14 мар. 2010 г.

Массаж головы и уравнения третьей степени

Многие люди знакомы с приятным ощущением в мышцах после спортивных нагрузок - организм радуется правильному физическому утомлению. Но сегодня речь пойдёт об аналогичном воздействии на мозг: если подумать о чём-то сложном и интересном, то можно получить массу удовольствия.

Тонкость здесь в том, что задача должна быть именно увлекательной и сопротивляющейся, а не тупой и рутинной. Например, недавно меня спросили: А почему в школьной программе нет изучения уравнений третьей степени? Они же почти такие же простые, как и квадратные уравнения, просто на один корень больше.

Что здесь можно ответить? Ответ будет ниже, а пока я покажу упражнение, которое полезно выполнить любому, кто задаётся таким же вопросом. А после упражнения будет пара важных мыслей.

Сконструируйте кубическое уравнение, у которого корнями являются числа 1, 2 и 3. Сделать это легко: (x-1)(x-2)(x-3)=0. Теперь давайте раскроем скобки, чтобы получить канонический вид уравнения третьей степени Уравнение третьей степени
Получаем: x3 - 6x2 + 11x - 6 = 0.

Другими словами, коэффициенты кубического уравнения следующие: a=1, b=-6, c=11, d=-6. Всё просто, как и в статье о квадратных уравнениях :)

Продолжаем движение. Как найти корни кубического уравнения, зная его коэффициенты? Можно вычислить дискриминант: Дискриминант кубического уравнения

Посчитали? (сколько минут это заняло?) Это число позволяет нам выяснить, сколько же корней у этого простого уравнения (оказывается, у него три действительных корня). Заметьте, что нам очень повезло - все коэффициенты являются целыми числами, поэтому считать дискриминант было очень приятно.

Что делать дальше? Давайте искать корни. Формула очень простая:
Корни уравнения третьей степени

Любому нормальному человеку не хочется подставлять в эти формулы даже целые числа, потому что придётся исписать немало бумаги. А представьте, что было бы, если бы у нас коэффициенты были иррациональными числами!

Метод решения «в лоб» не вдохновляет (заметьте, что по крайней мере с простыми квадратными уравнениями таких проблем нет). Давайте тогда попробуем применить метод Кардано:

Можно сделать замену Замена для применения метода Кардано, чтобы избавиться от коэффициента b (перед квадратом). Предлагаю проделать это. Впрочем, это не обязательно - можно сразу пройти по ссылке на страницу, где автоматически формируется решение этим методом: посмотреть решение по формуле Кардано (нужные коэффициенты я уже вбил).

Нравится такое решение? И это для простейшего уравнения, у которого корни 1, 2 и 3. Заметьте, что оно ещё достаточно короткое для такой задачи. Проблема в том, что сколько-нибудь сложное кубическое уравнение «решать человеком» очень неэффективно. Если квадратные уравнения проявляются в очень большом количестве задачек, то кубические нужны не так уж часто. А учитывая, как тяжело даётся их решение на бумаге (и очень высока вероятность арифметической ошибки, потому что проводится масса бессмысленных действий), крайне тяжело обосновать их плотное использование в школе.

Кстати, обычно если составитель задачи никак не может избавиться от необходимости решения кубического уравнения, то он так корректирует условие, чтобы корень был простой: 1, -1 или какой-то такой. Тогда школьник может легко поделить полином третьей степени на (x-x0), где x0 - угаданный корень, чтобы получить нулевой остаток и квадратное уравнение, которое уже совсем легко решить.

Поэтому, полагаю, Вы согласитесь со следующим моим ответом на подобные вопросы:
1. Есть не так много задач, в рамках которых возникают кубические уравнения;
2. Даже очень простое уравнение третьей степени (у которого не получается угадать один корень) требует много времени и сил, отвлекая ученика от настоящей работы мозга;
3. Поэтому нецелесообразно тратить время детей на рутинную работу, а лучше направить их силы на освоение сложных и интересных математических проблем. Знать об уравнениях третьей степени очень даже полезно, но вот регулярно их решать руками - явный перебор.

