11 мар. 2009 г.

Задача о конусах

Хорошая задачка может иметь очень нетривиальное решение, поэтому много шансов, что на ней кто-то споткнется. Но сложная формулировка отпугивает, поэтому особым изяществом обладают простые и понятные задачи, которые имеют простое решение, но ещё несколько решений-обманок рядом. Тот же старый вопрос о том, что тяжелее, килограмм пуха или килограмм чугуна, может запутать многих детей. Но в этой формулировке решающего толкают к неверному ответу только с одной стороны. Чуть более сложная алгебраическая задачка была предложена здесь примерно год назад, спровоцировав немало удивления.

Конус на плоскости :)Изящная же задачка может содержать в себе несколько замысловатых порогов. Самоуверенный человек, найдя ответ, тут же его назовёт (и ошибётся). Но более аккуратный человек может приглядеться внимательнее, что позволит ему обнаружить свою ошибку. Он её исправит, после чего радостно назовёт ответ (и ошибётся). Если решающий заранее предупреждён о хитрой задачке или имеет хорошую интуицию, то он опять найдёт свою ошибку. И, исправив её, назовёт ответ. Но будет ли решение верным на этот раз? :)

Это мы скоро узнаем, не зря ведь разминались месяц назад.

Итак, задачка (на этот раз не скучная алгебра, а весёлая геометрия):
Два одинаковых конуса с равносторонними треугольниками со стороной 1 в осевых сечениях лежат на плоскости (т.е. в плоскости находится вершина каждого конуса, ровно одна точка с окружности и отрезок между ними, причём конусы находятся по одну сторону от плоскости). При этом конусы касаются друг друга так, что их вершины совпадают и существует ровно одна общая точка у их оснований. Надо найти расстояние от плоскости до самой далёкой точки касания одного конуса другим.

Одна просьба: не пишите пояснения и решения в комментариях к записи. Численные ответы - сколько угодно :) А решения, пожалуйста, не надо.

Удачи!

79 комментариев:

  1. Анонимный11.03.2009, 12:43

    0.5 - первый неправильный ответ, который надо было получить? ;-)

    ОтветитьУдалить
  2. Уважаемый аноним, хоть это и очевидно неверный ответ, лучше не писать наводящих мыслей :)
    Так будет интереснее!

    SL, я удалил Ваш комментарий. Думаю, Вы догадываетесь о причине :)

    ОтветитьУдалить
  3. Мой ответ: зирроу! Если я не прав, значит, постановка задачи не удачна, вернее некорректно написано.

    ОтветитьУдалить
  4. Алексей, это не самое большое возможное расстояние от плоскости до точки касания конусов :)

    Чтобы было понятнее, я поправил условие. Но и в такой формулировке задача решабельна (именно из-за требования "найти расстояние от плоскости до самой далёкой точки касания").

    ОтветитьУдалить
  5. Анонимный11.03.2009, 15:56

    (корень из 3)/4?

    ОтветитьУдалить
  6. Не понятно.
    У конуса какое сечение? Окружность?

    ОтветитьУдалить
  7. Алексей, сечения у конусов осевые, а это значит, что лежат в них треугольники. Удачи!

    ОтветитьУдалить
  8. alex-mah, выше уже была озвучена такая версия :)

    ОтветитьУдалить
  9. sqrt(3)/4 - первое из неверных :)

    ОтветитьУдалить
  10. sin (Pi/3) = (sqrt (3)) /2

    Синус 60 градусов. :)

    ОтветитьУдалить
  11. 0.58, SolidWorks вам в помощь :)
    Но откуда и как по построениям дойти пока не понял, туплю... прошел и корень из 3 на 4 и 0.5 - все не то

    ОтветитьУдалить
  12. корень из трех пополам - теоретический предел, и я вижу, как его достичь... но может быть, я дурак и чего-то не вижу, но "помоемутак" (с) винни-пух :)

    ОтветитьУдалить
  13. Исправляюсь: (sqrt(3))/4.
    Похоже, так правильно. :)

    ОтветитьУдалить
  14. Александр, численное решение, найденное в САПРовом пакете - это интересно :)
    Кстати, имея идеальный чертёж, подготовленный в такой системе, решить задачу проще. Дело в том, что часть типичных ошибок появляется из-за неправильного рисунка.

