30 мар. 2010 г.

Об изучении математики

Во все времена было очень распространено заблуждение убеждение о том, что каждому необходимо так знать определения, чтобы от зубов отскакивали. Детей загоняли и загоняют в школы для зазубривания непонятного им текста, но редкий школьник понимает смысл выученных «заклинаний». Я предлагаю сейчас не спорить об эффективности этой системы, а перейти к ясности. Дело в том, что мы сейчас не в школе, поэтому можем не спешить, а вникать.

Например, в недавней заметке о бесконечности мы быстро прошли мимо записи «∞ - ∞ = ?». В комментариях вопрос явно не прозвучал, но по двум электронным письмам понял, что на эту тему стоит посмотреть чуть дольше.

Моя позиция такая: учить определения на ранних этапах не очень эффективно, потому что понимание приходит через «осязание». Надо сначала пощупать объект, о котором будем говорить, а потом его строго описывать. Кстати, математики знают много определений интеграла: и интеграл Ньютона, и интеграл Римана, и интеграл Лебега, и ещё много разных умных мужиков придумали свои хитрые интегралы. Но начинать надо не с определений всех этих интегралов, а с попыток понять и пощупать всякие хитрые функции. Но это я отвлёкся...

В пришедших вчера письмах был следующий вопрос:
Почему разность двух бесконечностей не равна нулю? И как такое может быть, что при вычитании из объекта самого себя остаётся что-то?

Глупо отвечать на эти вопросы, давая определения. Гораздо лучше рассмотреть простой пример, который всё поставит на места. Пусть
S0 - это сумма чисел, обратных к натуральным (S0 = 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...),
S1 - сумма чисел, обратных к нечётным (S1 = 1/1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ...), а
S2 - сумма чисел, обратных к чётным (S2 = 1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + ...). Легко представить себе эти три бесконечные суммы. И многие, наверное, уже догадались, что мы с ними сделаем дальше.

У нас запланировано три шага:

1) Мы докажем, что S0=∞, S1=∞ и S2=∞. Что значит эта запись? Что суммы этих рядов не ограничены. Какое бы большое число N мы не загадали, все эти суммы его заведомо превзойдут.

2) Поймём, что S0 = S1 + S2. Вычтем из обеих частей этого равенства сумму S1. Получим S0 - S1 = S2. Что это значит? Это пример «∞ - ∞ = ∞».

3) А после этого мы возьмём разность S1 и S2. Можно показать, что S1-S2 - это конкретное вещественное число, не равное нулю (на самом деле, S1-S2 = log(2) ~ 0.6931471805599453). Это пример «∞ - ∞ = log(2)»

Более того, всегда можно взять разность S1-S1=0. Это простейший пример «∞ - ∞ = 0».

Эти шаги позволяют нам прикоснуться к понятию бесконечность, не погружаясь в строгие определения терминов ряд, сумма ряда, предел, частичная сумма и так далее. Мы сформулировали тезисы, в каждый из которых можно стараться вникнуть, если это интересно. Это нужно для развития представления о предмете, который предстоит подробно изучить. И такой подход позволяет лучше «укладывать в голову» все следующие понятия (проще понимать ответ на вопрос «почему именно так?», чем заучивать ответ на вопрос «как?»).


Давайте, например, разберёмся, как можно выполнить первый шаг. Чтобы понять, что S0=∞, достаточно доказать, что для любого (сколь угодно большого) числа N найдётся такое количество членов M ряда S0, что даже частичная сумма (т.е. сумма всех элементов ряда с первого по M-тый) превзойдёт загаданное N.

Сделать это легко - надо всего лишь начать собирать члены ряда в группы, сумма элементов в которых больше 1/2. В самом деле, если мы покажем, что можем насобирать таких групп сколько угодно, то тем самым докажем, что для любого N найдётся частичная сумма, которая это N превзойдёт.

Долго сказка сказывается, но быстро дело делается:
S0 = 1/1 +
     1/2 +
     1/3 + 1/4 +
     1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 +
     1/9 + 1/10 + 1/11 + 1/12 + 1/13 + 1/14 + 1/15 + 1/16 +
...

Заметим, что сумма в каждой строке превосходит 1/2. В самом деле:
- в каждой строчке самое правое число является самым маленьким,
- количество членов в каждой строке в два раза меньше, чем знаменатель самого маленького (правого) элемента.
Умножаем количество на самое маленькое число - получаем нижнюю оценку суммы для строки.

Аналогичное рассуждение легко провести для сумм S1 и S2.