А сейчас будет важная мысль. Вот я показал вам эти формулы, но разве это было очень познавательно? Скорее нет, чем да. Но легко понять, что проблема не в кубических уравнениях, а в том, как я их только что подал. Недавно мы говорили о пяти уровнях обучения. Только что был пятый - я скучно дал формулы, не сообщив ничего важного об интереснейшей теме - о кубических уравнениях. Но ведь Кардано, который придумал эту остроумную замену (или кто-то до него) получил массу удовольствия. И это был отличный массаж мозга! Тысячи школьников и студентов, которым их учитель аккуратно подсказал, чтобы они почти сами сообразили, как можно справиться с достаточно сложным классом уравнений - они тоже получили массу удовольствия и пользы для развития своего мозга. Вроде бы те же уравнения, а какая большая разница!

Поэтому я не призываю отказываться от уравнений третьей степени, но прошу не вдалбливать формулы в бедные детские головы. Пользы от знания подобных формул в тысячи раз меньше, чем от их (почти) самостоятельного вывода. Поэтому гораздо лучше осилить вывод более простых формул, чем выучить эти.

А как же массировать ребёнку мозг? Всё зависит от его возраста.

Меня, например, примерно в возрасте шестиклассника очень впечатлил тот факт, что бывают числа, не представимые в виде отношения двух целых чисел. Само число «корень из двух» я себе представлял, но осознать, что оно не является рациональным - это было круто!

Потом ещё помню, как удивительно было осознать, что натуральных чисел ровно столько же, сколько рациональных (тогда я не знал о мощностях множеств, поэтому позволяю себе такие нестрогие формулировки). Как же так? Вроде бы между двумя подряд идущими натуральными числами есть бесконечно много рациональных... Но это, оказывается, не аргумент. Понять такое - это для школьника очень круто!

Ещё интереснее было потом понять, что вещественных чисел не просто бесконечно много, но гораздо больше чем натуральных. Это уже ни в какие ворота не лезло: я вроде бы понимал, что и натуральных, и вещественных чисел бесконечно много. Но как одних может быть больше, чем других? Или вот ещё вопросик: а бывает ли множество, в котором элементов больше, чем во множестве натуральных чисел, но меньше, чем во множестве вещественных?

Есть масса интересных свойств, которые может (почти) самостоятельно понять человек с любым уровнем подготовки, если у него есть желание (другими словами, если он уже ощущал кайф от процесса познания).

Хорошего вам дня! И удовольствия от размышлений!

58 комментариев:

  1. Можно еще прогнать уравнение 3 степени через схемы горнера, проверив возможые корни. С корнями 1, 2, 3 это намного проще, чем решать в лоб.

    ОтветитьУдалить
  2. Что-то я не понимаю равность бесконечных множеств. Я считаю, что есть бесконечно большое число различающихся бесконечных множеств — плоскость, к примеру, состоит из бесконечного числа прямых и она никогда не будет равна прямой. Существует проекция, когда наблюдателю будет казаться, что плоскость равна прямой, но на самом деле это не так. В этой проекции даже будет верно принять плоскость за прямую, пока не происходит выход из этой проекции.

    Вот там: http://www.mccme.ru/mmmf-lectures/books/books/books.php?book=2&page=2 — рассматриваются бесконечные множества чисел, однако доказательства основываются на том, что что-то можно перечислить (подсчитать) за конечное время. Так, в примере с гостиницей, процесс переселения никогда не закончится и гостиница не окажается в состоянии "заселена", а подсчёт множества всех положительных рациональных чисел никогда не будет завершён, при этом доказательство опирается на то, что множество будет в конечном итоге подсчитано другим множеством.

    ОтветитьУдалить
  3. Quark Fusion, самое интересное -- Вы не правы насчет плоскостей и прямых! :)
    В математике строго доказывается, что множество точек плоскости эквивалентно множеству точек прямой. Или, говоря бытовым языком, на плоскости _ровно столько же точек_, сколько и на прямой.
    Будучи нематематиком, это понять не очень легко, к сожалению.