    Сразу перечислю некоторые неправильные ответы (многие уже через них прошли):
    0.5 (интересно, что этот ответ можно получить двумя разными неправильными способами),
    1.0 (это явно слишком много, ведь высота конуса и диаметр его основания тоже равны единице),
    sqrt(3)/2 (это типичная ошибка при преобразовании дробей, но, возможно, такой ответ получен и другим путём).

    Кроме того, исправлюсь: я напрасно удалил ответ SL, перемудрив с интригой. Это тоже был неверный ответ. Привожу сообщение SL полностью:
    «Вроде бы как 3*sqrt(3)/8. Или это второй неправильный ответ?»

    ОтветитьУдалить
  15. а если такой вариант 0,55...
    или вот так sqrt(1.25)/2

    ОтветитьУдалить
  16. эээ... таки "высота конуса и диаметр его основания тоже равны единице", или же "с равносторонними треугольниками со стороной 1 в осевых сечениях" ???

    ОтветитьУдалить
  17. Сергей, One, Alex-mah и аноним, sqrt(3)/4 уже был озвучен несколько раз, поэтому, видимо, пора открыть на него глаза: обычно такой ответ получается на ранних этапах решения, если есть неточность в рисунке.

    ОтветитьУдалить
  18. Sergey, спасибо, что указали на ошибку в моём комментарии!
    Конечно, высота конусе меньше единицы, потому что в осевом сечении у него равносторонний треугольник со стороной один! Поэтому ответ 1 выглядит заведомо недостижимым.

    ОтветитьУдалить
  19. sqrt(3)/3, как уже было выше.

    ОтветитьУдалить
  20. Анонимный12.03.2009, 11:47

    =КОРЕНЬ(0,75)/2

    ОтветитьУдалить
  21. Уважаемый первый аноним, а как получился ответ 0.75? (это мне для статистики и понимания мира :)

    Уважаемый второй аноним, ответ КОРЕНЬ(0,75)/2 совпадает с КОРЕНЬ(3)/4, который уже был обсужден выше.

    ОтветитьУдалить
  22. Ё, там же точка касания не срединная будет...

    ОтветитьУдалить
  23. Хоть уже и озвучивали такой вариант, по некоторому размышлению получилось sqrt(3)/3.

    Итого моя цепочка заблуждений (?): sqrt(3)/4 -> 3*sqrt(3)/8 -> sqrt(3)/3

    ОтветитьУдалить
  24. решение численое должно быть или символьное? если численое, то мне кажется не хватает либо радиуса основания либо величины угла конуса...

    ОтветитьУдалить
  25. мне кажется что это расстояние равно sin(Y/2), где Y-острота конуса (угол между сторонами треугольника бокового сечения)... ну или это же легко выражается через радиус основания конуса... других вариантов не нахожу

    ОтветитьУдалить
  26. поправка: осевого сечения, а не бокового (мысли с руками в разные стороны смотрят )) )

    ОтветитьУдалить
  27. HAS, диаметр основания - единица (так как в осевом сечении равносторонний треугольник со стороной 1). А мы уже обсудили, что 0.5 - неверный ответ.

    ОтветитьУдалить
  28. перемудрил, ответ должен быть 1/sqrt(3)

    ОтветитьУдалить
  29. А у меня упрямо единица на корень из пяти получается

    ОтветитьУдалить
  30. Александр, как получить 1/sqrt(5) я уже знаю, мне прислали неправильное решение, дающее такой ответ (там была ошибка в чертеже). Возможно, у Вас такая же проблема.

    negr-o, а Вашего ответа я ещё не видел... Было бы интересно узнать, как он получен (для статистики и понимания мира).

