13 сент. 2009 г.

Разбор осей симметрии

Процесс мышления ещё слабо изучен человечеством, на что, естественно, есть масса причин. Кроме колоссальной сложности работы головного мозга, есть понятное философское возражение - мы изучаем объект с помощью этого же объекта. То есть мы познаём своё мышление, пользуясь именно им, что осложняет систему. В частности, какие-то сбои в работе головы тяжело достоверно отслеживать, потому что ненадёжный прибор (ошибающийся мозг) даёт неточные данные в момент своего сбоя.

Но мне интересней другой аспект этого вопроса. Все люди разные, поэтому могут видеть отличающиеся вещи, глядя на одну сущность. И поэтому очень интересно «влезть в шкуру» - понять, что и почему думает другой человек. Это не только очень увлекательно само по себе, но и позволяет лучше понять процессы внутри себя. Да и других людей понимать бывает очень полезно (об этом вчера была опубликована история про аптеку). Другими словами, хоть мозг и плохо подходит для изучения мозга, ничего лучше мы пока не нашли, поэтому будем пользоваться им :)

Просто так за людьми можно долго наблюдать, но огромный поток получаемой информации очень затрудняет вычленение критически интересных моментов. Поэтому меня привлекают простые задачки, про которые уже известно, что они у многих вызывают коллизию интуиции и рациональности (после заметки я приведу ссылки на некоторые из ранее рассмотренных примеров). На них быстро выявляются (или не выявляются) интересные сложности, которые заставляют глубже задуматься о понимании других людей.

Итак, разберёмся наконец с задачкой о квадрате и осях симметрии, это очень полезное упражнение по изучению объектов чужими глазами.

Какие бывают ответы и как их получить:

Ответ 1. Если пристальный взгляд на картинку даёт только квадрат с координатами (-1,1), (1,1), (1,-1) и (-1,-1), то это обычно означает одно из двух:
1) невнимательное чтение задачки (делалась попытка найти квадраты, у которых оси симметрии совпадают с обоими осями координат, хотя достаточно было одной оси).
2) расслабленность при решении.

Ответ 3. Это очень распространённый ответ, выдающий внимательного человека, который очень верит своей интуиции, а на грабли наступает редко :)
Быстрый мозг подсказывает, что к квадрату из первого пункта стоит добавить ещё два:
(а) (-1,1), (-1,-1), (-3,-1), (-3,1) и
(б) (-1,1), (1,1), (1,3), (-1,3).
Это сдвиги исходного квадрата вдоль каждой из осей координат, при которых одна сторона квадрата переходит в другую. Увы, после этого часто возникает ощущение, что дальше копать некуда: двигать дальше по осям бесполезно, так как точка (-1,1) перестаёт быть вершиной квадрата, значит считаем задачу решённой. Были комментарии «могу доказать, что 3 - максимум» и «почему я вижу только три?» (видимо, после прочтения чужих комментариев), что подтверждает возникновение стойкого внутреннего ощущения, что дальше копать некуда, поэтому другие квадраты найти не удаётся или очень трудно.

Ответ 6. Я знаю два способа получить такую версию:
1) Проводим рассуждение для каждой из осей X и Y. Сначала разберёмся с осью X: если точка (-1,1) является вершиной квадрата, то симметричная относительно оси X точка (-1,-1) тоже будет вершиной квадрата. Получается, мы уже имеем две вершины - осталось понять, какие две ещё могут быть. Но тут просто: отрезок между этими двумя вершинами может быть правым ребром квадрата, левым ребром или диагональю. Для оси Y аналогично находим ещё 3 квадрата. Получается, что всего их 6. Это решение во многом неплохое, но выдаёт некоторую невнимательность.
2) Другое решение аккуратнее. Мы замечаем, что в двух найденных наборах из трёх квадратов есть два одинаковых, поэтому понимаем, что в плоскости XY квадратов может быть ровно 5 (и я это называю правильным решением). Но тут возникает идея выйти из плоскости. Пусть одна диагональ шестого квадрата будет идти из точки (-1,1) в (1,-1), а вторая диагональ будет на оси Z: одна точка на корень из 2 выше нуля, а другая - на корень из 2 ниже. Получается опять 6 квадратов. Здесь, как я понимаю, мозг думает примерно следующее: «ага, я увидел этот трудный повёрнутый квадрат, сложнее ничего не бывает, поэтому задача решена».

Ответ 7. Здесь рассуждения аналогичны: найдя 5 квадратов на плоскости, продолжаем искать что-нибудь в объёме. Например, можно взять квадрат, перпендикулярных оси X, у которого центр находится на оси X, а одна из вершин имеет координаты (-1,1,0). Получаем квадрат (-1,1,0), (-1,0,1), (-1,-1,0), (-1,0,-1). Аналогично для второй оси.

