9 окт. 2009 г.

Прямоугольный треугольник не сдаётся!

нарушение аддитивности площадей треугольников
Допустим, мы разобрались с биссектрисами и серединными перпендикулярами в предыдущей задачке о треугольниках, все стороны которых равны друг другу. Но все ли замечательные свойства мы рассмотрели?

Например, есть чудесное понятие аддитивности, которое якобы имеет место для площадей прямоугольных треугольников. Состоит оно в том, что площадь фигуры равна сумме площадей кусочков, на которые её разрезали. В частности, из этого свойства следует, что площадь прямоугольного треугольника не изменится, если его разрезать на фрагменты, а потом сложить вновь. Но посмотрите на картинку справа: если разделить треугольник на четыре куска, а потом сложить его же, то получится фигура с дыркой.

Кто-то возразит, что один треугольник повёрнут относительно другого на 180 градусов. Но разве это повод для изменения площади? Представьте, как было бы удобно портным: сшил пиджак с дыркой на половину спины, потому что экономил ткань, а потом просто перевернул его - дырка и заросла, потому что площадь ткани увеличилась. Главное, чтобы покупатель не вертелся в такой одёжке :)

А если серьёзно, то я почти уверен, что скоро в комментариях появится объяснение этого «феномена». Но традиционно предлагаю не читать чужие версии, пока не возникнет своей правильной. Потому что способность искать ошибки в правдоподобных утверждениях с красивыми картинками очень важна в современном мире.

Завтра будет заметка о двух типах утверждений: о существовании объектов с некоторым свойством и о том, что все объекты обладают некоторым свойством. Большинство хорошо понимает эту разницу, но мне нужна эта запись в сети, чтобы было на что сослаться. Вероятно, вам тоже часто хочется предложить оппоненту в споре прочитать короткий текст на эту тему :) Завтра он уже будет опубликован.

Хороших вам выходных!

22 комментария:

  1. Гипотенуза не слишком прямая =)

    ОтветитьУдалить
  2. Углы наклона гипотенузы разные у этих треугольников.
    Или по другому: соответствующие углы треугольников не равны.

    ОтветитьУдалить
  3. Анонимный09.10.2009, 21:11

    За счет толстых линий создается впечатление, что, например зеленые треугольники равны. Но это не так.
    При катете зеленого треугольника равном 8, другой катет равен 40/13, т.е. примерно 3,077, а не 3, как это кажется на рисунке.

    ОтветитьУдалить
  4. Переворот (выход за пределы плоскости) не является аффинным преобразованием, не так ли?

    ОтветитьУдалить
  5. Известная картинка, думаю многие ее уже "проходили" на различных форумах.

    ОтветитьУдалить
  6. Если исходить из того, что перпендикуляры опущены на катеты из точки (3;4), то площадь треугольника (по сумме составляющих) будет равна:
    (2*2 + 3) + (2*3 + 2) + (2*5/2) + (8*3/2) = 32

    Если же считать площадь треугольника саму по себе, то получается, что она равна 5*13/2 = 32,5.

    Этот факт как бы намекает нам, что рисунок вводит читателя в заблуждение.

    Если бы перпендикуляры опускались на катеты в точках (3;0) и (0;4), то и с гипотенузой они бы пересеклись в разных точках. А друг с другом - за пределами треугольника (этот факт не проверял и не обдумывал, могу ошибаться).

    ОтветитьУдалить
  7. Мне так запомнилось, что авторство задачи Льюиса Кэррола?
    То есть довольно старая.

    ОтветитьУдалить
  8. Aliaksandr Autayeu, любые повороты переводят прямые в прямые, поэтому являются афинными преобразованиями. Но зачем это? Как раз афинные преобразования вовсе не обязаны сохранять площадь :)

    pavel-koryagin, конечно задачка старая. Но я лично знаю очень достойных людей, которым в своё время не повезло с ней столкнуться. Поэтому в таком повторе я большого криминала не вижу, а его польза для многих очевидна.

    Кстати, создание нового типа интересных задач - это очень сложная проблема. А нахождение новой интересной задачи в старом классе задач - не менее сложная. В это легко убедиться, анализируя олимпиадные задачи: появление новой интересной задачки - это праздник. Поэтому составление олимпиад - это искусство.