    ОтветитьУдалить
  4. Анонимный14.03.2010, 14:40

    Довольно странно в тексте человека, который ратует за строгость математического описания и обучения математике (Илья, мне очень нравится Ваш блог именно этим) встретить понятие "количество элементов множества натуральных чисел". Если говорить на "школьном" языке и понимать под бесконечностью "школьное" понятие числа x, такого, что x+1=x, то и в множестве натуральных и в множестве вещественных чисел количество элементов одинаковое - бесконечное (если, конечно, не привлекать такие понятия как "gross one" Сергеева или аналогичные). Либо нужно сразу говорить на языке мощности множеств.

    ОтветитьУдалить
  5. Анонимный14.03.2010, 14:50

    Grundiss, плоскость - это прямое произведение прямой на себя, а значит, если мощность множества "прямая" равна R, то мощность множества "плоскость" - равна R^2>R.

    Эквивалентность этих множеств можно показать только применяя "заполняющие пространство кривые" типа кривой Пеано, но эта эквивалентность будет только *в пределе* количества итераций построения кривой стремящейся к бесконечности. И само наличие такого предела требует быть очень осторожным, если требуется сделать вывод о мощности "эквивалентных" множеств. Как пример - любое действительное число можно представить в виде десятичной дроби, у которой количество знаков после запятой *стремится к бесконечности*. Поколдовав над этим рассуждением и приведя еще парочку правдоподобных фраз можно "показать", что множество рациональных чисел "эквивалентно" множеству вещественных.

    ОтветитьУдалить
  6. Аноним, понятие мощности есть расширение понятия "количества элеметнов." Как известно есть два подхода к тому чтобы сравнить два множества - первый "пересчитать" его (найти биективную функция в подмножество натуральная ряда) и сравнить два числа, а второй, найти однозначное соответствие непосредственно между сравниваемыми множествами. В случае конечного количества элементов, оба этих подхода приводит к одному и тому же результату. Этот результат и называют "количеством элементов".

    Илья Весенний просто неформально использовал "количество элементов" для бесконечных множеств, имея в виду его "естественное расширение".

    ОтветитьУдалить
  7. ...Эквивалентность этих множеств можно показать только применяя "заполняющие пространство кривые" типа кривой Пеано...
    Есть способ и по-быстрее. Идея такая:
    Плоскость представляем в виде пар чисел (x, y). Теперь "хвостиком" к x допишем y. Получится новое число -- оно, безусловно, действительное. То есть мы нашли закон однозначного соответсвия F: F(x, y) -> r (x,y,r есть действительные числа). Что доказывает утверждение ||RxR||=||R||.
    Извиняюсь, за "неспортивную" скомканность выкладок :)

    ОтветитьУдалить
  8. Анонимный14.03.2010, 15:07

    alexsmail, спасибо, я в курсе :)
    Я просто сказал, что нужно быть осторожным с понятиями, особенно, когда это касается понятий "бесконечности" и прочих, о которых у общечеловеческой "интуиции" имеется собственное представление. Кстати и Илья об этом неоднократно писал в блоге

    ОтветитьУдалить
  9. Ой, нет! Там биекция не получается. Все равно уверен, что есть какой-то простой способ установить соответствие.

    ОтветитьУдалить
  10. Н-да, приплыли. Уже оспаривают равномощность R и R^2. Скоро опровергнут "теорему" Пифагора, ссылаясь на то, что в ее "доказательстве" используются "геометрические" "построения", которыми тоже много чего можно "доказать".

    А биекция очнь простая - стобы "слить" два числа в одно, нужно в новом числе чередовать цифры двух исходных, заменяя, где нужно, отсутствующие цифры на нули (например, (123.456, 7.89)->102037.48596). Обратная операция очевидна.

