Прямоугольный треугольник

Добрый день!

Сегодня я попробую «доказать» теорему о том, что все прямоугольные треугольники являются равносторонними. Что вообще можно делать с подобными теоремами? Хорошо бы, например, уметь их опровергать. Помните, в разборе парадокса о двух конвертах мы представили ситуацию, которая удовлетворяет условию задачи, но опровергает предположение о том, что вероятности двух конкретных событий равны? Аналогично можно поступить и с данной теоремой - можно предъявить конкретный прямоугольный треугольник со сторонами разного размера (как на рисунке справа). И это полностью опровергнет всю теорему о равенстве сторон любого прямоугольного треугольника. Да и понятно, что слово «доказать» взято в кавычки, потому что хочется лишь создать иллюзию, что доказательство существует и корректно.

Помните, мы недавно разбирали доказательство того, что все лошади одного цвета? Там было неправильное применение метода математической индукции, приводящее к нелепому выводу. И польза такой задачки состоит в появлении дополнительного самоконтроля - теперь, применяя этот метод, человек будет внимательнее, поэтому будет реже обманывать себя по поводу менее очевидных утверждений.

Когда несколько раз проверяешь все пункты доказательства, убеждаясь, что на каждом шаге всё корректно, но итоговый результат очевидно ошибочный, то приходится копаться в себе всё глубже и глубже - а это очень полезно. Почему мы ищем ошибку? Просто из-за того, что хочется понять, как эта простенькая задачка для шестого класса вдруг обводит умного человека вокруг пальца... Ну а если кого-то не обводит, то данное вступление было не для вас :)

Итак, сначала вспомним пару признаков равенства прямоугольных треугольников, чтобы было на что ссылаться потом:

1) Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

2) Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники тоже равны.

Для краткости я их здесь доказывать не буду. Отмечу только, что первый признак прямо следует из признака равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), а второй очевиден из теоремы Пифагора - гипотенузой и одним из катетов жёстко задаётся второй катет (обычно его доказывают иначе, но не в этом суть).

Начнём работать с произвольным прямоугольным треугольником. Возьмём, например, тот, что был на первой картинке. И построим в нём биссектрису из любого острого угла (разделим угол пополам). А из катета, соседнего с другим острым углом, проведём серединный перпендикуляр (перпендикулярную прямую, проходящуюю через его середину). Далее мы построим два отрезка из точки их пересечения - до вершин прямого угла и того острого, который соседствует с данным катетом. На рисунке слева вы можете видеть два зелёных треугольника, равенство которых мы сейчас докажем.

Итак, почему же они равны? Это два треугольника, у которых есть один общий катет (значит он у обоих треугольников имеет одну длину). И второй катет - это половина нижнего отрезка, так как мы на нём строили серединный перпендикуляр. Другими словами, два зелёных треугольника равны по первому признаку - у них попарно совпадают длины катетов. Верно? Тогда идём дальше.

Из той же точки пересечения биссектрисы и серединного перпендикуляра опустим два перпендикуляра - на гипотенузу и на катет. Получаем ещё два прямоугольных треугольника (рисунок справа). На этот раз мы докажем, что эти голубые треугольники равны.

У них есть общая гипотенуза, поэтому можно попробовать применить второй признак (о равенстве гипотенуз и катетов). Поскольку перпендикуляры опускались из точки, лежащей на биссектрисе, то их длины совпадают по свойству биссектрисы (так как это множество точек, равноудаленных от сторон угла) - данное равенство отмечено одинарными штрихами на чертеже. Получается, что выполнено условие - гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника. Это значит, что голубые треугольники тоже равны.

Что это нам даёт? Подождите одну секундочку, осталось совсем чуть-чуть!

Рассмотрим оставшиеся два жёлтых треугольника (на рисунке слева):

Раз зелёные треугольники равны, значит их гипотенузы тоже равны. Но они совпадают с гипотенузами жёлтых треугольников. Это значит, что гипотенузы жёлтых треугольников тоже равны - отметим это на чертеже двойными штрихами.

Ну а раз голубые треугольники равны, то и их катеты равны. Но они совпадают с катетами жёлтых треугольников, поэтому катеты жёлтых треугольников тоже равны (отметим это на чертеже одинарными штрихами).

Выходит, мы опять можем применить второй признак - гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника равны гипотенузе и катету другого прямоугольного треугольника. Получается, что жёлтые треугольники тоже равны.

В этот момент уже можно говорить «упс» :)

Если проблема ещё не видна, то предлагаю взглянуть на чертёж справа. На нём отмечены равные стороны жёлтых и голубых треугольников. Хорошо видно, что катет и гипотенуза исходного треугольника состоят из пары одинаковых отрезков. Это значит, что катет и гипотенуза исходного треугольника равны.

Какие это открывает просторы? Огромные! Если один катет равен гипотенузе, то и второй катет тоже равен гипотенузе (по этой же теореме). А это значит, что все прямоугольные треугольники являются равнобедренными - у них равны катеты. А раз оба катета равны гипотенузе, то все прямоугольные треугольники являются равносторонними!

После этого геометрия становится простой и ясной, потому что уж с равносторонними треугольниками мы управимся :)

Повторюсь: я знаю о существовании прямоугольных треугольников с неодинаковыми сторонами, поэтому не надо опровергать данное доказательство словами «доказана глупость, поэтому в доказательстве ошибка». Интересно именно найти эту ошибку :)

Приглашаю обсудить сомнительные моменты доказательства в комментариях (но предлагаю сначала найти своё возражение, а не читать сразу чужие). И очень прошу тех, кто раньше сталкивался с этой задачкой, не рассказывать все секреты, чтобы не лишать остальных читателей удовольствия от самостоятельного разбора. Дело в том, что таких красивых задачек очень мало, поэтому будет очень обидно, если человек, желающий с ней разобраться (и получить от этого себе пользу) не успеет сделать это до того, как кто-то всё объяснит.

Хороших вам выходных!