19 мар. 2012 г.

От Колмогорова к Максвеллу, Лапласу, Байесу

Добрый день.

Вот и пришло время для обещанной ранее заметки о поисках выходов за рамки классической теории вероятностей. Эта заметка возникла в результате переписки с читателем, многим известным по регулярным содержательным комментариям на страницах блога. Например, в комментариях к последней заметке о многомерных сферах и кубах Артур Бараов поддержал предложенную мною игру в дополнение текста (помните, я оставлял квадратные скобки, чтобы потом заменить их на ваши версии ответов?). Он написал достаточно краткий, но при этом вполне ясный поясняющий текст. Сегодня с его подачи мы поговорим о вероятностях.

Но сперва я бы хотел обратить внимание на статью Александра Привалова «О границах дискуссии». На мой взгляд, проблема монополии на концепцию очень важна, так как, например, совсем неинтересно влиять на решение, в виде котлеты или гуляша быть съеденным, а хотелось бы полностью уйти от идеи людоедства.

А теперь я передаю слово Артуру.

Адекватное раскрытие темы, подразумеваемой таким провокационным названием, потребовало бы целого трактата. Но наши цели здесь гораздо скромнее:

  • обратить внимание на важный факт, что есть как минимум два понятия вероятности (соответственно, можно говорить о двух разных теориях вероятностей).
  • и разница между различными понятиями вероятности, и разница между основанными на этих понятиях теориями гораздо шире и глубже, чем может показаться с первого взгляда.

Одна теория, которая ассоциируется с именем Колмогорова, основана на достаточно узком и ограниченном понимании вероятности, как частоты повторяющихся событий; она является замкнутой и чисто математической теорией. Другая теория, которая ассоциируется с такими именами как Байес, Лаплас и Максвелл, основана на очень широком понимании вероятности, как степени достоверности умозаключений любого характера; она является открытой логической теорией познания.

В теории Колмогорова рассматриваются только так называемые прямые задачи, где вероятности всех элементарных событий просто по определению равны между собой (или заданы, например, как результат каких-то повторяющихся экспериментов). В теории же вероятностей, как логической теории познания, главной целью считается решение так называемых обратных задач. Есть набор фактов, свидетельских показаний, экспериментальных наблюдений и так далее, а требуется оценить достоверность всевозможных гипотез, которые теоретически могли вызвать к жизни этот набор наблюдаемых событий. Другими словами, по характеру, практической важности и разнообразию решаемых задач «частотная» теория вероятностей является детской игрушкой, если сравнивать её с «логической» теорией вероятностей.

Вот почему теорема Байеса рассматривается в качестве инструмента познания, а не просто как формула для решения прямых задач теории вероятностей. Вот почему, по меткому выражению Лапласа «теория вероятностей есть ни что иное, как здравый смысл, сведенный к расчёту».

Мысль, которую мы пытаемся здесь передать, наиболее выпукло была выражена в 1850 году основателем классической электродинамики Максвеллом в его письме к Льюису Кэмпбеллу:

«Я сегодня размышлял о функциях познавательной способности человека. По общепринятому мнению, эти функции подвластны воле, а воля управляет познанием посредством контроля внимания. Говорят, что понимание должно вырабатываться согласно правилам правильного суждения. Эти правила содержатся или должны содержаться в логике; но в настоящее время логика как наука имеет дело только с утверждениями, которые являются несомненными, невозможными или полностью неопределенными, т. е. с вещами, которых (к счастью) у нас практически никогда не бывает, чтобы делать выводы на их основе. Следовательно, настоящая логика этого мира — это исчисление вероятностей, дающее величину вероятности, которая есть, или должна быть в уме разумного человека.

Эта ветвь математики ассоциируется с азартными играми, игрой в кости и заключением пари, поэтому считается в высшей степени аморальной. На самом деле она является чуть ли не единственной «математикой для практичных людей», каковыми мы и должны быть. Теперь, поскольку человеческое знание достигается посредством чувств таким образом, что существование внешнего мира может быть не более чем логическим выводом на основе не противоречащих друг другу (необязательно подобных) свидетельств различных чувств, понимание, действуя согласно законам правильного суждения, приписывает различным правдам (фактам, или свидетельствам, или как их еще мне называть) различные степени вероятности. Теперь, поскольку чувства доставляют нам непрерывный поток всё новых впечатлений, и поскольку никто никогда еще не обнаружил в них серьезных противоречий, то ясно, что степень доверия к показаниям чувств будет расти изо дня в день, и чем больше человек пользуется этими показаниями, тем больше он им верит. Он верит этим показаниям. А что значить верить? Когда в уме человека есть вероятность (лучшего слова пока не придумали) того, что некое умозаключение скорее верно, чем неверно, то он верит в это в прямой пропорции с той верой, которая соответствует этой вероятности. А эта вероятность может расти или падать в зависимости от новых фактов. Когда человек думает, что у него есть достаточно свидетельств в пользу некоторого суждения, он иногда отказывается рассматривать любые дополнительные свидетельства за или против, говоря, «Этот вопрос разрешен, он не нуждается в свидетельствах, это истина». Это уже знание, а не вера. Он говорит: «Я не верю; я знаю».

Если кто-то думает, что он знает что-то абсолютно достоверно, он ничего не знает, как ему следовало бы знать. Подобное знание равносильно затыканию ушей ко всем аргументам и фактам, и оно ничем по существу не отличается от «слепой веры». Не следует путать эту веру с «детской верой», поскольку дети вовсе не верят слепо, а открывают для себя, гораздо раньше, чем многие думают, что взрослые часто врут.
»

Мысль, выраженная в общей и абстрактной форме, обычно трудно переваривается. Поэтому давайте в следующей заметке рассмотрим конкретный пример, где мы сможем буквально почувствовать глубинную разницу между классической теорией вероятностей и теорией вероятностей, как логики познания.

На всякий случай напомню, о задачах какого типа идёт речь:
- Парадокс двух конвертов (вопрос в том, можем ли мы что-то сделать, не зная, как устроено распределение возможных сумм),
- N шкатулок, неизвестное количество призов (вопрос в том, правильно ли игрок отвечает ведущему на первый вопрос, говоря следующее: «Я не знаю, потому что не имею никакой информации о количестве призов в этих шкатулках»).

Приглашаю в комментарии людей, которые уже сталкивались с ограничениями классической теории вероятностей или сталкивались с разговорами о возможности или невозможности её расширения.

110 комментариев:

  1. Советую познакомится с идеями Нассима Талеба в этой связи.
    Когда я учился преподаватель определял вероятности "по Колмагорову", т.е. как меру в некотором пространстве (Ω,B,P), а вот на практике использовали определение "по Байесу". Честно говоря, запутали меня тогда основательно. :-)))

    ОтветитьУдалить
  2. Анонимный20.03.2012, 9:17

    Ваша обратная задача: "требуется оценить достоверность всевозможных гипотез, которые теоретически могли вызвать к жизни этот набор наблюдаемых событий." по сути есть задача статистическая. Так что нет 2-х теорий вероятности - есть прямые задачи, за которые отвечает тервер, и есть обратные задачи, за которые отвечает мат.стат.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Уважаемый аноним,
      чтобы заметка была ближе к практике, я в последнем абзаце привёл в качестве примера пару задач. Вы можете справиться с ними средствами мат. статистики?

      Удалить
    2. Анонимный20.03.2012, 15:28

      Не понимаю что значит справиться.

      Парадокс двух конвертов, а это именно парадокс, строится на том, что нам неизвестно распределение суммы в конвертах, а напрашивающееся первым очевидное предположение приводит к неверном результату. Выяснить распределение - в общем-то и есть одна из типовых задач статистики. Так что, имея длинную серию результатов игры, можно вычислить распределение, разумеется с некоторой точностью.

      Что касается задачи с Якубовичем, то вся она сводится к аккуратному подсчету. Там даже не приходится выходить за рамки комбинаторики и условной вероятности.

      Удалить
    3. > Так что, имея длинную серию результатов игры, можно вычислить распределение, разумеется с некоторой точностью

      Правильно! А если мы не имеем ни одного результата игры, а знаем только правила? Тогда мат. статистика нам не поможет, а задача становится больше похожа на задачу из теории вероятностей. Но распределений мы тоже не знаем.

      Собственно, вопрос, поднятый в этой заметке, состоит именно в том, можем ли мы предложить разумный способ решать эти задачи. И, прежде всего, надо понять, что значит разумный... Как минимум, он должен не противоречить имеющимся теориям.

      > Что касается задачи с Якубовичем, то вся она сводится к аккуратному подсчету.
      Выглядит так, как будто Вы не полностью вникли в вопрос задачи. Если не так, то, пожалуйста, поправьте меня.

      На всякий случай повторю вопрос:

      Якубович предлагает нам поднос с N шкатулками (N — натуральное число больше единицы). В каждой шкатулке находится приз или вообще ничего нет. Другими словами, есть N шкатулок и сколько-то призов (не больше, чем N), причём в одной шкатулке не может лежать больше одного приза.

      Далее состоялся диалог:
      (Якубович) - Как вы думаете, с какой вероятностью в случайно выбранной шкатулке окажется приз?
      (игрок) - Я не знаю, потому что не имею никакой информации о количестве призов в этих шкатулках.


      А вопрос в том, действительно ли игрок не может разумно ответить на вопрос Якубовича, пока ему не сказали, с какой вероятностью какое количество призов может быть в шкатулках.

      Удалить
    4. Анонимный20.03.2012, 19:00

      "Собственно, вопрос, поднятый в этой заметке, состоит именно в том, можем ли мы предложить разумный способ решать эти задачи."

      Можем. Но нужно четко понимать, что при отсутствии полной информации об условиях задачи, есть не одно решение, которое будет разумным. И если вы хотите разобраться, то вопрос нужно ставить не так. Не парадоксами, а например "Какова оптимальная стратегия в игре с двумя конвертами?" И тогда все встанет на свои места - задача становится задачей из оптимизации/теории игр где есть анализ игр с неполной информацией или закрытой стратегией, а тервер только инструментом для подсчета шансов.

      С Якубовичем ситуация похожа. Можно посчитать вероятность, введя некоторые априорные предположения о том как распределяются призы или суммы в конвертах. Разумность полученных значений целиком будет зависеть от разумности этих предположений. Что в свою очередь вопрос спорный и никак не завязан на теорию вероятностей.

      Удалить
    5. Аноним конечно прав, что "есть прямые задачи, за которые отвечает тервер, и есть обратные задачи, за которые отвечает мат.стат." Но теория вероятностей, основанная на понятии вероятности как меры достоверности логического высказывания (теория Лапласа для краткости) далеко не сводится к тервер + мат.стат. Это ясно хотя бы из того, что предметом теории Лапласа является оценка степени достоверности любых логических утверждений, а не только тех, которые имеют отношение к частотам или основаны на статистике провторяющихся событий.

      Аноним также прав, что при желании парадокс двух конвертов можно трактовать по разному и анализировать его с разных точек зрения. Например можно попытаться, как и предлагает аноним, выяснить есть ли какая-то оптимальная стратегия в этой игре или все стратегии абсолютно одинаковы. Но аспект проблемы двух конвертов, который интересует нас в контексте данной заметки, не допускает подобных вольностей. Когда вы открываете выбранный вами конверт и видите 10 долларов, по условию задачи совершенно ясно, что в другом конверте лежит или 5 или 20. Нас вот что интересует конкретно: чему равны вероятности р(5) и р(20)? Все - ни больше, ни меньше. То есть тот аспект этой задачи, который интересует нас в данном контексте, имеет дело исключительно с теорией вероятностей, а не с теорией принятия решений, теории игр, или еще чем-то. Забудьте про парадокс, забудьте про оптимальную стратегию. Просто попробуйте ответить на этот простой и конкретный вопрос: чему равны вероятности р(5) и р(20)?

      Аноним похоже придерживается того взгляда, что дать однозначный и единственно правильный ответ на этот вопрос невозможно поскольку нам неизвестно распределение вероятностей, согласно которому формируются суммы в конвертах. Я совершенно согласен, что если бы мы знали это распределение, то вычисление р(5) и р(20) не представило ло бы ни малейшего труда. Совершенно ясно также, что значения вероятностей р(5) и р(20) будут зависеть от этого распределения. Поэтому аноним предлагает такое решение: Выяснить распределение - в общем-то и есть одна из типовых задач статистики. Так что, имея длинную серию результатов игры, можно вычислить распределение, разумеется с некоторой точностью.

      С таким "решением" у нас есть проблемы принципиального характера:

      1. Согласно теории Лапласа, вероятность - это функция информации в наличии у агента, дающего оценку этой вероятности. Если нам позволено собирать информацию в дополнение к тому, что нам уже задано в условии задачи, то с точки зрения теории Лапласа мы получим вероятности р(5) и р(20), которые будут напрямую зависеть и меняться от этой информации. Это равносильно подмене исходной задачи совершенно другой.