    ОтветитьУдалить
  11. Уважаемый аноним, да, строгости формулировки, наверное, стоило бы мне добавить. Но в данном случае я хотел показать, что в школе я не знал ничего о мощностях множеств и биективных функциях, поэтому изложил на том - "на детском" языке. И отсутствие строгого лингвистического аппарата не мешает стараться понять такие общечеловеческие вещи :)
    Но спасибо за комментарий - я постарался пояснить это в тексте.

    ОтветитьУдалить
  12. Во! Я же говорил, что есть простое доказательство!

    ОтветитьУдалить
  13. ________
    Quark Fusion, самое интересное -- Вы не правы насчет плоскостей и прямых! :)
    В математике строго доказывается, что множество точек плоскости эквивалентно множеству точек прямой. Или, говоря бытовым языком, на плоскости _ровно столько же точек_, сколько и на прямой.
    Будучи нематематиком, это понять не очень легко, к сожалению.
    ¯¯¯¯¯¯¯¯¯
    Я же не говорю, что не эквивалентно, а говорю, что не равно. Т.е. я не понимаю равенство "эквивалентно"="равно". Под эквивалентностью я понимаю, что допускается принять его как равное, даже если оно не равно. В равенство точек я не верю — было бы оно равно, не было бы неопределённости в задаче о хордах.

    ОтветитьУдалить
  14. Quark Fusion, мы говорим о количестве элементов во множествах, а не о равенстве этих элементов. Конечно, плоскость не равна прямой. Но мощность множества точек прямой равна мощности множества точек плоскости.
    Для взрослого человека это простое и скучное утверждение, но школьника оно может поразить, особенно, если он почти полностью его придумал (вовремя получая подсказки).

    ОтветитьУдалить
  15. Мне кажется, что школьник не может понять эвквивалентность бесконечностей в смысле их равенства (даже если это так) — он может только принять это на веру как аксиому.

    Для простого человека любая бесконечность это неизвестно что — вы все неизвестности приравниваете?
    Простой язык называет бесконечностью всё, что нельзя сосчитать конечным числом — в объяснении эвивалентности говорится о возможности сосчитать бесконечность другой бесконечностью, причём которая явно меньше первой и на этом доказывается равентсво. Прямая на плоскости может перечислить только саму себя, для перечисления всей плоскости нужно ввести её движение и время, но тогда плоскость перечисляется временем и прямой, а не только прямой.

    ОтветитьУдалить
  16. Я вроде не говорил, что сами элементы должны быть равны.

    ОтветитьУдалить
  17. colog, вообще-то декартово произведение любого бесконечного множества A с самим собой равномощно A.

    ОтветитьУдалить
  18. alexsmail, так я и не отрицал. Просто в этом конкретном случае |R|=|R^2| есть наглядная конструктивная биекция, в отличие от общего случая, доказательства которого я, признаюсь, не помню.

    ОтветитьУдалить
  19. Анонимный14.03.2010, 16:19

    Да... Про прямое произведение я искренне полагал, что |R|<|R^2|. Не зря, все-таки, полез комментировать, чем, в принципе, никогда не занимаюсь - открыл для себя что-то новое :)

    Хотя доказательство со "сливанием" чисел мне не нравится - мы доказываем, что RxR биективно с некоторым подмножеством R. А что это подмножество биективно самому R еще нужно доказывать отдельно.

    ОтветитьУдалить
  20. Анонимному:
    Действительно, все упирается в несовершенную цифровую запись действительных чисел, в которой разные последовательности цифр (например, 0.999... и 1.000...) соответствует одному и тому же числу. В итоге 0.909090... будет разбито на пару (0.999... , 0.000...), равную (1, 0), а результатом ее склейки будет уже 10.000... Ну что ж, по крайней мере, это был простой интуитивный пример, которой не забудется, в отличие от строгого доказательства.

    ОтветитьУдалить
  21. colog

    Цитирую по http://dxdy.ru/topic12069.html

    Как доказать что мощность декартова произведения бесконечных множеств равна мощности множества?
    ...

    Кхе-кхе...

    Не самая простая теорема в теории множеств.

    Но, впрочем, далеко не самая сложная.

