5 февр. 2011 г.

Задача Менделеева-Пуассона

Добрый день!

Мне эта задача известна под названием «Обобщённая задача Пуассона», но вы скоро поймёте, почему пришлось вспомнить Менделеева. Все вы наверняка знаете классическую задачу Пуассона: Пользуясь двумя ёмкостями с объёмами 3 и 5 литров, а также краном с неограниченным количеством воды, получить ёмкость, в которой ровно один литр воды (естественно, излишки воды можно выливать).

Если вы эту задачку ещё не решали, то остановитесь на минутку. Дело в том, что следующая формулировка обобщённой проблемы предполагает, что вы уже хорошо умеете переливать из одной ёмкости в другую и так далее...


Раз вы читаете этот абзац, то классическая задача Пуассона уже решена, поэтому мы можем перейти к задаче Менделеева-Пуассона: Пользуясь двумя ёмкостями с объёмами 3 и 5 литров, а также двумя кранами с неограниченным количеством воды и чистого спирта, получить ёмкость, в которой ровно один литр водки. Поясню, что это математическая задача, поэтому мы не вникаем в сложности получения 100%-го спирта, а водкой называем смесь воды и спирта в соотношении 60 к 40.

Это уже не очень простая задача, но её можно ещё чуть-чуть усилить, если стараться получить искомый литр за минимальное количество действий. Поэтому предлагаю в комментариях писать, за какое количество операций (наполнений ёмкости из под крана и переливаний из одной ёмкости в другую) вы смогли получить литр смеси.

Хороших вам выходных!

35 комментариев:

  1. Анонимный05.02.2011, 11:54

    по моему нужно было получать в этой задачке не один литр воды а четыре. потому что один литр получить особого ума не надо: выливаем из 3-х литровой в 5-и литровую, потом из 3-х литровой доливаем 5-и литровую до конца и в 3-х литровой остается 1 литр

    ОтветитьУдалить
  2. Это детсадовская задачка, поэтому сложностей и не должно было возникнуть. Но велика ли разница между одним литром и четырьмя, если у вас по условию есть трёхлитровая ёмкость, позволяющая вам за одно действие получить из одного четыре или из четырёх один? Это задачи почти одинаковой сложности. Но здорово, что Вы слышали о формулировке про четыре литра, так как опыт решения таких задач должен вам помочь в решении задачи Менделеева-Пуассона.

    ОтветитьУдалить
  3. Анонимный05.02.2011, 12:49

    Спирт в 3 (3 - спирт, 5- пусто)
    3 в 5 (3 - пусто, 5 - 3 литра спирта)
    Спирт в 3 (3 - спирт, 5 - 3 литра спирта)
    3 в 5 (3 - 1 литр спирта, 5 - спирт)
    5 вылить (3 - 1 литр спирта, 5 - пусто)
    3 в 5 (3 - пусто, 5 - 1 литр спирта)
    Вода в 3 (3 - вода, 5 - 1 литр спирта)
    3 в 5 (3 - пусто, 5 - 4 литра 25% раствора)
    Спирт в 3 (3 - спирт, 5 - 4 литра 25% раствора)
    3 в 5 (3 - 2 литра спирта, 5 - водка)
    5 в 3 (3 - раствор, 5 - 4 литра водки)
    3 вылить (3 - пусто, 5 - 4 литра водки)
    5 в 3 (3 - водка, 5 - 1 литр водки)

    13 шагов, не знаю, можно ли проще

    ОтветитьУдалить
  4. Анонимный05.02.2011, 14:28

    Наливаем спирт в 5-литровою банку
    Переливаем 3 литра в другую
    Льем воду (3л) к 2л спирта, который остался в 5л банке.
    Итого - 3 действия

    ОтветитьУдалить
  5. Классическая задача - 4 действия.
    - наливаем полную 3л банку;
    - выливаем это в 5л емкость;
    - наливаем полную 3л банку;
    - доливаем 5л до конца, в 3л остается 1 литр.

    А вот про водку что-то никак не получается решить...

    ОтветитьУдалить
  6. водка -(три литра)-> 3,
    3 -(три литра)-> 5,
    вода -(три литра)-> 3,
    3 -(два литра)-> 5,
    5 -(два литра)-> 3,
    3 -(два литра)-> 5

    ОтветитьУдалить
  7. основная проблема второй задачи вроде бы в том что если смешать литр спирта и литр воды, то получится не два литра водки, а меньше

    ОтветитьУдалить
  8. Анонимный05.02.2011, 15:36

    >> Наливаем спирт в 5-литровою банку
    Переливаем 3 литра в другую
    Льем воду (3л) к 2л спирта, который остался в 5л банке.
    Итого - 3 действия

    Правильно. Зачем 1 литр водки, если можно получить 5 особо не думая.

