28 сент. 2009 г.

Прямоугольный треугольник наносит ответный удар

Добрый день!

Сегодня, глядя на ясный пример, мы лишний раз поймём, что значит мыслить глубоко и зачем нужно хорошее образование. Но сначала кратко объясню смысл прошлой задачки о треугольнике.

Представьте, что специалист освоил какую-то новую технологию, начал ею пользоваться, но иногда производит брак. Вроде бы всё делает правильно, но изредка проскакивает то, чего не должно быть. Если его работа состоит в создании комочков из пластилина, то большой беды не будет. Но если он рассчитывает траектории спутников или принимает решение о необходимости расширения посевных площадей, то такое неуверенное использование технологий не всегда ведёт к успеху.

Поясню, как бывает в некоторых хороших школах:
1) Сначала ученику формулируют свойства биссектрисы и серединного перпендикуляра.
2) Потом ему их спокойно доказывают - идеально, если ученик сам их доказывает, пользуясь редкими, но точными подсказками опытного педагога.
3) И сразу после ему можно говорить: «Ага, раз ты всё освоил, то скорее поехали применять!»
(кстати, если интересно, то могу ещё порекомендовать статью о тонкостях изучения квадратных уравнений)

Выслушав доказательство равенства катета и гипотенузы, ученик, естественно, понимает, что такого быть не может. Но играют с ним не в угадывание, где правда, а где ложь, а в математику :) Он же согласен со всему пунктами доказательства, а не нравится ему только финальный аккорд. Как тогда можно ему доверить применять эти же утверждения о свойствах биссектрис и серединных перпендикуляров, если он в простейшем треугольнике доказывает такой бред?

Если вы ещё не прочитали предыдущую заметку, то предлагаю пока не читать вторую половину этой, потому что вот-вот будет разгадка.

Продолжаем с теми, кто думает, что разобрался с прошлой задачкой :)

Итак, на этом этапе ученик признаёт, что ещё не овладел инструментом, поэтому надо продолжать «копать». Хорошо проводить это в большой аудитории - несколько десятков талантливых ребят начинают хором искать ошибки на всех этапах: одни проверяют корректность признаков, другие - правильность их применения, третьи - пытаются помочь «методом пристального взгляда» изучая чертеж вновь и вновь. И ничего не могут найти.

Но вдруг кого-то неожиданно осеняет: «Биссектриса пересекается с противоположным катетом левее его середины, поэтому точка пересечения биссектрисы и серединного перпендикуляра не может лежать внутри треугольника!»

Продолжение задачи о прямоугольном треугольнике«Сейчас исправим» - отвечает опытный преподаватель. И правильно перерисовывает чертёж, повторяя на нём те же рассуждения! И получает тот же вывод - катет равен гипотенузе! Не верите? :)

Люди мы опытные, поэтому сейчас обойдёмся одним чертежом:

1) Отрезки, соединяющие точку пересечения с вершинами, равны по свойству серединного перпендикуляра - отмечаем это одинарными штрихами.

2) Перпендикуляры, опущенные на стороны угла, равны по свойству биссектрисы - отмечаем это двойными штрихами. И по этому же свойству равны расстояния от верхнего угла до точек его пересечения с этими перпендикулярами - отметим это тройным штрихами.

3) Гипотенуза и катет одного жёлтого треугольника равны гипотенузе и катету другого жёлтого треугольника. Это второй признак равенства, значит жёлтые треугольники равны. И это значит, что их не отмеченные катеты тоже равны - отметим их красными отрезками.

В этот момент уже всё очевидно: и гипотенуза, и катет исходного треугольника равны разности одинаковых отрезков, поэтому равны друг другу. Всё как в предыдущем доказательстве, только точку вынесли за треугольник, поэтому вместо суммы получилась разность.

Возвращаемся к обещанной теме о правильном образовании и глубине понимания: мало сказать «ошибка в том, что точка не может быть внутри треугольника», если это утверждение не решает проблемы. А как мы только что убедились, так и есть - точка легко выдвинулась наружу, доказательство чуть-чуть исправилось, а ошибка осталась. Это и объясняет название данной заметки :)

Кстати, в комментариях к прошлой заметке была сформулирована мысль о том, что выдвижение точки наружу не помогает, что очень ценно!