    Действуйте от противного. Рассмотрите множество $A$, для которого $|A| \neq |A^2|$, наименьшей возможной мощности. Рассмотрите наименьшее вполне упорядочение этого множества. Потом на квадрате рассмотрите лексикографический порядок "сначала по максимуму двух координат, потом по первой координате". Возьмите собственный начальный сегмент этого множества, равномощный $A$, и легко получите противоречие.

    Подробности в учебниках по мат. логике :-)


    Здесь используется утверждение
    Любое множество можно вполне упорядочить. Это утверждение эквивалентно аксиоме выбора (без неё это утверждение не доказывается).

    ОтветитьУдалить
  22. Илья, насколько мне помнится ответ на Ваш вопрос: "бывает ли множество, в котором элементов больше, чем во множестве натуральных чисел, но меньше, чем во множестве вещественных?", в некотором смысле и ДА и НЕТ одновременно. :)
    Это утверждение нельзя ни опровергнуть, ни доказать. То есть, можно добавить в качестве аксиомы это утверждение, либо его отрицание и в каждом случае получить теорию, для которой не доказана ее противоречивость.
    Только вот совершенно непонятно, как можно убедить в этом школьника, не приводя доказательств.

    ОтветитьУдалить
  23. Возвращаясь к кубическим уравнениям. У меня есть одно уточнение.

    Илья Весенний первый корень уравнения не обязательно угадывать. Есть замечательное следствие теоремы Безу:


    Свободный член многочлена делится на любой целый корень многочлена с целыми коэффициентами


    Берём d=-6. Находим всё его целые делители, это -1, 1, -2,2, -3,3, -6,6. Если есть целый корень он обязательно находится в этом списке... В данном примере, мы можем найти все корни не прибегая к делению полинома на полином.

    ОтветитьУдалить
  24. Dmitry вы процитировали континуум-гипотезу. Школьнику я бы показал документалу Dangerous Knowledge и дал бы почитать книгу «Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid» by Douglas Hofstadter

    ОтветитьУдалить
  25. Есть ещё одно важно свойство, позволяющие найти рациональные корни:


    Пусть p/q несократимая дробь являющиеся корнем полинома P(x)=an*xn+...+a0. Тогда p|a0, q|an.


    т.е. числитель корня является делителем свободного члена, а знаменатель является делителем старшего коэффициента.

    ОтветитьУдалить
  26. Кому интересно, доказательство первого утверждения можно найти тут http://cit.vvsu.ru/portal/nfpk/lib/math/6.htm (Теорема 2, после теоремы 1 (Безу)) Доказательство второго свойства доказывается аналогично. Нужно сначала домножить обе части уравнения на q^n. Для доказательства свойства для знаменателя нужно воспользоваться также фактом, что gcd(q, p^n)=1. Т.к. дробь несократимая, отсюда следует, что gcd(p,q)=1. Из свойств НОДа следует gcd(q, p^n)=1.

    ОтветитьУдалить
  27. Между прочим из последнего следствия теоремы Безу немедленно следует, если старший коэффициент равен 1, то все рациональные корни являются и целыми у полинома с целыми коэфициентами

    И да, в школе я знал все эти следствия и умел их доказывать опираясь на формулировку теоремы Безу, которую я доказать не умел.

    Вот схему Горнера использовать чтобы поделить полином на двучлен или посчитать значение полинома в точке я не умел. :-)

    ОтветитьУдалить
  28. Dmitry, да, вопрос сложный, я не спорю. И школьнику он не под силу, я думаю.

    Но смысл же не в том, чтобы найти ответ, а в том, чтобы подумать о задаче. Именно конструктивный процесс решения является хорошим массажем для головы. А получение ответа - массаж для самолюбия :)

    ОтветитьУдалить
  29. Между прочем, я думаю книга «Гёдель, Эшер, Бах: эта бесконечная гирлянда», перевод на русский можно найти тут, будет интересна читателем этого блога, не только школьникам. ИМХО, для школьников она немного сложнавата. Я ею прочитал уже после универа, получил массу удовольствия. Рекомендую.

