25 мар. 2010 г.

Бесконечность - не число!

Две вещи действительно бесконечны:
Вселенная и человеческая глупость.
Впрочем, насчет Вселенной у меня
есть некоторые сомнения.
Альберт Эйнштейн

Недавно мы уже поднимали этот вопрос, но он так важен, что стоит остановиться на нём подробнее.

Если про один объект иногда говорят такие же слова, как про другой, то это не значит, что эти объекты имеют одинаковые свойства.

Вышло длинное и непонятное предложение, поэтому поясню примером:
Можно сказать «позвони по телефону», а можно сказать «позвони в колокол» - очень разные действия, но один глагол. Из этого нельзя делать вывод, что все остальные действия с телефоном (приём SMS, память на 200 номеров и так далее) свойственны колоколу. Это настолько очевидно, что данный абзац выглядит абсурдным.

Но почему тогда многие так легко оперируют со словом бесконечность, как будто это число? Да, к бесконечности можно применять некоторые действия, которые успешно проходят с числами (сделав необходимые оговорки):
   2 + ∞ = ∞,
   ∞ - 5 = ∞,
   2 * ∞ = ∞,
   ∞ / 5 = ∞,
   ∞ + ∞ = ∞ (более того, ряд вещественных чисел часто расширяют ещё парой элементов +∞ и -∞, но строго оговаривают, как с ними можно обращаться).

Это значит, что далеко не всё с такими «бесконечностями» можно делать. Например, ∞ - ∞ = ? (здесь мы имеем неопределённость, так как не можем дать ответ, не зная природы этих двух «бесконечностей»). Во всяком случае, наивно сразу говорить, что разница будет нулевой.

Ахиллес и черепахаА уж если начинаются разговоры про то, что какая-то величина стремится к нулю или бесконечности, то очень часто до корректных рассуждений дело так и не доходит. Кстати, полгода назад мы разбирались с бытовым применением понятия бесконечности. Нам тогда удалось «доказать», что сумма катетов треугольника всегда равна гипотенузе. Это был не очень простой, но полезный пример. Есть куда более древние и знаменитые построения, которые выглядят столь просто, что совершенно не ясно, как с ними возможны какие-то проблемы.

Давайте вспомним классическую апорию Зенона:
Если известно, что Ахиллес бегает в десять раз быстрее черепахи, а находится от неё на расстоянии в 1 километр, то за время, которое Ахиллес потратит на этот километр, черепаха проползёт 100 метров. Соответственно, когда Ахиллес пробежит ещё 100 метров, черепаха проползёт 10 метров, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечности, а Ахиллес никогда не сможет догнать черепаху, хотя перемещается быстрее.

Способность говорить внятные вещи по поводу таких задач необходима, чтобы хоть как-то понимать рассуждения о стремлении, пределе, бесконечности и прочих интуитивно ясных, но достаточно сложных понятиях. Без этого разговор обычно скатывается в «у кого голос громче», хотя смысл математической науки вовсе не в том, чтобы любой ценой не дать себя переубедить. Увы, последние десятилетия всё меньше людей отличают корректное от наукоподобного, поэтому часто более важным считается перекричатьубедить, чем приблизиться к истине.

Итак, каким образом можно разрешить проблему с Ахиллесом и черепахой? Пожалуйста, не пишите, что как только Ахиллес пробежит второй километр, черепаха останется далеко позади. Это очевидно каждому, но совершенно не помогает. Тут нужно почувствовать проблему в исходном решении, а не придумать свой взгляд на то же условие.

Хорошего вам дня!

55 комментариев:

  1. Каждый следующий шаг до черепахи Ахиллес будет делать все быстрее. В итоге получаем бесконечную сумму бесконечно уменьшающихся времен. Которая сама по себе конечна.

    ОтветитьУдалить
  2. Xа=Va*t=10*Vч*t
    Xч=Vч*t+1
    Xa и Xч в километрах
    Приравниваем Xa=Xч
    10*Vч*t=Vч*t+1
    9*Vч*t=1
    t=1/(9*Vч) - время, через которое Ахиллес догонит черепаху.

    ОтветитьУдалить
  3. Да просто на каждом участке скорость Ахиллеса будет все меньше и меньше, это подрузамевается условием задачи, что бы не обогнать черепаху он двигается все медленнее, через бесконечное количество времени он ее догонит.

    ОтветитьУдалить
  4. Проблема исходного решения в том, что бесконечность делений времени не означает бесконечности для длительности по времени.
    В этом суть, а как это почувствовать, это очень хороший вопрос.