Почему ценно? Потому что в мире очень много ошибок сделано из-за иллюзии, что «всё уже понятно». А ведь масса проблем имеет несколько причин. Поэтому, найдя одну из них, не всегда надо сразу приниматься за ходьбу по оставшимся граблям. Чтобы не получилось как в анекдоте про ёжиков и филина.

Пожалуйста, напишите в комментариях свой статус по задачке:
1) Легко справился с обоими доказательствами,
2) Легко справился с первым доказательством, но пришлось повозиться со вторым,
3) Сразу понял, где ошибка в первом, но пока не понял, что не так со вторым доказательством,
4) Знал эту задачку (со школы?),
5) Другое.

Хорошего дня!

52 комментария:

  1. Анонимный28.09.2009, 10:56

    Минут десять смотрел на картинку и не мог найти ошибку, но, нарисовав свой чертеж, сразу понял.

    ОтветитьУдалить
  2. Анонимный28.09.2009, 11:43

    Статус - 1, опять кое-чего не так....
    Подсказка: в обратную сторону.... )

    ОтветитьУдалить
  3. Чертёж опять неправильный :) А вот как доказать что правильный всегда будет правильным…

    ОтветитьУдалить
  4. хороший чертеж - 70% решенной задачи :)

    ОтветитьУдалить
  5. Над первым описанием пришлось поломать голову, но когда я это сделал, я уже понял не то, что точка пересечения лежит вне треугольника, а то, что она лежит точно на катете. Соответственно ошибка во втором доказательстве выглядит очевидной - она та же.

    ОтветитьУдалить
  6. 5. первая чуть больше времени заняла.

    andrey.gavrilov@sibers.com - нет, на катете ее быть не может

    ОтветитьУдалить
  7. Анонимный28.09.2009, 12:49

    С первой пришлось подумать, но всё таки понял, что точка пересечения лежит не внутри треугольника. Потом открыл kseg (я не знал, что будет интересное продолжение), нарисовал треугольник, биссектрису, все высоты и перпендикуляры и посмотрел как они себя ведут, если изменять катеты. Поэтому в чем ошибка здесь я увидел сразу.

    ОтветитьУдалить
  8. andrey.gavrilov, точка пересечения не лежит на катете. Ответ, в чём на самом деле есть в моём комменте в предыдущем топике.

    Alexey Torkhov, при желании не так уж трудно. Точки-то все достаточно жёстко заданы.

    Илья Весенний, задачку не знал раньше, но сразу понял, что только вынесением точки пересечения за пределы треугольника «доказательства» не разрушить.
    > Где учились?
    Учился в гуманитарной гимназии. Математику вёл мой отец (скромно считаю его лучшим школьным учителем математики по крайней мере нашего города).
    Кроме того посещал математический кружок Емельянова Льва Александровича («Google knows»). он любил нам повторять: «Геометрия - это исскуство делать правильные выводы на неправильных чертежах».

    ОтветитьУдалить
  9. 5) подумал над первым и обдумал полученный правильный чертёж. не выходило там такого:
    ибо здесь опять не надо верить глазам своим :)

    > Прямоугольный треугольник наносит ответный удар
    да пребудет с нами сила!

    ОтветитьУдалить
  10. Преподаватель по аналитической геометрии в университете любил повторять фразу Пруткова: «если на клетке слона увидишь надпись „буйвол“, не верь глазам своим». Я уже давно перестал принимать на веру чертежи без указания размеров в качестве подтверждения чего-либо. Когда я вижу такой чертёж с описанием, мозг сразу строит вариации расположения разных элементов и пытается отсечь невозможные. Не всегда это удаётся сделать в уме, но если надо что-то решать, обычно такие вещи не пропускаю. Ещё очень полезной бывает привычка изучать предельные случаи для всех параметров (здесь можно устремить длину каждого катета к нулю и к бесконечности).

    По поводу фразы „мало сказать «ошибка в том, что точка не может быть внутри треугольника»“.
    Этого достаточно. Да, в первоначальном доказательстве я видел, что существует подобная лазейка при расположении точки снаружи. Но это лазейка всего лишь «могла бы быть», их можно много найти, все не учтёшь. Для опровержения доказательства достаточно найти одно некорректное утверждение, на котором строятся остальные; как только оно найдено, дальше можно не читать.