Ответ 8. Комбинация предыдущих двух: добавили к 7 квадратам один диагональный (с вершиной (0,0,sqrt(2)).

Ответ 9. К тем 7 квадратам, что нашли выше, добавили ещё два, проходящих через ось Z: один с верхним ребром (-1,1)-(1,-1), а другой с таким же нижним ребром. Удивляет, что при этом не нашли квадрат с такой диагональю :)

Ответ 4. Всё делаем как в первом случае «ответа 6» (разбираем ситуацию для обоих осей отдельно), но не замечаем возможности построить повёрнутые квадраты, поэтому имеет ответ 4, а не 6.

Ответ бесконечно много. Распространены два способа получать такой вариант. Один будет рассмотрен чуть позже, а второй состоит в неправильном понимании термина ось симметрии (если считать осью симметрии такую прямую, которая делит фигуру на две равных).

Если вы получали другие ответы интересным образом или эти же ответы, но существенно другими способами, то, пожалуйста, напишите об этом в комментариях - это интересно!

Какой ответ правильный? Я не думаю, что это очень важно. Я бы считал правильным ответом 5, потому что все выходы в трёхмерное пространство странны тем, что мы не пошли дальше - в четырёхмерное и так далее (тогда бы легко получили бесконечное множество квадратов, которое иногда предлагалось в качестве ответа в комментариях прошлой заметки). Разговоры о недоопределённости задачи я понимаю, но в данный момент не считаю интересными.

А вообще, это была задачка для 9-10 класса математического конкурса Кенгуру (2004 год, задача номер 16). Кстати, сам проект очень рекомендую! Поскольку баллы, набранные при решении задачек, ни на что не влияют, то и конкурсом этим не интересуются различные коррупционеры и прочие товарищи, меняющие дух интеллектуального соревнования детей на измерение кошельков родителей. Если у вас подрастают детки, то я рекомендую дать им возможность поучаствовать в таком мероприятии - это очень интересно, но стоит каких-то символических денег. Хоть это и тест с вариантами ответов, там есть интересные задачки, способные не только померить знания ребёнка, но и научить новому (список задачек).

По причине школьного уровня этой задачки я предлагал уделить ей не больше 1-2 минут. В полном варианте предлагается 30 задач, работа длится всего 75 минут, а вопрос о квадрате был не самым сложным. Поздравляю всех, кто решил её правильно! (большинство ответов было 5)

Обещанные ссылки на заковыристые задачи:

1. Характерная алгебраическая задачка - если не знать заранее, что она не просто так, то ошибка будет с очень высокой вероятностью. А если знать, то просто с высокой :)

2. Задачка о двух конусах тоже заманивает в несколько разных способов получить неправильные ответы (для неё был проведён аналогичный разбор, который лучше не читать до самостоятельного решения).

3. Задачка о 8 монетах тоже всеми конечностями толкает к неверному ответу, так что нелегко удержать себя от поспешных заявлений о своём варианте решения :)

А какие интересные задачки с похожими сбоями трезвого мышления знаете вы?

28 комментариев:

  1. Анонимный13.09.2009, 8:36

    Решения, которые приходят позже первых двух минут, связаны с неопределенностью вида системы координат. Это должна быть такая система координат, в которой определение точки A(-1; 1) корректно:
    6 - прямые осей координат не перпендикулярны;
    6 - координаты заданы расстоянием от начала координат и углом.

    ОтветитьУдалить
  2. Анонимный13.09.2009, 9:14

    Несется мужик на новой машине, видит указатель: "Сбавь скорость, 50 км". Притормаживает, едет ровно 50 км/ч. Через некоторое время снова: "Сбавь скорость, 40 км". Сбавляет, едет ровно 40. Снова указатель - 30, едет 30, потом 20, 10. Матерится, но едет ровно 10 км/ч. Наконец, вывеска: "Кафе Сбавь скорость. Добро пожаловать!".

    Вопрос. Сколько времени прошло с того момента, когда водитель проехал первый указатель?

    ОтветитьУдалить
  3. А как же вот этот вариант, не подходит?

    http://picasaweb.google.ru/ddtizm/Bbb#5379835261945217906

    ОтветитьУдалить
  4. creat0r, я отношу эту картинку к случаю неправильного понимания термина ось симметрии (в заметке он отмечен ответом «бесконечно много»).

    На предложенной Вами картинке изображён квадрат, оси симметрии которого не совпадают с осями координат, поэтому он не подходит под условие задачи.

    ОтветитьУдалить
  5. Очень понравилась задачка, да и кенгуру - отличный конкурс, но вот только есть одно замечание.

