И вдруг оказалось, что для создания компьютера совершенно нет необходимости в микросхемах, паяльнике и электричестве. Обычный школьник может попросить у родителей пустые спичечные коробки и наделать дыроколом одинаковые бумажные кружочки... Так я давным-давно сделал вычислительную машину, способную обучаться игре в крестики-нолики.
Понятно, почему это сначала показалось чудом:
- оно работает, хотя я не сделал ничего сверхъестественного,
- ученик каких-то начальных классов построил целую вычислительную машину у себя дома (сенсация, 16 шокирующих фотографий!).
Естественно, сейчас мы понимаем, что это была достаточно простая забава. Но тогда было чрезвычайно интересно понять, как и почему это работает, почему это не является волшебством. Возможно, по этой причине сейчас я не вижу многих других «чудес» вокруг: распознавание голоса, поиск изображений, программы, играющие в шахматы и Jeopardy, танцующие роботы, 3D-принтеры... Да, это круто. Но оно не волшебно, так как его можно понять (во всяком случае, создателям таких систем пришлось во всём разобраться).
Мне кажется, важно в раннем возрасте осознать, что многое можно понять, что не стоит отмахиваться от всех тем словами «это слишком сложно для меня», «это мне не пригодится».
Мартин Гарднер написал очень много книг и статей, но в нашей стране большинству он известен по переводам его колонки о математических развлечениях в журнале «Scientific American» (или книг, написанных по мотивам этих статей). Со всей Америки к нему приходили письма с интересными идеями и математическими вопросами, а он на протяжении двадцати пяти лет регулярно готовил интереснейшие и при этом очень ясные заметки. Сколько мог он писал и издавал понятные и увлекательные книги (это важное сочетание не только для детей).
А что может быть интересным? В умелых руках - всё!
Он много писал о всевозможных фокусах. Заметим, что ловкость рук - это не самое интересное. В описанных Гарднером карточных фокусах видна существенная математическая часть (другими словами, фокус «сам почему-то получается, хотя не должен бы», а самое интересное - понять его). Или можно вырезать вроде бы странные кусочки бумаги, а потом склеивать или сворачивать их, чтобы получать удивительные флексагоны (как же интересно было найти все спрятанные поверхности, вращая флексагон!). А можно на простой клетчатой бумаге обычным карандашом играть в «Жизнь», искать стабильные конфигурации, пробовать модифицировать правила этой игры, чтобы стало ещё интереснее... Детство - прекрасное время, потому что на всё есть время!
Недавний опрос показал, что четверть проголосовавших читала книги этого великого популяризатора науки, каждый седьмой слышал о нём, но ещё не читал, треть ничего о нём не слышала, а оставшаяся четверть не знает, но постарается узнать.
Надеюсь, что после этой заметки соотношение поменяется, так как мне кажется, что очень глупо пропускать мимо себя эти книги. А ещё глупее - утаить их от детей. Конечно, сейчас все они легко доступны в интернете (и это прекрасно), но иногда бывает приятнее листать бумажные книги, доставшиеся от родителей (а им - от их родителей :)
Ну а теперь вернёмся к забавным задачкам. В прошлой заметке о переливаниях мы пытались получить ровно один литр водки, пользуясь трёх- и пятилитровой бутылками. А сможете ли вы получить раствор с равными долями воды и спирта? То есть, дано озеро воды и озеро спирта, две ёмкости 3 и 5 литров, а надо получить один литр (или хоть сколько-нибудь) 50%-го раствора. Как это сделать?
15 февр. 2011 г.
Мартин Гарднер
Темы:
математика,
образование
Подписаться на:
Комментарии к сообщению (Atom)
Понравилась заметка? Подпишитесь на
RSS-feed или email-рассылку.
Хотите поделиться ссылкой с другими? Добавьте в закладки:
Есть вопросы или предложения? Пишите письма на адрес mytribune АТ yandex.ru.
С уважением,
Илья Весенний
RSS-feed или email-рассылку.Хотите поделиться ссылкой с другими? Добавьте в закладки:
Есть вопросы или предложения? Пишите письма на адрес mytribune АТ yandex.ru.
С уважением,
Илья Весенний
Нет ничего проще :) Взять пол-ёмкости воды и долить недостающую половину спиртом.