    ОтветитьУдалить
  11. Xavier, спасибо за дельный развёрнутый комментарий.

    Я понимаю Вашу позицию о том, что в прошлом доказательстве достаточно было сказать: "Пересечение не может быть внутри"! Но при этом надо понимать, о каком критерии достаточности мы говорим. Если надо всего лишь "отбиться" от того доказательства, то, конечно, достаточно.

    Но можно было отбиться ещё проще - сказать: "Доказано ложное утверждение, поэтому в доказательстве ошибка" :)

    Я видел школьников, которые не просто понимали, что точка будет снаружи, но и делали соответствующие построения, наступая на грабли, предложенные в этой заметке. А потом ещё и самостоятельно разбирались с причиной этих граблей. Поэтому я могу уверено сказать, что и дальше двигаться можно. И для настоящих задач это полезно.

    LisandreL, спасибо за ответ.

    ОтветитьУдалить
  12. 5: другое. Над первой задачей думал не менее часа; вторая решилась за пять минут, так как я знал, что подвох в чертеже. Биссектрисса ушла влево на этот раз :)

    ОтветитьУдалить
  13. Спасибо и за вторую задачу. Действительно, всем наверное приходилось совершать большие ошибки, будучи совершенно уверенным что "все понятно", причем эти ошибки еще более серьезные, чем когда "что-то непонятно". Но вторая задача, увы, уже не очень хорошо подходит для иллюстрации этого урока. Если человек хорошо пропустил через себя первую задачу, то вторая решается на раз, ничему толком не обучив. Почему так? Потому, что на мой взгляд, самая главная фишка первой задачи - это не то, что точка вне треугольника. Я бы эту фишку сформулировал так: "Не верь глазам своим". Если именно этого достиг после первой задачи, то вторая нисколько не сложна.

    Итого, статус 5 - над первой
    пришлось посидеть, а вторая сдалась почти без боя:)

    ОтветитьУдалить
  14. Сначала долго тупил в чем же подвох. Ушел обедать, вернулся - свежей головой сразу нашел лажу.

    ОтветитьУдалить
  15. PS: а если и этого недостаточно, перпендикуляр должен упасть на гиппотенузу внутри треугольника.

    ОтветитьУдалить
  16. То, что перпендикуляр падает на гипотенузу внутри треугольника, поняла почти сразу. А вот над докозательством этого помучилась.

    ОтветитьУдалить
  17. Анонимный28.09.2009, 15:58

    То, что перпендикуляр падает на гипотенузу внутри треугольника вообще можно доказать в уме? Я уже долго мучаюсь и ни как не могу. А выводить формулы всякие неохота, да и не красивое доказательство получится :)

    ОтветитьУдалить
  18. Аноним, зависит от того, какие действия вы можете делать в уме.
    Например (возможно далеко не самый простой способ):
    Обозначения возьмём как на этом рисунке: http://i080.radikal.ru/0909/59/e68e30e9d0c4.jpg
    Рассмотрим описанную окружность треугольника ABC. Пусть она повторно пересекает биссектрису в некоторой точке D1.
    Углы ﮮD1AB и ﮮD1AC равны, так как AD1 биссектриса.
    Значит равны дуги, на которые они опираются, а значит и стягивающие их хорды D1B=D1C.
    Но отсюда следует, что D1 лежит и на серединном перпендикуляре, а значит D1=D, т.е. точка D лежит на описанной окружности треугольника ABC.
    Отсюда получим, что угол ﮮBCD описается на дугу BD и значит равен углу ﮮBAD значит ﮮDCA=ﮮBCD+ﮮBCA=ﮮBAD+ﮮBCA=0.5*ﮮBAC+ﮮBCA=(ﮮBAC+ﮮBCA)-0.5*ﮮBAC=90°-0.5*ﮮBAC<90°
    Т.е. угол ﮮDCA - острый, а значит высота из вершины D треугольника DAC попадёт на сторону, а не на её продолжение за точку С.