    ОтветитьУдалить
  9. 3 литра воды в 5-ти литровой банке - это и есть 60 процентов. Наливаем 3 литра воды в 5ти литровую банку и доливаем спиртом. Водка готова!

    ОтветитьУдалить
  10. >>3 литра воды в 5-ти литровой банке - это и есть 60 процентов. Наливаем 3 литра воды в 5ти литровую банку и доливаем спиртом. Водка готова!

    ах, забыл про литр водки. прийдется вылить водку и делать все заново :)

    ОтветитьУдалить
  11. cug, я специально предупредил, что задача математическая, поэтому на химические тонкости мы не обращаем внимание :)

    Sergey, совершенно верно - 5 литров водки получить очень легко, но задача состоит не в этом.

    ОтветитьУдалить
  12. 1. Наливаем 3 литра спирта в 3-литровую (5-литровая пуста)

    2. Переливаем 3 литра спирта из 3-литровой в 5-литровую (3-литровая пуста)

    3. Наливаем 3 литра воды в 3-литровую (5-литровая содержит 3 литра спирта)

    4. Доливаем 2 литра воды в 5-литровую из 3-литровой (в 3-литровой остается 1 литр воды, а 5-литровая содержит 5 литров смеси, которую можно назвать сильной водкой: 2 порции воды + 3 порции спирта)

    5. Доливаем 3-литровую 2-мя литрами сильной водки из 5-литровой (нетрудно убедиться, что 3 литра новой смеси в 3-литровой является нормальной водкой, а 5-литровая остается с 3-мя литрами сильной водки)

    6. Доливаем 5-литровую 2-мя литрами номальной водки из 3-литровой (в 3-литровой остается 1 литр нормальной водки, а 5-литровая содержит 5 литров абсолютно новой водки, которую назовем Обобщенная Весенняя Водка)

    ОтветитьУдалить
  13. Хочу обратить внимание достопочтенных читателей, что в моем решении ничего не выливается, поэтому если приз за решение этой задачи присуждают борцы за сохранение природы, вполне возможно, что я получу приз.

    Однако, если жюри состоит из представителей общества анонимных алкоголиков, то безусловно приз достанется анониму 05.02.11 14:28 по двум веским причинам: (1) он/она является анонимом, также как и все члены жюри; (2) он/она сумел(а) получить в 5 раз больше водки за 3 шага вместо 6 шагов, т. е. это решение, в конечном итоге, на порядок (5x6/3=10) лучше моего.

    ОтветитьУдалить
  14. У меня вопрос не по-существу. :-)
    В голосовании в блоге, где хранится информация о голосовании?

    У меня есть 2 браузера. Я проголосовал только в IE. После голосования другой браузер не видит как я проголосовал (значит хранится не по IP). Затем в IE я стёр cookies, а всё равно IE видит как я проголосовал. При этом другой браузер не видит.

    ОтветитьУдалить
  15. alexsmail, механизм голосования предоставляется движком blogger.com (т.е. Google). Если я правильно понимаю, массовые накрутки такой движок блокирует, а мелкие не замечает. Для наших целей этого хватает.

    ОтветитьУдалить
  16. Arthur Baraov, у меня вопрос к шагу номер 5. Перед ним у нас есть в 3 литровой банке 1 литр воды, а в 5 литровой банке 3 литра спирта и 2 литра воды. Вы переливаете 2 литра с 5-литровой банки. Вопрос, какая концентрация этих 2 литров и какая концентрация останется в 5 литровой банке?

    ОтветитьУдалить
  17. Ответ на вопрос alexsmail. После 5-го шага 3-литровая содержит 3 литра 2(3C+2B)/5 + 1B = 3(2C+3B)/5, т. е. 40% спирта и 60% воды - нормальная водка. А 5-литровая содержит 3 литра 3(3C+2B)/5, т. е. 60% спирта и 40% воды - сильная водка (сивуха?).

    ОтветитьУдалить
  18. Для себя хочу расписать подробней. До 5 шага 3 л. содержит 1В, 5 л. содержит 3С+2В. Тут всё понятно. Далее мы переливаем 2 литра с 5 л.-ой банки в 3 л.-ую. 2 литра это 2/5. Значит мы переливаем 2/5*(3С+2В)=6/5*C+4/5*В. Так?