    На английском эта книга называется «Gödel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid» by Douglas Hofstadter.

    Цитата из английской википедии:


    On its surface, GEB examines logician Kurt Gödel, artist M. C. Escher and composer Johann Sebastian Bach, discussing common themes in their work and lives. At a deeper level, the book is a detailed and subtle exposition of concepts fundamental to mathematics, symmetry, and intelligence.

    Through illustration and analysis, the book discusses how self-reference and formal rules allow systems to acquire meaning despite being made of "meaningless" elements. It also discusses what it means to communicate, how knowledge can be represented and stored, the methods and limitations of symbolic representation, and even the fundamental notion of "meaning" itself.

    In response to confusion over the book's theme, Hofstadter has emphasized that GEB is not about mathematics, art, and music but rather about how cognition and thinking emerge from well-hidden neurological mechanisms. In the book, he presents an analogy about how the individual neurons of the brain coordinate to create a unified sense of a coherent mind by comparing it to the social organization displayed in a colony of ants.

    ОтветитьУдалить
  30. ________
    colog комментирует...

    Анонимному:
    Действительно, все упирается в несовершенную цифровую запись действительных чисел, в которой разные последовательности цифр (например, 0.999... и 1.000...) соответствует одному и тому же числу.
    ¯¯¯¯¯¯¯¯
    Я, навереное, совсем отупел — объясните мне, почему 0,999…=1,000…, а то мне казалость, что 0,999…+1/∞=1,000…



    Могу ещё сказать, что всё, что основывается на недоказанных аксиомах не всегда верно…



    В отношении эквивалентости/равенства/подобия нужно объяснить школьнику разницу между этими понятиями, а не приравнивать их друг к другу. То, что можно приравнять в конкретном случае — нельзя приравнять в других.

    ОтветитьУдалить
  31. > бывает ли множество, в котором элементов больше, чем во множестве натуральных чисел, но меньше, чем во множестве вещественных?

    Случаем не это Коэн в 60-м году доказал: даже если подключить аксиому выбора, не докажешь и не опровергнешь?

    ОтветитьУдалить
  32. Quark Fusion
    Мне кажется в этом блоге это не раз обсуждалось, хотя может я что-то путаю.
    0.999... принято обозначать как 0,(9) и читать как "ноль целых и девять в периоде".

    Так вот, разберём такой простой вопрос. Сколько будет один разделить на три и результат умножить на три? Деление обычное, не "целочисленное".

    Способ I
    Результатом деления единицы на три есть рациональное число, дробь, 1/3. (1/3) * 3 = 1. Ответ: 1.

    Способ II
    Один разделить на три будет 0,(3). 0,(3) * 3=0,(9)
    Ответ: 0,(9)

    Но! Так как 1/3 и 0,(3) являются просто разными представлениями одного и того же числа (а числа не куда "не стремятся", они "стоят на месте") из этого следует, что 0,(9) = 1 также без никакого предельного перехода, так как просто разные записи одного и того же числа.

    На самом деле это "баг". :-)

    ОтветитьУдалить
  33. Именно, что это баг. 1/3 не будет 0,(3) потому, что деление таким способом никогда не окончится и даже через бесконечное число знаков вы не окончите деление. А если взять недоделённое число и его умножить, то вот 0,(9) и получится, только ответ будет с погрешностью 1/∞. 1 - 1/∞ = 0,(9).

    ОтветитьУдалить
  34. 1 и 1/3 это два соседних числа на числовой прямой, до 1/3 идёт 0,(9)8, только мы тут получаем ∞+1 и уже ни о чём определённо нельзя говорить, потому что мы не можем отличить ∞ от (∞-1) и (∞+1).