ОтветитьУдалитьЖелтая книга на переднем плане у меня была. Очень сильно жалею, что потерял (надо поискать) - в детском возрасте понял далеко не все (хотя понравилось сильно), а сейчас разминка для мозгов не помешела бы.
ОтветитьУдалитьНаверное, проще всего взять три литра воды и три литра спирта и перемешивать их несколько раз туда сюда из одной емкости в другую. В результате получим 6 литров 50% раствора. Чтобы получить литр, нужно просто долить 5ти литровую емкость полностью, а в 3х литровой останется искомый литр.
ОтветитьУдалитьА будьте добры, пожалуйста, дайте наводку как найти больше информации о вашей вычислительной машине из спичечных коробков и про ей подобных :)
ОтветитьУдалитьНу, если как в прошлый раз вытеснять жидкость одним ведром из другого, то решение очевидно :)
ОтветитьУдалитьЕще можно прокопать ведром канал между озерами. Правда, придется долго ждать, и неизвестно, какого объема озера...
doctor-notes: а если это две бутылки?
ОтветитьУдалитьВ мартовском номере «Notices of the AMS» вышла любопытная заметка «Memories of Martin Gardner» (PDF) с краткими воспоминаниями Грэхэма, Кнута, Смаллиана и др. о Гарднере.
ОтветитьУдалитьohytos, а как набрать ровно половину ёмкости?
ОтветитьУдалитьSergey, это итеративное решение, которое может приблизить нас к соотношению 50% сколь угодно точно (просто надо увеличивать число итераций). А как получить ровно 50%?
doctor-notes, а если это не вёдра, а, например, бутылки?
Петя, по запросу "гарднер спичечные коробки" гугл сразу предложил подходящую ссылку.
ООО, это же моя семейная реликвия и любимая книга с детства "Математические головоломки и развлечения"!!! Мы с мамой брали её в долгие путешествия на поезде. Всегда, когда мне приходилось сидеть дома(болеть, например) я доставала ее с полки. Помню как-то сама сделала гексафлексогоны, а потом и кубики сома и ещё долго с большим удовольствием их складывала. Первый мой оригамский журавль полетел благодаря этой книге.
ОтветитьУдалитьХороший квест.
ОтветитьУдалитьРешение для получения 5 литров требуемой жидкости.
Сначала надо получить 5 литров жидкости в которой соотношение спирта к воде 25/75.
Затем из этого объема получить 2 литра жидкости этого же соотношения.
Затем добавить 1 литр воды получим 3 литра жидкости с соотношением 25/125.
И наконец добавить 2 литра спирта получим 5 литров жидкости с соотношением 125/125.
Из этого объема легко можно получить 3 литра и 2 литра готовой жидкости, а вот как получить 1 литр, - без дополнительной 3-х литровой тары никак не получается.
Отве как получить 5 литров жидкости в которой соотношение спирта к воде 25/75 пока умолчу.
Пишите мне i.dubov@rambler.ru
Книжка М. Гарднера замечательная, согласен, однако в ней есть и утверждения и рассуждения, уже ставшие весьма сомнительными с точки зрения современной науки. В первую очередь, это безапелляционное утверждение, что индуктивная логика является ОСНОВНЫМ средством получения ВСЕХ научных результатов (с. 52). Достаточно давно и весьма убедительно К. Поппер показал, что чисто индуктивное познание (восприятие) невозможно для живых организмов (он назвал это "бадейной" теорией познания) и что базовые процессы познания могут быть только дедуктивными. Если интересно, то могу дать ссылки.
ОтветитьУдалитьЕсли уж Ваш блог носит подзаголовок "о классических человеческих заблуждениях", то заблуждение индуктивизма - одно из самых классических и самых "заблуждённых" :)
ОтветитьУдалить3-литровое ведро -- 3лв
ОтветитьУдалить5-литровое ведро -- 5лв
Вода -- (3 литра) --> 3лв
3лв -- (3 литра) --> 5лв
Вода -- (3 литра) --> 3лв
3лв -- (2 литра) --> 5лв
5лв -- (5 литров) --> озеро
Получили в 3лв литр воды
Водка -- (5 литров) --> 5лв
5лв -- (2 литра) --> 3лв
3лв -- (2 литра) --> 5лв
5лв -- (5 литров) --> озеро
3лв -- (1 литр) --> 5лв
Получили в 5лв литр 67% водки
Вода -- (3 литра) --> 3лв
3лв -- (3 литра) --> 5лв
5лв -- (3 литра) --> 3лв
5лв -- (1 литр) --> озеро
Получили в 3лв 3 литра 17% водки
3лв -- (3 литра) --> 5лв
Водка -- (2 литра) --> 5лв
Получили в 5лв 5 литров 50% водки
Должен сказать, что по началу я не думал, что это возможно, пока не понял как сделать четный знаменатель.
