в таком сжатом и понятном виде. Полагаю, теперь многим станет яснее, что среди трёх предложенных способов подсчёта вероятностей есть более предпочтительный.

    Лет 10 назад я пришёл к аналогичному решению этой задачи, поэтому она мне так нравится :)

    (Артур, Ваш ответ я получил)

    ОтветитьУдалить
  77. Анонимный20.04.2010, 4:20

    Илья, рад, что наши мысли совпали по поводу этой задачи, это говорит в пользу того, что мы идем по правильному следу. Теперь технические детали расчета. Нам могут возразить, что равномерное распределение дождя по бесконечной плоскости невозможно потому, что интеграл любой постоянной плотности распределения вероятности отличной от нуля по бесконечной плоскости не может равняться, как положено, единице. Это возражение легко отклоняется следующим образом. На плоскости 0xy выберем окружность произвольного радиуса r с цетром в начале координат. Эта окружность, относительно которой мы и будем рассчитывать вероятность, о которой идет речь в задаче. Возьмем другую окружность большего радиуса R, которая концетрична первой.

    Положим, что распределение дождя равномерно внутри большой окружности, а вне этой окружности распределение дождя равно нулю, т.е. нет дождя. Предельный переход радиуса R большой окружности к бесконечности и даст нам нужный результат.

    Ясно, что область интегрирования представляет собой трехмерное фазовое пространство в виде шайбы с толщиной 2π и радиусом R.

    Способ интегрирования, который сразу приходит в голову, это взять любую точку на плоскости и подсчитать вероятность для группы прямых линий, которые проходят черех эту точку, затем проинтегрировать по всем точкам плоскости. Но такой способ интегриования влоб потребует большой затраты умтсвенного труда и даже большей математической сноровки. Как говорил Ильич, мы пойдем другим путем - путем наименьшего сопротивления.

    Давайте сгруппируем прямые линии, или соломенки, как любовно Jaynes назвал их, по наклону θ к горизонтальной оси 0x, каждому углу θ соответствует бесконечный набор соломенок, и у нас получится бесконечное количество таких наборов. Но поскольку у нас полная симметрия по θ, нам достаточно рассматривать лишь один из этих наборов, например, набор всех горизонтальных соломенок: θ=0. Соломенки, лежащие ниже самой нижней точки на малой окружности, а также те, которые лежат выше самой верхней точки малой окружности, не дают никакого вклада в вероятность, которая нас интересует. Вклад в вероятность будет определяться "количеством" точек на каждой соломенке, которая пересекает малую окружность и концы которой лежат на большой окружности, и "количеством" таких соломенок.

    Длина соломенки и есть "количество" точек на соломенке. Длина диаметра малой окружности и есть "количетсво" соломенок на разных уровнях.

    Теперь достаточно устремить радиус R большой окружности к бесконечности, чтобы стало ясно, что требуемая вероятность будет равна 1/2, которая, как мы и предполагали, совпадает с решением, предоженным Jaynes.

    P.S. Сегодня получил ваше письмо и ответил с приложенной статьей австралийских авторов по проблеме двух конвертов.

    ОтветитьУдалить
  78. Артур, спасибо за содержательное дополнение, раскрывающее ответы на почти все вопросы, которые только могут возникнуть!

    ОтветитьУдалить
  79. Анонимный16.03.2011, 14:36

    предлагаю свой вариант...он похож на решение с двумя точками на окружности, но в нем просматривается еще одно событие, которое несомненно должно присутствовать. Это событие - когда хорда равна длине окружности. Предлагаю рассмотреть правильный 3*n-угольник, где n- натуральное число при n>1 видно , что число отрезков соединяющих вершины длиной меньше стороны "вписанного треугольника" (треугольник вписанный в описанную вокруг многоугольника окружность) составляет половину отрезков длиной больше стороны треугольника. И n отрезков будут равны стороне.
    Увеличивая число n до бесконечности. n-угольник будет приближаться к описанной вокруг него окружности, а отношение меньших отрезков к большим будет оставаться неизменным.

    ОтветитьУдалить
  80. Анонимный07.09.2011, 7:01

    Задача не имеет корректного решения по той простой причине, что она некорректно сформулирована, а именно не введено понятие о том, какие две хорды являются равновероятными в этой окружности.

    И парадокс заключается не в том что у задачи якобы есть несколько корректных решений (если доопределить разными способами равновероятность хорд, то да, есть разные решения), а в том, что Вы Илья, являясь проповедником а-ля "зри в корень" и "отсекай некорректное", сами не видите этого.