Кто-то скажет, что такие «рассуждения на пальцах» вредны, потому что не обладают необходимой строгостью и чёткостью. Но у меня есть возражение: спортсмены не сразу умеют быстро бегать и высоко прыгать, а постепенно подходят к своим лучшим результатам. Так и способность размышлять об абстрактных вещах появляется не сразу, а развивается постепенно. Человека можно отпугнуть от математики, заставив зубрить определения, но не показав, о чём это всё. А можно показать красивые и интересные моменты, зная о которых ученик легко прочитает все нужные книги. Потому что мозг гораздо лучше работает, когда человек получает от процесса удовольствие или заинтересован как-то иначе. Кстати, год назад мы рассматривали пример с казино, который, мне кажется, хорошо показывает важность такой мотивации.

Хорошего вам дня!

44 комментария:

  1. Анонимный30.03.2010, 11:08

    Вообще, в каждом случае, когда используется символ "∞", его значение четко оговорено - будь то значение предела, интеграла, суммы ряда, или то, к чему стремится некая переменная. Может есть что еще, не помню.

    Поэтому выражение "∞ - ∞" имеет смысла не больше чем "абра - кадабра".

    ОтветитьУдалить
  2. В этом плане еще можно вспомнить об условно сходящихся рядах. Можно легко доказать (теорема Римана), что такой ряд при нужной перестановке членов может сходится к любому числу (и даже к +∞ и - ∞).

    ОтветитьУдалить
  3. По поводу невредности таких рассуждений. В двух из трех учебников по математике можно найти главы "Интуитивный подход к понятию предела" и "Задачи, приводящие к понятию интеграла"

    ОтветитьУдалить
  4. Забавно было это читать. Но, как помнится мне из куса математики приведенные Вами суммы отнюдь не равны бесконечности:
    S0 = 1/1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...
    S1 = 1/1 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + ...
    S2 = 1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + ...
    Каждая из этих сумм имеет пределом lim некоторое конечное число, но никак не бесконечность. Сходящиеся ряды или как-то так это называется.

    Да и определения в школе прекрасно подходили тем, кто понимал основы. Абстрактное мышление не приобретешь за деньги и не найдешь на дороге, это гены.
    Интересно, кто Автор по образованию???

    ОтветитьУдалить
  5. Дмитрий30.03.2010, 22:40

    Владимир: Каждая из этих сумм имеет пределом lim некоторое конечное число

    Заинтригован. Не назовете это число, например, для S0?

    ОтветитьУдалить
  6. Немного ошибся, признаю, S0, действительно расходящийся ряд, равен бесконечности а вот вам адресочек
    http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D1%83%D0%BC%D0%BC%D0%B0_%D1%80%D1%8F%D0%B4%D0%B0
    Раздел - ПРИМЕРЫ, там очень понятно приводятся примерчики особенно для
    S2 = 1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + ..., правда там S = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + ..., но увы с точки зрения математики эта сумма равна всего лишь 2.Вот так то... Так что определениям не зря учат в школе.
    Что скажете?

    ОтветитьУдалить
  7. Дмитрий30.03.2010, 23:01

    Владимир, в указанной Вами статье рассматривается другой ряд: 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ..., т.е. сумма степеней 1/2. Он действительно сходится к 2. В нашем ряде S2, если вынести за знак суммы сомножитель 1/2, получится S2 = 1/2 * S0.

    Так что определениям не зря учат в школе.

    А вот с этим полностью согласен. Да и автор, думаю, не имел в виду, что зря.

    ОтветитьУдалить
  8. Мне просто лень рыться в нете и доказывать, что и эти ряды сходящиеся...

    ОтветитьУдалить
  9. «учить определения на ранних этапах не очень эффективно, потому что понимание приходит через „осязание“».

    Согласен с этим абсолютно. Тоже хотел написать про это, но пока недостаточно мыслей собрано. Единственное, что смущает… Насколько я понимаю, советская школа работала именно по такому принципу: сначала определения, потом всё остальное. При этом образование, в ней полученное, очень качественное.

    Я вижу в этом противоречие.

    ОтветитьУдалить
  10. Именно подобные рассуждения "на пальцах" имеют в данном случае ценность. Навести строгость задача тривиальная, и не очень нужная.

    Владимир, вы неправы. Ряды расходящиеся. Не нужно нигде рыться. Из расходимости любого из приведённых рядов тривиальнейшим образом следует расходимость остальных.

