22 февр. 2008 г.

Черная магия и её разоблачение

Эта заметка посвящена разбору школьной задачи про максимум суммы двух квадратов и анализу причин, по которым её решение иногда длится часами. Если вы ещё не брались за эту задачку для 8-классников, то настоятельно рекомендую до чтения этого поста её порешать.

Неправильное решение этой задачи, приводящее к опубликованному неправильному ответу очень короткое (и наверняка вы сейчас узнаете эти строки):
x2+y2=(x+y)2-2xy=(a-1)2-2(a2-7a+14)=-a2+12a-27 - парабола ветвями вниз.
Значит, максимум функции находится в точке a=6. И получив этот ответ, мы приходим в состояние, когда непонятно, что же делать дальше (я получил массу отзывов вроде "если 6 - не решение, то курица - рыба" и даже ещё разнообразнее). Однако 6 не удовлетворяет условию задачи, а это особенно выводит из себя, потому что понять причину иногда крайне трудно. Ведь всё сделали правильно, преобразования элементарные, ошибки нигде нету. И только когда в очередной раз перечитываем условие ("Действительные числа x, y, a таковы..."), замечаем слово "действительные". На самом видном месте :) Но 6 - действительное число. Проверяем x и y - и вот оно! Не существует действительных корней x и y при a=6. Мы были так увлечены поиском максимума суммы квадратов, что найдя его, забыли проверить существование самих x и y.

Дальше всё просто:
Находим область определения: подставим y=a-1-x во второе равенство и получим
x(a-1-x)=a2-7a+14. А значит, -x2+(a-1)x+(-a2+7a-14)=0. Это - квадратное уравнение.
Для существования его действительных решений необходима и достаточна неотрицательность дискриминанта: D=(a-1)2 + 4(-a2+7a-14) >=0, то есть -3a2+26a-55 >= 0.
Корни соответствующего квадратного уравнения 11/3 и 5, а ветви параболы направлены вниз, значит, нам подходят только a с отрезка [11/3, 5]. Поскольку на этом отрезке сумма квадратов x и y возрастает (мы уже знаем, что x2+y2=-a2+12a-27), то правильным ответом на эту задачу будет a=5.

Эта задача взята из вступительного варианта 1968-го года на физический факультет Ленинградского государственного университета (хотя, может, она ещё где-нибудь раньше появлялась). По решению ясно видно, что по силам она любому, умеющему решать квадратные уравнения и способному вспомнить вопрос, когда только что легко нашёл ответ.

Смысл этого упражнения с числами был вот в чём: когда мы что-то сами придумали, сообразили, посчитали, почувствовали или даже начали делать, то мы всеми силами стараемся убедить себя в своей же правоте (чужое решение мы бы рассматривали более критично, но своё, чисто подсознательно, нам кажется правильным и родным). Мы так устроены. И заставить себя сомневаться в своих рассуждениях очень трудно. Вы ощутили ломку, когда решали эту задачу? Была мысль, что 6 - правильный ответ, а я по ошибке написал обратное?

Я не говорю, что надо всегда и во всём сомневаться. Идея в том, что когда глаза горят, когда кажется, что вот-вот всё сделаешь, вот-вот всё получится, то полезно услышать скептический вопрос соседа "а точно все три числа действительные?" А вершина мастерства - задать этот вопрос вовремя самому себе.

Имеет ли это отношение к жизни? Да, имеет. Когда вы подписываете договор, то кажется, что все пункты понятны и логичны, что вы защищены со всех сторон, а подводных камней нет. Но глаза открываются только при возникновении сложностей. А должны бы открываться до подписания.

Если кто-то вам с горящими глазами доказывает свою правоту, говорит, что абсолютно уверен, что всё чисто продумал, предложите ему эту задачу. Просто чтобы убедиться, что ваш собеседник умеет проверять себя.

17 комментариев:

  1. Анонимный27.02.2008, 11:53

    Красивейшая задача. Мне вот сейчас обидно, что в заметке было сказано, что "будут ловить". Мне-то ясно, что ловить больше негде, и потому я не остановился, получив 6, а проверил действительность x, y. И вот сейчас не знаю - а попался бы я или нет, если бы меня НЕ предупредили?

    Хочется верить, что нет. Но уверен я не буду никогда...

    http://users.livejournal.com/_bigbrother_/

    ОтветитьУдалить
  2. Н-да... Эта задачка бы не получила такого распространения (более 1400 обращений к странице с задачей за неделю), если бы не было сказано о том, что в ней есть изюминка.

    Но я решил периодически публиковать такого сорта задачи, поэтому Вы сможете себя ещё проверить. Увы, заранее зная, что Вас ловят.

    Так что, ждите, скоро будет новая задачка с ловушкой :)

    ОтветитьУдалить
  3. Анонимный27.02.2008, 16:42

    -----BEGIN PGP SIGNED MESSAGE-----
    Hash: RIPEMD160

    Впрочем, одна моя знакомая совершенно спокойно и совершенно
    верно решила эту задачу и не поняла, где ловушка.