    ОтветитьУдалить
  31. Анонимный13.03.2009, 1:33

    в копилку sqrt(5)/4 *ночь, не могу заснуть:( *

    ОтветитьУдалить
  32. Уважаемый аноним, sqrt(5)/4 - это, скорее всего, неправильное применение теоремы Пифагора (сложили квадрат гипотенузы и катета, а надо было вычесть).

    mmd, как получили 0.25?

    ОтветитьУдалить
  33. Понял свою ошибку, переделал рисунок и получил 1/sqrt(5)
    потом уже опубликовав понял ошибку.

    пришел к 1/sqrt(3)

    ОтветитьУдалить
  34. У меня получилось 2 / sqrt(13)

    Угробил пол тетрадки на рисунки.

    ОтветитьУдалить
  35. при такой формулировке правильный ответ - корень из 3 пополам - то есть высота конуса.
    но это решение не очевидно, м.б. автор сам его не видит.

    ОтветитьУдалить
  36. curl, если не трудно, напишите, пожалуйста, мне на почту mytribune AT yandex.ru - попробуем разобраться, чего автор не видит :)

    ОтветитьУдалить
  37. Судя по тому, что Вы попросили прокомментировать, я где-то неправ ;-)

    cos(60°) * 1/2 = 0.25

    Подробности отправлены мылом.

    ОтветитьУдалить
  38. Анонимный14.03.2009, 16:18

    Гы-гы, 5/8
    Тоже не то?

    ОтветитьУдалить
  39. Анонимный14.03.2009, 16:31

    ой, не то, не корень из 25 на 8, а корень из 15 делить на 8

    ОтветитьУдалить
  40. пока пришла к 1/sqrt(3)

    ОтветитьУдалить
  41. Анонимный16.03.2009, 18:02

    Polinka, that looks right. 1/sqrt(3)

    ОтветитьУдалить
  42. ну раз правильный ответ на задачу уже озвучили - то:

    ...таки чем неправилен ответ sqrt(3)/2, в той ситуации, когда конусы просто совпадают?
    - оба конуса лежат на плоскости в смысле условия задачи;
    - оба конуса "касаются друг друга так, что их вершины совпадают";
    - и наконец, "существует общая точка у их оснований".
    Так как sqrt(3)/2>sqrt(3)/3 (да и вообще, высота конуса является теоретическим пределом в этой задаче), то ответ sqrt(3)/2 с точки зрения так сформулированного условия является правильным, хотя это, конечно, и жульничество (такой ответ получается без выкладок и даже без чертежа).

    кстати, заметка о разборе правильных и неправильных решений была бы интересна.

    ОтветитьУдалить
  43. Забавное замечание. Действительно, в условии можно поправить "существует общая точка" -> "существует одна общая точка".

    ОтветитьУдалить
  44. Sergei, спасибо за указание на эту неточность в формулировке условия (ранее curl уже присылал это же).

    В самом деле, это моя ошибка при постановке, поэтому можно считать ответ sqrt(3)/2 верным. В разборе задачи мы это обсудим.

    7vies, да, я уже поправил, спасибо.

    ОтветитьУдалить
  45. Ну, раз уж скоро будет ответ, напишу свое неправильное решение.

    Помнится, в школе такие хитрые стереометрические задачи? которые еще хрен представишь, решали через векторы

    Введем базис X — линия касания первого конуса с плоскостью, Y — линия каcания второго конуса, Z — перпендикулярно плоскости. Центр координат — в вершине конусов.
    Вектор из вершины в центр основания первого конуса O1 длиной sqr(3)/2 как высота конуса.
    выразим через базис. O1 лежит в плоскости XZ, и является катетом прямоугльного треугольника вершина-центр основания-точка касания конуса и плоскости. Его высота sqr(3)/4, высота делит гипотенузу на отрезки 3/4 и 1/4. O1 = 3/4*X + sqr(3)/4 * Z

    Вектор, по которому касаются конусы — L. вектор из центра первого конуса в точку касания оснований R1. L = O1 + R1. z-коэффициент в разложении L по базису — L_z и будет искомой величиной.