      2. Такое "решение" не годится даже для классической "тервер + мат.стат." Почему? Потому что из условии задачи не следует, что распределение вероятностей сумм в конвертах, которое аноним хочет выяснить как типовой задачи статистики, вообще существует. Читатель может недоумевать: Конечно же это распределение существует - мы просто не знаем его! Как можно сомневаться, что оно в принципе существует? Очень просто. В условиях задачи абсолютно ничего не сказано о механизме формирования сумм в конвертах, за исключением того, что эти суммы относятся как 1:2. Мы даже не знаем, предложать ли нам эту халявную игру во второй раз, не говоря уже о каком-то распределении. Если даже допустить, что игра будет повторяться бесконечное количество раз, никто не гарантирует, что механизм формирования сумм в конвертах будет основан на каком-то фиксированном распределении вероятностей. Например, суммы в очередном раунде игры могут каким-то определенным образом увязаны с суммой в конверте, выбранном в предыдущем раунде игры. Другими словами, этот механизм может быть основан на цепях Маркова.

      Мы поговорим об этих и других интересных деталях проблемы двух конвертов в одной из следующих заметок.

      Удалить
    6. Анонимный21.03.2012, 15:52

      > "Но теория вероятностей, основанная на понятии вероятности как меры достоверности логического высказывания"

      Увы, но у вас здесь ошибка. Если рассматривать вероятность истинности или ложности некоторого суждения, то другого понятия вероятности у вас не появляется. Появляется другое определение истинности!

      "Нас вот что интересует конкретно: чему равны вероятности р(5) и р(20)? Все - ни больше, ни меньше."

      Точного ответа на этот вопрос не существует. Все.

      > "То есть тот аспект этой задачи, который интересует нас в данном контексте, имеет дело исключительно с теорией вероятностей"

      Теория вероятности не имеет никакого отношения к этому вопросу. По сути это ситуация вида: "Я задумал число, угадайте его. Не получается? Что-то не так с математикой." Здесь глупость очевидна. Но замените число на распределение, засуньте в красивый парадокс... И?

      > "Согласно теории Лапласа, вероятность - это функция информации в наличии у агента, дающего оценку этой вероятности. Если нам позволено собирать информацию в дополнение к тому, что нам уже задано в условии задачи, то с точки зрения теории Лапласа мы получим вероятности р(5) и р(20), которые будут напрямую зависеть и меняться от этой информации. Это равносильно подмене исходной задачи совершенно другой."

      Исходная задача не имеет решения, так что без изменения условий задачи обсуждение не имеет смысла. И еще, зачем ссылаться на Лапласа? Неужели вы полагаете что за 200 лет ничего не придумали?

      > "Мы даже не знаем, предложать ли нам эту халявную игру во второй раз, не говоря уже о каком-то распределении."

      Единственный инструмент, который у нас есть, для вычисления вероятности при неизвестном распределении -- мат.стат. Другого нет.

      > "Например, суммы в очередном раунде игры могут каким-то определенным образом увязаны с суммой в конверте, выбранном в предыдущем раунде игры. Другими словами, этот механизм может быть основан на цепях Маркова."

      Не вижу как это опровергает возможность вычислить по какому алгоритму раскладываются суммы по конвертам.

      Удалить
    7. Анонимный21.03.2012, 20:11

      Сектантство детектед:

      Раз. "Точного ответа на этот вопрос не существует. Все."

      Два. "Исходная задача не имеет решения"

      Три. "Единственный инструмент, который у нас есть, для вычисления вероятности при неизвестном распределении -- мат.стат. Другого нет."

      Человек три раза отказался вникать, а просто произнес свои убеждения. О чем тут говорить? Он в это верит, его не переубедить. И как любой нормальный сектант он будет утверждать, что его знание абсолютно, а вы должны отказаться от своих попыток что-то поменять :-)
      Ещё в антинаучности поди начнет обвинять :-)

      Удалить
    8. > Два. "Исходная задача не имеет решения"

      Не все задачи являются корректно поставленными или имеют решение. Эта одна из таких. Не вижу проблемы.

      > Три. "Единственный инструмент, который у нас есть, для вычисления вероятности при неизвестном распределении -- мат.стат. Другого нет."

      Вам известен другой?

      > Человек три раза отказался вникать, а просто произнес свои убеждения.

      Вникать? Вообще-то базовых знаний тервера достаточно чтобы, без особых усилий, понять в чем тут соль. Меня терверу и матстату учили хорошо.

      > Он в это верит, его не переубедить.

      При чем тут вера? В математике верить не требуется.

      > Ещё в антинаучности поди начнет обвинять :-)

      Не переживаейте, не буду. Видно же что люди искренне не понимают.

      Удалить
    9. Уважаемый аноним, с сектантством Вы тут перебарщиваете!
      Пока диалог продолжается (и не началось сжигание друг друга на кострах :), есть шанс понять друг друга.

      Wanderer,
      мне кажется, что я вижу нелогичность в Ваших словах. Пожалуйста, объясните мне, где я ошибаюсь. С моей точки зрения ситуация выглядит так:
      1. Есть классическая теория вероятностей, для которой предложенная задача не является корректно поставленной.
      2. Есть идея расширить эту теорию так, чтобы задача стала корректной, а потом решить эту задачу уже в рамках расширения.
      3. Вы напоминаете, что "исходная задача не имеет решения" (в классической теории), как будто это аргумент против возможности расширить теорию.

      С Вашей точки зрения всё выглядит таким же образом? Или Вы это видите иначе. Если Вы это видите так, то как аргумент об ограниченности классической теории может быть против расширения? Это же был наш с Артуром аргумент (мол, стоит подумать о расширении теории, потому что такие-то задачи в ней некорректны).

      Удалить
    10. Илья,
      > "1. Есть классическая теория вероятностей, для которой предложенная задача не является корректно поставленной.
      2. Есть идея расширить эту теорию так, чтобы задача стала корректной, а потом решить эту задачу уже в рамках расширения."

      Не получится. Я напомню, что по сути в задачу не доложили необходимое условие. У вас просто неоткуда получить недостающую информацию. Проблема ведь не в ограничениях теории вероятностей, теория работает как нужно.

      > "3. Вы напоминаете, что "исходная задача не имеет решения" (в классической теории), как будто это аргумент против возможности расширить теорию."

      Аргументом против возможности расширения является причина по которой задача не имеет решения. Для расширения теории нужна корректная задача, которая не имеет решения в рамках теории. А эта задача именно что поставлена не корректно. Вот что вызывает у вас трудности. Вам кажется что это нормальная задача для теории вероятностей, но это не так. Она некорректна в своей постановке. Да, возможно это не очевидно, но ваш недавний пост про куб и шары позволяет предложить что вы понимаете что очевидное может оказаться неверным.

      > "Это же был наш с Артуром аргумент (мол, стоит подумать о расширении теории, потому что такие-то задачи в ней некорректны)."

      Сравните: корректное уравнение x*x+1=0, неразрешимое в вещественных числах, приводит к комплексным числам. А система x+2=0 и x+5=0, также не имеющая решения не приводит ни к какому расширению. Именно потому что она несовместна.

      Удалить
    11. > А эта задача именно что поставлена не корректно.
      Да, она поставлена некорректно в рамках классической теории.
      В рамках расширенной она вполне может оказаться корректной.
      Почему Вы принципиально отвергаете такую возможность?

      > Сравните: корректное уравнение x*x+1=0, неразрешимое в вещественных числах, приводит к комплексным числам. А система x+2=0 и x+5=0, также не имеющая решения не приводит ни к какому расширению. Именно потому что она несовместна.
      Аналогия понятна, но её перенос на наш разговор неочевиден. Почему Вы убеждены, что в нашем случае (например, с двумя конвертами), всё получится как в системе (x+2=0 x+5=0), а не как с уравнением x^2+1=0?

      Вдруг удастся предложить такое расширение теории вероятностей, что задача о конвертах станет корректной и разрешимой? На чём основано Ваше убеждение, что это невозможно?

      Удалить
    12. > "В рамках расширенной она вполне может оказаться корректной.
      Почему Вы принципиально отвергаете такую возможность?"

      Потому что я вижу, что никакое "расширение" не может сделать ее корректной.

      > "Вдруг удастся предложить такое расширение теории вероятностей, что задача о конвертах станет корректной и разрешимой? На чём основано Ваше убеждение, что это невозможно?"

      Если ваше "расширение" даст вам ответ, которого вы хотите, а именно конкретные значения вероятностей, то по ним легко и просто вычисляется конкретное распределение сумм в конвертах. Данное распределение по условию не просто является неизвестным, оно может быть произвольным. А это, в свою очередь, означает что ваше "расширение" просто эквивалентно заданию некоторого распределения сумм в конвертах.

      В чем собственно и состоит некорректность задачи, с точки зрения теории вероятностей -- необходимо знать распределение. Вам не удастся получить устраивающее вас решение и оставить произвольность распределения.

      Удалить
    13. Илья, чтобы избежать недоразумений, нам пожалуй следует уточнить, что именно мы имеем в виду, когда говорим о расширении классической теории вероятностей. У читателя может возникнуть ложное впечатление, что мы настолько самонадеянны, что предлагаем свой, "расширенный" так сказать, вариант теории. Разумеется ничего подобного мы не предлагаем. Речь идет всего лишь о возвращении к тому инстинктивному пониманию вероятности как меры достоверности логического вывода и основанной на нем теории, которую мы для краткости называем здесь теорией Лапласа (чтобы не путать ее с классической теорией, которую, опять таки для краткости, мы называем теорией Колмогорова).

      Дело в том, что "расширенная" теория вероятности, как это ни странно, существовала до того, как классическая теория "сузила" ее. Именно эту теорию — теорию Лапласа — мы и имеем в виду, когда говорим о "расширении" теории Колмогорова. Между прочим, черновое название этой заметки звучало так: "От Колмогорова к Максвеллу, Лапласу, Байесу: Назад в будущее". Но его пришлось сократить по чисто техническим соображениям (длинное название как правило ломает дизайн всевозможных rss-ридеров).

      William Feller, автор популярного и очень хорошего учебника "An Introduction to Probability Theory and Its Applications", пожалуй поможет нам прояснить ситуацию:

      За успех современной математической теории вероятностей пришлось заплатить определенную цену: предмет этой теории ограничен одним частным аспектом "случайности". Интуитивное понятие вероятности связано с индуктивными логическими заключениями и с такими суждениями как "Пол вероятно счастливый человек", "Эта книга вероятно не будет иметь большого успеха", "Последняя теорема Ферма вероятно неверна". Суждения подобного рода представляют интерес для философов и логиков, и они являются законным предметом для математической теории. Однако необходимо отметить, что предметом данной теории является не изучение принципов индуктивной логики, а нечто, что можно назвать физической или статистической вероятностью. Грубо говоря, вероятности, о которых мы говорим, относятся не к суждениям, а к возможным результатам концептуального эксперимента.

      Вот где зарыта собака: классическая теория имеет дело только с "физической" (как будто таковая существует) или "статистической вероятностью", тогда как теория вероятностей 19-го века, как ее понимали и развивали Лаплас, Максвелл и многие другие, принимает вероятность как логическую категорию, которая в принципе позволяет расширить математическую логику за пределы дедуктивных умозаключений. Edwin Jaynes, автор книги "Probability Theory: The Logic of Science", которую мы не раз упоминали, открыто так и заявляет: Теория Лапласа — это логическая теория, которая по-существу является ни чем иным как расширением дедуктивной логики Аристотеля с целью охватить индуктивную логику. Ту же самую мысль, но не так явно, высказал Максвелл в письме, которое мы процитировали в заметке. Позвольте напомнить его слова:

      Говорят, что понимание должно вырабатываться согласно правилам правильного суждения. Эти правила содержатся или должны содержаться в логике; но в настоящее время логика как наука имеет дело только с утверждениями, которые являются несомненными, невозможными или полностью неопределенными, т. е. с вещами, которых (к счастью) у нас практически никогда не бывает, чтобы делать выводы на их основе. Следовательно, настоящая логика этого мира — это исчисление вероятностей, дающее величину вероятности, которая есть, или должна быть в уме разумного человека.

      Вот ведь о чем идет речь.

      Удалить
    14. Другими словами, мы не осуждаем, не порицаем, и не разоблачаем Новое Евангелие — мы не предлагаем Евангелие от Ильи и Артура взамен. Нам нравится Новое Евангелие и, как уже отмечал Илья, мы в состоянии оценить по достоинству красоту и величие его. Мы просто призываем вернуться к Ветхому Завету и взглянуть на него свежими глазами, не выбрасывать его заборт по той простой причине, что тем, кто создавал великое здание Нового Евангелия, казалось, что необходимо было пожертвовать самым главным что было в Ветхом Завете, для того чтобы сделать его строгой математической теорией.

      Между тем теория Лапласа конечно не стояла на месте, несмотря на то, что она была практически подавлена статистической теорией, которая и преподается сегодняшнему студенту как единственно возможная теория вероятностей. Благодаря усилиям таких замечательных физиков 20-го века (именно физиков, а не математиков) как Harold Jeffreys, Claude Shannon, Richard Cox, Edwin Jaynes и других, мы все чаще и чаще слышим о так называемой революции Байеса в развитии теории вероятностей.

      Я бы назвал это возвращением к корням, или возвращением блудного сына, если будет позволено еще раз прибегнуть к религиозной метафоре.

      Удалить
    15. Анонимный23.03.2012, 8:37

      Авторы, не ставьте мозги на бекрень, я пока еще верю что Вы это делаете непреднамеренно.

