10 сент. 2009 г.

Ещё раз о вероятностях

Любопытный отыскивает редкости
только затем, чтобы им удивляться;
Любознательный же - затем, чтобы
узнать их и перестать удивляться.
Рене Декарт

Две недели назад мы разбирали парадокс двух конвертов (более 100 комментариев - я надеюсь, все желающие всё поняли). А сегодня я предлагаю короткий разговор о понимании теории вероятностей (с ясным примером). И в последнем абзаце будет забавная задачка.

Итак, сначала о теории. Отличие теории вероятностей от большинства других наук состоит в том, что она реально кажется понятной (поэтому, вроде как, её и не надо сильно изучать - разумному человеку всё и так будет ясно, а учёные навыдумывали себе сложных теорем, которые никому не нужны). Поэтому многие люди, которые математическую задачу последний раз пытались решать очень давно, не просто имеют мнение о конкретной задачке из теории вероятностей, а убеждены в своей правоте (ещё бы, они же имеют здравый ум и рационально мыслят!)

Представьте, что кто-то принесёт аналогичный парадокс про решение дифференциального уравнения или о задачке из ТФКП. Да это никто не станет публиковать и обсуждать! Потому что данные научные дисциплины большинству совсем неизвестны. А про теорию вероятностей многие готовы высказаться.

Пример - на Хабре опубликовалась статья Гослото — государственная лотерея по-русски!. Идея очень простая - автор проанализировал выигрышные комбинации с начала года, обвёл красным числа, идущие подряд в натуральном ряду (например, 34 и 35), обвёл синим числа, идущие через одно (например, 11 и 13), после чего заявил: «Теория вероятности отказала и больше не работает. Вероятность выпадения тиража с соседними числами стремиться к 1. Ваши выводы, Россияне?» (на картинке справа видно, что в очень многих строчках есть числа, обведённые цветными кружками).

И знаете, если люди хотят видеть плохое, а здесь «всё так очевидно», то они начинают поддерживать автора, не разобравшись. Следом идут такие комментарии: «даже эти палятся», «рандомайзер хреновенький выбрали по ходу», «может шары прилипли?», «забыли RANDOMIZE TIMER» (приношу извинения, если кого-то обидел, цитируя комментарии в таком тоне).

Конечно, хабровчане быстро во всём разобрались - нашлись люди, дружащие с теорией вероятностей, которые тут же прикинули, что соседние числа в тиражах как раз должны быть очень часто (а если бы они наоборот были редко, то это наводило бы на мысли о какой-то хитрости). На эту тему есть очень наглядный Парадокс дней рождения, обычно формулируемый так: «вероятность того, что в случайной группе из 23 человек хотя бы у двоих дни рождения (число и месяц) совпадут, больше 50%». Интуиция подсказывает, что это событие очень маловероятно, но честные вычисления дают ещё более удивительные факты: в группе из 30 человек найдётся двое с одной датой рождения с вероятностью 70%, а в группе из 55 человек - с вероятностью 99%! Заметьте, что 99% отличается от 100% совсем чуть-чуть, а количество людей - 55 от 366 - отличается в 7 раз. Поэтому сразу удивляться от высокой частоты соседних чисел в лото очень наивно. Достаточно посмотреть, как близко расположены дни рождения у коллег или одноклассников, чтобы заподозрить свою интуицию в недобром :)

Я опасаюсь школьного курса теории вероятностей до специального курса для учителей из-за широкой распространённости применения «здравого смысла» без знания. Если преподаватели будут понимать науку на бытовом уровне, но станут учить ей, то через поколение у нас будет много людей, которых «в школе научили, поэтому они сейчас точно знают» (не имеют фактического знания, но уверены в себе ещё больше, потому что имеют пятёрку в аттестате по этому предмету, грубо говоря). На этом торжественно обещаю прекратить на некоторое время обсуждения проблем с вероятностями :)

Теперь обещанная школьная задачка: сколько существует квадратов с вершиной A(-1; 1), для которых хотя бы одна из координатных осей является осью симметрии? Пожалуйста, через 1-2 минуты напишите в комментариях свой ответ - одну цифру от 1 до 9, не читая чужих версий (конечно, не пишите решение, оставьте только ответ). А в следующей заметке я объясню, зачем всё это ;)

150 комментариев:

  1. Анонимный10.09.2009, 9:45

    3 - очевидно :)

    ОтветитьУдалить
  2. экзотический ответ 4 мой.
    Погорячился :) 5.

