2 мар. 2011 г.

Площадь треугольника

В прошлый раз мы разминались следующей азартной игрой: девять карт с достоинствами от 1 до 9 лежат на столе рубашками вниз, а два человека поочерёдно берут их себе. Выигрывает тот, у кого первого найдётся три карты, сумма значений которых составит 15.

Часть решающих не сразу заметила, что для выигрыша необходимо набрать ровно три карты, поэтому старалась не позволить сопернику получить одновременно карты 7 и 8, например. Часть вспомнила эту задачку, судя по молниеносности ответа. Некоторые даже нашли энергию, чтобы взломать задачку методом грубой силы. А остальные дошли до вполне хорошего решения, сделав качественный перевод с одного языка на другой (то, чем занимаются, например, математики и программисты).

Существует всего восемь троек карточек, сумма которых составляет 15:
  9+5+1 = 15,
  9+4+2 = 15,
  8+6+1 = 15,
  8+5+2 = 15,
  8+4+3 = 15,
  7+6+2 = 15,
  7+5+3 = 15,
  6+5+4 = 15.

Глядя на эти строчки, можно заметить, что пятёрка встречается 4 раза, чётные числа по 3 раза, а остальные нечётные - по 2. Вообще говоря, это уже подсказывает, что выгодно брать карточку с пятёркой или с чётными числами, если пятёрки нет.

Ну а далее нужно применить «метод пристального взгляда». Как мы можем удачно расположить девять чисел? Например, в квадратике 3 на 3. Причём в центр стоит поставить пятёрку, так как через неё проходит сразу четыре линии (две диагонали, горизонталь и вертикаль). А в углы надо ставить чётные числа, ведь через них как раз проходят три линии (ровно столько, сколько есть строчек с чётными числами в нашем списке).

У меня получился следующий магический квадрат (квадрат, у которого суммы элементов по всем строчкам, столбцам и диагоналям совпадают):
  2 9 4
  7 5 3
  6 1 8.

Полагаю, все уже догадались, что теперь можно играть в обычные «крестики-нолики», так как все ходы этой детской игры взаимооднозначно переводятся в ходы исходной игры с девятью картами. Но теперь-то игра нам кажется гораздо более простой, не так ли? Например, теперь мы твёрдо знаем, что тот, кто ходит первым, заведомо может свести игру к ничьей, если будет правильно действовать.

Что делать дальше? А давайте от скучных карточных игр перейдём к весёлой геометрии. Многие из вас помнят, что площадь треугольника можно выразить через его периметр и радиус вписанной в него окружности (S = R * P/2). Как доказать это утверждение? Достаточно разбить наш треугольник на три, чтобы одна из вершин каждого из них совпадала с центром вписанной окружности, а две другие были вершинами исходного треугольника. Тогда мы легко можем вычислить площадь большого треугольника, так как она равна сумме площадей трёх маленьких. А площадь каждого маленького треугольника - это половина произведения радиуса вписанной окружности на сторону. Всё верно? Точно? ;)

Ну раз так, то давайте уже решим задачку: найдите радиус окружности, вписанной в треугольник с площадью 60 и периметром 24.

P.S. Слишком просто? Но мы же уже сталкивались с тем, что даже площадь прямоугольного треугольника может себя неожиданно проявить :)

16 комментариев:

  1. Анонимный02.03.2011, 20:23

    Таких треугольников не бывает :)

    ОтветитьУдалить
  2. При фиксированном периметре наибольшую площадь имеет равносторонний треугольник. Стороны такого треугольника 24/3=8. Его площадь примерно 28, что меньше 60. Значит, описаный в условии треугольник не существует.

    Можно также показать, что на окружности диаметром 10 (формальный ответ задачи) нельзя построить треугольник с периметром 24.

    ОтветитьУдалить
  3. Анонимный02.03.2011, 22:34

    С первым рассуждением согласен, а второе по-моему неверно:
    >нельзя построить треугольник с периметром 24.
    Почему это? Можно непрерывно менять периметр от 20 до 24.1, от плоского треугольника вдоль диаметра до равнобедренного прямоугольного на диаметре, он будет иметь периметр 10+10*1.41... >24

    ОтветитьУдалить
  4. Сначала не мог понять, в чем подвох. Видимо, долгий рабочий день сказывается :)

    Действительно, если считать радиус вписанной окружности для такого треугольника, получится 5, значит, ее диаметр - 10. Поскольку окружность вписанная, ее диаметр не может быть больше ни одной из сторон треугольника, а с периметром в 24 это просто невозможно.