    ОтветитьУдалить
  5. Просто они встретятся в точке 1,(1) км.
    Поскольку число - конечное (ведь оно меньше 1,2 например), просто выражается _бесконечной_ периодической дробью.

    А после этого Ахиллес естественно обгонит черепаху.
    CrabMan верно решил задачу

    ОтветитьУдалить
  6. Почему-то в комментариях нет ни слова о сходимости ряда. А как мне кажется, в данном решении это ключевое слово.
    А в решении мы получаем сумму геометрической прогрессии, а она сходится :)

    ОтветитьУдалить
  7. Не нашел обозначение проблемы в последних трех абзацах.
    =(

    Больше всего понравилось объяснение Plushkin Kot, когда нам на философии рассказали про эту задачу, тоже таким образом объяснил.

    Пространство и время величины недискретные(так ведь?), следовательно можно бесконечно разбивать их интервалы, так и не преодолев нужную отметку.

    Автору - спасибо, что ведете блог, помогает моим мозгам не завянуть.

    ОтветитьУдалить
  8. Попробую уточнить свою мысль.

    По-моему важно понять, что мы ищем. В этоq формулировке мы ищем не момент, когда Ахиллес обгонит черепаху, а момент, когда он ее догонит, то есть конкретную точку во времени/пространстве.
    Это важно осмыслить для прочувствования, так как этой точке и стремиться наш предел, и за нее дальше по времени и пространству никак не выйдет.

    В итоге мы дробим на участки, их действительно бесконечноть.
    Но ряд длительности по времени прохода этих участков сходится к конкретной точке.
    И поэтому бесконечность разбиения не имеет ничего общего с бесконечным временем, это просто разные вещи.

    Но эти два понятия путаются, возможно психологический эффект, каждую интерацию мы проговариваем одинаковое время, как будто это одинаковые промежутки, и не появляется ощущения сходящегося ряда.

    Как-то так, может кто понятнее опишет.

    ОтветитьУдалить
  9. когда мы рассуждаем так(про 100м итд),мы овершенно упускаем из виду время,и в итоге рассматриваем t->t0, где t0-время,когда они сравняются. необходимо же просто рассматривать одинаковые промежутки времени, а ещё лучше просто использовать математику,как CrabMan

    ОтветитьУдалить
  10. 2pestsov: Вопрос стоит не как решить (это вроде бы сложности не представляет), а что не так с рассуждениями Зенона.

    ОтветитьУдалить
  11. Кажется, мне удалось выделить заблуждение, на котором держится этот софизм: если бесконечно много элементов множества X обладает некоторым свойством, то этим свойством обладает все множество. Доказано, что в бесконечно много моментов времени Ахиллес отстает от черепахи, следовательно, он будет отставать все время.

    ОтветитьУдалить
  12. Илья Весений У вас форма отправки комментария сбоит Уже не первый раз я пишу комментарий, а при отправки получаю сообщение об ошибки от Google, что какое-то поле не заполнено. После этого весь написанный пост пропадает и по кнопке back его тоже нет. Почините, пожалуйста баг, спасибо.

    ОтветитьУдалить
  13. Коротко, я писал о том, что бесконечного ряда не получается по причине дискретности времени и пространства, поэтому суммы получаются конечными.

    ОтветитьУдалить
  14. Добавлю к комментарию Plushkin Kot:

    Ахилл пробежит всё это бесконечное число отрезков за конечное время, которое есть сумма ряда (здесь мне стало лень).
    можно ещё для интереса сравнить результат с прямым вычислением через скорости.

    (OpenID глючит)

    ОтветитьУдалить
  15. 2alexsmail: Так а разве если бы пространство-время было континуальным, ряд 9/10^n бы расходился и Ахиллес бы не догнал черепаху?

    ОтветитьУдалить
  16. Анонимный26.03.2010, 4:50

    с моей точки зрения, отрезок времени тоже должен иметь какое-то минимальное значение, которое уже нельзя больше делить. тогда и вся проблема бесконечности и невозможности догнать исчезает.

    ОтветитьУдалить
  17. Анонимный26.03.2010, 6:47

    "Ахиллес пробежит ещё 100 метров, черепаха проползёт 10 метров, и так далее. Процесс будет продолжаться до бесконечност" - неверно! Сумма бесконечно убывающей прогрессии КОНЕЧНА.
    Артём.

    ОтветитьУдалить
  18. Проблема в том,что учитывается только растояниие и не учитывается время, за которое эти кусочки растояния преодоляются.