    ОтветитьУдалить
  35. Вот вам другой пример:
    1/3 + 2/3 = 0.(3) + 0.(6) = 0.(9)
    в то же время: 1/3 + 2/3 = 1
    Т. о. 0.(9) = 1

    ОтветитьУдалить
  36. Quark Fusion:
    В определении действительных чисел через бесконечные десятичные дроби прямо постулирется, что числа 1 и 0.(9) (и аналогичные пары чисел) равны. Иначе получилось бы, что между почти всеми парами разных чисел можно вставить третье, а между такими нельзя - безобразие. Кроме того, соласно этому определению не существует числа ∞ - каково бы ни было действительное число, существует большее.

    Но может быть, вы считаете, что "на самом деле" множество чисел куда разнообразнее, чем в этом сухом определении? Пожалуйста, выразите свое видение чисел аксиоматически или лучше почитайте о нестандартном анализе, сюрреальных и гипердействительных числах. Жаль только, что годятся такие расширения разве что для массажа мозга.

    ОтветитьУдалить
  37. alexsmail, спасибо за рекомендацию путной книги!

    Quark Fusion, понимаете, когда Вы пишете «всё, что основывается на недоказанных аксиомах не всегда верно…», то очень трудно понять, о чём речь. Дело в том, что большинство людей договорились называть словом «аксиома» утверждение, которое принимается без доказательств. Очевидно, что Вы подразумеваете какое-то другое значение, раз говорите о доказанных аксиомах. В таких случаях лучше давать определения используемых Вами терминов, которые Вы сами выдумали, чтобы Вас понимали. Иначе возникает языковой барьер (как мы можем догадаться, что Вы подразумеваете, когда используете свои термины?).

    mercury13-kiev, да, как-то так всё и было :)

    alexsmail, Вы зря называете багом то, что является особенностью (я про равенство 0.(9) и 1). У математиков давно уже выработаны правила, позволяющие корректно оперировать с такими бесконечными дробями. Есть разные выходы из озвученной Вами проблемы, поэтому существенной сложности здесь нет.

    Quark Fusion, Вы используете запись «0,(9)8», но не объясняете, что она означает. Важно здесь то, что она не является распространённой, поэтому только Вам ясно, что подразумевается. Опять языковой барьер :(

    ОтветитьУдалить
  38. Quark Fusion:
    Дейтвительно, запись 0.(9)8 некорректна - в определении действительных чисел через бесконечные десятичные дроби явно указывается, что десятичная дробь - это бесконечная последовательность, состоящая из цифр и единственной десятичной точки. А последовательность - отображение множества натуральных чисел на другое множество (в данном случае оно состоит из десяти цифр и точки). Иначе говоря, каждый элемент последовательности должен иметь свой номер - натуральное число. У каждой девятки в числе 0.(9) есть свой номер, а вот восьмерка в 0.(9)8, я полагаю, идет под "номером бесконечность", раз все остальные номера заняты. Но такого числа во множестве натуральных чисел нет, а значит, 0.(9)8 не последовательность цифр и тем более не действительное число.

    ОтветитьУдалить
  39. Grundiss, с этим уже трудно поспорить. Посмотрел доказательство через сходящуюся геометречискую последовательность — действительно равны. Попался на парадокс о черепахе. Интересно же выглядит ряд чисел.

    ОтветитьУдалить
  40. Что-то я ещё почитал по теме и вернулся к своему исходному убеждению. Дело в том, что 1/3≠0,(3) — оно приблизительно равно, потому как окончить деление, как я уже говрил, нельзя! А само понятие предела также неточное, да и вообще полно неточных функций. Но эта неточность такая маленькая, что никогда не вылезает, пока мы не начнём умножать на бесконечность, и вот незадача, бесконечность — это не число и на неё нельзя умножить, как и сделать с ней любое другое действие :).

    ОтветитьУдалить
  41. Правильно говорить не 1/3=0,(3), а 1/3 бесконечно близка к 0,(3). Будут ли два числа бесконечно близки друг к другу, если между ними можно вставить ещё число? 0,(9)8 — это число, которое бесконечно близко к 0,(9).

    ОтветитьУдалить
  42. Quark Fusion: 0,(9)8 - вообще не число по причине, указанной в моем предыдущем комментарии.