    ОтветитьУдалить
  11. Я определения заучивать просто ненавидела в школе (университете). Во многих случаях у меня просто запоминались формулы в мозгу, но это было связано не с хорошей памятью, а, скорее всего, c натренированностью.
    С этой же натренированностью приходило и понимание, которое помогало в случае, когда формула забывалась.
    В случае с бесконечностью я не придумывала сложных примеров с рядами, а как-то уяснила себе так: бесконечность - это оочень большое число. Абстрактно представила себе, что, числа больше 1000 - это вот такие оочень большие числа.
    И что же будет, если отнять от оочень большого числа другое оочень большое? Вот я и представляла варианты. Результатом может быть ооочень большое отрицательное число, если отнять 1000000 от 1000. А может получиться оочень большое положительное число (если поменять местами уменьшаемое и вычитаемое). Также может получиться 0 (нулем я считала оочень маленькое число), если отнять два очень рядом находящиеся числа. А может получиться и какое-то конечное число.
    Ну вот после таких подстановок возникал вывод - раз мы не знаем, что это за бооольшие числа, то результат неопределен!
    Надеюсь, что мысль понятна:)

    ОтветитьУдалить
  12. Grundiss, и это хорошо, что многие авторы учебников понимают важность плавного подхода к сложным понятиям. Речь шла о распространённом общественном мнении, звучащем примерно так: «иди зубрить определения». Зубрёжка развивает память, но не способность оперировать понятиями.

    Владимир, спасибо, что предложили свою кандидатуру в качестве иллюстрации для этой заметки!

    Вы пишете: «как помнится мне из куса математики приведенные Вами суммы отнюдь не равны бесконечности». Это как раз показывает, что Вы не понимаете смысла некоторых определений, которые выучили.

    Следующая фраза ещё показательнее: «Мне просто лень рыться в нете и доказывать, что и эти ряды сходящиеся...». В математике не нужно верить авторитетам и интернету. Это так хотя бы по той причине, что в интернете можно найти массу ложных утверждений. В данном случае, гораздо важнее понимать доказательство, чем помнить ответы (кстати, Вы запомнили неправильные ответы, судя по всему).

    iuris, это сложный и длинный вопрос, поэтому я не буду излагать свою позицию здесь в комментариях. Возможно, об этом будет отдельная заметка.

    otmorozca, ваша аналогия достаточно ясна. Мне кажется, такое понимание вполне можно предлагать людям, которые ещё не готовы вникнуть в чуть более сложное (но и более близкое к математике). Спасибо, что всё чётко сформулировали.

    ОтветитьУдалить
  13. Анонимный31.03.2010, 12:05

    Добрый день! С огромным удовольствием обнаружила этот замечательный сайт! Умения думать, рассуждать, изобретать основываются на понимании. Как много людей не взлюбили математику только потому, что им не дали возможности увидеть красоту ее идей. Спасибо Автору, что он с таким удовольствием, корректностью, юмором и уважением ко всем участникам блога интригует нас все новыми и новыми статьями. Творческих сил Вам, удачи во всем, это очень нужное и полезное дело!!!

    ОтветитьУдалить
  14. Уважаемый аноним, спасибо за тёплые слова! :)

    ОтветитьУдалить
  15. Вспомнилась старая задачка-шутка:
    Найти S (бесконечный ряд):
    S = 1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+1-1+....

    И три решения:
    1. Ставим скобки
    S = (1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+(1-1)+.... =
    = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + ... = 0

    2. Ставим скобки по-другому:
    S = 1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+.... =
    = 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + ... = 1

    3. Легко заметить, что (так как число членов бесконечно):
    S = 1 - S => S = 1/2

    Тоже неплоха для разминки непосвященного ума )))

    ОтветитьУдалить
  16. Sergey, очевидно, что правильный ответ 3. :-)

    Это хорошая задачка, которая демонстрирует, что не зря учили пределы последовательностей перед рядами, и что те знания тоже нужно уметь применять к "новым" объектам.

    ОтветитьУдалить
  17. alexsmail, а как у вас 3 (число три) получилось? 0_о

    ОтветитьУдалить
  18. 2 alexmail:
    Т.к. для всякого X => -1 = -1 + X - X,
    то S = 1 - 1 + X - X + ... = (1 - 1) + X - X + ... = X - X + ...
    И при X = 6 - получаем, что S = 6 - S, т.е. S = 3 :D
    Не удержался...

    ОтветитьУдалить
  19. Очевидно, что сумма ряда 1-1+1-... либо не определена, либо равна 1/2, поскольку только к этому числу приводят популярные методы суммирования расходящихся рядов. Да и невооруженным глазом видно, что частичные суммы колеблются между 0 и 1 - значит, нужно взять среднее.