    ОтветитьУдалить
  3. Анонимный10.09.2009, 10:32

    Получилось 5

    ОтветитьУдалить
  4. 5.
    есть соображения как доказать, что это максимум.

    ОтветитьУдалить
  5. Анонимный10.09.2009, 10:50

    Не может быть больше 3!
    Легко доказать, что 3 максимум :-P
    Мой ответ 3.

    ОтветитьУдалить
  6. 5 ( подумал еще немного )

    ОтветитьУдалить
  7. Анонимный10.09.2009, 10:54

    должно быть 5.

    ОтветитьУдалить
  8. Анонимный10.09.2009, 11:22

    Там 3 или 6 должно быть (сейчас нет времени думать про симметрию). А разве это правда про дни рождения? 55 человек это слишком мало, чтобы вероятность была 99%

    ОтветитьУдалить
  9. Этот комментарий был удален автором.

    ОтветитьУдалить
  10. Если симметрия может быть не зеркальной, то несчетное бесконечное множество.

    ОтветитьУдалить
  11. Анонимный10.09.2009, 11:52

    Предыдущий комментарий от Oriole5.
    Сначала хотел написать 10, но решил их снова нарисовать и понял, где ошибся

    ОтветитьУдалить
  12. "... сколько существует квадратов с вершиной A(-1; 1), для которых хотя бы одна из координатных осей является осью симметрии?" - Илья, нигде нет фразы "вершины которых не совпадают", потому ответ - бесконечное множество. Если добавите фразу, тогда ответ - 5. :)

    ОтветитьУдалить
  13. Мне почему-то кажется, что квадрат существует только один — {(-1,-1),(1,1)}. Разубедите меня, умоляю! :)

    ОтветитьУдалить
  14. 5, три и еще два. три - те, которые очевидны и два, у которых оси совпадают с диагоналями.

    ОтветитьУдалить
  15. Александр Поливаный, или я Вас не понимаю, или одно из двух...
    Фраза «вершины которых не совпадают» означает, что квадраты не являются точками, так? (если у квадрата совпадают вершины, то его сторона равна 0). Но если так, то квадрат с нулевой стороной, имеющий вершину (-1,1) не имеет ни одной оси симметрии, совпадающей с осью координат. Можете пояснить, что Вы хотели сказать? Я не понимаю.

    Ришат Мухаметшин, Вы назвали один из возможных квадратов. Если верить комментаторам выше, то есть ещё :) Я уверен, Вы скоро их придумаете, удачи! :)

    ОтветитьУдалить
  16. поменял мнение :) было 3, стало - 5

    ОтветитьУдалить
  17. Анонимный10.09.2009, 12:21

    7, чтоб гаусс нормальный был

    ОтветитьУдалить
  18. Анонимный10.09.2009, 12:46

    поспешил с шестеркой, один посчитал два раза. 5

    ОтветитьУдалить
  19. 5

    прошлый комментарий по ошибке сунул не к тому посту ;)

    ОтветитьУдалить
  20. популярнее всего 5 или 3 =)
    я пока только 2 нашел.

    ОтветитьУдалить
  21. кстати, если потом подумать, то получается достаточно много. и не три и не пять, гораздо больше. вот например можно и так: http://picasaweb.google.ru/ddtizm/Bbb#5379769251338196690.
    тогда много.

    ОтветитьУдалить
  22. Почему я вижу только 3?

    ОтветитьУдалить
  23. Этот комментарий был удален автором.

    ОтветитьУдалить
  24. Анонимный10.09.2009, 13:56

    Это oriole5, что-то я сглупил, не надо было рисовать все в одном, получая ответ 9. пересмотрел свои рисунки и пришел к выводу, что 5.