    Тогда в 3 л. будет 6/5*C+4/5*В+1В=6/5*C+9/5*В, а в 5л. будет 3C+2В-6/5*C-4/5*В=9/5*C+6/5*В или
    3 л. имеет 3/5(2C+3В), что действительно значит 2/(2+3)=2/5=40% спирта и 3/(2+3)=3/5=60% воды = нормальная водка, а в 5л. будет 3/5(3C+2В), что действительно значит 3/(3+2)=3/5=60% спирта и 2/(3+2)=2/5=40% воды = сильная водка.

    Вроде бы всё сошлось, теперь перечитать надо. :-)

    ОтветитьУдалить
  19. Для тех кто интересуется химическим составом водки ВО! (Весенняя Обобщенная! - смесь трех литров крепкой водки и двух литров номальной), вот расчеты:

    3(3C+2B)/5 + 2(2C+3B)/5 = (13C+12B)/5,

    т. е. водка ВО! состоит из 52% спирта и 48% воды.

    ОтветитьУдалить
  20. 1. набрали 3 литра воды
    2. перелили в пятилитровку
    3. набрали 3 литра спирта
    4. перелили 2 литра спирта в пятилитровку (теперь там водка).
    5. 2 литра водки в трехлитровку
    6. опустошаем 3-х литровку
    7. 3 литра водки из пятилитровой в трехлитровую. в пятилитровке остался 1 литр водки.

    ОтветитьУдалить
  21. Анонимный07.02.2011, 12:24

    вылить 2 литра водки ? !!!! какой ужас
    На самом деле после п.5 в 5-тилитровой останется 3 литра водки . Значит после п.7 там будет сухо

    ОтветитьУдалить
  22. Вылить спирт - неправильное решение. Его надо выпить!

    ОтветитьУдалить
  23. Что-то не пойму - вроде я поместил сюда ответ, но не вижу его.
    На всякий случай повторю (извиняюсь, если это глюк).

    Считаем стенки ведер тонкими.
    1. Делаем 5 литров водки (это очевидно просто)
    2. Переливаем 3 литра в 3-х литровое ведро, в 5-литровом остается 2 литра.
    3. Выливаем 3-х литровое, переливаем туда 2 литра.
    4. Наливаем в 5-литровое спирт, вытесняем 3-х литровым ведром из него 3 литра, доливаем водой. Теперь в 3-х литровом 2 литра, в 5-литровом - 5.
    5. Вытесняем 3-х литровым ведром из 5-литрового 3 литра водки. Теперь в 3-х литровом - 2 литра водки, в 5-литровом - тоже 2 литра.
    6. Доливаем 1 литр в 3-х литровое ведро (доверху). Теперь в 5-литровом остался 1 литр.

    ОтветитьУдалить
  24. Анонимный08.02.2011, 4:29

    Это doctor-notes.
    Комментарии появляются, затем сразу пропадают.
    Попробую анонимно.
    ---------------------------------------------
    Даже не так, можно быстрее.

    1. Наливаем что угодно в 5-литровое ведро, вытесняем 3-литровым 3 литра, остаток (2 литра) переливаем в 3-литровое.
    Имеем 2 л. жидкости в 3-литровом.

    2. Наливаем спирт в 5-литровое, вытесняем 3-литровым 3 литра, доливаем водой.
    Имеем 5 л. водки в 5-литровом.

    3. Вытесняем 3 литра (остается 2 литра), доливаем 3-литровое доверху (один литр).
    Имеем в остатке 1 литр водки в 5-литровом ведре.

    ОтветитьУдалить
  25. doctor-notes replaced vessels with flexible buckets
    Then he's sqeezed 3 liters of spirit to his own pockets
    What a witty resolution
    Real thought revolution
    You made me laugh, doctor-notes, how not to like it

    ОтветитьУдалить
  26. doctor-notes, спасибо за интересное решение! Вытеснять жидкость из одного ведра другим - это оригинальный ход.
    В условии не сказано, что ёмкости являются вёдрами (это могли быть и бутылки, что порушило бы Ваше решение). Но это не уменьшает ценности Вашего оригинального взгляда на эту задачу!

    (А Ваши комментарии почему-то движок blogger.com автоматически помечал как спамерские, поэтому скрывал. Жаль, что так вышло. Это редко случается.)