    Быстрый мозг подсказывает, что к квадрату из первого пункта стоит добавить ещё два:
    (а) (-1,1), (-1,-1), (-2,-1), (-2,1) и
    (б) (-1,1), (1,1), (1,2), (-1,2).

    Может просто какая то неточность в формулировке, но приведенные выше координаты описывают прямоугольник, а не квадрат. Это легко увидеть, если посчитать длину сторон, получатся две по 2, а другие по 1. Для того, чтобы получить решение, где отрезок между (-1, 1) и симметричными ей точками относительно двух осей является стороной квадрата, нужно в пунктах а) и б) поменять -2 на -3, а 2 на 3 соответственно.

    ОтветитьУдалить
  6. NutipA, спасибо большое за внимательность! Всё исправил.

    Уважаемый аноним, благодарю за задачку.

    ОтветитьУдалить
  7. Илья, спасибо за разъяснения. Действительно, осевая симметрия и просто симметрия (зеркальная, в данном случае) - разные вещи :)

    аноним, ответ 1/5+1/4+1/3+1/2+1 часов?

    ОтветитьУдалить
  8. 1,5 курицы за 1,5 дня несут 1,5 яйца.
    Сколько снесут 2 курицы за 3 дня?

    ОтветитьУдалить
  9. Понравилась как-то вот эта задачка, хотя сложной ее не назвать:
    http://www.bertolinisound.com/?query=10

    ОтветитьУдалить
  10. Анонимный13.09.2009, 11:26

    creat0r, да, 2 ч 17 мин. Что интересно, эта загадка сначала была анекдотом. И почему-то после получения отгадок часто становится смешно.

    ОтветитьУдалить
  11. Спасибо Вам большое, совсем забыла про этот конкурс, хотя участвовала в нем когда-то.

    ОтветитьУдалить
  12. avialaynen, фишка в том что 1/3+1/4+1/5+1/6 не равно единице? :)

    ОтветитьУдалить
  13. Анонимный13.09.2009, 21:22

    Поясните, пожалуйста, про новую машину. Никак не могу понять.

    ОтветитьУдалить
  14. Анонимный14.09.2009, 7:24

    "Новая" сути загадки не касается. Это слово было в анекдоте.

    ОтветитьУдалить
  15. Лет 7 назад я активно пытался поступить в МГУ, ходил на подготовительные курсы, решал задачки из всевозможных задачников (запомнился Сканави, интересно, остался ли он еще!?) и помимо прочего "задачам увлекательного характера" я отводил больше всего времени.
    Из простых помню задачу про автобус: на листе бумаги нарисован автобус с дверями и спрашивается в какую сторону он едет. (Как ни странно, до сих пор встречаю людей, которые могут часами ломать над ней голову)
    Так же, на одном из собеседований мне досталась задачка про монеты. Смысл в том, что дается 10 стаканов и весы, и известно, что в одном из стаканов монеты фальшивые. Вес обычной монеты - 2 грамма, фальшивой - 1 грамм. Необходимо лишь с помощью одного взвешивания определить в каком из стаканов фальшивые монеты. В стаканах может находиться любое количество монет, можно докладывать, можно вынимать, но в любом из стаканов находятся либо фальшивые, либо нефальшивые монеты (т.е. одни с другими смешивать нельзя).
    Ну, и задача, над которой я дольше всего ломал голову. Даны 2 параллельные прямые, как с помощью карандаша и линейки построить 3 прямую, параллельную первым двум.

    ОтветитьУдалить
  16. Про параллельные прямые - я не помню точное название теоремы - про то, что параллельные прямые отсекают у угла равные отрезки (на сторонах).

    Так что решение - провести 2 произвольные прямые через 2 данные и задача сводиться к тому, как с помощью карандаша и линейки отложить данный отрезок (отсекаемый параллельными) на прямой.

    Так?

    ОтветитьУдалить
  17. Да, берем точку над прямыми из нее опускаем два луча на данные прямые, а затем обрабатываем всевозможные варианты с получившейся трапецией!
    Только, по-хорошему, еще доказывать надо, что построенная прямая праллельна двум данным,но это копаться надо в смежных углах, соответствие треугольников... этого я уже не помню :(

    ОтветитьУдалить
  18. Улитка решила подняться вверх по стене с земли. За день она поднимается на три метра вверх, отдыхая ночью, сползает на два метра вниз. За какое время она доберется до верха стены высотой в десять метров?

    ОтветитьУдалить
  19. Семен, Basilevs и yorik спасибо, что напомнили интересные задачки.

    avialaynen, благодарю за ссылку на коллекцию задач!

    ОтветитьУдалить
  20. Семен, 1) на счёт автобуса - двери у автобуса справа (при условии, что движение левостороннее).