    ОтветитьУдалить
  19. никакого противоречия нет. таки да, в такой системе отсчета, в которой время экспоненциально замедляется (а именно она вводится, когда Ахиллесу предполагается "сначала" бежать 1 км, "потом" 100 м, "потом" еще 10 м, и каждое "потом" полагается равносильным предыдущему), Ахиллес не догонит черепаху "никогда". Но это называется "сами себя запутали" :)

    ОтветитьУдалить
  20. CrabMan, Ваше решение понятно, но не ясно, как оно помогает понять проблему классического "решения".

    Maxx, это неверно. Скорость Ахиллеса постоянна, поэтому неправильно говорить, что она будет всё меньше и меньше.

    Никита, и Вам спасибо за тёплые слова :)

    alexsmail, вопрос о работе форм комментариев не ко мне, а к Google. Надеюсь, они это быстро починят.

    ОтветитьУдалить
  21. Предположим, скорость Ахиллеса 10 м/с, скорость черепахи - 1 м/с (быстрая такая). Тогда время, через которое Ахиллес догонит черепаху, можно записать таким рядом: 100 + 10 + 1 + 0.1 + 0.01 + ... Данный ряд сходится, т.к. n-й член стремится к нулю. Следовательно, и время через которое Ахиллес догонит черепаху, конечно.

    Проблема классического решения, с моей точки зрения, заключается в том, что в нем фигурирует слово "никогда". Это неверно.

    ОтветитьУдалить
  22. 2Andrew:
    Стремление членов к нулю необходимое, но не достаточное условие, будьте точнее. Хоть ряд и действительно сходится.

    ОтветитьУдалить
  23. CrabMan, ошибка в ваших вычислениях это использование свойства бесконечноделимости при использование определения ускорения.

    Plushkin Kot если "пространство-время" было бы континуально, то было бы как в анекдоте:

    Задача: юноши выстроены в ряд у одной стенки спортзала, девушки - у другой.
    Каждый десять секунд они преодолевают половину расстояния между ними. Вопрос: через какое время они достигнут друг друга?
    Математик: никогда.
    Физик: через бесконечное время.
    Инженер: примерно через 2 минуты они будут достаточно близки для любых практических целей.

    ОтветитьУдалить
  24. 2alexsmail: В анекдоте промежутки по времени равные, в апории нет.

    ОтветитьУдалить
  25. Если не считать бесконечность числом, то задачу Зенона нельзя решать указанным способом — он попросту неверный (не дойдёт до решения, несмотря на то, что решение есть).

    Чтобы определить операции с бесконечностью нужно определить, чем же она является. Если она число — то к ней применимы абсолютно все математические операции, если не число — то все операции не применимы.

    Фрукты + апельсин = фрукты
    Фрукты − апельсин - яблоко = [фрукты|ничего]
    Фрукты − эти самые фрукты = ничего
    Фрукты − фрукты из этих самых фруктов = [фрукты|фрукт|частьфрукта|ничего]
    Фрукты − эти самые фрукты − другие фрукты = -фрукты.
    Фрукты − совсем другие фрукты = ?
    N * фрукты = фрукты
    Фрукты / 2 = [фрукты|фрукт|полфрукта|полчастифрукта]
    Фрукты * фрукты = ?
    Фрукты / фрукты = ?
    Фрукты ^ 2 = ?
    Log(фрукты) = ?
    Cos(фрукты) = ?
    Фрукты * -1 = -фрукты
    Фрукты / 0 = ??
    Фрукты * Овощи = ???

    Сравните фрукты с бесконечностью. Можно решить задачу Зенона во фруктах или бабочках?

    Так что такое бесконечность? Я считаю, что бесконечность просто неопределённое число Х, сильно большее 1. А значит есть конкретная бесконечность и другая, не равная ей, бесконечность — если в задаче упоминается одна конкретная бесконечность, то с ней можно действовать точно также, как и с переменной. Кроме того, существует конкретное число, обратное данной бесконечности и оно*бесконечность=1.


    P.S. кстати, если подумать что есть деление, то фрукты / 0 = 0.

    ОтветитьУдалить
  26. Специально посмотрел похожие задачки.
    Для начала определеяем разность скоростей
    Va-Vч=9х
    Соответственно, если приравнять Vч=0, то через T=S/V=1/9=0,1111111111111111ч Ах.л встретит черепаху, соответственно, через 1*10в-20степени он ее обгонит. Как-то так.