    ОтветитьУдалить
  43. Анонимный16.03.2010, 22:42

    "1. Есть не так много задач, в рамках которых возникают кубические уравнения;"

    К сожалению мое обучение связано с теорией управления, а объекты описываются черт знает какого порядка дифференциальными уравнениями=) для исследования устойчивости и т.д. было по напридумано куча всяких критериев, да и все равно обычно решаем на компьютере, но все равно было интересно узнать, что корни можно найти и у кубического уравнения. Мне когда-то в детстве какой-то преподаватель в школе сказал, что подобной формулы не существует, а тут вот такие дела))

    ОтветитьУдалить
  44. Аноним, формулы существуют до полиномов пятой степени не включительно. Полиномы степени n>=5 неразрешимы в радикалах

    ОтветитьУдалить
  45. Илья Весенний, "баг" это в том смысле, что что число 0,(9) "неестественное", нет таких двух целых чисел, деление которых дало бы 0,(9). Не тольк 0,(9), но и, скажем, 0,4(9). Например, чтобы получить 0,(3) надо разделить 1 на 3. А если разделить 45 на 90 то получим 0,5.

    ОтветитьУдалить
  46. Здесь можно скачать книгу «Гёдель, Эшер, Бах: эта бесконечная гирлянда» БЕСПЛАТНО и без регистрации.

    http://www.inattack.ru/program/566.html

    ОтветитьУдалить
  47. К вопросу о бесконечности. Плюс и минус бесконечность в совокупности с действительными числами составляют расширенное множество действительных чисел. И для этого множества определены операции умножения, деления, и сложения с бесконечностью. Исключения: деление 0 на 0, бесконечности на бесконечность и умножение бесконечности на ноль дает неопределенность.

    ОтветитьУдалить
  48. Paul4850, скажите, тогда пожалуйста, чему равно число квадрат которого равен -1? :-)
    Очевидно, вы имели в виду сферу Римана

    ОтветитьУдалить
  49. Уважаемый аноним, здорово, что комментарии к заметкам оказываются познавательными! Для меня это важно :)

    Paul4850, спасибо за прямую ссылку!

    alexsmail, сфера Римана - замечательная штука. Но речь, как я понял, шла не о ней, а о другом классическом понятии - о расширении множества вещественных чисел ещё двумя элементами. Это очень удобное представление, потому что с ним и интуиция хорошо работает, и строгость изложения получается высокой.

    ОтветитьУдалить
  50. Илья, точно. Я говорил о расширенном множестве действительных чисел, а не о множестве комплексных числах.

    ОтветитьУдалить
  51. Анонимный24.03.2010, 15:37

    Илья, простите за немного офтопик, но больше нет знакомых математиков. Вопрос у меня таков, есть ли решение в общем виде для уравнения ax^5 + bx^4 - c = 0? Знаю, что это полином 5й степени, но, возможно, для конкретно данного полинома можно выразить x?

    ОтветитьУдалить
  52. Уважаемый аноним, вопрос у Вас интересный, но хорошего ответа у меня нет. Увы, я не знаю решения в общем виде для такого уравнения. И подозреваю, что его не должно быть.
    Поэтому могу только предложить находить ответы с нужной точностью методом Ньютона.

    ОтветитьУдалить
  53. Анонимный26.03.2010, 20:54

    матлаб такого решения в 5-й степени не знает..

    ОтветитьУдалить
  54. А где можно посмотреть вывод формулы дискриминанта уравнения 3-й степени?

    ОтветитьУдалить
  55. Евгений, есть множество книг, в которых с разной степень подробности освещается вывод этих формул.
    Первая попавшаяся ссылка - http://e-science.ru/forum/index.php?showtopic=7337 (полагаю, Вы легко найдёте в сети нужные материалы).
    Успехов!

    ОтветитьУдалить

Понравилась заметка? Подпишитесь на RSS-feed или email-рассылку.

Хотите поделиться ссылкой с другими? Добавьте в закладки:



Есть вопросы или предложения? Пишите письма на адрес mytribune АТ yandex.ru.

С уважением,
      Илья Весенний