    ОтветитьУдалить
  25. dd noname, у Вас красивая картинка, но квадрат, изображенный на ней, не соответствует условию:
    1) у него нет вершины с координатами (-1,1),
    2) ни одна его ось симметрии не совпадает с осью координат.

    avialaynen, поэтому я и предожил эту задачку! :)

    ОтветитьУдалить
  26. Анонимный10.09.2009, 14:04

    >Анонимный пишет...
    >3
    >10.09.09 13:58
    Это я честно отвечал, сходу. :)
    Почитав коменты, нашёл ещё 2. Итого - 5.

    ОтветитьУдалить
  27. 5. Опять где-то подвох?

    ОтветитьУдалить
  28. уже 5 - картинка та же
    http://shizuka.ru/1.jpg

    ОтветитьУдалить
  29. 5, очевидно же. Достаточно вспомнить, что такое симметрия.

    ОтветитьУдалить
  30. Анонимный10.09.2009, 15:00

    И вопрос... какие координатные оси имеются ввиду?
    7 если ввиду имеются оси в которых заданы координаты.

    ОтветитьУдалить
  31. Кажется, нашел, в чем подвох. По условию можно предположить только то, что речь идет о системе координат двумерной и с осями. Аффинные и криволинейные тоже сюда входят.
    Присутствие Декарта в эпиграфе?

    ОтветитьУдалить
  32. Этот комментарий был удален автором.

    ОтветитьУдалить
  33. Jekyll, я думаю, Вам можно больше не терять силы на поиск подвохов, так как Вы уже всё понимаете верно :) Уважаю Ваш быстрый и неудержимый ум!

    Если у нас не очень прямые оси координат, то сложно понять, что такое их совпадение с осями симметрии квадрата, так ведь? Вы правы, в условие можно было бы включить указание на то, что речь идёт о декартовой системе координат, но так как это школьная задачка, я это не сделал это. Думаю, что не зря :)

    ОтветитьУдалить
  34. Илья Весенний, когда читал про лото на хабре, тоже вспомнил задачу про дни рождения. Отписаться, правда не смог, так как регистрации там не имею.

    Квадратов насчитал 5 (не читая комментариев).

    Вообще ваш блог очень радует. Вспоминаю свои школьно-олимпиадные годы.

    ОтветитьУдалить
  35. Я вообще даже не врубился в чем парадокс парадокса дней рождений? Ясно дело, что чем больше народу, тем плотнее забивается календарь, и следовательно, тем больше вероятность что у кого-то даты будут совпадать(или будут близки - как в случае с лотереей). Но с другой стороны 100 процентной вероятности тоже быть не может при сколь угодно большом количестве человек - у нас же вроде как они случайные. Эта вероятность стремится к 100% не не может быть равна 100%.
    Я понял, что ничерта не понял.

    А про квадраты - то их 5. Сначала подумал про 3, но потом вспомнил, что их еще можно и вертеть 8).
    А если говорить про недекартовы системы координат со всякими криволинейными и прочими осями, то там вообще вопрос что считать симметрией и относитльно чего эту симметрию считать.

    ОтветитьУдалить
  36. EvilPartisan, если у нас в году 365-366 дней, а людей 367, то хотя бы у двоих совпадут дни рождения 100%. Поэтому говорить о вероятности 100% в данном случае вполне можно.

    А парадоксом это зовут из-за того, что интуиция большинства не верит, что такой маленькой группы людей (всего 23 человека) достаточно для того, чтобы утверждать с высокой вероятностью (больше 50%), что среди них двое родились в один день. Конечно, никакого парадокса нет, но бытовая интуиция сопротивляется :)

    ОтветитьУдалить
  37. Работа в IT-отделе встала почти на час... ))

    Я пока 5 насчитал, начальник говорит про 7, но упорно скрывает пытливые догадки своего интелекта.