ОтветитьУдалитьНужно ровно 16 действий.
За 5 действий получаем один литр спирта в 3 литровом сосуде. За 2 действия разбавляем его водой до соотношения 1/3 (в другом сосуде остается 3 литра воды). за 2 действия оставляем от него 1 литр (в другом сосуде пусто). Переливаем этот литр в пятилитровый сосуд. Добавляем туда 3 литра спирта за 2 действия - получаем 4 литра с отношением 5/6. За 3 действия оставляем от них 3 литра в пятилитровом сосуде. Последним действием добавляем 2 литра воды и получаем 5 литров 50% смеси.
Программа работает доли секунды. Решение находится на 12447 варианте.
3л воды из трехлитровой в пятилитровую.
ОтветитьУдалитьПовторяем.
Ставим отметку на трехлитровой "1л".
Ну а дальше делаем какие угодно коктейли.
(a) Трясти надо. После трех действий имеем 3 литра спирта в 3-литровой бутылке и 3 литра воды в 5-литровой. Соединяем горловины бутылок герметично и трясем осторожненько 8-литровый бутыль, дабы не пролить драгоценную жидкость. Отстыковываем бутылки и доливаем 5-литровую доверху из 3-литровой, где остается ровно 1 литр требуемой смеси.
ОтветитьУдалить(b) Начало такое же как и в (a), но с другим методом смешивания: доливаем 5-литровую доверху из 3-литровой, затем обратно доливаем 3-литровую доверху из 5-литровой. Повторяем эту пару операций несколько раз. С каждым переливанием из 3-литровой в 5-литровую, в 3-литровой остается ровно 1 литр смеси, где концентрация спирта очень быстро приближается к 1/2 по експоненциальному закону:
C = [1 + (1/5)^(n - 1)]/2
При n = 7, т. е. когда количество всех действий достигнет в сумме 3 + 2n - 1 = 16, получаем литр смеси, где концентрация спирта будет равна 0,5 с точностью до пятого знака после запятой: C = 0,500032.
Достаточно давно и весьма убедительно К. Поппер показал, что чисто индуктивное познание (восприятие) невозможно для живых организмов (он назвал это "бадейной" теорией познания) и что базовые процессы познания могут быть только дедуктивными. - Евгений Волков
ОтветитьУдалитьОчевидно К. Поппер претендует на то, что он что-то познал. Характерно, что методологией науки чаще всего занимаются философы, наподобие Поппера, которые ни разу в жизни не сделали ни одного научного открытия, не доказали ни одной теоремы и не решили ни одной конкретной задачи. Поппер, претенциозно поучающий ученых своим глупым утверждением научная индукция невозможна, напоминает человека, пытающегося доказать перед аудиторией профессиональных летчиков, что полет аппарата тяжелее воздуха невозможен.
Поппер отвергает индукцию на основании того, что нет абсолютно никакой возможности доказать ее правильность, тем самым демонстрируя, что он даже не понимает назначение и функцию индуктивного мышления в науке.
Настоящая роль индукции в науке была четко отмечена еще 80 лет назад Harold Jeffreys (1931):
Обычный аргумент в пользу индукции заключается в том, что индукция всегда работала в прошлом и поэтому возможно будет работать и в будущем. На это часто возражают, что это утверждение само является индуктивным и поэтому не может служить аргументом в пользу индукции. Однако очень редко упоминается, что индукция в прошлом часто не срабатывала и что прогресс в науке в большой степени был следствием внимательного изучения именно тех случаев, когда индуктивный метод вел к неверным предсказаниям.
Другими словами: это именно тогда, когда наши индуктивные выводы оказываются неверными, мы познаем по-настящему что-то новое об окружающем нас реальном мире.
Минимальную партию 50% ного раствора можно получить из 2-х капель. 1 литр раствора будет не легко накапать, но думаю возможно.
ОтветитьУдалитьЗаурби.
2 Arthur Baraov: А что Вы у Поппера читали? Судя по тексту реплики, ничего. Хотелось бы более весомых аргументов, чем ничего не аргументирующая цитата Harold Jeffreys.