    ОтветитьУдалить
  27. kboriss, вы думаете древние греки не знали формулы S=Vt? Как я говорил выше, это формула предпологает бесконечноделимость пространства-времени.

    Quark Fusion вы не правы. На самом деле, бесконечность существует в двух формах: как бесконечность потенциальная и как бесконечность актуальная. Вам, а также Plushkin Kot как впрочем и всем желающим советую прочитать статью О бесконечном

    ОтветитьУдалить
  28. 2alexsmail: Вы можете разъяснить зачем для S=Vt нужна бесконечноделимость пространства-времени?

    Статью прочитал, спасибо, но статья довольно голословная (или просто популярная?), вот ссылки для размышления есть интересные, ушел читать в сторону континиум-гипотезы.

    ОтветитьУдалить
  29. Напомнило дихотомию... Здесь похоже та же ситуация, если считать через пределы, то не будет никакого парадокса.

    ОтветитьУдалить
  30. Plushkin Kot, что такое скорость? При равномерном движении это расстояние пройденное за единицу времени, т.е. V=S/t. Существенным является то, что за любую, в том числе сколь угодно малую, единицу времени

    Если же известна скорость V, то при равномерном движении по прошествии некоторого времени t тело пройдёт расстояние S=V*t. В качестве времени t можно взять любую сколь угодно малую величину. Поэтому получается, что расстояние S может принимать любое континуальное значение.

    ОтветитьУдалить
  31. 2alexsmail: Если пространство-время дискретно, то скорость описывается простой дробью (S и t целые). То есть бесконечное количество интераций не получится, и рассуждения Зенона неприминимы.
    Бегуны либо окажутся в одной точке в одну единицу времени, либо Ахиллес перескочит черепаху за одну единицу времени.
    Но ведь эти рассуждения так же неприминимы из-за принципа неопределенности.
    То есть в настоящей физике эти исходное решение просто не проходит.

    По-моему задача все же скорее философская. И близка по смыслу к дихотомии.
    Но в той же дихотомии опять используется та же подмена понятий, мы делим промежутки до бесконечсности, но почему время прохода бесконечного числа уменьшающихся промежутков должно быть бесконечным, где это утверждается, из чего следует? Я просто не вижу логики этого перехода.

    Но вот вроде бы занятная мысль появилась.
    Пусть пространство-время - континиум (пусть математически это так, физику отложим). Путь и временной интервал у нас конечные. Но ведь любой континуальный промежуток можно отобразить на бесконечную ось. Тут пока у меня в голове тупик.

    ОтветитьУдалить
  32. Plushkin Kot, почитайте http://ru.wikipedia.org/wiki/Апории Зенона#Современная трактовка, возможно я просто очень сумбурно объяснил. Когда я писал вам прежние ответы я не знал о той ссылке.

    ОтветитьУдалить
  33. Plushkin Kot, насчёт Дихотомии это есть классический случай противоречия между концепциями потенциальной и актуальной бесконечности.

    Принцип неопределённости отнюдь не мешает существование "кванту времени" или "кванту пространства"... См. например http://ru.wikipedia.org/wiki/Планковские единицы">http://ru.wikipedia.org/wiki/Планковские единицы а оттуда см. http://ru.wikipedia.org/wiki/Планковская длина и http://ru.wikipedia.org/wiki/Планковское время

    Насчёт отображение на бесконечную ось. Существования такого отображения ничего не гарантирует, например из http://ru.wikipedia.org/wiki/Теорема Вейерштрасса следует, что непрерывная функция на отрезке [a,b] ограничена. Однако, не смотря на существования биективной функции с [a,b] на (a, b), заменить один интервал на другой в формулировке теоремы нельзя. Это демонстрирует нам функция тангенса на интервале (-Pi/2, Pi/2). Эта функция непрерывна в каждой точке области определения, но не ограничена.

    ОтветитьУдалить
  34. alexsmail, в существование актуальной бесконечности я не верю, не верю потому, что её существование никак не меняет то, как мы живём. Даже если актуальная бесконечность существует и мир действительно бесконечен во всём, то мы эту бесконечность воспринимаем как что-то конечное. Например, предположим что кирпич состоит из бесконечного числа частиц — что для нас это меняет? Мы не можем оперировать с частицей меньшей нашего предела измерений и сам кирпич для нас определённый объект, который мы отличаем от других объектов, также состоящих из частиц, возможно бесконечного их числа. Если кирпич и апельсин состоят из бесконечного числа частиц, то математически они должны быть равны, но человек явно различает их между собой, следовательно, две бесконечности могут быть не равны.