    ОтветитьУдалить
  9. Короче, все становится понятно, если построить эти гипотенузы самому. Как и в предыдущих двух задачах, подвох - в неправильном чертеже.

    ОтветитьУдалить
  10. Кстати, встречал похожую задачку - что-то вроде заделать на подводной лодке пробоину размером 8*8, когда есть только доска 7*9. При правильном разрезании и собирании остается узкая щель общей площадью 1 см, которую вполне можно чем-то замазать.

    ОтветитьУдалить
  11. Это старый пример, иллюстрирующий теорему, от том, что площадь параллелограмма с вершинами в узлах координатной сетки равна 1, если он не содержит врутри себя узлов сетки.

    ОтветитьУдалить
  12. малый треугольник имеет отношение сторон 5/2=2,5 большой - 8/3=2,66
    собранный треугольник - 13/5=2,6
    т.к отношение сторон прямоугольного треугольника определяет его углы, можно сказать что кажущаяся диагональ оной не является.

    ОтветитьУдалить
  13. Напишу, а потом пойду читать написанное. И пусть мне будет стыдно, если что не так!
    Ответ: критерий равенства прямоугольных треугольников справедлив лишь для фигур, которые имеют право называться треугольниками. А для этого три точки должны соединять три ПРЯМЫХ отрезка.

    ОтветитьУдалить
  14. Подвох явно в том, что гипотенузы треугольников не параллельны. Все дело в специально вводящем в заблуждение чертеже. Если бы гипотенузы были параллельно, то зачем же тогда было делать между треугольниками зазор?

    ОтветитьУдалить
  15. 2Dymas: На рисунке они как раз параллельны, но тут подвох в том, что это не отрезки, а толстые линии. И неровность укладывается в их толщине. Если изобразить точки треугольников с более высоким разрешением, и линии сделать потоньше - будет видно, что треугольники вовсе и не треугольники.

    ОтветитьУдалить
  16. Все уже сказано. Гипотенузы являются не прямыми, а ломаными. Поэтому большие треугольники таковыми не являются. У левого "треугольника" ломаная вогнута внутрь, а у правого - наружу. Поэтому площадь левого "треугольника" меньше площади правого. Как раз на одну клетку.

    ОтветитьУдалить
  17. Не понимаю, какое отношение к площади имеет «дырка»? Площадь-то не изменилась.

    ОтветитьУдалить
  18. «...скоро в комментариях появится объяснение этого „феномена“».

    Илья, так каково все-таки объяснение? Верните гуманитарию здоровый сон, пожалуйста. :)

    ОтветитьУдалить
  19. artaxata, объяснение было выше:
    на рисунках изображены не треугольники, а четырёхугольники. Соответственно, нельзя считать их площадь полупроизведением катетов. Другими словами, это оптическая иллюзия.

    ОтветитьУдалить
  20. Александр комментирует...

    малый треугольник имеет отношение сторон 5/2=2,5 большой - 8/3=2,66
    собранный треугольник - 13/5=2,6


    Хочу заметить, что числа 2,3,5,8,13 упомянутые выше являются числами Фибоначчи. Более того 5=F5, 2=F3, 8=F6, 3=F4, 13=F7. Таким образом

    малый треугольник имеет отношение сторон
    2,5=5/2=F5/F3 большой - 2,66=8/3=F6/F4
    собранный треугольник - 2,6=13/5=F7/F5

    И это не спроста. Заметьте, что F7=F5+F6 (это числители всех отношений), F5=F3+F4 (это знаменатели всех отношений)

    Как известно Lim F(n+1)/F(n) = &phi, при этом этот предел чрезвычайно быстро сходится.

    см. подробности тут

    Так как F(n+2)/F(n)=(F(n+1)+F(n))/F(n)=
    =F(n+1)/F(n)+1, то Lim F(n+2)/F(n)= 1+&phi, что и было использовано в составление задачи.

    ОтветитьУдалить
  21. alexsmail, спасибо за содержательное пояснение!

    ОтветитьУдалить

Понравилась заметка? Подпишитесь на RSS-feed или email-рассылку.

Хотите поделиться ссылкой с другими? Добавьте в закладки:



Есть вопросы или предложения? Пишите письма на адрес mytribune АТ yandex.ru.

С уважением,
      Илья Весенний