    ОтветитьУдалить
  81. Уважаемый аноним, спасибо за интерес к парадоксу Бертрана. Естественно, эта задача недоформулирована. Но согласитесь, что если бы в условии было дано чёткое определение, что такое «случайно выбранной хорды в этой окружности», то задачу было бы неинтересно обсуждать.

    А так мы получили возможность рассмотреть несколько разных "решений", авторы которых могут быть совершенно уверены в своей правоте. А ведь очень важно уметь понять чужое решение (приводящее к другому ответу), когда уже в своём уверен, так ведь?

    И в результате этого разбора человек может осознать, что все эти решения вроде бы хорошо обоснованы (как и его). Но такая задача должна иметь только один ответ (число от 0 до 1). И это должно насторожить и помочь лучше понять непростые вероятностные моменты. Т.е. это учебная задачка, а не математическая проблема.

    В комментариях, кстати, приведены очень хорошие доводы в пользу одного из определений равновероятных хорд. Если эти аргументы покажутся достаточно крепкими, то можно будет считать, что условие задачи достаточно полно (в том смысле, что мы сможем хорошо обосновать один из этих ответов).

    Ещё раз благодарю за интерес и комментарий.

    ОтветитьУдалить
  82. Анонимный07.09.2011, 14:38

    Хорошо, я видимо Вас не понял. Просто в одном из сообщений Вы высказали, мол "отлично, я согласен с Вашим решением", хотя правильный ответ: решения на самом деле здесь нет.

    ОтветитьУдалить
  83. Результат 4/9. Решение предоставлю позже.

    ОтветитьУдалить
  84. http://mr-brom.livejournal.com/29244.html
    По ссылке выше представляю вам полностью решение Парадокса Бертрана. Ответ 4/9.
    Прошу откомментировать и раскритиковать )

    ОтветитьУдалить
  85. mr-brom,
    я прочитал Ваше решение. На первой странице Вы заявляете, что получите ответ 4/9, но на последней странице сообщаете, что "Ответ: 1/3". По решению видно, что именно к 1/3 Вы и шли, так как выбрали путь равномерного распределения углов, задающих концы хорды. В заметке выше был предложен этот же подход (под номером 2), но гораздо менее формально. Благодарю за столь подробное описание своего решения. Полагаю, кому-то оно может пригодиться для лучшего понимания задачи.

    ОтветитьУдалить
  86. Лукомор03.03.2012, 15:03

    Я также прочёл решение mr-brom, но я не нашёл в этом решении чего-либо нового.
    Это решение действительно единственно правильное, но только для выбранного автором определения хорды, как "отрезок прямой, соединяющий две точки окружности".
    Если же принять другое известное определение хорды, как "отрезок секущей прямой, расположенный между точками пересечения с окружностью", то получится другой единственно верный результат.
    Кроме того, автору необходимо было-бы как-то геометрически формализовать понятие "выбора случайной точки на окружности".
    Мне думается, что получить случайную точку на окружности геометрически нельзя, иначе как пересечением этой окружности некоторой случайной прямой.
    Значит две случайных точки получаются у автора путём проведения двух различных случайных прямых. А это нехорошо, ведь каждая из этих двух случайных прямых даёт уже свою случайную хорду, которую мы просто выкидываем из рассмотрения.
    В общем, тут надо ещё много-много думать, прежде чем объявлять задачу Бертрана полностью решенной.
    С уважением,
    Лукомор

    ОтветитьУдалить
  87. И всё-таки мне не даёт покоя один вопрос, касающийся этой задачи.
    Официальная точка зрения на решение задачи о случайной хорде (по крайней мере точка зрения, излагаемая во всех без исключения университетских и пединститутских курсах теорвера) есть следующая:
    "Случайную хорду можно определить по-разному, следовательно все три решения правильны, но относятся к разным задачам".
    Это понятно, но вот список имён, (и каких имён!) учёных, которые однозначно отдавали предпочтение третьему варианту решения задачи (Р=1/2), считая именно этот вариант решения единственно правильным: Анри Пуанкаре, Эмиль Борель,
    Отто Юльевич Шмидт, тот же упомянутый здесь Эдвин Джейнс.
    Едва ли найдётся хотя бы один учёный подобного уровня, который бы также однозначно высказывался за второй вариант, и уж тем более за первый.
    Может быть эти корифеи твёрдо знали что-то, о чём мы теперь можем лишь догадываться, в тщетных попытках приподнять завесу тайны?
    Меня лично в задаче Бертрана интересует как раз не наличие или отсутствие единственно правильного решения, а именно корректность дополнительных условий или ограничений, которые приводят в итоге к одному из трёх (четырёх, пяти...) как бы верных решений.
    Моё мнение следующее: Каждое из приведенных здесь решений получено путём добавления к условию задачи некоторых дополнительных условий (ограничений).
    Каждое из этих ограничений определяет некоторое подмножество из множества случайных хорд не эквивалентное исходному множеству.
    Соответственно, каждое из дополнительных условий, добавленных к исходному условию задачи, приводит к нахождению некоторой условной вероятности при дополнительных условиях таких-то и таких-то.
    Отсюда вывод: прежде всего нужно найти способ описать всё множество хорд, и найти полную вероятность того, что случайная хорда будет длиннее некоторого заданного условием задачи значения.
    Это и будет решением задачи Бертрана.
    А уже потом будет интересно посмотреть, как с помощью дополнительных условий из полной вероятности получаются условные вероятности, соответствующие каждому из этих дополнительных условий.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. > Может быть эти корифеи твёрдо знали что-то, о чём мы теперь можем лишь догадываться, в тщетных попытках приподнять завесу тайны?
      Они и не скрывали своих объяснений. Выше в комментариях Вы можете найти пояснения и ссылку на википедию с более подробным объяснением.