      Современное состояние теории вероятности заключается в следующем. Есть одна замечательная обширная теория, которая называется Теория меры. В теорию меры вводится одна единственная дополнительная аксиома нормировки, когда мера "всего" равна единице. В результате получается теория вероятности. Теория вероятности - это тривиальное следствие теории меры при введении этой дополнительной аксиомы.

      Вы утверждаете что теория вероятности слишком узка, т.к термин вероятности несет в себе якобы частотный смысл. Да с чего Вы взяли что он именно такой смысл в себе несет? Ни теория меры как таковая вообще, ни теория вероятности как следствие теории меры не заставляют в вероятность вкладывать такой смысл. Да, он появляется когда мы начинаем рассматривать чисто прикладной аспект теории, но к чистой теории он не имеет никакого отношения.

      Вы предлагаете одно "сужение" - частотное заменить другим "сужением" - умозаключительным или как там его, но оба этих "сужения" являются чисто прикладными и никакого отношения к голой теории, очищенной от практики НЕ ИМЕЮТ. Оба этих сужения являются прикладным воплощением голой теории, друг с другом не пересекаются и друг другу не противоречат. И имеют равные права на существование и равный доступ к результатам теории для своего прикладного применения.


      С уважением,
      Злой Анонимный Х.

      PS. Вам следует говорить не о расширении теории вероятности, а об изучении очередного её прикладного применения для вычисления умозаключений (если именно об этом будет идти речь, я честно говоря не знаю Ваших намерений). Либо о том, какими методами можно составлять суждение о гипотезе о распределении при наличии отсутствия возможности сделать это методами матстатистики или методами теории возможностей (опять же если именно об этом пойдет речь). Но не пятнайте саму теорию вероятности, она "надежна и красива" ((c) Илья)

      Удалить
    16. > Но не пятнайте саму теорию вероятности, она "надежна и красива" ((c) Илья)
      Интересно, что хоть никто её не собирается "пятнать" (я на этом неоднократно делал акцент), Вы продолжаете настаивать на том, что на неё идёт какое-то покушение.

      Сейчас у меня складывается впечатление, что это связано с тем, что мы пытаемся разные вещи называть словосочетаниями, содержащими одни и те же слова "теорией вероятностей" (речь о классической теории вероятностей и теории вероятностей, как логики познания). Дело именно в этом?

      Если да, то давайте попробуем их называть теорией Колмагорова и теорией Лапласа, например (как уже выше предложил Артур). Да, это разные теории. Но у них есть много общего. В частности, они оперируют термином "вероятность", который хоть и определяется разными способами, но имеет один и тот же смысл: при нулевой вероятности событие невозможно, а при единичной - всегда происходит. Если вероятность события p1 больше вероятности события p2, то нам следует ожидать, что первое событие будет происходить чаще, чем второе. И так далее.

      Удалить
    17. Я прошу прощения, но изложение "современного состояния теории вероятности" Злым Анонимом Х невольно напомнило мне (который уже раз, мне безусловно придется окститься за это :-)) про бессмертных классиков Советской сатиры:

      Как ни странно, но вид бумажек немного успокоил председателя, и воспоминания братьев стали живее. Рыжеволосый вполне освоился с обстановкой и довольно толково, хотя и монотонно, рассказал содержание массовой брошюры "Мятеж на Очакове". Брат украшал его сухое изложение деталями настолько живописными, что председатель, начинавший было уже успокаиваться, снова навострил уши.
      Однако он отпустил братьев с миром, и они выбежали на улицу, чувствуя большое облегчение.
      За углом исполкомовского дома они остановились.
      - Кстати, о детстве, - сказал первый сын, - в детстве таких, как вы, я убивал на месте. Из рогатки.
      - Почему? - радостно спросил второй сын знаменитого отца.
      - Таковы суровые законы жизни. Или, короче выражаясь, - жизнь диктует нам свои суровые законы. Вы зачем полезли в кабинет? Разве вы не видели, что председатель не один?
      - Я думал...
      - Ах, вы думали? Вы, значит, иногда думаете? Вы - мыслитель? Как ваша фамилия, мыслитель? Спиноза? Жан-Жак Руссо? Марк Аврелий?
      Рыжеволосый молчал, подавленный справедливым обвинением.
      - Ну, я вас прощаю. Живите. А теперь давайте познакомимся. Как-никак - мы братья, а родство обязывает. Меня зовут Остап Бендер. Разрешите также узнать вашу первую фамилию.
      - Балаганов, - представился рыжеволосый, - Шура Балаганов.
      - О профессии не спрашиваю, - учтиво сказал Бендер, - но догадываюсь. Вероятно, что-нибудь интеллектуальное? Судимостей за этот год много?
      - Две, - свободно ответил Балаганов.
      - Вот это нехорошо. Почему вы продаете свою бессмертную душу? Человек не должен судиться. Это пошлое занятие. Я имею в виду кражи. Не говоря уже о том, что воровать грешно, - мама, наверно, познакомила вас в детстве с такой доктриной, - это к тому же бесцельная трата сил и энергии.

      Удалить
    18. Анонимный23.03.2012, 12:12

      Илья, читаю первое предложение: "... о поисках выходов за рамки классической теории вероятностей...".

      Илья, каких поисков, каких выходов? Вы сами себя загнали в угол узким пониманием термина вероятность как частоты повторения и теперь пытаетесь найти выход. Его не надо искать. Никто Вас не заставляет трактовать термин Вероятность в узком частотном смысле.

      И после этого Вы утверждаете что не было покушения и передергивания?

      ...Если вероятность события p1 больше вероятности события p2, то нам следует ожидать, что первое событие будет происходить чаще, чем второе....

      Да поймите же Вы наконец, что Теория вероятности ничего такого от событий p1 и p2 не ожидает! Математик - теоретик этого НЕ ОЖИДАЕТ!

      Это может ожидать математик-прикладник, когда в p1 и p2 он вкладывает вполне определенный физический \ бытовой смысл и когда натравливает инструменты теории вероятности на решение поставленных перед ним задач.

      Теория вероятности это гораздо более широкая теория чем инструмент исчисления частот повторения. Так исторически сложилось, что она начала развиваться с изучения рулетки. И это негативно сказалось на её названии. Чтобы полностью отражать весь охват ей бы следовало называться Теорией меры с аксиомой нормировки. Бытовой термин Вероятность перенесся в название и это теперь является барьером в осознании её ширины.

      Злой анонимный Х.

      Удалить
    19. Arthur,
      Вы совершенно напрасно пишите такие длинные комментарии на общие темы. В результате получается философствование вокруг, вместо четкого обсуждения. Но философствовать вокруг наивных представлений о теории вероятностей нет никакого интереса. В комментариях уже было сказано, что в приличном учебнике вероятность определяют как меру на сигма-алгебре вероятностного пространства. Вокруг этого определения, разумеется, тоже можно развести философию, но тогда будет хотя бы какое-то основание. А так увы -- Лаплас конечно велик, но за это время наука на месте не сидела. Его представления потеряли актуальность.

      Далее, в ваших комментариях и приводимых цитатах встречается "возвращении к инстинктивному пониманию вероятности" или "интуитивное понятие вероятности". Инстинкты -- это к биологам. Математики оперируют формальными определениями, для чего имеется множество причин. К тому же интуиция слишком часто дает сбои, надеюсь примеры вам известны и без меня.

      Что касается "расширить математическую логику за пределы дедуктивных умозаключений" и "понятии вероятности как меры достоверности логического высказывания", то существует, и вполне развивается, нечеткая логика -- в точности то, что вам требуется. Что вас не устраивает то? Только то, что это другая логика, а не другая теория вероятности? Пока все что вы пишите про "теорию Лапласа" укладывается в понятие нечеткой логики как родное.

      Кстати, нужно учитывать, что точное и правильное понимание теории вероятности невозможно получить из прикладных учебников. В них нет слишком многих принципиально важных вещей. Берите нормальный фундаментальный учебник, например Боровкова.


      Илья,
      Вы пишите "при нулевой вероятности событие невозможно" -- что вы под этим подразумеваете? Возможно, вы неточно выражаетесь, но то что вы написали попросту неверно.

      Удалить
    20. Wanderer,

      Спасибо за Ваш дельный совет не увлекаться философией. У философовов действительно есть профессиональная болезнь, которая заключается в том, что они знают все ни о чем, но как правило не могут решить ни одну конкретную задачу практического значения.

      Если Вы сторонник делового подхода к теме разговора, покажите свое мастерство на той задачке, которую я сформулировал в последнем комментарии по оптимальному разбиению капитала на торговую и наличную составляющие. Решение подобных задач уж точно представляет самый непосредственный практический интерес.

      Удалить
    21. Wanderer
      Вы пишите "при нулевой вероятности событие невозможно" -- что вы под этим подразумеваете? Возможно, вы неточно выражаетесь, но то что вы написали попросту неверно.

      Нулевая вероятность попросту обозначает, что мы имеем меру ноль. :-) Классический пример, послематчевые пенальти, пробили первых пять счёт всё равно равный. Далее бьют по одному удару каждый пока одна команда забьёт, а другая-промажет. Теоретически, такая "дуэль" может идти бесконечно долго, но вероятность (мера) такого исхода равна нулю. Я не говорю о непрерывных распределениях...

      Удалить
    22. alexsmail,
      Да я то понимаю разницу между нулевой вероятностью и невозможностью. Меня скорее забавляет что люди, разбирающиеся в теории на бытовом или инженерном уровне, пытаются обсуждать недостатки, ограничения или расширения теории. Используя при этом неверные и некорректные формулировки.

      Удалить
    23. Wanderer,
      спасибо за содержательное уточнение! Конечно, высказывание "при нулевой вероятности событие невозможно" очень неаккуратно. Равно как и его продолжение о единичной вероятности. Я обычно пользуюсь терминами "почти невозможно" (в том смысле, что возможно только для подмножества множества событий, имеющего меру 0) и "почти всегда" с симметричным смыслом. Ещё раз благодарю за внимательность!

      > Меня скорее забавляет что люди, разбирающиеся в теории на бытовом или инженерном уровне, пытаются обсуждать недостатки, ограничения или расширения теории
      А вот это уже комплексы. Пытаться разобраться - право каждого. Пока человек не сжигает других на кострах за несогласие со своим пониманием какого-то вопроса, он может обдумывать и изучать что угодно. Здесь у нас открытый диалог, в котором каждый имеет возможность объяснить, почему он с чем-то согласен или не согласен.

      Пока что я вижу, что разговоры в комментариях к заметке очень интересны. Я не верю, что мы тут сразу придём к какой-то светлой истине. Но любой желающий может поделиться своим видением и обосновать его. И многим это позволит скорректировать свои взгляды (увидев железобетонные контраргументы собеседников), что особенно хорошо.

      Удалить
    24. Илья,
      > "Я обычно пользуюсь терминами "почти невозможно" (в том смысле, что возможно только для подмножества множества событий, имеющего меру 0) и "почти всегда" с симметричным смыслом."

      Честно говоря, ваше уточнение запутало меня еще больше. Вот, например, в отрезке случайным образом (распределение равномерно) выбирается точка. Вероятность быть выбранной для любой точки тождественно равна 0, но при каждом таком событии какая-то точка выбирается -- то есть гарантированно происходит событие нулевой вероятности. Это событие в вашем понимании "почти невозможно"?


      > "А вот это уже комплексы."

      Не, это точное понимание своего уровня владения теорией. К тому же, я точно знаю что без четкого и полного понимания теории, без владения ее аппаратом, невозможно говорить о ее расширении. Тут нужно годами изучать тервер, по другому просто не получится.

      > "Пытаться разобраться - право каждого."

      Это запросто. Но подходы вида "не понимаю как теория это объясняет" и "ваша теория тут не справляется, надо менять" существенно разные. В первом случае не проблема объяснить и показать как работает теория. А во втором случае -- я оглядываюсь и убеждаюсь что я не на семинаре в теор. отделе Института математики.

      Тем более уровень владения теорией у участников быстро становится очевидным, а интерес к продолжению разговора по второму варианту, как следствие, стремительно подает до нуля. Невозможно говорить о недостатках тервера с человеком который считает что если 1000000 раз подкинуть монетку, то с вероятностью почти 1 орел выпадет ровно 500000 раз. Нет базы для разговора. Хуже всего, что человек искренне считает что если его мнение расходится с учебником -- то это в учебнике проблема. Типа неправильный, негодный учебник. Замшелый. Для меня слова Артура про "студента, природные и здоровые понятия которого несколько лет разбавляли мертвой водой очень узкого, частотного понимания смысла вероятности" говорят о том что человека уже врядли удастся переубедить. Практика показывает что это практически невозможно.

      Обычно такие дискуссии заканчиваются тем, что разбирающиеся в вопросе люди, махнув рукой, уходят заниматься своими делами, поскольку развеять заблуждения не удалось, а разговор уже не забавляет. По моим прикидкам еще пара комментариев с каждой стороны и думаю Злой аноним не будет в третий раз писать как на самом деле устроена теория вероятностей.

      > "И многим это позволит скорректировать свои взгляды (увидев железобетонные контраргументы собеседников), что особенно хорошо."

      Давайте проверим. Я выше писал почему никакое расширение не позволит вам получить желаемое решение задачи о двух конвертах.
      У вас есть возражения, или вы скорректировали свои взгляды?