    2) На счёт весов.
    Если весы показывают вес (а не просто сравнивают 2 чашки друг с другом).
    Берём из первого стакана 0 монет, из второго 1 монету, из третьего 2 монеты... из десятого 9 монет.
    Всего 45 монет и если они все настоящие, то весят 90 грамм.
    Если фальшивая монета из второго стакана, то вес 89 грамм, если из третьего - 88...
    В общем (91-вес) - это номер стакана с фальшивыми монетами.

    3) Не очень корректное условие, так как не оговаривается, что автор понимает под линейкой (вернее что она может делать).

    а) Самая обычная линейка, которую вы часто держали в руках.
    Что у неё есть? Правильно, 2 параллельные стороны. Прикладываем к одной из наших линий одной стороной и по другой стороне проводим ей параллельную.

    Тут автор задачи начинает протестовать, что в условии не сказано, что у линейки есть 2 параллельные стороны.
    На что вы можете резонно возразить, что там не сказано, что есть хотя бы одна такая сторона, а у фигурных линеек прямых сторон вполне может и не быть вообще.

    б) У нас есть на линейке измерительные деления (а часто вы встречаете линейки без них?)
    Значит мы, как предложил Sergey, пересекаем прямые двумя линиями, измеряем высеченные ими между параллельными прямыми отрезки и откладываем их на прямых. Через полученные точки строим искомую прямую.

    в) Опыт решения задач подсказывает, что подразумевается гипотетическая линейка без делений и одной прямой стороной. Да, это вполне себе «сферический конь в вакууме», но чаще всего имеется в иду именно такая линейка.

    В этом случае решение может быть такое: http://s51.radikal.ru/i131/0909/93/04019c9f88a6.jpg

    Вспомнил одну задачку:
    Кубик со сторонной 1 см полностью обклеен 6 квадратами суммарной площади 6 см^2. Какая максимальная площадь может быть у одного из этих квадратов.

    ОтветитьУдалить
  21. Боже, математическое образование явно сказывается на точности оценки восприятия. Хотя, точность еще никому не навредила. :)
    Замечания в тему; автобус действительно леворульный, ответ на вторую задачку правильный, только проверить своим ли умом вы решили, проблемотично, впрочем меня тоже!
    А вот решение третей задачи лично у меня другое, при желание могу попробовать создать картинку и отправить на почту.

    ОтветитьУдалить
  22. LisandreL, спасибо за задачку о кубике, я её знал в чуть-чуть другой постановке - Ваш вариант лучше :)

    Семен, леворульности автобуса мало, надо, чтобы он ещё не ехал задним ходом :)

    Присылайте Ваше решение третьей задачи в комментарии, а не на почту. Я думаю, всем будет интересно увидеть разные взгляды на решение.

    ОтветитьУдалить
  23. Семен, вполне допускаю, что у задачи есть несколько вариантов решения.

    А что до восприятия... формулировка задач вещь коварная.

    Илья Весенний, вполне допускаю, что постановка в оригинале была другой.
    Пускай это была моя первая областная олимпиада, но точно помнить текст задачи, которую читал 10 лет назад трудновато.
    Вроде бы в оригинале спрашивалось могут ли быть квадраты различной площади или что-то в этом духе.

    ОтветитьУдалить
  24. Анонимный15.09.2009, 23:45

    Я всё про машину. То что «новая» никак не влияет — это я и так догадался. Просто так проидентифицировал задачку.

    А вот в чём её соль, не догоняю.

    ОтветитьУдалить
  25. Уважаемый аноним, если я правильно понимаю, далеко не все правильно применяют условие при решении задачи. Многие люди начинают говорить, что сообщено слишком мало данных и так далее. Хотя, конечно, всего хватает, поэтому задача решается легко :)

    ОтветитьУдалить
  26. Моя любимая задачка: доказать, что если a^{n}-1 делится на b^{n}-1 для всех n, то a - степень b. Самый естественный для олимпиадника путь решения заводит в тупик, а самый наивный приводит в конце-концов к решению (предупреждение: весьма не простому).

    ОтветитьУдалить
  27. Задачи на трезвое мышление:

    1) В очереди к бензоколонке стояло пять машин. Три уехали, но подъехали ещё две. Сколько машин осталось стоять на месте?

    2) Жил охотник в деревне. Вышел из дому и увидел на коньке крыши пять ворон. Выстрелил дробью, и двух из них убил. Сколько ворон осталось на коньке крыши?

    ОтветитьУдалить

Понравилась заметка? Подпишитесь на RSS-feed или email-рассылку.

Хотите поделиться ссылкой с другими? Добавьте в закладки:



Есть вопросы или предложения? Пишите письма на адрес mytribune АТ yandex.ru.

С уважением,
      Илья Весенний