    А еще, я слышал, 1+1+1+1+...=-1/2. Причем это не заблуждение из разряда доказательств 2*2=5, а результат вполне уместного в некоторой конкретной проблеме обобщения.

    ОтветитьУдалить
  20. Спасибо за статью! :)

    ОтветитьУдалить
  21. Спасибо за статью. Математика - великая вещь. Сейчас я понимаю, что вся сила моего мозга основана на раннем изучении математики. Мне кажется, что чем раньше мы начинаем изучать ее, тем сильнее становится логика и мышление.
    Как вы считаете, со скольки лет можно и нужно обучать ребенка азам матери всех наук?

    ОтветитьУдалить
  22. Иля, здравствуйте.
    По удивительному совпадению рядом с Вашим постом в моих "общих записях" в Google Reader-е оказался пост со ссылкой на эссе на близкую тему.
    Это Пол Локхард, "Плач математика":
    http://nbspace.ru/math/
    Возможно, Вам и другим присутствующим будет интересно ознакомиться с этим текстом.

    ОтветитьУдалить
  23. Sergey, благодарю за чудесный пример!

    ankiuk, здорово, что Вам понравилось :)

    George, простые игры я помню лет с пяти. Главное, чтобы был интерес. Ну и индивидуальные особенности надо учитывать, поэтому не стоит наседать на ребёнка, я думаю, если ему не очень нравится. Математика должна нравиться!

    Алексей, хорошее совпадение :)
    Про "Плач математика" мы полтора года назад уже говорили, но такую важную статью лучше периодически вспоминать. Чем больше людей ею проникнутся, тем больше шансов, что в России мы не построим те же проблемы в полный рост.

    ОтветитьУдалить
  24. Владимир.
    "Абстрактное мышление не приобретешь за деньги и не найдешь на дороге, это гены"

    Спасибо, посмешили по поводу генов =)

    ОтветитьУдалить
  25. Пол Локхард, "Плач математика" Не соглашусь с автором. Выделю только несколько пунктов:

    а) таблицу умножения полезно учить наизусть в младших классах;
    б) школа должна-таки давать некий минимальный набор фактов типа 1+1=2. Вместе с тем, она должна давать также и контекст, т.е. 1+1=0 (mod 2)
    в) большинство учителей не справятся с миссий, предлагаемой Локхардом. Нужна стандартизация.
    г)
    [i]Симплицио. Но ведь люди же должны уметь деньги считать!

    Сальвиати. Для этого калькуляторы есть. Почему бы ими не пользоваться? [/i]
    Категорически не согласен! Люди должны умет считать. Калькуляторами можно пользоваться только после этого.

    ОтветитьУдалить
  26. alexmail, попробуйте в уме 99*34545*342
    Справитесь? Лично я на калькуляторе за 5 сек.

    ОтветитьУдалить
  27. Илья, вы наверное уже читали это, но на случай если нет - посмотрите http://nbspace.ru/math/
    Было бы интересно ваше мнение по этому поводу.

    ОтветитьУдалить
  28. ой. извините. не посмотрел чуть выше и не поискал как следует. Вопрос снят.

    ОтветитьУдалить
  29. небольшой оффтоп, думаю что заинтересует. перевод эссе Пола Локхарда "Плач математика".
    http://nbspace.ru/math/

    ОтветитьУдалить
  30. Алексей и grimskin, приятно, что вы ассоциируете эту статью с данным блогом :)

    Мы полтора года назад начинали обсуждать Плач математика, но периодически такие темы надо поднимать

    ОтветитьУдалить
  31. S2 = 1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + ...
    Только что рассказала ученикам, что это сходимый ряд и его сумма равна 1.
    Что я сделала неправильно?

    ОтветитьУдалить
  32. masavi, Вы им это смогли доказать или сказали поверить Вам на слово?

    Данный ряд расходится (это почти доказано в тексте заметки). Если необходимо, то я приведу полное доказательство. Соответственно, если ученики поверили Вашему доказательству, то они где-то проморгали ошибку (слишком доверчивые и не очень внимательные?). А если поверили без доказательства, то это вообще не имеет отношения к математике. Пишите, пожалуйста, если будут вопросы.