    вектор R1 из соображений симметрии перпендикулярен плоскости XZ, поэтому его z-коэффициент R1_z = 0.
    получаем, что L_z = O1_z = sqr(3)/4.

    Где ошибка?

    ОтветитьУдалить
  46. Ничего не понимаю. У меня получилось 0,25. И я вижу только еще один такой ответ. Не знаю что более невероятно - то, что ошибся или то, что большинство людей не смогли решить эту задачку. Отправляю рисунок с тремя проекциями на мыло :) может добавите его в разбор полетов в качестве верного, или же укажете где ошибка.

    ОтветитьУдалить
  47. Sergey Bondarenko, это явно слишком много. На два сообщения выше есть ссылка на разбор задачи.

    ОтветитьУдалить
  48. не уверен в решении,но после прочтения задачи и рассмотрения рисунка получил ctg(PI/6)

    ОтветитьУдалить
  49. nt.Xine, Ваш ответ меньше, чем правильный. Предлагаю ещё порешать. Если останутся вопросы, то специально подготовлен разбор неправильных решений, снимающий завесу тайны :)

    ОтветитьУдалить
  50. снова наврал, уточню напишу...
    мысли аж шевелятся, я их чувствую :)

    ОтветитьУдалить
  51. Чугун массой 1 килограмм весит больше чем пух массой 1 килограмм, я прав?

    А конусы буду сам решать, так оно интереснее. Пока на стадии 0,5 :) , чую что надо рисовать, но лень.

    ОтветитьУдалить
  52. всетаки решил...
    sqrt(2)/3
    могу решение почтой выслать, если неправильно - мож даж подскажите в чем я ошибся. Но пока вроде мысли не подводят и решение кажется верным (впрочем как оно и должно быть :-) )

    ОтветитьУдалить
  53. nt.Xine, выше я уже давал ссылку на разбор неправильных решений. Если Вы там не найдёте свою ошибку, то можете прислать своё решение почтой - разберёмся. Но я думаю, Вам интереснее будет найти верный ответ самостоятельно :)

    ОтветитьУдалить
  54. еще одна попытка. мои надежды на верное решение не пропадают. В предыдущем я нашел ошибку...

    новый ответ = 2/sqrt(5)

    мне только не нравится что он большеват получается... хотя вроде в допустимом диапазоне.

    ОтветитьУдалить
  55. nt.Xine, выше я уже давал ссылку на разбор неправильных решений, повторю её ещё раз - http://my-tribune.blogspot.com/2009/03/blog-post_21.html. Если Вы там не найдёте свою ошибку, то можете прислать своё решение почтой - разберёмся.

    ОтветитьУдалить
  56. Анонимный06.09.2009, 22:19

    sqr(0,3125)=0,559017...

    ОтветитьУдалить
  57. Уважаемый аноним, Ваш ответ чуть-чуть меньше правильного.

    ОтветитьУдалить
  58. Denis, выше уже был приведён верный ответ и ссылка на разбор неправильных решений - http://my-tribune.blogspot.com/2009/03/blog-post_21.html. Если Вы там не найдёте свою ошибку, то можете прислать своё решение почтой - разберёмся.

    ОтветитьУдалить
  59. На самом деле получается, что задача на внимательность, а с точки зрения сложности решения - она очень простая. Когда я ее решал - перебрал кучу неправильных вариантов. В конце концов, действительно, правильное построение дало правильное решение.

    ОтветитьУдалить
  60. nt.Xine, да, конечно задачка простая. В этом её прелесть - простая, но "вырывается", не позволяя многим себя решить :)

    ОтветитьУдалить
  61. pifagor_mc, выше уже разобран Ваш ответ - маловато :)

    ОтветитьУдалить
  62. Анонимный02.09.2017, 4:48

    1*Cos30 или Sin60

    ОтветитьУдалить

Понравилась заметка? Подпишитесь на RSS-feed или email-рассылку.

Хотите поделиться ссылкой с другими? Добавьте в закладки:



Есть вопросы или предложения? Пишите письма на адрес mytribune АТ yandex.ru.

С уважением,
      Илья Весенний