      Удалить
    25. > Вот, например, в отрезке случайным образом (распределение равномерно) выбирается точка. Вероятность быть выбранной для любой точки тождественно равна 0, но при каждом таком событии какая-то точка выбирается -- то есть гарантированно происходит событие нулевой вероятности. Это событие в вашем понимании "почти невозможно"?

      Это вопрос терминологии, но давайте поговорим и об этом. Да, выбор каждой конкретной из этих точек "почти невозможен". Поясните, пожалуйста, в чём путаница. Подозреваю, что с Вашим опытом в науке не составит труда показать, где мы разными способами используем одни и те же слова (если дело в этом).

      > Это запросто. Но подходы вида "не понимаю как теория это объясняет" и "ваша теория тут не справляется, надо менять" существенно разные.
      Да ладно, никто же не призывает менять. Неоднократно были сделаны реверансы о красоте и стройности теории Колмагорова. Зачем приписывать собеседнику глупое высказывание, а потом опровергать его? Пусть собеседник сам наговорит глупостей! Тогда в таком диалоге хотя бы будет смысл.

      > Хуже всего, что человек искренне считает что если его мнение расходится с учебником -- то это в учебнике проблема.
      Да, иногда люди не очень ясно выражаются, поэтому их можно понять и таким образом. Но мне показалось, что в комментариях конкретно к этой заметке диалоги весьма конструктивны. В частности, люди признают свои ошибки, если на них ясно указать.

      > Для меня слова Артура [пропущено] говорят о том что человека уже врядли удастся переубедить. Практика показывает что это практически невозможно.
      Но ведь Артур неоднократно публично признавал свои ошибки (я это видел в комментариях к многим записям, не только в этой). Да, возможно, он пишет более поспешно, чем следовало бы (увы, у меня тоже есть эта проблема). Но упрекнуть его в упёртости я никак не могу.


      > Обычно такие дискуссии заканчиваются тем, что разбирающиеся в вопросе люди, махнув рукой, уходят заниматься своими делами, поскольку развеять заблуждения не удалось
      Досадно, но это факт. Квалифицированные люди тоже очень заняты, поэтому не всегда видят смысл в участии в подобных дискуссиях. Со своей стороны я здесь стараюсь создать им предельно комфортные условия, чтобы любой желающий мог им задать вопрос, чтобы лучше разобраться в том, что его искренне интересует.

      > Я выше писал почему никакое расширение не позволит вам получить желаемое решение задачи о двух конвертах. У вас есть возражения, или вы скорректировали свои взгляды? (я позволил себе добавить ссылку со слова "выше" на Ваше обоснование).

      Здесь я вижу лингвистическую проблему. В заметке используется слово "расширение", но не объяснено, какой смысл в него вложен. Вы обосновали пустоту большого класса расширений, но в заметке речь шла не о них. Другими словами, я признаю, что зря использую слово "расширение", так как это очень сбивает с толку. Большое спасибо, что обратили внимание на этот важный для понимания момент!

      О чём же шла речь? О взгляде на вероятность, как на меру достоверности логического вывода и основанной на нём теории. Тут, опять же, большие лингвистические проблемы. Возможно, лучше было называть это не "вероятностью", а как-то ещё. Но бытовой смысл слова "вероятность" очень неплохо вкладывается в оба эти понимания, поэтому кажется разумным использовать именно его.

      Удалить
    26. > Это вопрос терминологии, но давайте поговорим и об этом.

      Я как-то привык к классическому подходу. Невозможным называется событие, которое не может произойти в результате эксперимента, т.е. событие, не содержащее ни одного элементарного исхода — «пустое множество». Деление событий на возможные и невозможные никак не связаны с вероятностями. Это вычленение множества, с которым в дальнейшем работаем.

      > Да ладно, никто же не призывает менять. Неоднократно были сделаны реверансы о красоте и стройности теории Колмагорова.

      Некоторые я даже процитировал. Как я вижу не у меня одного складывается впечатление что ваш призыв "назад к истокам" именно о смене теории. Замечу что в качестве глобальной причины хорошо прослеживается одна -- хочется чтобы работало интуитивное понятие вероятности. Скажу что хочется этого всем, но увы не работает.


      > Здесь я вижу лингвистическую проблему. В заметке используется слово "расширение", но не объяснено, какой смысл в него вложен.

      Не думаю что проблема носит лингвистический характер. Во всяком случае мне понятно что вы вкладываете в понятие расширения. Вы просто используете термины в их бытовом, общеупотребительном смысле. Проблемы связаны с тем, что точность терминологии при этом падает, что заметно на принципиальных моментах. Можете и дальше говорить о расширении -- это не проблема.

      > Вы обосновали пустоту большого класса расширений, но в заметке речь шла не о них.

      Не, не. В заметке именно о них и говорилось. Был поставлен конкретный вопрос "Нас вот что интересует конкретно: чему равны вероятности р(5) и р(20)?" А я указал что ни при каком "расширении" (а не просто для большого класса), кроме постулирования распределения, ответа на этот вопрос получить невозможно.

      > О чём же шла речь? О взгляде на вероятность, как на меру достоверности логического вывода и основанной на нём теории. Тут, опять же, большие лингвистические проблемы.

      Да нету тут никаких проблем. Это в чистом виде нечеткая логика. Берете и пользуетесь на здоровье.

      Удалить
    27. >Честно говоря, ваше уточнение запутало меня еще больше. Вот, например, в отрезке случайным образом (распределение равномерно) выбирается точка. Вероятность быть выбранной для любой точки тождественно равна 0, но при каждом таком событии какая-то точка выбирается -- то есть гарантированно происходит событие нулевой вероятности. Это событие в вашем понимании "почти невозможно"?

      Именно так, Wanderer. Пусть Илья поправит меня если я ошибаюсь, но позвольте мне пояснить на вашем же примере, что именно имел в виду Илья, когда он говорил о событии почти нулевой вероятности (или подмножестве меры 0).

      Задумайте любое число из отрезка [0,1], например, π/4. Какова вероятность того, что при выборе точки на этом отрезке случайным образом (распределение равномерно), вы попадете на выбранную точку? Она равна (скажем почти равна, чтобы не дразнить гусей) нулю, дорогой Wanderer. Если вы мне не верите, можете сами проверить это на опыте. Я гарантирую вам, что вы можете потратить всю свою жизнь на проведение этого опыта, и тем не менее вам не повезет ни разу с попаданием на любую, заранее выбранную вами, иррациональную точку (впрочем любая точка сгодиться ибо любая отдельно взятая точка есть подмножество меры 0).

      Вы путаете событие случайного попадания на любую заранее выбранную точку с событием попадания на какую-то точку – вероятность первого события равна 0, а вероятность второго равна 1. Как говорят в Одессе – две большие разницы. Именно подобное событие и имел в виду Илья в уточнении своего заявления, что вероятность такого события (почти) равна нулю.

      Удалить
    28. Arthur,
      > "Именно так, Wanderer. Пусть Илья поправит меня если я ошибаюсь,"

      Вы ошибаетесь.

      > "Она равна (скажем почти равна, чтобы не дразнить гусей) нулю, дорогой Wanderer."

      Гуси тут не при чем. Во первых вероятность сторого равна 0, никаких почти равна. А во вторых вопрос к Илье был совсем другой, а именно почему он назвал событие нулевой вероятности невозможным. Вот это как раз и есть две большие разницы.

      > "Вы путаете событие случайного попадания на любую заранее выбранную точку с событием попадания на какую-то точку"

      Нет, я их не путаю. Скажем так, я слишком хорошо знаю тервер, чтобы путаться в базовых вещах. А вот у вас явно есть путаница -- поскольку вы постоянно делаете оговорку "почти равна 0". Не почти, а строго.

      Удалить
    29. Как вам нравится этот гусь! Я ему говорю на русском языке:

      >Задумайте любое число из отрезка [0,1], например, π/4. Какова вероятность того, что при выборе точки на этом отрезке случайным образом (распределение равномерно), вы попадете на выбранную точку? Она равна (скажем почти равна, чтобы не дразнить гусей) нулю, дорогой Wanderer.

      Вы путаете событие случайного попадания на любую заранее выбранную точку с событием попадания на какую-то точку – вероятность первого события равна 0, а вероятность второго равна 1.


      А он обрывает последнее предложение прямо в середине и бросает мне в лицо:

      >Нет, я их не путаю. Скажем так, я слишком хорошо знаю тервер, чтобы путаться в базовых вещах. А вот у вас явно есть путаница -- поскольку вы постоянно делаете оговорку "почти равна 0". Не почти, а строго.

      Повторяю 3 раза специально для гусей:

      вероятность первого события равна 0,
      вероятность первого события равна 0,
      вероятность первого события равна 0.

      Слышите, Wanderer?

      Поете вы действительно хорошо. Но вот это не тервер – это стрихнин какой-то.

      Удалить
    30. > "Как вам нравится этот гусь!"

      Перешли на личности -- значит разозлились. Может хоть это заставит взяться за учебник.

      Удалить
    31. >Перешли на личности -- значит разозлились.

      Великолепный индуктивный вывод, дорогой Wanderer. Если бы вы сказали это чуть-чуть по другому (Перешли на личности – вероятно разозлились), я от души порадовался бы за вас, и заодно поздравил бы Илью и вашего покорного слугу за успех наших попыток в тяжелейшем случае вашего переобучения и воскликнул бы: Слава Богу, Илье и Артуру - похоже наконец даже Wanderer озарило, как важно вернуться к изначальному восприятию вероятности как меры достоверности индуктивного логического вывода, а теорию вероятности как математическое исчисление здравого смысла.

      Потом мы могли бы заняться решением интереснейшей задачи из области той версии теории вероятности, которую мы пытаемся вернуть тем, кому она больше всего нужна – людям научного труда. Дана следующая информация: Один из авторов этой заметки потерял ангельское терпение с Wanderer как прямой результат, как он утверждает, многократных передергиваний как его высказываний, так и высказываний других. Требуется оценить вероятность того, что потеря ангельского терпения у этого ангельского человека произошла совсем по другой причине, а именно: он не любит гусей с тех самых пор, как его в детстве здорово напугал один гусь, который просто пытался оградить своих малышей от мальчика, неудачно пытавшегося завязать дружбу с пушистыми гусятами.

      Удалить
    32. > Это в чистом виде нечеткая логика.

      Это очередной бред Wanderer, который я сразу и не заметил. Илья обратил мое внимание на это заявление из разряда "слышал звон, да не знаю где он", столь типичный для знатока ексель.

      Наряду с другими вариантами многозначных логик, Edwin Jaynes мимоходом упоминает нечеткую логику (fuzzy logic) в своей книге, которую я не раз упоминал (http://www-biba.inrialpes.fr/Jaynes/cc01p.pdf , стр. 117). Если очень кратко, разницу между теорией вероятностей как расширения логики и теорией нечетких логик я сформулировал бы следующим образом:

      Нечеткая логика является именно нечеткой, а теория вероятностей как расширение двоичной логики Аристотеля из области дедуктивных выводов в область индуктивных является абсолютно четкой и, я бы даже осмелился сказать, единственно возможной по своей сути (формы могут быть разными).

      Очень важно подчеркнуть, что это расширение вовсе не означает перехода из двоичной логики в многозначную - логика остается двоичной. Например, в результате этого расширения мы не начинаем оперировать такими вещами как кошки, которые на 1/4 живые, а 3/4 мертвые. Резонно спросить: А с чем же мы оперирируем, и что нам дает это расширение? Информация, которой мы располагаем, может оказаться вполне достаточной, чтобы заключить однозначно, что кошка или жива или мертва. Другими словами, здесь мы просто делаем обычный дедуктивный вывод в рамках классической логики Аристотеля. Но может случиться так, что информация в нашем распоряжении недостаточна для категорического вывода. Тогда логика Аристотеля просто не в состоянии сделать заключения вообще, т.е. она абсолютна бесполезна в подобных случаях. Но в жизни именно так чаще всего и бывает. Очень редко мы располагаем достаточной (не путать с полной) информацией, чтобы делать дедуктивный вывод. Тем не менее нам приходится делать в жизни, и постоянно делаем, выводы и принимаем основанные на этих выводах решения. Подобного рода выводы называются индуктивными (не путать с математической индукцией - это совершенно разные понятия).

      В данном примере с кошкой, информация в нашем распоряжениии может склонить нас поверить на 90%, что наша пропавшая кошка все еще жива. Но это не значит, что
      мы думаем, что кошка 9/10-жива, 1/10-мертва. Вместо этого, упомянутое расширение логики позволяет нам работать не только с дедуктивными заключениями, но и с индуктивными по вполне конкретным и непротиворечивым законам, которых в логике Аристотеля нет, но которые просто математически и абсолютно строго выводятся в расширенной логической теории из требования логической непротиворечивости.

      Нечеткая же логика может оперировать в буквальном смысле такими понятиями как на 1/10 живая, и на 9/10 мертвая кошка, и предлагать советы как поступать в подобных случаях (см. приложение к теории управления). Это совсем не значит, что нечеткая логика это сумасбродная и бесполезная теория. В вышеприведенном примере с кошкой, нечеткая логика может например принять, что 1/10-живая и 9/10-мертвая кошка это просто старая кошка, которая настолько больна, что ей пора думать о завещании. Я конечно утрирую, но идея думаю понятна.