    ОтветитьУдалить
  35. Под актуальной бесконечностью я могу понять существование бесконечного множества абстракций, где каждая абстракция — конечное множество. Нельзя произвести точные операции между разными уровнями абстракции, но можно привести один уровень абстракции к другой, однако эта операция не является точной.

    ОтветитьУдалить
  36. [b]Quark Fusion[/b], отвечу вам цитатой из статьи О бесконечном

    Понятие потенциальной бесконечности естественно возникает при построении натурального числового ряда. Если мы построим натуральное число n, то ничто не мешает нам построить число n+1. Если мы дошли до шага k>n, то можно сделать и шаг k+1. Ограничено ли заранее число таких шагов? Нет. Конечно, у нас может не хватить сил, физических возможностей или ресурсов на шаге t для того, чтобы сделать шаг t+1. Но если мы от этих ресурсных ограничений абстрагируемся, то и получаем понятие потенциальной бесконечности. Потенциальная бесконечность есть безграничный процесс построения объектов, такой процесс, у которого нет последнего шага...“Бесконечную совокупность нельзя рассматривать как нечто законченное, данное само по себе (актуальная бесконечность), а можно рассматривать лишь как нечто становящееся, нечто такое, что можно все дальше и дальше надстраивать над конечным (потенциальная бесконечность)”.

    “Будем считать, что построение целого числа осуществлено, если представлено какое-либо множество вещей, содержащее данное число элементов. Для каждого данного целого числа принципиально возможно представить себе соответствующее множество. Можно это сделать и для любого конечного числа целых чисел, но осуществить представление всех целых чисел невозможно”.

    ...Под актуальной бесконечностью понимается бесконечная совокупность, построение которой завершено и элементы которой представлены одновременно. Например, мы будем иметь дело с актуальной бесконечностью, если пересчитаем весь натуральный ряд полностью. Другой пример – бесконечная совокупность точек отрезка, которая предстоит перед нами в законченном виде. Отдадим себе отчет в том, что актуальная бесконечность представляет собой весьма сильную идеализацию. В самом деле, она допускает не только возможность построения последующего объекта, если построен предыдущий, но и постулирует, что все возможные объекты уже построены и существуют одновременно.

    ...завершим этот краткий экскурс в сравнительный анализ цитатой из Лейбница: “Я в такой мере стою за актуальную бесконечность, что не только не допускаю, что природа боится ее, как обыкновенно выражаются, но и признаю, что природа всюду являет именно такую бесконечность, чтобы лучше отметить совершенство своего Творца.”

    ...Носителями актуальной бесконечности являются бесконечные множества. Эти объекты положены в основу теории множеств Г.Кантора.

    ОтветитьУдалить
  37. 2alexsmail: Я и не говорил что он мешает, а говорил что мы не сможем так точно узнать координату.

    ОтветитьУдалить
  38. Философа интересовало не то, обгонит ли герой черепаху, Зенон спрашивал о другом. Что есть бесконечно малая величина? 0,1 не равно 0, 0,01 не равно 0 и т.д.
    Заигрывания к бесконечностью приводят к интересным парадоксам. Игра в рулетку имеет отрицательное матожидание, значит, при бесконечном количестве попыток вероятность выигрыша стремиться к 0. Но игра по Мартингейлу (при бесконечном бюджете) гарантирует выигрыш с вероятностью бсконечно близкой к 1.
    И небольшой оффтоп. «позвони по телефону» и «позвони в колокол» - разные глаголы. Они по разному согласуются с предлогами (нельзя звонить в телефон и по колоколу), они по разному переводятся на другие языки, они имеют разную частоту употребления двух известных форм ударения (в случае с телефоном гораздо чаще употребляют "новое" ударение вместо нормативного) и (тут могу ошибиться) "звонить по телефону" ещё не так давно имело помету "разговорное"

    ОтветитьУдалить
  39. Бесконечное деление 1 секунды не превращает этот промежуток в бесконечность.

    И вообще, исчисление расстояния в метрах, а времени в секундах - это наше упрощенное понимание пространства-времени. Естественно, что некоторые действия с усеченными понятиями будут приводить к парадоксальным выводам относительно исходного "предмета".

    ОтветитьУдалить
  40. Дело даже не в бесконечной сумме времени, просто в этой задаче нет минимальной используемой велчины длины, от которой можно вести отчет.