    ОтветитьУдалить
  19. Первую вообще не решил, пока не посмотрел в комментарии и еще минут 10 не подумал :) Со второй таких ошибок совершать не стал. Построил свой чертеж. Вопрос только в том как доказать, что угол тупой, т.е. перпендикуляр находится внутри треугольника, а не снаружи как на рисунке. Пытался через углы, не получилось...

    ОтветитьУдалить
  20. Анонимный28.09.2009, 18:03

    LisandreL, круто что доказал, но имхо сложноватое док-во, интересно есть ли попроще

    ОтветитьУдалить
  21. Сергей 'SeeD'28.09.2009, 18:38

    Извините, что пишу сюда, мешая обсуждению записи, но просто хотел поблагодарить Вас за замечательный блог! С большим интересом и удовольствием читаю его.
    Благодарю за внимание

    ОтветитьУдалить
  22. Эта посложнее первой. Так как пришлось взять линейку и построить более точный чертеж :).
    А по-поводу того, что эта задача является продолжением предыдущей, я не согласен (Возможно это всего лишь самолюбие, так как о таком варианте я не догадался). Так как к любому верному (в начале) доказательству (пусть и ведущему в никуда) на любой итерации можно прилепить нелепость, из которой будет следовать все, что угодно. Я уверен найдутся ученики, которые и в этом чертеже найдут "подводные камни"... Но, учитывая то, что мы решили мягко относится к доказательству (а не бить его примером его опровергающим), то тут уж непонятно, где граница нашей мягкости :). А, лично моя граница мягкости - это найти хотя бы одну ошибку в доказательстве (и для меня это будет ответом на вопрос "почему это доказательство неверное?"). Так как с другим чертежом это уже будет другое доказательство.

    ps. Эх. Видимо, задели за живое раз столько написал в "оправдание" своей недальновидности:)

    ОтветитьУдалить
  23. Анонимный28.09.2009, 23:10

    после первой задачки уже догадывался, где в этой прикол. после своего рисунка опять прямоугольные треугольники стали прямоугольными, а катеты меньше гипотенуз :)

    ОтветитьУдалить
  24. Да, программка Kig (из Кед) помогла построить:
    http://pic.ipicture.ru/uploads/090929/jTSjAcN5D3.png

    ОтветитьУдалить
  25. перпендикуляр падает на гипотенузу внутри треугольника
    А не падает ли он ровно в вершину?

    ОтветитьУдалить
  26. Анонимный29.09.2009, 4:00

    Предлагаю доказательство того, что перпендикуляр всегда будет внутри треугольника. Допустим в каком нибудь прямоугольном треугольнике таки снаружи. Тогда следуя логике Ильи этот треугольник окажется равносторонним. А он всеж прямоугольный :)

    ОтветитьУдалить
  27. Alexey Torkhov, ответ на Ваш вопрос «А не падает ли он ровно в вершину?» отрицаиельный.

    Уважаемый аноним, это, пожалуй, самое короткое из возможных доказательств в данной ситуации (когда заметка выше уже прочитана :)

    ОтветитьУдалить
  28. Я не стал отвечать на первую задачу про прямоугольный треугольник. Подумал что все дело в углах.
    Прочитал вторую запись про этот прямоугольник. И еще раз не говорятся про углы при доказательстве равенства желтых треугольников.
    Биссектриса делит угол на два равных угла.
    Серединный перпендикуляр, можно рассматривать как биссектрису - делит угол, из которого исходит, на пополам.

    ОтветитьУдалить
  29. Анонимный29.09.2009, 10:31

    Серединный перпендикуляр, можно рассматривать как биссектрису - делит угол, из которого исходит, на пополам.

    ??? Серединный перпендикуляр вообще не из угла выходит, а из середины стороны!

    ОтветитьУдалить
  30. Анонимный29.09.2009, 11:34

    1)

    Доказать, что перпендикуляр не может падать на гипотенузу снаружи прямоугольника, довольно просто. Вспоминаем, что зелёные треугольнички (образованные соединением точки пересечения с вершинами треугольника) равны. Жёлтые тоже равны. Более того, так как у левых жёлтого и зелёного треугольника общая гипотенуза и равный катет, следует, что жёлтые и зелёные прямоугольники равны. А тогда левый катет параллелен гипотенузе, чего быть не может.