      Вы видете какая колоссальная разница существует между этими теориями? Одна оперирует в категориях информации, которая позволяет делать совершенно однозначное индуктивное суждение о степени нашей веры в то или иное (жива или мертва, но никак 1/2-мертва или 1/4-мертва или 1/8-жива) состояние нашей пропавшей кошки; другая же теория оперируем совсем другими понятиями и категориями.

      Требование непротиворечивости лежит как незыблеммый фундамент в самой основе построения теории вероятности как расширения логики в указанном выше смысле (Теоремы Кокса: см. "The Algebra of Probable Inference" by Richard T. Cox)

      Различных же вариантов нечетких логик - уйма, также как и сортов жвачки. Каждая из них имеет свою узкую область применения, и ни одна из них не может претендовать на универсальность и непротиворечивость в такой же степени в какой может логическая теория вероятностей.

      Удалить
    33. Анонимный11.04.2012, 9:53

      По поводу "почти невозможно" все уже давно написано - http://en.wikipedia.org/wiki/Almost_everywhere

      Удалить
  3. Анонимный21.03.2012, 15:10

    ..., где вероятности всех элементарных событий просто по определению равны между собой...

    Такое изложение теории называется НАИВНЫМ и практикуется только в качестве вводной в настоящую теорию. И к результатам Колмогорова не имеет никакого отношения.

    Окститесь уже.

    Злой анонимный Х.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Вы обкромсали наше предложение и критикует полученный в результате такой операции обрубок. Полное предложение выглядел так:

      В теории Колмогорова рассматриваются только так называемые прямые задачи, где вероятности всех элементарных событий просто по определению равны между собой (или заданы, например, как результат каких-то повторяющихся экспериментов).

      Вполне возможно, что мы НАИВНО полагаем, что в "настоящей" теории Колмогорова есть способ определения, введения или нахождения элементарных (т.е. не поддающихся или не подлежащих дальнейшему расщеплению) неравновероятных событий кроме как результат каких-то повторяющихся экспериментов.

      Буду очень благодарен, если Вы укажете на этот способ введения неравновероятных элементарных событий в классической теории вероятностей и тем самым развеете наше наивное понимание теории Колмогорова.

      Удалить
  4. Анонимный22.03.2012, 7:31

    Теория Колмогорова для этого не предназначена, "гипотез не измышляет", как сказал бы Ньютон. Неужели Вы этого чистосердечно не понимаете?

    Для тех кто не в теме, краткий курс теории вероятности.
    Камнем преткновения является ГИПОТЕЗА о распределении вероятностей по элементарным событиям. ЕСЛИ У ВАС ИМЕЕТСЯ гипотеза о распределении вероятностей по элементарным событиям, то теория дальше разрешает с этим работать. ЕСЛИ У ВАС ОТСУТСТВУЕТ гипотеза о распределении вероятностей по элементарным событиям, то досвидос - дальше работать не с чем. Т.е. прежде чем начать работать в теории вероятности, необходимо составить себе представление о ГИПОТЕЗЕ о распределении вероятностей по элементарным событиям, неважно какими средствами - например высасыванием из пальца, взятием с потолка, проведением статистических экспериментов, методами теории возможностей, комбинаторными вычислениями, привлечением на помощь интуиции и т.п., НЕ ВАЖНО КАКИМИ с точки зрения Теории вероятности, подготовкой этих исходных данных она НЕ ЗАНИМАЕТСЯ.

    Точно также как арифметике не важно, какие предметы Вы складываете - то ли груши, то ли яблоки, Теории вероятности абсолютно не важно, насколько правильно Вы составили исходную гипотезу и какой в ней прикладной смысл - это целиком на Вашей совести.

    Обратите внимание, что на данном этапе понятие вероятности никак не связано с его частотным смыслом. Это просто некая мера неких событий. Есть только одно ограничение на данную меру - суммарная площадь по всем исходам равна единице.

    А далее теория
    Во первых позволяет делать предсказания на основе Вашей любимой гипотезы, во вторых дает инструмент для проверки гипотезы (уже в частотном смысле термина вероятность).

    Я не претендую на истину в последней инстанции, но именно так нам давали теорию. Конечно на первых лекциях, для того чтобы просто у студентов составилось в голове понятие о вероятности, преподаватель вынужден был приводить в примеры только равновероятные тотализаторы - типа подбрасывания монеты. Это аналогично тому как в первом классе чтобы дать понятие о счете, учитель вынужден оперировать яблоками: "У тебя есть три яблока, одно яблоко ты мне подарила, сколько яблок у тебя осталось". Но когда дается понятие о гипотезе распределении и пошла теория по настоящему, то дается цу "забудьте все что Вам до этого говорили".

    А теперь уважаемые авторы я Вас призываю окститься и не вводить читателей в заблуждение. Во первых не ожидайте от неё того, для чего она не предназначена (она гипотез не измышляет, это Ваше дело как правильно её угадать), во вторых не приписывайте теории то, чего в ней нет (она не заставляет по умолчанию использовать равномерное распределение, другими словами не дает правил высасывания гипотез из пальца).


    Злой анонимный Х.

    ОтветитьУдалить
  5. alexsmail,

    Я читал книгу Нассима Талеба "Fooled by Randomness", и имел также удовольствие перекинуться с автором этой занимательной книги парой писем несколько лет назад. Между прочим именно от него я впервые услышал о парадоксе двух конвертов. Эпистемология действительно входит в круг главных интересов Талеба. Главную идею-предупреждение его второй книги "The Black Swan" можно выразить буквально одним предложением: События с последствиями колоссальной важности происходят как правило с такой редкой частотой, что практически невозможно адекватным образом рассчитать риск, сопряженный с подобными событиями, на основе существующих сегодня вероятностных моделей.

    Нассим Талеб — биржевой спекулянт, который сделал карьеру математика, но насколько я могу судить, у него нет особых математических способностей, не говоря уже о математических достижениях, о которых стоило бы вообще говорить. Зная его интересы, я предложил ему в одном из моих писем следующую задачу, которую он так и не сумел решить.

    Представьте себе, что вы изобрели такую успешную стратегию игры на фондовой бирже, что она позволяет в 9-ти случаях из 10 удваивать торговый капитал, а в одном оставшемся случае вы все-таки нарываетесь на того самого "черного лебедя" и теряете вес свой торговый капитал. Ясно, что с такой стратегией нельзя подставлять под риск весь свой капитал — какой-то процент капитала надо держать в наличке, чтобы всегда можно было возобновить игру каждый раз когда "черная лебедь" слизнет весь торговый капитал. Вопрос: какой расклад капитала на торговый и наличный является самым оптимальным? Другими словами, какой процент капитала разумнее всего держать в наличке? Мой ответ: 20%.

    Предлагаю всем подумать над этой задачкой и попробовать дать свое решение — она не такая уж сложная.

    Когда я поставил эту задачу перед Нассимом, я не знал, что решение аналогичной по существу задачи получило специальное название, которое звучит по-разному: Kelly criterion, или Kelly strategy или Kelly formula, а иногда Kelly bet.

    http://en.wikipedia.org/wiki/Kelly_criterion

    Вот оригинальная статья , где Kelly дал решение задачи в несколько завуалированном языке математической теории информации (серьезный журнал, Bell System Technical Journal 35: 917–926, где была напечатана эта статья, не приняла бы статью на такую "неприличную" тему как оптимальная стратегия игры на тотализаторе):

    http://www.racing.saratoga.ny.us/kelly.pdf

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Хорошая задачка. Только у меня получился несколько странный ответ, точнее тривиальный — он такой же, как если бы раунд игры был один, то есть нужно ставить весь капитал. Может быть я накосячил в выкладках. А в википедии, по-моему, предлагается неправильное решение.

      Итак, пусть x — доля капитала, которая идет на ставку. В случае выигрыша капитал умножается на A=1+x, в случае проигрыша — на B=1-x. После N раундов имеем A^K*B^M, где K и M — количество выигрышей и проигрышей, K+M=N. В вики-статье предлагается максимизировать именно эту величину в предположении, что K/N=p, где p — вероятность выигрыша. То есть они вначале заменяют K/N пределом, а потом вычисляют максимум в этом «среднем» случае.

      Такой подход, мягко говоря, необоснован. На самом деле следует вычислить матожидание выигрыша и максимизировать его. Вероятность того, что будет ровно K выигрышей равна (блин, тег IMG не пущают, хотел формулы вставить в виде картинок сервиса http://www.codecogs.com/eq.latex , так что, уважаемые читатели, парсите сырой ТеХ глазами) C_N^Kp^K(1-q)^M, тогда матожидание выигрыша S = \sum_{K=0}^N C_N^Kp^K(1-q)^MA^KB^M = (Ap+B(1-p))^N — по формуле бинома Ньютона.

      Как видим, «чисто случайно» она просто выразилась через матожидание выигрыша в одном раунде. Поэтому максимум будет достигаться там же — при x=1 (это в случае p>1/2, а иначе x=0).

      Удалить
    2. Анонимный23.03.2012, 18:00

      Артур, простая я бы сказал задачка из теории игр, что в ней особенного? Или тут где-то подвох? Навскидку не видно.

      Уважаемый janatem, наверно следует минимизировать проигрыш, а не максимизировать выигрыш.

      Уважаемый janatem, Вы бы причесали свои термины, а то разницы не видно и главное непонятно между чем и чем.

      Злой анонимный Х.

      Удалить
    3. Arthur Baraov, в Чёрном лебеде есть и другие идеи, но то, что вы написали верно. Талеб пошёл дальше и развивает идею Anti-fragility, но не будем уходить в сторону.
      Боюсь, что я знаю, почему Талеб вам не ответил. Знаете какую стратегию игры на фондовом рынке рекомендует лично он? Держать 80% в максимально безопасные ценные бумаги, а оставшие 20% ставить на Чёрного Лебедя.

      Удалить
    4. janatem,

      Представьте себе на секунду, что в реальной жизни вы делаете ставки и принимаете риск, которые диктуются максимизацией математического ожидания, т.е. что вес свой капитал, до единой копейки, вы подвергаете риску полной потери в одночасье. И делаете это снова и снова как реальный биржевой игрок, скажем, хотя бы несколько сот раз подряд. Как только вы вообразите себя в подобной ситуации, ваше природное чувство самосохранения мгновенно подскажет почему нельзя вести себя как наивный математик на фондовой бирже. Вы сразу поймете почему надо максимизировать именно [(1+х)^(9n)][(1-х)^n], а не мат ожидание. Максимизация мат ожидания - есть стратегия с абсолютно неприемлемым, для мало-мальски разумного человека, высоким риском потери всего состояния. Неужели неясно, что со своей "оптимальной" стратегией максимизации мат ожидания вы, почти со стопроцентной гарантией, обчистите самого себя.

      Вашу стратегию я бы назвал так: много хочешь - мало получишь. Если у вас есть жена, не зараженная профессиональной болезнью математиков - узколобием - пожалуйста посоветуйтесь с ней прежде чем доверитесь своей стратегии.

      Злой Анонимный Х,

      Эта задача не является предметом теории игр по той простой причине, что теория игр имеет дело с проблемами, где есть по меньшей мере два агента-противника. В этой задаче нет сознательно противодействующего нам агента. Есть просто бездумная и равнодушная к нам природа, у которой мы пытаемся взять как можно больше с возможно меньшим риском, т.е. эта типичная задача из теории принятия оптимального решения.

      Хотя тотализатор можно формально назвать игрой, она не является таковой в смысле математической теории игр, где противники выставляют свои стратегии друг против друга и пытаются сознательно переиграть один другого.

      Удалить
    5. Артур, я вовсе не утверждал, что из прагматических соображений нужно максимизировать матожидание. В поставленной задаче вообще ничего не сказано о цели, поэтому ее можно считать математически некорректной. Я лишь дополнил задачу своим, быть может несколько искусственным условием.

      Однако мне категорически не нравится идея максимизировать выигрыш в наиболее частом случае — нельзя не учитывать, что хвосты распределения достаточно тяжелые (точнее, сами хвосты экспоненциально легкие, но есть много мяса между серединкой, которую оптимизируют, и собственно хвостами). По крайней мере я не увидел попытки обоснования такого выбора цели.

      Удалить
    6. > В поставленной задаче вообще ничего не сказано о цели, поэтому ее можно считать математически некорректной. Я лишь дополнил задачу своим, быть может несколько искусственным условием.

      Цель как раз была предельно жизненной, и поставлена она предельно ясно:

      > Какой расклад капитала на торговый и наличный является самым оптимальным? Другими словами, какой процент капитала разумнее всего держать в наличке?

      Другое дело, что математик, в отличие от биржевого спекулянта, объязательно потребует уточнить, что имеется в виду под оптимальностью, т.е. что именно является критерием оптимальности. Но ведь в этом и заключается цель этой задачи — предложить подобный критерий и обосновать, что именно он является самым разумным. Но математик так легко не отделается от вас — он потребует уточнить: а что значит разумный?