ОтветитьУдалитьА что Вы у Поппера читали? Судя по тексту реплики, ничего. Хотелось бы более весомых аргументов, чем ничего не аргументирующая цитата Harold Jeffreys. - Евгений Волков
ОтветитьУдалитьЕвгений,
Вы сделали великолепный логический вывод - в меру сильный и в то же время с небольшой, опять в меру, долей осторожности. Я действительно ничего не читал из того, что написал Popper, и вы вправе упрекнуть меня с возмущением: Как же можно так резко отзываться о взглядах известного философа, не прочитав ни одного из его произведений.
Я отвечу: Не только можно и нужно, но очень часто, и вполне разумно, именно так мы и поступаем в жизни. Рациональность такой линии поведения наиболее ярко выражена в знаменитом афоризме, который фольклор приписывает Советскому физику Академику А. Мигдал: Прежде чем начать копаться в куче навоза, следует оценить вероятность того, что там найдется кусок алмаза.
Что же касается более весомых аргументов, я с удовольствием предоставил бы их, но боюсь это приведет к нарушению формата, предусмотренного автором этого замечательного блога. Отмечу только, что Popper не был первым и, по-всей вероятности, не последним философом, кто отрицал правомерность индуктивного мышления в науке. Наиболее известным и весомым из этой категории философов был пожалуй David Hume. Есть очень маленькая, всего 114 страниц, но очень хорошая книга на английском языке, которая возможно даже переведена на русский: The Algebra of Probable Inference, by Richard T. Cox, где можно найти очень хорошую, на мой взгляд, критику Hume и разъяснение роли и смысла метода индукционного мышления в науке.
Если вы интересуетесь подобного рода вопросами, я бы рекомендовал работы Анри Пуанкаре, который, в отличие от Поппера, был не только первокласным математиком, но пожалуй одним из последних универсальных ученых самого высокого ранга.
Есть точное решение, отличное от решения предложенного Andrey, с окончательным результатом 3 литра 50% водки за 17 действий.
ОтветитьУдалитьДля удобства описания последовательности действий введем триаду m|n|k, где m обозначает объем контейнера и может принимать два значения: 3 или 5; n обозначает количество жидкости в данном контейнере после очередного шага (m >= n); k обозначает концентрацию спирта (в объемных долях от 0 до 1) смеси в данном контейнере после очередного шага. Если контейнер пустой, для описания его состояния достаточно диады m|n.
(1) 3|3|0; 5|0
(2) 3|0; 5|3|0
(3) 3|3|0; 5|3|0
(4) 3|1|0; 5|5|0
(5) 3|1|0; 5|0
(6) 3|0; 5|1|0
(7) 3|3|1; 5|1|0
(8) 3|0; 5|4|3/4
(9) 3|3|3/4; 5|1|3/4
(10) 3|0; 5|1|3/4
(11) 3|3|1; 5|1|3/4
(12) 3|0; 5|4|15/16
(13) 3|0; 5|5|3/4 (после доливания 5-литрового контейнера одним литром воды из озера)
(14) 3|3|3/4; 5|2|3/4
(15) 3|0; 5|2|3/4
(16) 3|2|3/4; 5|0
(17) 3|3|1/2; 5|0 (после доливания 3-литрового контейнера одним литром воды из озера)
Один литр 50% раствора можно получить за 34 действия:
ОтветитьУдалить(1) 3|3|0; 5|0
(2) 3|0; 5|3|0
(3) 3|3|0; 5|3|0
(4) 3|1|0; 5|5|0
(5) 3|1|0; 5|0
(6) 3|0; 5|1|0
(7) 3|3|1; 5|1|0
(8) 3|0; 5|4|3/4
(9) 3|3|3/4; 5|1|3/4
(10) 3|0; 5|1|3/4
(11) 3|3|1; 5|1|3/4
(12) 3|0; 5|4|15/16
(13) 3|3|15/16; 5|1|15/16
(14) 3|0; 5|1|15/16
(15) 3|1|15/16; 5|0
(16) 3|3|5/16; 5|0 (после доливания 3-литрового контейнера 2-мя литрами воды из озера)
(17) 3|0; 5|3|5/16
(18) 3|3|0; 5|3|5/16
(19) 3|1|0; 5|5|3/16
(20) 3|3|1/8; 5|3|3/16
(21) 3|1|1/8; 5|5|13/80
(22) 3|1|1/8; 5|0
(23) 3|0; 5|1|1/8
(24) 3|3|1; 5|1|1/8
(25) 3|0; 5|4|25/32
(26) 3|3|0; 5|4|25/32
(27) 3|2|0; 5|5|5/8
(28) 3|3|5/24; 5|4|5/8
(29) 3|0; 5|4|5/8
(30) 3|3|0; 5|4|5/8
(31) 3|2|0; 5|5|1/2
(32) 3|3|1/6; 5|4|1/2
(33) 3|0; 5|4|1/2
(34) 3|3|1/2; 5|1|1/2
to Baraov: Вам чтение К. Поппера точно противопоказано, потому что такой уровень бессмысленной предвзятости вряд ли курабелен. Да, к сожалению, голимый расизм имеет не только классические формы, но и вполне распространён в научной среде по отношению к непонимаемым - и не читаемым - отраслям и концепциям. Особенно забавно такой клинический случай встретить в блоге "Привычка не думать"...
