Прямоугольный треугольник наносит ответный удар

Добрый день!

Сегодня, глядя на ясный пример, мы лишний раз поймём, что значит мыслить глубоко и зачем нужно хорошее образование. Но сначала кратко объясню смысл прошлой задачки о треугольнике.

Представьте, что специалист освоил какую-то новую технологию, начал ею пользоваться, но иногда производит брак. Вроде бы всё делает правильно, но изредка проскакивает то, чего не должно быть. Если его работа состоит в создании комочков из пластилина, то большой беды не будет. Но если он рассчитывает траектории спутников или принимает решение о необходимости расширения посевных площадей, то такое неуверенное использование технологий не всегда ведёт к успеху.

Поясню, как бывает в некоторых хороших школах:
1) Сначала ученику формулируют свойства биссектрисы и серединного перпендикуляра.
2) Потом ему их спокойно доказывают - идеально, если ученик сам их доказывает, пользуясь редкими, но точными подсказками опытного педагога.
3) И сразу после ему можно говорить: «Ага, раз ты всё освоил, то скорее поехали применять!»
(кстати, если интересно, то могу ещё порекомендовать статью о тонкостях изучения квадратных уравнений)

Выслушав доказательство равенства катета и гипотенузы, ученик, естественно, понимает, что такого быть не может. Но играют с ним не в угадывание, где правда, а где ложь, а в математику :) Он же согласен со всему пунктами доказательства, а не нравится ему только финальный аккорд. Как тогда можно ему доверить применять эти же утверждения о свойствах биссектрис и серединных перпендикуляров, если он в простейшем треугольнике доказывает такой бред?

Если вы ещё не прочитали предыдущую заметку, то предлагаю пока не читать вторую половину этой, потому что вот-вот будет разгадка.

Продолжаем с теми, кто думает, что разобрался с прошлой задачкой :)

Итак, на этом этапе ученик признаёт, что ещё не овладел инструментом, поэтому надо продолжать «копать». Хорошо проводить это в большой аудитории - несколько десятков талантливых ребят начинают хором искать ошибки на всех этапах: одни проверяют корректность признаков, другие - правильность их применения, третьи - пытаются помочь «методом пристального взгляда» изучая чертеж вновь и вновь. И ничего не могут найти.

Но вдруг кого-то неожиданно осеняет: «Биссектриса пересекается с противоположным катетом левее его середины, поэтому точка пересечения биссектрисы и серединного перпендикуляра не может лежать внутри треугольника!»

«Сейчас исправим» - отвечает опытный преподаватель. И правильно перерисовывает чертёж, повторяя на нём те же рассуждения! И получает тот же вывод - катет равен гипотенузе! Не верите? :)

Люди мы опытные, поэтому сейчас обойдёмся одним чертежом:

1) Отрезки, соединяющие точку пересечения с вершинами, равны по свойству серединного перпендикуляра - отмечаем это одинарными штрихами.

2) Перпендикуляры, опущенные на стороны угла, равны по свойству биссектрисы - отмечаем это двойными штрихами. И по этому же свойству равны расстояния от верхнего угла до точек его пересечения с этими перпендикулярами - отметим это тройным штрихами.

3) Гипотенуза и катет одного жёлтого треугольника равны гипотенузе и катету другого жёлтого треугольника. Это второй признак равенства, значит жёлтые треугольники равны. И это значит, что их не отмеченные катеты тоже равны - отметим их красными отрезками.

В этот момент уже всё очевидно: и гипотенуза, и катет исходного треугольника равны разности одинаковых отрезков, поэтому равны друг другу. Всё как в предыдущем доказательстве, только точку вынесли за треугольник, поэтому вместо суммы получилась разность.

Возвращаемся к обещанной теме о правильном образовании и глубине понимания: мало сказать «ошибка в том, что точка не может быть внутри треугольника», если это утверждение не решает проблемы. А как мы только что убедились, так и есть - точка легко выдвинулась наружу, доказательство чуть-чуть исправилось, а ошибка осталась. Это и объясняет название данной заметки :)

Кстати, в комментариях к прошлой заметке была сформулирована мысль о том, что выдвижение точки наружу не помогает, что очень ценно!

Почему ценно? Потому что в мире очень много ошибок сделано из-за иллюзии, что «всё уже понятно». А ведь масса проблем имеет несколько причин. Поэтому, найдя одну из них, не всегда надо сразу приниматься за ходьбу по оставшимся граблям. Чтобы не получилось как в анекдоте про ёжиков и филина.

Пожалуйста, напишите в комментариях свой статус по задачке:
1) Легко справился с обоими доказательствами,
2) Легко справился с первым доказательством, но пришлось повозиться со вторым,
3) Сразу понял, где ошибка в первом, но пока не понял, что не так со вторым доказательством,
4) Знал эту задачку (со школы?),
5) Другое.

Хорошего дня!