      Однако я согласен, что в формулировке задачи явно не оговаривается сколько раз мы собираемся делать ставки. Но из контекста задачи должно быть ясно, что для биржевого спекулянта речь идет о сотнях раз, т.е. n практически не ограничен. Этот параметр n действительно является очень важным. Если, например, вы не биржевой спекулянт, а любитель и, ради забавы, просто хотите сыграть лишь пару раз, тогда стратегия, основанная на оптимизации мат ожидания, действительно не будет выглядеть такой уж неразумной.

      Но даже в этом случае смотрите, что получается. Допустим все ваше состояние составляет $1000. Тогда с вашей стратегией вы закончите игру с выигрышем $4000 с вероятностью 0.81, или останетесь без гроша с вероятностью 0.19. Со стратегией же Келли, расклад будет такой:

      $3240 с вероятностью 0.81;
      $360 с вероятностью 0.18;
      $40 с вероятностью 0.01.

      Согласитесь, что, даже в этом очень благоприятном для вашей стратегии случае, стратегия Келли дает результат не хуже. А при практически бесконечном росте n, что и предпологается неявно в задаче, хвост, о котором вы говорите, просто-напросто исчезает, и вся кривая распределения вероятности суммарного выигрыша стягивается к дельта-функции с основанием в точке 1000*[(1+х)^(9n)][(1-х)^n], где вероятность р=1.

      Вот почему надо максимизировать именно [(1+х)^(9n)][(1-х)^n], а не мат ожидание.

      Удалить
    7. > А при практически бесконечном росте n, что и предпологается неявно в задаче, хвост, о котором вы говорите, просто-напросто исчезает, и вся кривая распределения вероятности суммарного выигрыша стягивается к дельта-функции

      Это неверно. Согласно ЦПТ дисперсия суммы растет как корень из N. То есть, распределение суммы будет действительно стремиться к нормальному, но но ничего похожего на дельта-функцию не будет.

      Я предлагаю еще один вариант того, что следует оптимизировать. Можно отбросить настоящие хвосты, а именно — суммировать только то, что попадает, скажем, в 3 сигма. То есть получится такое компромиссное решение между всей суммой и средней одной точкой. Пока не проверял, но не исключаю, что здесь ответ совпадет с результатом Келли. Если так, то это будет для меня более твердым обоснование стратегии Келли.

      Удалить
    8. > Согласно ЦПТ дисперсия суммы растет как корень из N. То есть, распределение суммы будет действительно стремиться к нормальному, но ничего похожего на дельта-функцию не будет.

      Все с точностью до наоборот. Мы говорим о распределении вероятности суммы денег в нашем распоряжении после того, как мы сыграем N раз. При любом N это будет дискретное распределение, которое действительно будет напоминать непрерывное нормальное Гауссовское распределение. Но как будет меняться форма этой дискретной кривой? Посмотрите на набор разноцветных кривых на этой страничке: http://ru.wikipedia.org/wiki/%CD%EE%F0%EC%E0%EB%FC%ED%EE%E5_%F0%E0%F1%EF%F0%E5%E4%E5%EB%E5%ED%E8%E5

      Если дисперсия, т.е. σ^2 в формуле распределения Гаусса, растет как корень из N, как вы утверждаете, тогда при увеличении N наша кривая будет все больше и больше распластанной (синяя кривая), т.е. вероятности выигрыша очень маленькой суммы и очень большой суммы будут иметь тенденцию выравниваться.

      А на самом деле все будет с точностью до наоборот: при неограниченном росте N, вероятность закончить игру с суммой Q[(1+х)^(0.9N][(1-х)^(0.1N], где Q - наше состояние до начала игры, будет стремиться к единичке, а вероятность закончить игру с любой другой суммой будет стремиться к нулю. Другими словами, кривая распределения будет все больше и больше сужаться и вытягиваться вверх (красная кривая), т.е. дисперсия σ^2 будет стремиться к нулю, а не к бесконечности. А это и есть дельта-функция.

      Дорогой janatem, вы просто очень сильно путаете очень разные понятия.

      Удалить
    9. Arthur,
      > "А на самом деле все будет с точностью до наоборот: при неограниченном росте N, вероятность закончить игру с суммой Q[(1+х)^(0.9N][(1-х)^(0.1N], где Q - наше состояние до начала игры, будет стремиться к единичке, а вероятность закончить игру с любой другой суммой будет стремиться к нулю."

      Ого! Когда я учился, у нас за такое на экзамене вас бы на пересдачу отправили сразу и без разговоров. janatem вам правильно пишет -- дисперсия будет увеличиваться, ЦПТ не зря доказывали. Если Excel не врет, то при N=1000000 вероятность такого исхода 0,001329806.

      Рекомендую освежить в памяти распределение Бернулли, и его асимптотику -- хотя бы распределение Пуассона.

      Удалить
    10. janatemMar,
      > "Я предлагаю еще один вариант того, что следует оптимизировать. Можно отбросить настоящие хвосты, а именно — суммировать только то, что попадает, скажем, в 3 сигма."

      А зачем отбрасывать оба хвоста? В одном ведь сплошные удачи. Я бы заложил некоторый, устраивающий меня, расклад на неудачу. Скажем в 7% неблагоприятных исходов средние потери пусть будут, ну например 95%. Тогда суммируем хвост у распределения Бернулли, пока не наберем 7%. И считаем среднее значение потери для этих случаев - приравниваем к нужному уровню 95% и находим ставку. Получаем контроль средних потерь при неблагоприятных раскладах. Вроде разумно.

      Удалить
    11. Wanderer прав - я сделал неряшливое заявление. Вероятность закончить игру с суммой, в точности равной Q[(1+х)^(0.9N][(1-х)^(0.1N], конечно же не будет стремиться к 1 при неограниченном росте N. Действительно, нелепо ведь утверждать, что вероятность того, что количество удач будет в точности равно 0.9N, будет стремиться к 1 при неограниченном росте N.

      Надо говорить о вероятности распределения не абсолютной, а относительной суммы денег:

      f(k,m,N;x)=[(1+х)^(kN][(1-х)^(mN]/[(1+х)^(0.9N][(1-х)^(0.1N],

      где k – доля удачных ставок, m – доля неудачных ставок.

      Распределение вероятности для этой относительной величины я и имел в виду в мозжечке когда говорил, что оно стягивается к дельта-функции при N→ ∞, но сославшись вместо него на распределение абсолютной суммы денег после N ставок, я выпалил нелепое утверждение.

      Вероятность того, что f(k,m,N;x) лежит в любой фиксированной, но произвольно малой ε–окрестности вокруг единички стремится к 1 при N → ∞ для любого х. На языке математических символов это утверждение выглядит так:

      ∀x: p[f(k,m,N;x) – 1 ≤ ε] → 1 при N → ∞.

      Следовательно, искомое оптимальное значение х достигается максимизацией знаменателя в правой части вышеприведенного выражения для f(k,m,N;x).

      Максмимизация [(1+х)^(0.9N][(1-х)^(0.1N] дает значение х=0.2 вне зависимости от величины N, т.е. оптимальная стратегия предписывает держать 20% общего капитала в наличке, и делать ставку на оставшиеся 80%.

      Именно это я и утверждал с самого начала, и продолжаю настаивать на этом.

      Удалить
    12. Великодушно извините, произошла опечатка при записи словесного утверждения в математической форме - забыл взять отклонение от единички по модулю:

      ∀x: p[|f(k,m,N;x) – 1| ≤ ε] → 1 при N → ∞.

      Удалить
    13. Arthur,

      > "Надо говорить о вероятности распределения не абсолютной, а относительной суммы денег:
      f(k,m,N;x)=[(1+х)^(kN][(1-х)^(mN]/[(1+х)^(0.9N][(1-х)^(0.1N],"

      Все равно не понимаю что вы имеете в виду. Почему от того что мы значения выигрыша поделим на константу вдруг поменяется распределение? Да хоть в другую валюту переведем. Как было распределение Бернулли, так и осталось. Все прямо определяется числом успешных ставок. Так что эта величина тоже не будет стягиваться к дельта функции.


      > "Следовательно, искомое оптимальное значение х достигается максимизацией знаменателя в правой части вышеприведенного выражения для f(k,m,N;x)."

      Если у нас 100 ставок, то вероятность что будет 90 успехов равна 0,131865347, а 91 успех будет с вероятностью 0,130416277. Разница в третьем знаке! А выигрыш во втором случае, при вкладе как вы предлагаете 80% средств, будет больше в 9 раз. Не знаю как вы, а я на таких картах не пасую ;-)

      Удалить
    14. Wanderer,

      Обратите внимание, что мы не только перешли от абсолютной величины конечного капитала к относительной его величине, но, что гораздо важнее, мы больше не говорим о вероятности получить какую-то конкретную величину (пусть даже относительную), а вместо этого говорим о вероятности, что это относительная величина будет лежать в сколько угодно малой ε-окрестности 1:

      ∀x и ∀ε : p[|f(k,m,N;x) – 1| ≤ ε] → 1 при N → ∞.

      Мне не совсем понятно, что вы хотели сказать в последнем предложении. Если вы хотите играть вкладывая 100% каждый раз, как предписывает стратегия, основанная на максимизации мат ожидания, тогда, чтобы избежать полное банкротство, вам должно повести с каждой ставкой без единого исключения. А вероятность такого непрерывного везения гораздо меньше, чем 0,131865347. Действительно, вероятность, что вам повезет 90 раз подряд (а иначе – вы банкрот), равна 0,9^90=0,000076.

      А если вы признаете, что такую стратегию трудно назвать разумной, тогда дайте конкретный и недвусмысленный ответ на вопрос поставленный в задаче: какой процент средств вы считаете наиболее разумным подставлять под риск при больших значениях N?

      Удалить
    15. Arthur,

      > "мы больше не говорим о вероятности получить какую-то конкретную величину (пусть даже относительную), а вместо этого говорим о вероятности, что это относительная величина будет лежать в сколько угодно малой окрестности 1:"

      И что? Распределение то у вас от этого не меняется. Нет там никаких дельта функций.

      Далее. Во первых ваша относительная сумма выbгрыша f(k,m,N;x) от N не зависит вообще! Так что, если вы думаете что переход к пределу что-то дает -- увы это не так. Во вторых соседние с 1 значения f(k,m,N;x) будут одно в несколько раз больше (а точнее в (1+x)/(1-x) раз), а другое во столько же раз меньше. Это соотношение никак не меняется от N, так что говорить о е-окрестности не приходится.


      > "Мне не совсем понятно, что вы хотели сказать в последнем предложении."

      Я говорил что если делать 100 ставок (N=100, а не вклад 100%), то вероятности 90 и 91 успеха из 100 отличаются незначительно - на доли процента, а при вкладе 80% средств, как вы предлагаете, выигрыш отличается почти на порядок. Так что ваша зацикленность на случае когда ровно 0.9N выигрышей не имеет связи с реальностью.


      > "тогда дайте конкретный и недвусмысленный ответ на вопрос поставленный в задаче: какой процент средств вы считаете наиболее разумным подставлять под риск при больших значениях N?"

      Вы опять, не сформулировав до конца условие, хотите получить четкий и однозначный ответ. Его нет, нужно сначала до конца определить задачу. Подход, который кажется мне разумным, я уже выше описывал. Примем для 100 ставок такой уровень риска, что в случае неудачного развития событий, вероятность которых положим в 7%, средние потери будут 94% от первоначального капитала. В результате получим что вкладывать нужно 97% средств. А 3% средств оставлять. Разумеется при изменении N, или уровня риска, долю нужно пересчитать.

      Удалить
    16. >Во первых ваша относительная сумма выbгрыша f(k,m,N;x) от N не зависит вообще! Так что, если вы думаете что переход к пределу что-то дает -- увы это не так.

      Дорогой Wanderer, немножко перефразируя вас, я мог бы сказать: Ого! Когда я учился, у нас за такое на экзамене вас бы на пересдачу отправили сразу и без разговоров. Рекомендую освежить в памяти школьную алгебру.

      Действительно, давайте упростим дискретную функцию f(k,m,N;x), (здесь полезно уточнить, что х – это непрерывный параметр в пределах от 0 до 1, который подлежит оптимизации, а k,m,N - дискретные переменные) и попытаемся убедить Wanderer, что она все-таки зависит от N. Напомню, что согласно определению

      f(k,m,N;x)=[(1+х)^(kN][(1-х)^(mN]/[(1+х)^(0.9N][(1-х)^(0.1N],

      где k – доля удачных ставок, m – доля неудачных ставок.

      Ясно, что (опять таки согласно определению) возможные значения k и m образуют дискретный набор значений 0т 0 до 1 с интервалом 1/N, причем k+m=1. Следовательно, после элементарной алгебры, функцию f(k,m,N;x) можно легко представить в такой, более удобноваримой, форме:

      f(k,m,N;x)=F(k,N;x)=[(1+х)/(1-x)]^[(k-0.9)N].

      Теперь должно быть ясно, что [(1+х)/(1-x)]^[(k-0.9)N] конечно же зависит от N, причем очень сильно, за единственным возможным исключением когда k случайно окажется равным 0.9 (элементарные случаи, когда параметер х равен 0 или 1, я опускаю). Прошу обратить внимание, что дискретная переменная величина k может принимать только ограниченный набор значений, среди которых 0.9 может вообще не оказаться: 0, 1/N, 2/N, .... , (N -1)/N, 1.