    ОтветитьУдалить
  38. Семен, жаль, что я сорвал работу на такой длительный срок :( Чтобы избежать таких неприятных казусов, я просил дать ответ через 1-2 минуты, но не помогло :(

    LisandreL, спасибо за тёплые слова! Олимпиадный опыт помогает в таких задачках ;) Да и в жизни :)

    ОтветитьУдалить
  39. Это не повод для сожалений. :)
    Не знаю, как вы, но я в IT уже прилично и понимаю, что "нормальный" АйТишник всегда сделат все заранее: настроит все сервера, сделает нужные backup`ы, поставит новую канистру в куллер и, наконец, подкрутит винты в шкафу на кухне. ))
    Так, что вы нам сделали одолжение, за что огромное спасибо.

    ОтветитьУдалить
  40. Бесконечное, несчётное множество.

    ОтветитьУдалить
  41. http://picasaweb.google.ru/ddtizm/Bbb#

    вот пять вариантов. плюс шестой из которого вытекает бесконечность. если не уточнять про тип симметрии. кстати, совершенно неважно, где вершина, (-1;1) или (-1;-1).

    ОтветитьУдалить
  42. dd noname
    http://picasaweb.google.ru/ddtizm/Bbb#5379835261945217906

    Это просто линия, которая поделила квадрат на две фигуры равной площади. это не симметрия.

    http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D1%81%D1%8C_%D1%81%D0%B8%D0%BC%D0%BC%D0%B5%D1%82%D1%80%D0%B8%D0%B8

    ОтветитьУдалить
  43. @Илья Весенний
    "Фраза «вершины которых не совпадают» означает, что квадраты не являются точками, так? (если у квадрата совпадают вершины, то его сторона равна 0). Но если так, то квадрат с нулевой стороной, имеющий вершину (-1,1) не имеет ни одной оси симметрии, совпадающей с осью координат. Можете пояснить, что Вы хотели сказать? Я не понимаю."
    Да, я выразился не совсем ясно. :) Попробую "развернуть": на плоскости есть два квадрата ABCD и EFGH. У каждого из них вершины находятся в точках {(-1;1),(1;1),(1;-1),(-1;-1)}. Вершины этих двух квадратов совпадают. Таких квадратов можно построить бесконечное множество, и они будут совпадать. Потому я говорил про условие несовпадения всех четырёх пар вершин у двух квадратов, если хотим уйти от их бесконечного числа.

    Мои извинения за туманность замечания.

    ОтветитьУдалить
  44. В плоскости - 5
    В объеме - 7

    ОтветитьУдалить
  45. В объем, насколько я понимаю, лезть нельзя - координаты первой точки даны двумя числами, а не тремя.
    Вроде 5.

    ОтветитьУдалить
  46. Александр Поливаный, если у двух квадратов полностью совпадают вершины, то и квадраты совпадают, так ведь? Т.е. Ваше предложение по улучшению к условия задачки звучит так: "Сколько существует разных квадратов с вершиной (-1,1)...". Но когда задают вопрос о количестве каких-либо сущностей, то всегда предполагают, что мы дважды одну сущность считать не будем :)

    Иначе, на вопрос "сколько корней у урванения x-1=0" пришлось бы отвечать "бесконечно много: 1, 1, 1..." :) Поэтому, интересуясь количеством, всегда считают только разные объекты (для удобства).

    eyeless-watcher, я разделяю Вашу позицию :) Более того, не ясно, почему все решили остановиться именно на трёхмерном пространстве - можно смело идти дальше, получая сколь угодно большие ответы. Собственно, чтобы не было таких соблазнов, я ограничил ответы числом 9.

    ОтветитьУдалить
  47. Этот комментарий был удален автором.

    ОтветитьУдалить
  48. Анонимный10.09.2009, 22:09

    Похоже не неполное условие задачи.
    Если геометрия Евклидова, то мой ответ 5.
    =Олег=

    ОтветитьУдалить
  49. БЕСКОНЕЧНОЕ МНОЖЕСТВО

    ОтветитьУдалить
  50. Этот комментарий был удален автором.

