Разбор конусов

Иногда кажется, что самое интересное и сложное в этом мире состоит в поиске объяснения, как другой человек думает. Хорошо, если он сам рассказывает некоторые этапы, которые смог понять. Но ведь часто у людей бывает странное сочетание: решение уже принято, а объяснения его причины ещё нет (и не будет). Более того, есть следующее понятное соображение: если мы лучше поймём чужой ход мыслей, то, возможно, и в своём собственном мышлении сможем разобраться хоть чуть-чуть.

Сегодня мы рассмотрим некоторые ловушки в задаче о двух конусах, которые не позволяют добраться до верного ответа, порождая комментарии вида «у меня ответ такой-то, ошибку найти не могу, более того, не представляю, как получить другой ответ». Красота этой задачки ещё и в том, что у многих людей она выявляет «больную логику» (которая, естественно, может срабатывать при решении любых жизненных проблем, что опасно), а это позволяет «подлечиться» (и лучше справляться с любыми сложностями).

Итак, поехали разбираться с ошибками:

1. Через несколько минут после прочтения условия следует уверенный ответ «0.5». Обычно это связано с тем, что решающий не прочувствовал, что основание конусов не будет перпендикулярно плоскости, на которой конусы лежат. Соответственно, задача была сведена к задаче о двух цилиндрах, которые лежат на плоскости. Естественно, тогда точка касания будет на высоте, равной радиусу основания.

2. Серия ответов sqrt(3)/4, sqrt(5)/4, 0.25, sqrt(3)/2. Все они получаются из-за неправильной геометрической оценки, но при вычислениях второго, третьего и четвёртого ответов допущены ещё и второстепенные ошибки вычислений. Это одна из самых распространённых ошибок при решении данной задачи: у решающего создаётся иллюзия, что искомая точка находится на той же высоте, что и центры оснований конусов (обычно по мифическим «соображениям симметрии») - на рисунке справа, присланным одним из подписчиков, предложена типичная иллюстрация заблуждения (точка касания сразу отмечена неверно). И этот момент становится столь очевидным, что иногда на протяжении нескольких часов не происходит перепроверки. Таким образом, человек пересчитывает много раз то, что у него и так верно, но не глядит на ерунду, которую зачем-то вбил себе в голову первым делом. Проблема в том, что поиск ошибки происходит в том случае, если известно, что ошибка есть. Обычно же на этом и останавливаются, так как «всё очевидно». Подозреваю, что вы замечали много подобных проблем не только в математике, но и в обычных жизненных ситуациях. В данном случае, правильно найденная высота центра основания - sqrt(3)/4 (sqrt(5)/4 обычно получается, если неправильно применить теорему Пифагора, а 0.25 и sqrt(3)/2 - ошибка при вычислении высоты равностороннего треугольника).

3. Опять «0.5». Это не очень распространённая ошибка, так как многие не догадываются до такого странно изыска, но несколько десятков раз я её встречал. Идея у решающего такая: если мы уже знаем высоту центра основания конуса, то можно её использовать для нахождения ответа, составив пропорцию. На рисунке я попробовал нарисовать окружность, лежащую в плоскости осей конусов. Заблуждение в данном случае звучит так: на этой окружности расстояние от точек до плоскости одинаково. Тогда решающий считает, что красная точка находится на высоте sqrt(3)/4, после чего делит это расстояние на дистанцию от красной точки до вершины конусов (sqrt(3)/2) и умножает на расстояние от вершины до искомой зелёной точки (т.е. на один). Выходит как раз «0.5». Интересно, что быстро справиться с данным заблуждением тоже удаётся не всем. Опять же, если никто не скажет, что ответ ошибочен, то возникает полная иллюзия решённой задачи (ещё бы, ведь уже один серьёзный порог преодолел, сложные вычисления сделал - значит, всё верно решил).

4. Ответ «1/sqrt(2)» можно получить разными способами (как и все остальные ответы :), но обычно такое число возникает в одном шаге от верного решения. Итак, решающий понял, что все точки прямой, проходящей через центры оснований конусов, лежат на высоте sqrt(3)/4 (жирная синяя линяя на рисунке), поэтому более правильно рассматривает проекцию интересных объектов на плоскость, проходящую через вершину конусов и искомую точку. И вроде бы уже почти всё хорошо, но неожиданно подводит тригонометрия. Почему-то люди начинают верить своему чертежу (или им так сильно подсказывает интуиция), что угол при вершине равен 45 градусам. Поэтому производится неверный пересчёт длин проекций на плоскость, что приводит к неожиданному сворачиванию с верного пути в последний момент. Согласитесь, что угол в 45 градусов - это очень удобная и красивая штука. Так и хочется «увидеть» его в каждой задачке. А если уж он однажды нарисовался на чертеже, то порой требуется много сил и внимательности, чтобы поймать себя на данном самообмане.

5. Ответы 3*sqrt(3)/8, 2/sqrt(13), 1/sqrt(5) и ещё много подобных. Обычно это комбинация предыдущих способов: ошибочное понимание местоположения точки касания оснований конуса вместе с неправильным применением теоремы Пифагора (к квадрату гипотенузы прибавили квадрат катета, а не вычли его) или неправильным вычислением высоты конуса (0.5 или 1.0, а не sqrt(3)/2). Обидно, что иногда решающий успешно обходит расставленные ловушки, но пролетает на ерунде (вроде вычисления высоты). Это говорит о хорошей геометрической интуиции, но низкой концентрации (или о том, что давно не решал задачек, поэтому «рука не набита»).

6. Редкий ответ «sqrt(5)/2». Возможен, например, в результате неправильных построений (я видел решение, в котором разные точки обозначались одной буквой, но сделано это было достаточно искусно, что ошибку было найти не так уж легко). Можно долго продолжать тему таких экзотических ошибок, но они очень нетипичны, хоть иногда и полезно в них покопаться.

На этом мы закончим краткий разбор самых популярных неправильных ответов. Пожалуйста, присылайте свои решения с существенно другими ошибками, так как хотелось бы собрать наиболее полную коллекцию сложностей, возникающих при решении этой задачи.

Полагаю, после этой заметки найти верное решение с ответом 1/sqrt(3) не составит труда (все необходимые чертежи уже здесь есть). Если Вам интересно почитать более подробно чужие мысли о данной задаче, то могу порекомендовать два места, где её обсуждали:
1. brainteaser (кстати, похоже, что это довольно интересный ресурс для любителей всевозможных задачек),
2. RSDN - на этом форуме предложили несколько подробных решений с иллюстрациями и рассказали кучу неправильных решений для статистики. Кстати, там есть очень интересный разбор с подробным описанием хода мыслей, рекомендую.

Чем больше будет разных правильных решений, тем проще из них выбрать наиболее близкое и понятное. Удачи в этом!

И последнее об этой задаче - я допустил две ошибки при формулировании условия (спасибо всем, кто вовремя об этом сообщил!):
1. Допустимой конфигурацией считалась такая, в которой конусы совпадают. При этом задачка резко теряет интересность, но правильным ответом становится sqrt(3)/2 (это расстояние до самой далёкой точки).
2. Если конусы находятся по разные стороны плоскости, то точка их касания лежит как раз на ней, поэтому ответом становится 0.
Это лишний раз подтверждает, что людям свойственно считать очевидным то, что у них сейчас в голове (я подразумевал конкретный чертёж, поэтому не заметил два возможных неправильных толкования). Сейчас условие исправлено, надеюсь других подобных ошибок не осталось :)

Хороших вам выходных!