      Конечно любой может допустить промашку в алгебраических манипуляциях. Дело не в этом. Гораздо симптоматичнее то, что Wanderer не засомневался сразу в ошибочности своих расчетов, и принял за чистую монету такой явно противоречащий элементарному здравому смыслу вывод, что относительная сумма выbгрыша f(k,m,N;x) от N не зависит вообще!

      Вот почему, дорогой Wanderer, мы не устаем говорить о важности понятия вероятности как меры достоверности индуктивного логического вывода, и о теории вероятности как о математическом исчислении здравого смысла. Если бы вы наконец смогли понять о чем мы здесь копья ломаем, у вас появилась бы очень полезная привычка сверять результаты математических расчетов со здравым смыслом, особенно когда реального смысла этих расчетов вы не понимаете.

      Удалить
    17. Arthur,

      > "Дорогой Wanderer, немножко перефразируя вас, я мог бы сказать: Ого! Когда я учился, у нас за такое на экзамене вас бы на пересдачу отправили сразу и без разговоров. Рекомендую освежить в памяти школьную алгебру."

      Тяжелый случай. Ну давайте, посмотрим что нам скажет школьная алгебра.

      > "Теперь должно быть ясно, что [(1+х)/(1-x)]^[(k-0.9)N] конечно же зависит от N, причем очень сильно,"

      Наоброт, становится очевидно, что не зависит. Показатель степени в точности равен разнице числа удачных ставок в некотором случае и в наиболее вероятном случае, на который вы зачем-то упорно нормируете. Например когда удачных ставок на одну больше - относительный выигрыш больше в (1+х)/(1-x) раз (сюрприз - найдите N). На 2 удачи больше - в [(1+х)/(1-x)]^2 раз больше (где наше N?). Меньше на одну удачную ставку -- в (1+х)/(1-x) раз меньше (и тут N нету). И так далее. От N зависит только количество(!) таких дробей, а не их значения(!) -- последнее зависит только от x! Итого все относительные суммы образуют геометрическую прогрессию со знаменателем (1+х)/(1-x), из которой вы просто берете N членов. Как я и сказал -- значения относительных сумм образуют фиксированный набор значений, не зависящий от N!

      Так что вся ваша идея с пределами идет на помойку.

      > "Прошу обратить внимание, что дискретная переменная величина k может принимать только ограниченный набор значений, среди которых 0.9 может вообще не оказаться:"

      Вообще-то не может. Все показатели степени должны быть целыми числами, им соответсвует число удач и неудач, и если вы пишите 0.9N -- это значит что вы предполагаете что N кратно 10. Я не заострял на этом внимание, это не принципиально. Но если вы так пишите, значит и этого вы не понимаете.

      > "Конечно любой может допустить промашку в алгебраических манипуляциях."

      Любой может ошибиться. Только вот я не мог допустить ошибку в алгебраических действиях, по очень простой причине -- я вообще не делал алгебраические выкладки. Тут и так для меня все очевидно.

      > "Дело не в этом. Гораздо симптоматичнее то, что Wanderer не засомневался сразу в ошибочности своих расчетов, и принял за чистую монету такой явно противоречащий элементарному здравому смыслу вывод"

      Я не использую в математике элементарный здравый смысл. У меня для этого математическое чутье есть. А в данном случае я просто хорошо знаю как выглядит распределение Бернулли.

      > "Вот почему, дорогой Wanderer, мы не устаем говорить о важности понятия вероятности как меры достоверности индуктивного логического вывода, и о теории вероятности как о математическом исчислении здравого смысла."

      Да вы просто с вероятностями сначала разберитесь. Возьмите наконец Excel, постройте всю картину для какого-то N, посмотрите, подумайте. Постройте для другого N. Удивитесь что картина не соответствует вашим представлениям, и возьмите наконец учебник.


      > "Если бы вы наконец смогли понять о чем мы здесь копья ломаем,"

      Я и так прекрасно понимаю о чем вы говорите. Более того, я прекрасно вижу где ваши слова расходятся с математикой.

      > "у вас появилась бы очень полезная привычка сверять результаты математических расчетов со здравым смыслом, особенно когда реального смысла этих расчетов вы не понимаете."

      Спасибо, посмеялся.

      Да, и напоследок. Вам мой подход к решению задачи то понятен?

      Удалить
    18. >Вам мой подход к решению задачи то понятен?

      Насколько я понял, вы полагаете, что я поставил задачу некорректно, а вы пытаетесь исправить мою оплошность.

      Увы, уважаемый Wanderer, кроме страшной путаницы базовых, как вы изволили выразиться, понятий я пока ничего не вижу от вас. На этот раз вы умудрились перепутать такие совершенно разные понятия как функция, с одной стороны, и соответствующее этой функции множество значений, с другой. Это на нормальном человеческом языке. Но похоже, что есть настоятельная необходимость растолковать все это гораздо подробнее на птичьем, так сказать, языке.

      F(k,N;x) - это функция двух переменных: F(k,N;x)=[(1+х)/(1-x)]^[(k-0.9)N], где N - независимая переменная в пространстве дискретных величин {1,2,3,…} (пожалуйста обратите особое внимание, что N может принимать любое целое значение, а не только кратные 10, как вы вообразили); k - вторая переменная в пространстве дискретных величин {0, 1/N, 2/N, .... , (N -1)/N, 1}; a х – это просто параметр, который подлежит оптимизации. Здесь полезно подчеркнуть, что вторая переменная k не есть функция первой переменной N. Однако следует четко понимать, что значение N однозначно определяет множество значений, которое пробегает переменная k, т.е. эту переменную нельзя считать вполне независимой. В чем разница? Если бы k была функцией N, то конкретному значению N соответствовало бы конкретное значение k, т.е. это означало бы, что само количество ставок N уже однозначно предопределяет какая доля из этих ставок будет удачным, что есть конечно абсолютная чушь.

      А тот ряд, о котором вы говорите есть ничто иное, как подмножество множества значений функции F(k,N;x) для конкретного значения N.

      Удалить
    19. Arthur,
      > "Насколько я понял, вы полагаете, что я поставил задачу некорректно, а вы пытаетесь исправить мою оплошность."

      То, как вы поставили задачу не имеет особого смысла. При большом N вкладывать нужно почти все, оставляя немного на дальнейшую игру, в случае неудачи. Об этом вам уже писал janatem, если вероятность выигрыша больше 0.5, то доля ставки, при стремлении N к бесконечности, приближается к 1. В вашем случае нетрудно показать что уже при небольших N (сотни ставок) с очень большой вероятностью ваш выигрыш превысит все ресурсы Земли, а скорее всего и пару ближайших галактик тоже придется отдать вам в качестве выигрыша. Так что практически случай больших N интереса не вызывает.

      > "F(k,N;x) - это функция двух переменных: F(k,N;x)=[(1+х)/(1-x)]^[(k-0.9)N],"

      А если немного подумать, или применить школьную алгебру (раз уж вы полагаете что знаете ее), то окажется что ваша функция совпадает с F(x,l) = [(1+х)/(1-x)]^l, где l принимает целочисленные значения от -0.9N до 0.1N. Тут я специально оговорюсь что N кратно 10, иначе нужно взять близкое к 0.9N целое число. l при этом означает разницу числа удачных ставок в некотором случае и в наиболее вероятном случае, последний будет при l=0. Возможно это поможет вам понять почему значения вокруг 1 не меняются вообще, а увеличение N приводит только к расширению ряда. Соответственно окрестность 1 никак не зависит от N -- то есть все идеи о предельном переходе на помойку.

      > "пожалуйста обратите особое внимание, что N может принимать любое целое значение, а не только кратные 10, как вы вообразили"

      N конечно может быть любым, но это вы(!) пишите 0.9N, что имеет смысл наиболее вероятного числа удач, и обязано быть целым.

      > "k - вторая переменная в пространстве дискретных величин {0, 1/N, 2/N, .... , (N -1)/N, 1}"

      Проблема в том, что у вас тогда N и k несогласованны. И если N не кратно 10, то ваша функция F(k,N;x)=[(1+х)/(1-x)]^[(k-0.9)N] ни при каком k не равна 1. Куда в таком случае отправляется предел я уже выше написал.

      Возьмем N=5 тогда 0.9N будет 4.5. Вернувшись к вашей f(k,m,N;x)=[(1+х)^(kN][(1-х)^(mN]/[(1+х)^(0.9N][(1-х)^(0.1N)] попробуем понять что тогда означает знаменатель? Выигрыш в случае если нам повезло 4.5 раза из 5. Вы уверены что это правильный подход?

      > "Однако следует четко понимать, что значение N однозначно определяет множество значений, которое пробегает переменная k, т.е. эту переменную нельзя считать вполне независимой. В чем разница?"

      Разница в том, что я в таком случае N не выношу в функцию. Ей самое место в границах для k. И как только мы поставим туда N, она (сюрприз!) исчезает из функции.

      Удалить
    20. >При большом N вкладывать нужно почти все, оставляя немного на дальнейшую игру, в случае неудачи. Об этом вам уже писал janatem.

      Вы продолжаете демонстрировать поразительное отсутствие здравого смысла, слепую веру в математические формулы, смысла которых вы плохо понимаете, и полное непонимание сути этой задачи. Попробую объяснить на пальцах, без всякой математики, почему такая стратегия является безумной.

      Приблизительно с частотой 1 ставка из 10, вы будете нарываться на неудачу. После каждой неудачи вам повезет около 9 раз подряд. Теперь будьте очень внимательны. При вашей стратегии после каждой неудачи у вас останется почти нуль денег, скажем ε. Начиная игру заново с мизерной суммой денег, сколько денег вы сможете отыграть обратно после каждой такой катастрофы? Ответ: приблизительно ε*2^9, т.е. почти нуль. Если вы даже начали свою карьеру биржевого спекулянта как миллиардер, очень скоро вы закончите тем, что будете осциллировать между ε и 512*ε, т.е. между почти нулем и другим почти нулем. Капиш?

      >В вашем случае нетрудно показать что уже при небольших N (сотни ставок) с очень большой вероятностью ваш выигрыш превысит все ресурсы Земли, а скорее всего и пару ближайших галактик тоже придется отдать вам в качестве выигрыша. Так что практически случай больших N интереса не вызывает.

      Дорогой мой, речь идет о выработке оптимальной стратегии именно при больших N. Соотношение k=0.9 я взял для примеру, чтобы здравому смыслу было легче понять смысл результата Келли. Возьмите наиболее реальный случай, скажем k=0.6 – суть стратегии Келли от этого не изменится.

      > И если N не кратно 10, то ваша функция F(k,N;x)=[(1+х)/(1-x)]^[(k-0.9)N] ни при каком k не равна 1. Куда в таком случае отправляется предел я уже выше написал.

      Повторяю - который уже раз? - речь идет не о пределе самой функции f (k,m,N;x) – ежу понятно, что такого предела просто нет. Речь идет о пределе

      ∀x и ∀ε : p[|f(k,m,N;x) – 1| ≤ ε] → 1 при N → ∞.

      Неужели вы не видите разницу?

      Полезность диалога с Wanderer по-видимому полностью исчерпала себя. Мне остается лишь поблагодарить его за указанную имранее (когда он все еще звучал здраво) несостоятельность одного моего крайне небрежнего высказывания.

      Удалить
    21. Этот комментарий был удален автором.

      Удалить
    22. Arthur,
      > "Вы продолжаете демонстрировать поразительное отсутствие здравого смысла, слепую веру в математические формулы, смысла которых вы плохо понимаете, и полное непонимание сути этой задачи. Попробую объяснить на пальцах, без всякой математики, почему такая стратегия является безумной."

      Здравый смысл говорите? Ну давайте посмотрим.

      > "Приблизительно с частотой 1 ставка из 10, вы будете нарываться на неудачу. После каждой неудачи вам повезет около 9 раз подряд."

      Начнем с того, что это принципиально неверно -- при большом N вероятны сколь угодно длинные серии удач и неудач, но пусть так как вы предлагаете. (Оговорка сделана специально для знающих тервер, чтобы потом мне это не приписали).

      > "При вашей стратегии после каждой неудачи у вас останется почти нуль денег, скажем ?. Начиная игру заново с мизерной суммой денег, сколько денег вы сможете отыграть обратно после каждой такой катастрофы?"

      Давайте посчитаем. Это ведь просто. Не будем привлекать алгебру, раз с ней такие сложности, обойдемся арифметикой.

      Предположим что все так и будет. Неудача, потом 9 раз повезет, потом снова неудача, снова 9 раз повезло и так по кругу, такими циклами. И, если хотите, возьмем как у меня написано -- вкладывать каждый раз 97% капитала. На старте 1$. Неудача - и у меня уже 0,03$. Потом удача - и мой капитал увеличивается в 1.97 раза (3% оставил, а вклад в 97% удвоился). И у меня уже 0,0591$. Следом удача -- 0,116427$. После 6-го выигрыша у меня 1,753551849$ -- и я уже отыграл свой бакс назад. А у меня впереди еще 3 удачных ставки. В конце цикла у меня уже 13,40655796$.