    Такую площадь (примерно) можно получить, имея равносторонний треугольник со стороной 12.

    ОтветитьУдалить
  5. Аноним от 02.03.11 22:34
    Не путайте вписанную и описанную окружности.

    ОтветитьУдалить
  6. > Ну раз так, то давайте уже решим задачку: найдите радиус окружности, вписанной в треугольник с площадью 60 и периметром 24.

    Любое число будет правильным ответом, поскольку минимальный периметр треугольника с площадью 60 около 35.

    ОтветитьУдалить
  7. Ответ: R = 12/π. Эту окружность можно описать (ударение на а, пожалуйста) треугольником с площадью 60, т. е. нашли то, что требовалось найти: радиус окружности, вписанной в треугольник с площадью 60 и периметром 24.

    ОтветитьУдалить
  8. Arthur Baraov, речь о том, что периметр треугольника 24, а не длина окружности 24.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. SELENA GOMEZtm14.02.2012, 17:00

      Периметр это сумма всех сторон!!! a+b+c

      Удалить
    2. SELENA GOMEZtm,
      совершенно верно. А к чему Вы решили вспомнить определение периметра?

      Удалить
  9. Теперь, когда с помощью Ильи мы выяснили, что ноль-гипотеза неверна (как выяснилось, речь идет о треугольнике с площадью 60 и периметром 24 , а не об окружности с периметром 24, вписанной в треугольник с площадью 60), продолжаем поиск решения проблемы.

    Гипотеза 1: Речь идет не о геометрии Эвклида, Лобачевского, или любой другой известной человечеству геометрии, а о геометрии Весеннего. Если так, Илья должен нам подсказать где можно купить книгу Начала Весеннего.

    Гипотеза 2: Нам предлагают решить проблему из серии Найти черную кошку в темной комнате, где её нет. Такого рода проблемы имеют, как правило, множество решений: (а) одалживаем черную кошку у соседа слева и помещаем её в означенную комнату; (б) берем собаку у соседа справа, с помощью которой мы находим черную кошку в темной комнате.

    В данном конкретном случае мы можем использовать дырку в фомулировке задачи: Илья не сказал нам 60 чего? и 24 чего? Как известно, площадь мерят в квадратных единицах чего-то, а периметр - в линейных единицах чего-то.

    Не спешите покинуть зал - продолжение следует.

    ОтветитьУдалить
  10. Гипотеза 3: Илье досталась роль Ивана Сусанина в одноимённой опере М. Глинки, и он оттачивает на читателях своё умение вводить в заблуждение не вызывая подозрений, что необходимо для успешного исполнения этой роли на оперной сцене.

    Эта гипотеза похоже получила наибольшую поддержку читателей и, по-видимому, незря. Я тоже согласен, что эта гипотеза наиболее правдоподобная. В этом случае наша задача заключается в как можно простом доказательстве, что ответ R=5, который нам подсовывают, не верен. Я не вижу более простого доказательства, чем сослаться на арифметический факт 25π > 60 и, следовательно, не будучи фокусником, окружность с охватом 25π квадратных чего-то никак не уместить внутрь треугольника с площадью 60 квадратных тех же чего-то.

    Гипотеза 4: Гипотезы 1,2 и 3 - все неверны. Решение: Попросить вежливо Илью найти для нас искомый радиус. Если он откажется помочь - пристыдить его, если и это не сработает - пригрозить бойкотом его блога. Но сделать это надо как можно убедительнее.

    ОтветитьУдалить
  11. Это была подготовительная заметка, чтобы вспомнить о проблеме. А сейчас уже опубликован текст заметки о формальном подходе, ради которой всё и затевалось.

    ОтветитьУдалить
  12. При фиксированном периметре наибольшую площадь имеет равносторонний треугольник. Стороны такого треугольника 24/3=8. Его площадь примерно 28, что меньше 60. Значит, описаный в условии треугольник не существует.

    ОтветитьУдалить
  13. Анонимный10.11.2013, 11:42

    всё таки не поняла

    ОтветитьУдалить

Понравилась заметка? Подпишитесь на RSS-feed или email-рассылку.

Хотите поделиться ссылкой с другими? Добавьте в закладки:



Есть вопросы или предложения? Пишите письма на адрес mytribune АТ yandex.ru.

С уважением,
      Илья Весенний