    ОтветитьУдалить
  33. alexmail, попробуйте в уме 99*34545*342
    Перемножать пятизначное на трёхзначное число в уме "не честно". А вот 99*34545 я в уме перемножу быстрее, чем вы на калькуляторе. Следите за руками:

    99*34545=34545*99=34545*(100-1)=34545*100-34545=
    =3454500-34545=3419955

    Признаюсь, вычитание таких больших чисел в уме далось тяжело.

    Однако, именно такие "трюки" устного счёта я выучил в пятом классе.

    ОтветитьУдалить
  34. Мы делили квадрат на треугольники, это не доказательство, но показывает, что сумма за пределы квадрата не выходит. До этого рассматривали сумму бесконечно убывающего геометрического ряда: n->oo q^n->0, => a1(1-q^n)/(1-q) -> а1/(1-q) не помну как эта убывающая геометрическая прогрессия правильно называется (я преподаю на эстонском и по формуле эта сумма = 1 и теперь у меня сумятица в мозгу)

    ОтветитьУдалить
  35. Хочется поддержать тему про умение считать в уме. Данный пример 99*34545*342 не корректен. Речь идет о нормальных примерах, которые в уме совершаются быстрее, чем на калькуляторе, вплоть до банальной таблицы умножения. Например 35 * 35 = 1225 считается быстро если знать как. 11 класс был очарован техникой умножения на 11, тк никто до этого им этого не показывал.

    ОтветитьУдалить
  36. Илья, согласен по всем пунктам, кроме доказательства. Дело в том, что хотя-бы на пальцах, но доказательство нужно давать корректное. В Вашем далеко не очевидно, что из любого хвоста можно вычленить кусок больший 1/2. Надо действовать похитрее.
    Например
    s0=s1+s2 (1),
    s2=s0/2 (2).

    A если в s1 в каждый знаменатель добавить 1 и назвать s1', то
    s1>s1'
    s1=s1'+a (3), где a>0 и
    s1'=s2. (4)
    (3, 4) => s1 = s2+a (5)

    То есть s0 (по 1)= s1+s2 (по 5)= s2+s2+a = 2*s2+a (по 2)= s0+a
    Итого s0 = s0+a то есть какое число не возьми за s0, s0 будет больше него. Это рассуждение можно объяснять на пальцах.

    В общем даже на пальцах надо объяснять корректно, иначе получим кашу в гораздо более фундаментальном знании.

    ОтветитьУдалить
  37. masavi, похоже, мы с Вами говорим о разных рядах:
    я про ряд S2 = 1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8 + 1/10 + ...,
    а Вы про ряд 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + ...
    Тогда всё встаёт на места: Вы ведёте речь про сумму бесконечно убывающего геометрического ряда, а я - про сумму чисел, обратных к чётным. Сумма Вашего ряда равна единице, а мой не ограниен.

    Антон, спасибо, что привели ещё один взгляд на доказательство.

    ОтветитьУдалить
  38. Ой , извините. Меня сбил с толку один из комментов.

    ОтветитьУдалить
  39. Анонимный05.04.2010, 13:31

    Тоесть ∞ - ∞ может быть равен чему угодно, потомучто значение ∞ не имеет строго определения?

    ОтветитьУдалить
  40. Уважаемый аноним, могу предложить следующую аналогию:

    Вопрос «что быстрее - автомобиль или велосипед?» не имеет чёткого ответа, потому что бывают автомобили, не способные разогнаться быстрее 15 км/ч, а бывают велосипедисты, летящие в гору более 50 км/ч.

    Вроде бы понятия автомобиль и велосипед имеют строгие определения, но сравнить мы их здесь не можем, верно? Так и с бесконечностями - надо указывать, о чём конкретно идёт речь, а не просто так писать непонятный символ.

    ОтветитьУдалить
  41. В статье все-же есть неточность:
    S1 - S2 != log(2) (или докажите обратное)
    Я согласен, что ряд
    S3 = 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ... Сходится
    Но S1 - S2 != S3 !!!
    Для бесконечных рядов слогаемые переставлять местами нельзя !!!

    ОтветитьУдалить
  42. oyefremov, Вы совершенно правы.
    Это очень существенная неточность, которую я допустил осознанно. Здорово, что Вы её так ясно видите!

    ОтветитьУдалить
  43. Анонимный30.07.2014, 16:39

    Поясните пожалуйста, почему S1-S2 != S3

    ОтветитьУдалить

Понравилась заметка? Подпишитесь на RSS-feed или email-рассылку.

Хотите поделиться ссылкой с другими? Добавьте в закладки:



Есть вопросы или предложения? Пишите письма на адрес mytribune АТ yandex.ru.

С уважением,
      Илья Весенний