    ОтветитьУдалить
  31. Не читал комментарии к предыдущей заметке. Но можно от противного доказать :)

    Допустим, что треугольник действительно равносторонний. Однако легко доказать, что биссектриса угла, образованного двумя равными сторонами, пересекает третью сторону посередине. А следовательно там же лежит точка пересечения с серединным перепендикуляром. А следовательно построения всех этих мелких внутренних треугольников лишены смысла и исходное доказательство просто неверно :)

    ОтветитьУдалить
  32. Dmitry, у нас не было цели опровергнуть утверждение о том, что все прямоугольные треугольники являются равносторонними, потому что мы знаем, что оно ложно.

    Цель была - научиться пользоваться инструментом, не делая ошибок. Представьте, что с помощью неправильного чертежа кто-то доказал утверждение, которое на первый взгляд кажется корректным. Тогда опровергнуть его таким очевидным образом не получится. Было бы гораздо лучше уметь находить его ошибку, а не слепо верить вроде бы корректным выкладкам.

    Именно по этой причине есть смысл в поиске ошибки в рассуждении, а не в простом игнорировании всего рассуждения из-за некорреткности вывода. Мы сейчас тренируемся, а не воюем :)

    ОтветитьУдалить
  33. Анонимный29.09.2009, 14:07

    Легко справился с обоими доказательствами.

    Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

    ОтветитьУдалить
  34. Над первой задачей подумал минут пять, потом пришел инсайт . "А не с другой ли стороны пересекаются эти линии?" -- закралось в душу. :) Начал чертить в реальных углах -- получилось ниже! Строгого доказательства не искал (стыдно признаться, но мне как-то скучно и ступорно их искать), а ограничился нестрогим.
    Именно: если мы проведем перпендикуляр к биссектрисе (в любой точке, в частности в точке пересечения с катетом; обозначим ее К), то он пересечется со сторонами угла и по обе стороны биссектрисы получатся _равные_ отрезки. И если теперь мы будем вращать этот перпендикуляр вокруг точки К, добиваясь совмещения его с катетом, то часть отрезка, прилегающая к "гипотенузной" стороне угла, будет увеличиваться, а другая часть, соответственно, уменьшаться. Следовательно, точка К лежит левее середины катета, а значит и биссектриса пересекается с серединным перпендикуляром ниже того же самого катета.
    А ответный удар треугольника я упредил. :) Ибо захотелось разобраться до конца и убедиться, что теперь-то все стыкуется. Пожелал своими глазами увидеть, в каком же месте неправильное рассуждение превращается в правильное. И только построив перпендикуляры и увидев, что в одном случае отрезок нужно прибавлять к стороне, а в другом -- вычитать, я постиг суть задачи. (А надо сказать, я несколько туговат: пока не постигну суть, в голове вообще ничего не укладывается :)).
    Про доказательство второго утверждения (Что перпендикуляр к гипотенузе лежит внутри треугольника), честно говоря, не подумал вообще. Однако доказательство четырехчасового анонима мне импонирует :). По-моему, оно ничем не хуже любого другого. Рассуждать по принципу "Раз получилась ерунда, значит, рассуждение ошибочное" _до того как найдешь ошибку_, -- действительно, значит попросту отмахиваться. Но рассуждать так _после_ -- вполне разумный принцип экономии действий и двигатель прогресса :).
    По этому поводу вспоминается одна задачка. (Искал сейчас, к сожалению, не нашел). Не помню всей формулировки, но требовалось посчитать объем фигуры, полученной в результате отсечения от шара двух сегментов, сверху и снизу (а может, одного, запамятовал). Причем радиус шара нам известен, а высота сегмента -- нет, но в результате каких-то хитрых соотношений она вообще на искомый объем не влияет. А в качестве подсказки фраза: "Этих данных достаточно". Меня умилило доказательство, основанное на этой подсказке. Раз от высоты сегмента объем не зависит, примем ее равной нулю да и посчитаем объем шара по обычной формуле.

    ОтветитьУдалить
  35. Анонимный29.09.2009, 14:10

    в доп. к предыдущенму (если не очень понятно)...