    ОтветитьУдалить
  41. Алексей вот вот именно в етом вся суть =)

    ОтветитьУдалить
  42. Выше прозвучало следующее утверждение: «время, через которое Ахиллес догонит черепаху, можно записать таким рядом: 100 + 10 + 1 + 0.1 + 0.01 + ... Данный ряд сходится, т.к. n-й член стремится к нулю». В свежей заметке мы рассмотрели суммы рядов, обладающие таким же свойством, но для которых вывод не верен - ряд не сходится. Это классический контрпример, понимание которого, мне кажется, очень важно.

    ОтветитьУдалить
  43. В задаче есть очень красивая подмена понятий.

    Ахиллес-то черепаху догонит, как уже было сказано выше, - расстояния и время постепенно сжимаются, и в итоге сходятся к определенной точке в пространстве и времени, где и произойдет встреча.

    Однако, согласно предложенному методу решения, мы, решающие задачу, можем до посинения догонять черепаху Ахиллесом, и у нас решение никогда не найдется. Даже когда мы перейдем в субатомные масштабы :)

    Поэтому для НАС (нашего решения) Ахиллес черепаху не догонит никогда, наше решение бесконечно. Но это не значит, что сам Ахиллес никогда её не догонит.

    ОтветитьУдалить
  44. Мне это мультик напомнила про 38 попугаев, когда они обсуждали понятие куча орехов - , сколько орехов в куче, и много это или мало.

    ОтветитьУдалить
  45. Уже было оставлено много верных, на мой взгляд, ответов, но всё же добавлю своё объяснение.
    Сначала рассмотрим, что же за отрезки мы суммируем.
    Исходя из условия, и черепаха, и Ахиллес движутся равномерно в одном направлении. Суммируем мы время (или расстояние, что при равномерном движении абсолютно эквивалентно), за которое Ахиллес окажется в точке, из которой черепаха стартовала в предыдущий отрезок времени. То есть, мы суммируем отрезки времени, за который Ахиллес черепаху гарантированно не догонит. Сами отрезки выбраны именно таким образом.
    Другой вопрос, что отрезки эти всё время уменьшаются. И сумма их, как уже было сказано, при этом конечна.
    Если соотношение скоростей черепахи и Ахиллеса определено именно так "А в X раз быстрее Ч", то сумма геометрической прогрессии всегда будет сходиться при |X| < 1.
    Выше приведён пример ряда, который расходится, при том, что общий член убывает до нуля. Убывание общего члена ряда в контексте задачи означает, расстояние между А и Ч сокращается. Расходимость ряда - означает, что Ахиллес черепаху и вправду не догонит никогда (члены ряда, напомню, должны составляться исходя из условия "координата А < координаты Ч"). Но члены расходящегося рядя должны убывать медленнее, чем члены геометрической прогрессии. Иначе ряд не разойдётся. Более медленное убывание такого рдяа означает, что скорость Ч увеличивается со свременем! Поэтому вполне возможна модификация парадокса - скорость Ч ниже скорости А, но при этом А не догонит Ч за бесконечное время! Только при этом, если А движется равномерно, Ч должна ускоряться. И скорость Ч будет стремиться к скорости А.
    Рассуждение, конечно, никак не претендует на доказетельность, а является попыткой "пощупать" ситуацию.

    ОтветитьУдалить
  46. Как дипломированный магистр алгебры заявляю, что наиболее верные и здравые комментарии здесь - это первых два + вот этот:

    --- комментирует...
    никакого противоречия нет. таки да, в такой системе отсчета, в которой время экспоненциально замедляется (а именно она вводится, когда Ахиллесу предполагается "сначала" бежать 1 км, "потом" 100 м, "потом" еще 10 м, и каждое "потом" полагается равносильным предыдущему), Ахиллес не догонит черепаху "никогда". Но это называется "сами себя запутали" :)

    26.03.10 8:19

    ОтветитьУдалить
  47. Анонимный16.06.2010, 11:26

    Парадокс в рамках аристотелевской двузначной логики ( или правда, или ложь, третьего не дано) не разрешим. Поэтому следует принять одну из двух гипотез:
    1.Существуют кванты пространства и времени и тогда процесс деления исходного расстояния может быть завершен за конечное число шагов. В этом случае Зенон не прав.
    2.НЕ существует квантов пространства и времени и тогда исходное расстояние можно делить до дурной бесконечности, а процесс деления не будет никогда завершен. Зенон в этом случае прав.
    Доказано, что одномерное, двумерное и трехмерное пространство квантовано. Например, квант одномерного пространства - это отрезок длиной 7,37 на 10 в минус 51 степени метров. Следовательно, наш трехмерный мир существует по законам аристотелевской логики и Ахиллес догонит черепаху.
    Беда в том, что существуют безразмерные пространства с нулевым числом измерений и они из-за своей безразмерности принципиально не могут быть проквантованы. В безразмерном пространстве аристотелевская двузначная логика не выполняется.Например, в этом пространстве часть равна целому, бесконечно большое равно бесконечно малому,в нем нет движения, взаимодействия в нем не передаются, но плотность пространства равна плотности абсолютно твердого тела. Такими свойствами физики наделяют эфир (физический вакуум). В эфире парадокс Зенона действует.
    Подробности см. в моей книге "Теория многомерных пространств", изд. 2-е, М.:КомКнига,2010, 104 с.