    ОтветитьУдалить
  51. если это декартовы координаты и эвклидово двумерное пространство, то
    5
    доказать это самому себе и остальным очень легко - достаточно взять листик и нарисовать

    да.. ещё - надеюсь я правильно понимаю что такое ось симметрии - это линия , которая делит геометрическую фигуру на две зеркальных фигуры относительно этой оси, [|] схематически вот так

    ОтветитьУдалить
  52. Сначала посчитал 6, потом, пока листал до кнопки "оставить комментарий", понял что только 5.

    ОтветитьУдалить
  53. Анонимный11.09.2009, 6:17

    5
    Надеюсь подвох не в какой-нибудь проективной плоскости ;-)

    ОтветитьУдалить
  54. Анонимный11.09.2009, 7:36

    думается мне, что 4.

    ОтветитьУдалить
  55. 5. Могу даже доказательтсво написать.

    ОтветитьУдалить
  56. 5
    Сначала написал 3 но когда начал писать объяснение, нашел еще 2.
    Если X - ось симметрии, тогда должна быть симметричная вершина (-1. -1). Эти две вершины образуют или сторону (что дает два квадрата) или диагональ (еще один). Аналогично с осью Y. Из этих 6-ти квадратов два совпадают (обе оси координат являются осями симметрии). Итого 5.

    ОтветитьУдалить
  57. 6
    Больше не смог :(

    ОтветитьУдалить
  58. Анонимный11.09.2009, 17:31

    Да, пока больше 6 не получается. Зато 6 - двумя разными способами понимания задачи.

    ОтветитьУдалить
  59. На плоскости штук 7 наверное, а с осью Z набежит и все 8.

    ОтветитьУдалить
  60. Вспомнилось.... У нас как раз в ВУЗе была задача на практике по теорверу про дни рождения. И преподша, не долго думая, ее перефразировала "Какова вероятность, что у 2х человек у вас в группе будет ДР в один день?" Мы мгновенно ответили 100 процентов... А потом уже объяснили путь решения - у нас учились близнецы с разницей полчаса и я с одной девушкой родился в один день - с разницей в 3 часа. Интересно, что с этой девушкой мы родились в одном роддоме, только в палатах разных лежали... Так что вот такая теория вероятностей в деле...

    ЗЫ. Но задачу потом все равно решать пришлось)))))

    ОтветитьУдалить
  61. Sergey, спасибо за интересную истрию.

    al31f, мы уже разобрали эту задачу в следующей заметке.

    ОтветитьУдалить
  62. Анонимный22.09.2009, 17:31

    5. А когда уже правильный ответ озвучат? :)
    А то вдруг не 5...

    ОтветитьУдалить
  63. Уважаемый аноним, Ваш ответ правильный, поздравляю.
    Мы разобрали эту задачку в следующей заметке - http://my-tribune.blogspot.com/2009/09/blog-post_13.html

    ОтветитьУдалить
  64. Мне показалось, что квадратов шесть. Потом я поняла, что два из них совпадают, но не уверена, произошло ли это раньше, чем через две минуты или нет.

    Если же, добавить третью координату (продолжая считать, что точка А лежит в плоскости ХУ) и откинуть условие "сосчитать за две минуты", то, имхо, квадратов десять. Думаю, если "смело идти дальше", то каждое увеличение Н на 1 должно прибавлять ещё пять решений. (Но, разумеется, этот ответ будет такой же бредовый, как и любой другой)

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Интересно, что Вы обычно употребляете слова с корнем "бред" при обсуждении многомерных случаев :)

      Удалить
  65. Интересно, что бы мог значить ответ "7, чтоб гаусс нормальный был"? :)

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Подозреваю, что эта шутка возникла у автора после беглого анализа ранее данных ответов (видимо, он попытался побороться за нормальность распределения ответов).

      Удалить

Понравилась заметка? Подпишитесь на RSS-feed или email-рассылку.

Хотите поделиться ссылкой с другими? Добавьте в закладки:



Есть вопросы или предложения? Пишите письма на адрес mytribune АТ yandex.ru.

С уважением,
      Илья Весенний