ОтветитьУдалитьto Baraov: Вам чтение К. Поппера точно противопоказано, потому что такой уровень бессмысленной предвзятости вряд ли курабелен. Да, к сожалению, голимый расизм имеет не только классические формы, но и вполне распространён в научной среде по отношению к непонимаемым - и не читаемым - отраслям и концепциям. Особенно забавно такой клинический случай встретить в блоге "Привычка не думать"... - Евгений Волков
ОтветитьУдалить"Очевидно ..., но Вероятно ..." , или Новая Вариация на Старую Тему
О, сколько нам открытий чудных
Готовит просвещенья дух:
И опыт — сын ошибок трудных,
И гений — парадоксов друг.
Это же инкурабелен голимый расизм, - опайнд Евгений
Человек очевидно читает много, но вероятно - не гений
Для него Popper
Почти как doper
Я сделал все что нужно для избежания ненужных прений
Спасибо всем решившим задачку за то, что поделились своим подходом (и сообщили об использовании компьютерного перебора, когда он имел место). И благодарю всех, кто не стал переходить на личности в интеллигентной дискуссии.
ОтветитьУдалитьДа! задачка - не более чем занимательная теория - при первом же смешении объемов воды и спирта - объем смеси будет меньше суммированых, ну дальнейшие переливания пойдут прахом
УдалитьО! обратно я
Удалить))) с каплями, то же, прикольно - из-за разных свойств поверхностного натяжения жидкостей и капли будут разного объема.
т. о. единственно верное решение - частичное переливание трех литров воды и трех литров спирта из трех литрового ведра в пяти литровое и обратно (применяя спиртомер) с последующим выделением одного литра смеси. ))))) .
а можно просто выпить литр спирта и запить литром воды - полученными путем нехитрых действий с ведрами ))))
Все никак не успокоюсь. О возникшем споре - наука сложная штука, в буквальном смысле.
УдалитьВ ней все средства хороши, даже плагиат и шарлатанство. Нобелевские премии не зря дают, потом иногда жалеют, но обратно не забирают.
Да! в этом смысле математиков жалко.
Я в 1972 - 1973 годах прочел (ну просто изучил) несколько книг Мартина Гарднера - был очень увлечен. Но единственная (обнаруженная мной) ошибка в его утверждениях охладила меня навсегда (сюда я попал совершенно случайно - увидел, вспомнил и пишу). Он утверждал, что нет беспроигрышной тактики в игре 4х4 монеты - ЕСТЬ, причем элементарная - эту тактику я назвал "Martin".
ОтветитьУдалитьПрошу прощения если мой пост выглядит саркастическим, с огромным уважением отношусь как к самому Мартину Гарднеру так и к его книгам.
ck6262@mail.ru
Напишите подробнее, пожалуйста.
Удалитьck6262@mail.ru
ОтветитьУдалитьВсегда выигрывает тот, кто ходит вторым просто повторяя ходы первого по принципу центральной симметрии - это дает возможность в конце игры сделать победный ход не зависимо от ходов сделанных соперником. Разложите монетки и попробуйте (уверен подробности самой игры не нужны)
Все просто, гораздо труднее скрывать эту тактику от более или менее искушенного противника в течение многих партий.
В итоге ничего интересного кроме путей поиска и расчета тактики (почерпнутых у самогО Мартина Гарднера - оттуда и название)