    Следовательно, по 2-му признаку, должны быть равны не "гипотенуза и катет", а "гипотенузна и соответственный катет".

    В "доказательстве" же мы берем два разных (не соответственных катета).

    ОтветитьУдалить
  36. Нашел ту задачку. Там, оказывается, еще и отверстие внутри шара. :)

    ОтветитьУдалить
  37. Илья Весенний,
    ответ на Ваш вопрос «А не падает ли он ровно в вершину?» отрицаиельный.
    Да, правильно, это я что-то ночью не к тому перпендикуляр проводил :) Это если провести к биссектрисе — попадёт в вершину, вроде.

    ОтветитьУдалить
  38. > Следовательно, по 2-му признаку, должны быть равны не "гипотенуза и катет", а "гипотенузна и соответственный катет".

    Аноним, соответственный чему катет? Что такое в вашем понимании несоответственные катеты?
    Тут в доказательстве всё отлично. Эти (жёлтые) треугольники действительно равны.

    ОтветитьУдалить
  39. „Рассуждать по принципу "Раз получилась ерунда, значит, рассуждение ошибочное" _до того как найдешь ошибку_, -- действительно, значит попросту отмахиваться. Но рассуждать так _после_ -- вполне разумный принцип экономии действий и двигатель прогресса :).“
    1. Такой подход не объяснит, где именно ошибка и ничему не научит.
    2. Что будете делать, если получилась не ерунда, а нечто вполне разумное?

    ОтветитьУдалить
  40. Xavier, по первому пункту вы, наверное, невнимательно прочитали мое утверждение. Если рассуждаешь так _после_ нахождения ошибки, то, очевидно, уже знаешь, где она и кое-чему при этом научился.
    Ну а по второму пункту -- если получилась не ерунда, то не менее очевидно, что мое рассуждение к данному случаю неприменимо и надо искать прямое доказательство. :)

    ОтветитьУдалить
  41. Sophist
    После нахождения ошибки (именно ошибки, а не понимания, что она где-то есть), нет необходимости в таких рассуждениях.

    ОтветитьУдалить
  42. Доказать, что интересующий нас угол острый можно, продлив серединный перпендикуляр вверх до пересечения с гипотенузой. Доказываем, что длина этого препендикуляра от пересечения с гипотенузой до пересечения с биссектрисой равна половине гипотенузы. Равные отрезки -> равносторонний треугольник -> углы при основании острые.

    ОтветитьУдалить
  43. Sophist, спасибо за подробное описание мыслей и ссылку на задачку.

    Сергей 'SeeD', благодарю за поддержку!

    ОтветитьУдалить
  44. 1. Поскольку я сразу для себя строго сформулировал то, что доказано правильно. А дальше уже становится понятно что именно не так с финальным выводом.

    ОтветитьУдалить
  45. 5) -Ошибочно решил первую задачу, вообразив, что гипотенуза делит противолежащий катет пополам.
    -Начал решать вторую задачу методом построения "правильного" чертежа, не справился с этим "от руки". Ещё раз проверил равенство отрезков ' и " и убедился в истинности утверждения о равенстве треугольников, построил "правильный", непротиворечащий здравому смыслу и доказательству чертёж.
    (Вряд ли это можно считать честным решением задачи, однако смысл "противоречия" понял).

    ОтветитьУдалить
  46. Странный рисунок: левый отрезок с двумя штрихами равен половине катета треугольника. Если правый, как заявляется, равен ему, то он тоже должен быть равен половине катета, а на рисунке он явно больше!

    ОтветитьУдалить
  47. А чтобы быть равным, правый отрезок с двумя штрихами, как можно видеть, должен пересекать катет.

    P.S. Комментарии читал.

    ОтветитьУдалить
  48. greli, да, рисунки не идеальны. Но отрезки с двумя штрихами равны, потому что выходят из одной точки, принадлежащей биссектрисе (т.е. по свойству биссектрисы эти высоты равны).

    ОтветитьУдалить

Понравилась заметка? Подпишитесь на RSS-feed или email-рассылку.

Хотите поделиться ссылкой с другими? Добавьте в закладки:



Есть вопросы или предложения? Пишите письма на адрес mytribune АТ yandex.ru.

С уважением,
      Илья Весенний