      Моё понимание здесть такое: есть строгий язык математики, а есть русский (английский или любой другой) человеческий язык, на котором мы формулируем задачу. Естественно, при переводе со второго на первый возможны неоднозначности (кстати, об этом была заметка). Но у великих учёных есть представление, на какие интуитивные соображения лучше опираться, чтобы эти неоднозначности разрешить.

      Ещё раз:
      - т.к. в математике нет устоявшегося определения понятия "случайная хорда" (т.е. отсутствует чёткое представление о том, как их можно строить равновероятными), то исходная задача не является корректной,
      - но мы можем договориться о каком-то способе понимания этого выражения (и лучше выбор этот сделать не от фонаря, а хорошо подумав, чтобы это имело большой смысл),
      - поэтому великие учёные выступают за одно из пониманий (интересно, что почти всем нравится одно решение).

      Если бы случайные хорды были на переднем крае науки, то определение для них уже давно бы закрепили. А пока мы имеем забавную задачку для массажа головы :)

      Удалить
  88. Анонимный10.06.2012, 7:03

    Ребята, да все очень просто - все приведенные решения ВЕРНЫ!
    Более того, можно даже доказать что ответом будет ЛЮБОЕ ЧИСЛО из отрезка [0,1]. Надо было на лекции по теорверу ходить, лодыри! =Р

    PS: кто докажет - тому сахарок ;)

    ОтветитьУдалить
  89. Анонимный07.01.2013, 15:47

    Бред, хоть кто нить из здесь присутствующих умеет думать, или способен только определения зубрить??)))

    В тервере основная цель сравнить всё множество всех возможных вариантов и множество интересующих нас вариантов. Нас интересует длины хорд, и поэтому необходимо сравнивать множество хорд

    Вариант 1. На одну хорду приходится большее множество точек вне круга, чем на одну хорду из круга. Но мы сравниваем именно количество точек, а не хорд. А точек находящихся вне вписанного круга больше, чем в нем. Т.е. множество неуд. исходов значительно больше => Вероятность занижена.
    Неверно

    Вариант 3. Сектор окружности ниже середины радиуса больше, чем выше середины радиуса. Т.е. множество начало-концов хорд больше, а мы считаем их равными. Вероятность завышена.
    Неверно

    Вариант 2. Единственный способ где сравниваются именно интересующии нас множества. И как следствие, верное решение
    Верно

    П.С. Способ 3 чисто сводиться к этому. Только сравнивайте не отображенное на радиус множество, а исходное. В способе 1 оцените отношение мощностей множеств различных хорд проведенных через точки и получите теже самые 1/3


    Спите с девочками, а не с учебниками=)))
    537Кр

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. > Нас интересует длины хорд, и поэтому необходимо сравнивать множество хорд
      Если бы хорд было конечное число, то можно было бы легко перечислить их, разделить на две группы, пересчитать количество хорд в каждой из групп. Но наше множество "чуть-чуть" сложнее, поэтому тут может быть удобнее сравнивать не мощности множеств хорд двух типов, а мощности множеств, равномощных нашим множествам хорд двух типов. Это корректный переход, который часто используется для упрощения решения.

      > А точек находящихся вне вписанного круга больше, чем в нем
      Я не совсем понимаю это утверждение (оно мне кажется ложным). Можете пояснить?