    ОтветитьУдалить
  48. Анонимный07.12.2010, 1:06

    Да ладно не парьтесь, ежу понятно, что он дагонит черепаху пробежав 1110 метров. А если данное расстояние дробить на бесконечное число отрезков, то и получается что он всё никак не может догнать её... и решения этой проблемы небудет, пока не определить число отрезков на которое мы хотим разделить данное расстояние....короче мы должны определить предел бесконечности...)))

    ОтветитьУдалить
  49. Это напоминает мне один анекдот:

    В магазин заходит бесконечное количество математиков. Первый просит взвесить ему 1 килограмм сыра, второй половину килограмма сыра, третий 250 грамм. "Стоп!", обрывает их продавец, я понял и кладёт на прилавок 2 кг сыра.

    ОтветитьУдалить
  50. Обсуждение заглохло, тем не менее, попробуем рассмотреть проблему под несколько иным углом.
    Обозначим расстояние, которое должен пробежать Ахиллес, чтобы догнать черепаху, за Х.
    А теперь зададим вопрос, который никто никогда раньше не задавал.
    На старте черепаха находится в 100 метрах впереди Ахиллеса, это какая часть от расстояния Х?
    Ответ находится легко: 100 метров =0,9*Х.
    за то время,когда Ахиллес пробежит эти 100 метров = 0,9*Х, черепаха проползёт
    10 метров = 0,09*Х.
    Чтобы догнать черепаху, Ахиллес будет последовательно пробегать отрезки:
    0,9*Х+0,09*Х+0,009*Х+...= 0,99999...*Х = 0,(9)*Х.
    Поскольку 0,(9)=1, Ахиллес догонит черепаху.
    Утверждение Зенона о том, что черепаха всегда будет впереди Ахиллеса, в данной интерпретации равносильно утверждению 0,(9)<1.

    ОтветитьУдалить
  51. Правильный ответ к задаче Зенона:"Ахиллес догонит черепаху".
    Но не достаточно, наверное, просто решить задачу Зенона, хотелось бы понять "как?" и "почему?" Ахиллес догоняет черепаху, иными словами:"как?" и "почему?" в рассуждениях Зенона появляется логический сбой.
    Для ответа на первый вопрос сделаем то, что никто никогда не делал применительно к этой задаче.
    Постулируем некий "квант" пространства, то-есть запретим Ахиллесу и черепахе находиться в точках пространства, не кратных этому "кванту".
    Для начала пусть величина "кванта" будет равна исходному расстоянию между Ахиллесом и черепахой, т.е 100 метров.
    Это означает, что они находятся в "соседних квантах" пространства.
    Дан старт!
    Ахиллес пробегает 100 метров, т.е. 1 "квант".
    Но черепаха не может за то же время переместиться в следующий квант.
    Её 10 метров - это "флуктуация в пределах кванта".
    Более того, сумма бесконечного количества всех её последующих шагов
    равна 11,(1) метров, то есть она заведомо меньше одного "кванта".
    Таким образом Ахиллес настигает черепаху "с точностью до кванта".
    Теперь уменьшим "квант пространства" до 10 метров.
    Когда Ахиллес преодолеет 100 метров (10 "квантов"), черепаха переместится на 1 "квант".
    Далее Ахиллес преодолевает этот квант, а сумма всех последующих "ходов" черепахи равная 1,(1) метра - меньше 1 кванта, и Ахиллес, догнал черепаху.
    Чтобы понять общую тенденцию, выберем "квант пространства" равный 1 миллиметру.
    Ахиллес пробежит тогда 100+10+1+0,1+0,01 метр,и вновь окажется в 1 миллиметре/"кванте" от черепахи. Следующим "ходом" он покрывает этот миллиметр, и у черепахи нет ответного "хода".
    Зенон считал, что на любое пройденное Ахиллесом расстояние d, черепаха пройдёт
    расстояние d/10, и всё равно будет впереди.
    Мы же установили, что у Ахиллеса всегда в запасе один дополнительный "шаг", равный одному "кванту", которого нет у черепахи.
    Применительно к непрерывному пространству, это означает, что на ∞ количество "шагов" черепахи придётся (∞+1) "шаг" Ахиллеса, и именно этот один дополнительный (бесконечно малый) шаг даст ему возможность догнать черепаху.
    Можно считать по другому: Ахиллес повторяет любой отрезок, пройденный черепахой плюс у него есть ещё один дополнительный "шаг", длинною в 100 метров,который равен как раз расстоянию между ними на старте, и которого нет у черепахи.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Спасибо за чёткое описание идеи!