    Просто начала с области допустимых значений параметра.

    http://users.livejournal.com/_bigbrother_/

    P.S. Я решил такие комментарии подписывать. OpenID у меня упорно
    не работает - анонимные буду подписывать обязательно.
    -----BEGIN PGP SIGNATURE-----
    Version: GnuPG v1.4.7 (MingW32) - GPGshell v3.52

    iQEVAwUBR8VoYZy0H+9Wi2ktAQPO1Af/agppFw+VqTRbs3l14BQUnFvUhdJqcIvG
    ztDozWy9TbK0PdhIkSFPDJaxP5Qzsehc8DhrW0P/FU28mI+fz4sckzHsms2pTII1
    MBEseN7UPtBo57P/3rdM6I/LSPs4jYn/g+BCdYh5XpoM8x35X97SKiuqxrvPhFpJ
    NJU8F+PxELLCM4BfJAWZ0GjMeUU/P8z1RllYrS7jEsqYdz1tMEs/OFmUyMeoWCqV
    jox70lhnedIozdNxwFMPYsY/cDA4Nkjmjg3VJVenUa2OskuvqC2wZ3+h/N2il3sn
    a4cbUt4JV9+oUyThcMJYlHmnDF35ng2hSuhaGr9UaY1xs+Ry/PZDxA==
    =KXs9
    -----END PGP SIGNATURE-----

    ОтветитьУдалить
  4. Анонимный05.12.2008, 23:30

    Великолепная задача...
    Но тут хочу сказать огромное спасибо моей учительнице математики, которая в 9 ом классе благополучно поставила мне "2" за самостоятельную по теме "Теорема Виетта" и потом заставила меня самому найти ошибку. Она тогда здорово пошутила над всеми лучшими математиками нашего класса дав им индивидуально каждому только по 1 задаче - с таким подвохом. Я ещё тогда думал: "Чёта всё легко...подозрительно".
    Но лень не дала дальше развивать мысль. Сдав работу через 10 минут после её начала, я решил ещё несколько задач одноклассникам...
    кстати условие было: сумма квадратов корней = 2
    кэффициент A=1 , B = 10 найти C.

    ОтветитьУдалить
  5. Пользуясь случаем, передаю привет своей школьной учительнице Алевтине Алексеевне, которая учила нас всегда в начале проверять границы допустимых решений :)

    ОтветитьУдалить
  6. Анонимный24.06.2009, 11:08

    Перед поступлением на мех-мат занимался месяц с репетитором (не смотря на спецкласс по математике). Если бы специально не натаскивали на такие подвохи, сам бы наверняка их не замечал бы. Вот и тут, 15 лет спустя, забыл про всё на свете. Даже дискриминант сам не смог вспомнить, как считатеся, потому что программистами дискриминанты не используются :) Даже про производную для нахождения экстремумов не был уверен, пока с гуглом не посоветовался.

    ОтветитьУдалить
  7. Dp, Вам повезло с учительницей, поздравляю!

    Уважаемый аноним, программисты разные бывают :) Если разрабатывать и реализовывать математические алгоритмы, то пользоваться приходится не только дискриминантами, но и всем безумным многообразием последних десятилетий. Поздравляю Вас с тем, что всё вспомнили, пока решали :)

    ОтветитьУдалить
  8. Илья, я что-то не понял, почему при a=6 не может быть действительных x и y? Странно, вроде недавно экзамены писал, готовился, а не помню.

    ОтветитьУдалить
  9. maximalsit-zzz, подставьте a=6 в исходные уравнения. Теперь попробуйте найти x и y :)
    Скорее всего, Вы столкнётесь с отрицательным дискриминантом.

    ОтветитьУдалить
  10. У меня были подозрения, но что-то не решился проверить. =)

    ОтветитьУдалить
  11. А я наоборот вообще не смог решить задачу, сначала начал искать какие значения может принять а, дошел до -x^2+x(a-1)=a^2-7a+14 и заступорился, не зная что делать дальше. Избавился от а, тоже ничего не получил... В общем в школе задачи с параметром вообще не решали, только в 11 когда к ЭГЭ готовились коснулись немного. В шоке от того что почти забыл как решаются квадратные уравнения и строются их графики, хотя школу закончил в 2006 году. А в университете что-то совсем расслабился, перестав учиться.

    ОтветитьУдалить
  12. http://www.wolframalpha.com/input/?i=xy%3Da2-7a%2B14%2Cx%2By%3Da-1

    ОтветитьУдалить
  13. Анонимный07.06.2010, 23:56

    Нда, у меня тоже получилось 6. Пожалуй я правильно сделал, что бросил аспирантуру по теоретической физике.

    ОтветитьУдалить
  14. Действительные числа же включают в себя иррациональные.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Да, включают. А с чем связан этот вопрос?

      Удалить
  15. Анонимный15.07.2013, 4:06

    Для любого, кто слышал, что такое условный экстремум - задача как 2 пальца об асфальт.

    ОтветитьУдалить
  16. А я тупо не помнил, какие числа действительные =)
    Подумал, что подвох в том, что решение где-то в отрицательных числах закопано.
    Но решать не пробовал.

    ОтветитьУдалить

Понравилась заметка? Подпишитесь на RSS-feed или email-рассылку.

Хотите поделиться ссылкой с другими? Добавьте в закладки:



Есть вопросы или предложения? Пишите письма на адрес mytribune АТ yandex.ru.

С уважением,
      Илья Весенний