      Удалить
    2. Анонимный08.01.2013, 1:58

      Ну, не длин хорд, количество хорд, немного не правильно выразился

      Блин, не люблю я подробно описывать, ну ладно, распишу все по точнее. Покажем какое решение верно, и как мы получаем неверные

      Прежде всего вспомним, что хорда это прямая соединяющая две точки на окружности (вроде так=)))
      Вариант 2. Возьмем точку с вершины треугольника. Рассмотрим множество искомых точек. Выше показано, что длина такой дуги = 1/3, т.е. это 1/3 от общего количества точек. Вообщем вероятность = 1/3, здесь все понятно.
      Вообще далекие от математики люди могут возразить, что типа не верно, потому что мы фиксируем точку и не рассматриваем другие. Объясню для них просто. Зафиксируйте одну точку, постройте удовл хорды, а затем умножите количество таких хорд, на количество точек на длине окружности 2пиR. Теперь постройте неуд хорды, так же умножите их количество. Берем отношение данных множеств, умножение на 2пиR сокращается, и получаем что и было

      Вариант 3. "Точка на радиусе". Введем сразу обозначения. Треугольник А А1 А2 (А верх), О - центр окружности. ОВ - радиус перпендикулярный основанию А1А2. О1 -середина данного радиуса.
      Тогда мы имеем что хорды ниже О1 неуд искомым, выше О1 - удовлетворяют. Проведем диаметр параллельный А1А2, пусть он С1С. В итоге имеем, что удов. хорды лежат одним концом (второй тоже самое, рассматривать не будем) на секторе С1А1 (30 град), а неуд - А1В (60 град). Сравнивая длины данных сектор мы получаем, что искомые есть 1/3.
      В данном же решение мы рассматриваем, по построению, пересечение хорд с радиусами. Фактически мы отображаем не равные множества С1А1 и А1В на прямую и получаем равные множества ОО1 и О1В. Отсюда и получаем ошибку и ответ 1/2

      Вариант 1. Сохраним обозначение и добавим вписанный круг. Очевидно что введенное ранее ОО1 есть его радиус r.
      Здесь ошибка заключается в неправильно построении множества хорд. Как и в варианте 2 зафиксируем начало хорды в вершине. Далее будем вращать, засекая середины получившихся хорд. Рассмотрим половину окружности (в другой так же). Мы получим траекторию имеющую начало в А и конец в О. Нетрудно догадаться, что это будет полуокружность с радиусом r. Рассмотрим ее пересечение с вписанным кругом - точка D (после нее будем иметь удовл хорды), и пересечение круга с ОА - D1.
      Имеем: ОD1 = r, DD1 = r , ОD = r, т.е. угол DOD1 = 60 град. Сектор полуокружности ОD1 тоже = 60 град. Середины удовл хорд лежат на данном секторе. Вся полуокружность = 180 град => искомое множество 1/3.
      Как мы получаем здесь ошибку с 1/4. Принцип тот же самый что и в варианте. По сути мы строим хорды так же на радиусе (здесь важно четко понимать, что мы делать и не спутаться с вар. 1). Фактически происходит тоже самое выпрямление множеств, их проецирование на радиус. Спроецируем сектор ОD на радиус OD1 - ОК, он делит его пополам. Т.е. мы имеем ОК есть 1/4 от ОА


      Да, длинновато получилось, а я предупреждал))

      .

      Вроде не сложная же задачка. Очевидно же все. Прочитал на вики, кто там задрачивался че то в 1973 году, какие-то интегральные уравнения, инварианты разные, доказал, что верен способ 1. Круг там бросал какой-то еще. Может логика у него и есть, но она лишь доказывает, что построение по способу 1, по идее, дает равновероятные хорды и мы получаем равномерное закрашивание)))
      Все же проще значительно=)))) Лучше бы трахал блондинок, а не мозги свои))))

      537Кр

      Удалить
    3. Анонимный23.11.2013, 20:45

      Задача простенькая, но твои расчеты неверны для последних двух методов. Третий, кстати и в самой задаче неверен. Все потому, что ты по своему определил метод выбора случайной величины, что и подтверждает парадокс.

      Удалить
  90. Анонимный03.10.2014, 13:14

    Я не понимаю о чем спор
    Длина хорды может быть равновероятно от 0 до 2R
    Длина стороны вписанного треугольника известна - это R*sqrt(3)
    Значит вероятность того, что сторона треугольника меньше хорды равна (2R-R*sqrt(3))/2R
    или 1-sqrt(3)/2 что примерно 0,13.

    Кому не нравится, что хорда может быть равна 0 подставьте значение 0,00000000000001, результат не сильно изменится.
    Проблема в том что нам не задана толщина окружности и хорды, отсюда и все разночтения в результатах.
    Если их принять бесконечно малыми то получится результат как у меня.

    ОтветитьУдалить

Понравилась заметка? Подпишитесь на RSS-feed или email-рассылку.

Хотите поделиться ссылкой с другими? Добавьте в закладки:



Есть вопросы или предложения? Пишите письма на адрес mytribune АТ yandex.ru.

С уважением,
      Илья Весенний