      Удалить
  52. Всегда пожалуйста, Илья!
    Итак, ответив на вопросы:
    "что?" произойдёт в соревновании Ахиллеса и черепахи,
    и
    "как?" именно это произойдёт,
    остановимся ещё на вопросе:
    "почему?" всё произойдёт именно так, а не иначе,
    то есть "почему?" возникает парадокс.
    Для этого внимательно проанализируем условие задачи.
    Я имею смелость утверждать, что в условии, пусть в неявном (математик скажет - "параметрическом") виде, задано время, которое отведено Ахиллесу и черепахе для выявления победителя.
    Задано оно через геометрическую прогрессию, знаменатель которой равен отношению скоростей черепахи и Ахиллеса (q=0.1), а первый член равен времени прохождения первого отрезка (t1=10 сек).
    По формуле суммы геометрической прогрессии находим, что время всего состязания:
    T=10*(1/(1-0.1))=11,(1) сек.
    Это как раз время, за которое Ахиллес догонит черепаху.
    Действительно, если мы отведём на соревнование, скажем, 5 секунд, то за это время Ахиллес не догонит черепаху, а если мы дадим 15 секунд, то к исходу этого срока черепаха отстанет от Ахиллеса.
    Чтобы пояснить эту мысль, представим себе, что в месте старта черепахи стоит флажок.
    В момент достижении этого флажка Ахиллесом, мы определяем положение черепахи и.т.д...
    А теперь, до начала состязания, перенесём этот флажок всего на 1 метр вперёд.
    Повторим все рассуждения снова.
    Ахиллес достигнет флажка, пробежав 101 метр.
    За это время черепаха проползёт 10,1 метра.
    Далее,Ахиллес пробежит эти 10,1 метра, а черепаха проползёт 1,01 метра.
    Ахиллес пробегает эти 1,01, черепаха 0,101 метра, и мы видим, что всего за три "хода" Ахиллес оказывается впереди черепахи.
    Действительно:
    101+10,1+1,01=112,11 м. (Ахиллес)
    10,1+1,01+0,101=11,211+100=111,211 м.(черепаха).
    Ахиллес ставит черепахе "мат в три хода" оказавшись впереди на 89,9 сантиметра.
    Всего же за бесконечное число "ходов" Ахиллес, при новых начальных условиях, пройдёт 112,(2) метра, а черепаха 11,(2) метра, и , с учётом форы, черепаха к концу состязания отстанет ровно на 1 метр.
    Теперь запустим Ахиллеса и черепаху снова, но уже перенеся флажок на 1 метр ближе к Ахиллесу.
    Нетрудно убедиться, что в этом случае Ахиллес пройдёт за бесконечное число "ходов" всего 99+9,9+0,99+...=110 метров.
    А черепаха 9,9+0,99+0,099+...=11 метров.
    И черепаха, с учётом форы, окажется на 1 метр впереди.
    -
    В общем случае, перенося "флажок" на N метров вперёд или назад, мы получаем, что через бесконечное число "ходов" Ахиллес оказывается на N метров впереди или позади черепахи. А в случае N=0 и возникает парадокс.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Отличное описание! Спасибо, что нашли время, чтобы сделать его!

      Удалить
  53. Анонимный15.03.2013, 23:00

    все .....просто мы творцы своего счастья сами...ХОЧЕШЬ БЫТЬ БУДЬ ИМ ни какие обстоятельства.времяросстояние.и.т.д ни помешают быть ПЕРВЫМ.всем успехов

    ОтветитьУдалить

Понравилась заметка? Подпишитесь на RSS-feed или email-рассылку.

Хотите поделиться ссылкой с другими? Добавьте в закладки:



Есть вопросы или предложения? Пишите письма на адрес mytribune АТ yandex.ru.

С уважением,
      Илья Весенний