    ОтветитьУдалить
  27. Анонимный08.02.2011, 19:22

    doctor-notes

    Я физик, причем экспериментатор.
    Образ мыслей, соответственно, физический, а не математический :)

    ОтветитьУдалить
  28. doctor-notes: Считаем стенки ведер тонкими.

    Вот решение, которое я по-праву должен разделить с doctor-notes, поскольку идея следующего решения была двохновлена именно им.

    1. Делаем 5 литров водки (это очевидно просто)
    2. Очевидно, что теперь у нас в большом ведре с тонкими стенками ровно 5 литров свежей водки. Считаем что там 1 литр водки, а не 5. Проблема решена в 2 шага и без потерь!

    А если серьезно, невероятно остроумное решение доброго доктора мне , как и Илье, очень понравилось. Он подошел к решению проблемы как настоящий целитель с незаурядными способностями физика-изобретателя.

    Илья правильно отметил слабые пункты этого решения с точки зрения математика. Я же хотел бы отметить слабые пункты этого решения с точки зрения физика. Как совершенно правильно отмечено самим автором, чтобы его решение было достаточно точным, стенки ведер должны быть тонкими - в пределе с толщиной в атомный слой. Тогда ведра потеряют жесткость, что приведет к большим ошибкам, если конечно материал из которого сделаны ведра и сама технология изготовления не основаны на нанотематериле и нанотехнологии. Теперь у нас появились дополнительные проблемы технологического и экономического характера и без Чубайса нам никак не обойтись.

    Кстати о наноматериалах и нанотехнологии. Вы слыхали, что в Японии есть реальный и серьезный проект по созданию космического лифта?

    http://www.vesti.ru/only_video.html?vid=256998

    ОтветитьУдалить
  29. Анонимный08.02.2011, 22:09

    Обсуждали сегодня задачу, нашли решение в шесть действий и еще одно экспериментальное:
    Мы можем сделать 5л (или 3л, просто перелив)водки элементарно.
    Если хотя бы одна из емкостей имеет гладкую окрестность нижней точки ( можно провести касательную плоскость), то можно сделать в ней 5 (3) маленьких дырочек близко-близко и подставить другую емкость под одну из струй. Понятно, что за равные времена через дырочки вытекут равные количества водки, так как давление будет одинаково. Вуаля.
    Но тут возникают ограничения на форму сосуда: гладкость дна может не так важна, как то, что не должно быть "карманов", иначе не вся водка вытечет!
    Студенты

    ОтветитьУдалить
  30. Дорогие студенты, спасибо за интересную идею!

    ОтветитьУдалить
  31. 1. 3 литра спирта в 3-х литровую.
    2. 3 литра спирта в 5-литровую.
    3. 3 литра воды в 3-х литровую.
    4. 1 литр воды в 3-х литровой, остальное - в 5-ти.
    5. отливаем обратно в 3-х литровую смесь из 5-ти. (имеем водку в трехлитровой.)
    6. отливаем лишнее в 5-ти литровую.

    Имеем литр водки, 6 действий и никаких канализационных издержек!

    ОтветитьУдалить
  32. Анонимный26.11.2011, 4:54

    Только как известно если смешать 6 к 4 спирт и воду, то водка не получится))

    ОтветитьУдалить
  33. Уважаемый аноним, поэтому я и написал в тексте заметки "это математическая задача, поэтому мы не вникаем в сложности получения 100%-го спирта, а водкой называем смесь воды и спирта в соотношении 60 к 40."

    ОтветитьУдалить
  34. Я запутался. Какое решение самое быстрое?

    Моё решение тоже оригинальное, но только для сосудов цилиндрической формы:)

    1. Получаем литр воды в пятилитровом сосуде, это тривиально.
    2. Наливаем три литра спирта в трёхлитровый и... аккуратно отливаем ровно половину (знаете эту старую тривиальную задачку: как отлить из сосуда ровно половину жидкости на глаз?).
    3. Теперь у нас есть спирт и вода в отношении 1/1,5 (4/6). Смешиваем в трёхлитровом сосуде. Из 2,5 делаем 1,5 опять же за счёт отливания из цилиндрического сосуда излишков. Когда жидкость будет касаться края дна, в сосуде ровно 1,5 л жидкости.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Евгений, частный случай с цилиндрами тоже очень интересен. Здорово, что Вы его описали!

      Удалить

Понравилась заметка? Подпишитесь на RSS-feed или email-рассылку.

Хотите поделиться ссылкой с другими? Добавьте в закладки:



Есть вопросы или предложения? Пишите письма на адрес mytribune АТ yandex.ru.

С уважением,
      Илья Весенний