      Дальше увы - проиграл и остался с 0,402196739$. Но я не отчаиваюсь -- мне снова везет 9 раз и у меня 179,7357964$. Следующая неудача откатывает меня на 5,392073892$. Но я полон оптимизма, ведь каждый цикл увеличивает мой капитал примерно в 13 раз. При бесконечном N я сгребаю все деньги мира.

      > "Ответ: приблизительно e*2^9, т.е. почти нуль. Если вы даже начали свою карьеру биржевого спекулянта как миллиардер, очень скоро вы закончите тем, что будете осциллировать между e и 512*e, т.е. между почти нулем и другим почти нулем. Капиш?"

      Ну а теперь, как говорят у знатоков -- "Внимание, правильный ответ" Если я стартую с 1$ то 10 миллиардов я прибираю к рукам за 9 циклов, или за 90 ставок. сюрприз!


      > "Дорогой мой, речь идет о выработке оптимальной стратегии именно при больших N. Соотношение k=0.9 я взял для примеру, чтобы здравому смыслу было легче понять смысл результата Келли."

      И как? Вам помогло?

      > "Возьмите наиболее реальный случай, скажем k=0.6 – суть стратегии Келли от этого не изменится."

      Реальный????? При таких условиях при вкладе 22% капитала, от 1$ до миллиарда чуть больше 1000 ставок! Где эта игра, я даже 2-х баксов не пожалею!


      > "Повторяю - который уже раз? - речь идет не о пределе самой функции f (k,m,N;x) – ежу понятно, что такого предела просто нет."

      Рекомендую оставить пределы пока в стороне -- раз вы не видите, что выигрыш экспоненциально растет, о том как ведет себя функция говорить еще рано.

      > "Полезность диалога с Wanderer по-видимому полностью исчерпала себя. Мне остается лишь поблагодарить его за указанную имранее (когда он все еще звучал здраво) несостоятельность одного моего крайне небрежнего высказывания."

      А вас не наводит ни на какие мысли, что человек, явно не новичок в тервере, все время указывает на одно обстоятельство. Может стоит взять ексель, и посмотреть как выглядит картина для некоторых N?

      Удалить
    23. > И, если хотите, возьмем как у меня написано -- вкладывать каждый раз 97% капитала. На старте 1$. (.... опускаю длинную арифметику здесь...). При бесконечном N я сгребаю все деньги мира.

      Дорогой знаток екселя, я готов признать, что кому-то действительно удалось научить вас делать арифметику на компьютере. Но вся ваша гениальная и пространная арифметика уже сидит в крошечном выражении, которое я привел выше, а именно: после очередной неудачи вы отыграете в последующем за этой неудачей раунде серии удач приблизительно 512*ε. Вам достаточно было подставить в это простое выражение ε=0.03, а не читать лекцию о пользе пользования екселем. Затем вы смотрите, что происходит когда цикл "неудача-серия удач" повторяется. Но вы и здесь умудрились напартачить. Вы забыли перейти к пределу: ε не стремится к 0.03 при увеличении N; ε=0 при бесконечном N в стратегии максимизации мат ожидания. Учет этой маленькой, но шустрой детали приведет к тому, что вместо того, чтобы сгрести все деньги мира, как вы изящно выразились, вы окажетесь в неприемлемом для приличного общества костюме, т.е., извините за выражение, без штанов.

      Разумеется никто не может заставить вас придерживаться стратегии максимизации мат ожидания; вы можете вкладывать каждый раз 97% капитала при больших N. Но почему 97%? Почему 97% является оптимальным при больших N? Почему не 99%, почему не 99.9%, почему не 99.99%? Ведь даже при 99.999999% ваш окончательный теоретический выигрыш будет сколь угодно большим при достаточно большом N.

      Я вам объясняю почему. Потому что темпы роста вашего состояния при вкладе 99.99% будут ниже, чем при 99.9%; темпы роста при 99.9% будут ниже, чем при 99%; темпы роста при 99% будут ниже, чем при 97%; темпы роста при 97% будут ниже, чем при 90% и т.д. вплоть до 80%. При вкладе 80% капитала вы достигаете пика, т.е. именно такой процент вклада является наилучшим. А при вкладе меньше, чем 80% вы уже окажетесь на другом склоне от пика. Вот что вы никак не можете уразуметь. Вместо этого вы продолжаете далдонить, что из вашего екселя вы сможете при желании выжать абсурдно большие числа даже при k=0.6.

      Похоже, что научить вас думать самостоятельно будет гораздо труднее, чем научить вас пользоваться екселем и читать учебники. Так что особенно не напрягайте свои мозги. Просто проверьте все, что я изложил выше, на вашем екселе. О большем уж я вас и не прошу.

      Но это всего лишь пол беды. Гораздо печальнее, что вы пижон и недобросовестный человек. Чтобы предотвратить очередное передергивание смысла моих слов, я подчеркиваю: говоря о вашем пижонстве, я не обвиняю вас в π-женстве, т.е. в многоженстве. У меня нет намерения также оскорбить вас. Как говорил Остап Бендер:

      - Так вот, Балаганов, вы пижон. Не обижайтесь. Этим я просто хочу точно указать то место, которое вы занимаете под солнцем.

      Напротив, я пытаюсь вразумить вас и спасти от финансового краха. Заодно я пытаюсь познакомить вас со здоровой общественно полезной доктриной, что передергивать чужие мысли и изворачиваться с целью скрыть свое невежество грешно. Тем самым я пытаюсь спасти вас от другого, более серьезного, банкротства - морального. Так что вы должны быть благодарны мне, а не обижаться на мои слова.

      Как сказал бы Злой Анонимный Х, окститесь уже :-)

      Удалить
    24. Arthur,
      > "Затем вы смотрите, что происходит когда цикл "неудача-серия удач" повторяется. Но вы и здесь умудрились напартачить. Вы забыли перейти к пределу: ? не стремится к 0.03 при увеличении N; ?=0 при бесконечном N в стратегии максимизации мат ожидания."

      А я и не собирался переходить к пределу. Я ведь еще специально спросил, понятен ли вам подход, который я излагал выше. Я вообще полагаю что стратегия должна учитывать N, а в той формулировке, в которой вы изложили задачу, она внятного решения не имеет. Поэтому меня и удивило ваше возражение что я останусь без средств. Так что я не так вас понял и посчитал что ваше возражение относится к другой стратегии.

      > "Разумеется никто не может заставить вас придерживаться стратегии максимизации мат ожидания; вы можете вкладывать каждый раз 97% капитала при больших N. Но почему 97%?"

      Я считаю разумным вкладывать 97% средств при N=100. О чем выше и писал. Вот и подставил свой вариант. Еще раз убедился что я в плюсе.

      > "темпы роста при 97% будут ниже, чем при 90% и т.д. вплоть до 80%. При вкладе 80% капитала вы достигаете пика, т.е. именно такой процент вклада является наилучшим. А при вкладе меньше, чем 80% вы уже окажетесь на другом склоне от пика. Вот что вы никак не можете уразуметь."

      Да это все и так очевидно. Но это верно только в одном случае, а именно когда число удач строго равно 0.9N. Но если число удач будет больше -- больший выигрыш даст вклад более 80%. Именно в расчете на эти случаи и имеет смысл вкладывать больше. То, что ваши 80% максимизируют выигрыш в случае, когда число удач строго равно 0.9N никто не спорит, просто эта стратегия, на мой взгляд не является оптимальной.

      > "Вместо этого вы продолжаете далдонить, что из вашего екселя вы сможете при желании выжать абсурдно большие числа даже при k=0.6."

      Они не абсурдны -- если вероятность выигрыша больше 0.5, то при правильном вкладе и бесконечном N выигрыш бесконечно большой. Поэтому абсурдно говорить что такая постановка реальна.

      > "Но это всего лишь пол беды. Гораздо печальнее, что вы пижон и недобросовестный человек."

      Знаете что в данном случае пижонство? Мне вот не зазорно взять ексель и подсчитать. А вы видимо выше этого?

      Удалить
    25. Arthur,
      Теперь объясню почему я не считаю вашу стратегию оптимальной. На первый взгляд все логично. Наиболее вероятно что число удачных ставок будет 0.9N, так давайте сделаем выигрыш максимальным. Все хорошо, пока мы не зададимся вопросом -- а на сколько его вероятность больше? Может есть еще случаи, которые не сильно отличаются по вероятности? Да, есть такие. Например, нетрудно показать что вероятность того, что число удач будет на 1 больше чем 0.9N, практически такая же. Я уже приводил пример что для N=100, отличия будут в 3-м знаке после запятой. При больших N разница будет еще меньше. Так что рассматривать только один вариант не кажется разумным, его вероятность не настолько больше некоторых других.

      С другой стороны, а какова вероятность у варианта с 0.9N удач? То, что она наибольшая это хорошо, но можно ведь ее и вычислить. Оказывается с ростом N, она падает, и в пределе равна 0. И получается что ваши 80% максимизируют выигрыш в случае, который при больших N с вероятностью 0.999.... не произойдет! Выглядит не очень разумно.

      Кстати, если я правильно понимаю, вы полагали что вероятность этого варианта стремится к 1, о чем и писали. Но когда выяснилось что это не так -- ваше решение почему-то не поменялось, просто вы ввели какую-то величину и ей приписали вероятность 1, попытавшись закамуфлировать уже опровергнутое. Меня например подобное удивляет.

      В общем, рассчитывать на число удач 0,9N, явно не оптимально. Поскольку вероятность любого другого варианта еще меньше, надо оптимизировать выигрыш/проигрыш для группы вариантов. Обратите внимание -- не матожидание выигрыша вообще. Во всяком случае мне такой подход видится разумным.

      Что касается максимизации матожидания выигрыша, то и тут есть неприятность. Несложно показать, что при больших N основной вклад в матожидание дадут случаи в которых число удач близко к N, -- вероятность которых, естественно, мала. Просто выигрыш настолько велик, что "перекрывает" более вероятные проигрыши. Или, другими словами, это очень рискованная стратегия. В этом смысле с вами сложно не согласится -- даже при больших N вряд ли будет разумно вкладывать действительно много. С другой стороны, взяв некоторое N, все можно вычислить. Но, если я правильно понимаю, вам нужно не просто решение при конкретном N, а именно предельный случай. А с пределом тут большие проблемы, я вообще считаю что задача не будет иметь решения.

      Дело в том, что имеющиеся предельные теоремы говорят только о том, что при больших N распределение Бернулли можно заменить на нормальное. Что подходит для расчетов для любого N, но не позволяет выполнить предельный переход. Нельзя сказать что распределение Бернулли в пределе будет каким-то конкретным распределением. А следовательно и рассчитать оптимальную долю вклада не получится. Понятно только что уже при небольшом вкладе (навскидку при 12%) матожидание выигрыша бесконечность -- а скорость роста, естественно максимальна при вкладе близком к 100%. Разумеется применять подобную стратегию при больших N нельзя -- это именно для предельного случая, когда N равно бесконечности.

      Удалить
    26. Анонимный02.04.2012, 7:20

      Здесь у Артура по моему имеется типичный случай, называемый "Ошибка игрока".
      http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9E%D1%88%D0%B8%D0%B1%D0%BA%D0%B0_%D0%B8%D0%B3%D1%80%D0%BE%D0%BA%D0%B0
      Sort of если пять раз подряд выпал орел, то вероятность того что следующей будет решка резко выше. Вероятно суждения подобного рода как раз таки ногами растут из подходов интуитивной дедуктивной логики, в плену которой он находится сам и которую тут нам намерены презентовать.

      Люди, будьте бдительны. Сейчас в интернете можно встретить много всякой рекламы типа "как зарабатывать в день 300$, играя против интернет-казино". Не ведитесь, они (промоутеры казино) как раз на такую ошибку игрока и рассчитывают.

      Злой анонимный Х.

      Удалить
    27. Анонимный02.04.2012, 7:24

      PS
      Не удалось ссылку дать, короче наберите в гугле "wiki ошибка игрока"

      Удалить
    28. > Sort of если пять раз подряд выпал орел, то вероятность того что следующей будет решка резко выше. Вероятно суждения подобного рода как раз таки ногами растут из подходов интуитивной дедуктивной логики, в плену которой он находится сам и которую тут нам намерены презентовать.

      Прочитав вышеприведенное умозаключение, я сперва подумал: это наверно 1-апрельская шутка. Но то обстоятельство, что его автором выступил Злой анонимный Х склоняет меня к индуктивному выводу, что мое первоначальное впечатление было скорее всего ошибочным.

      Во-первых, выражение "интуитивная дедуктивная логика" - это oxymoron (сочетание противоположных по значению слов).

      Во вторых, если пять раз подряд выпал орел, то как этот факт повлияет на вероятность того, что следующей будет решка, полностью зависит от того, что мы знали до того, как получили эту дополнительную информацию (prior).

      Например, если наш prior заключался в том, что монета - абсолютно симметричная и, вдобавок, механизм подбрасывания монеты исключает возможность жульничества, то факт выпадения орла пять раз подряд никак не влияет на вероятность того, что следующей будет решка - она как была 1/2, так и останется 1/2.

      Однако если наш prior заключается лишь в том, что монета имеет две стороны - орел и решка - и больше ничего, тогда мы получаем частный случай задачи, которая сыграла невероятно важную и противоречивую роль в истории развития теории вероятностей. Решение этой задачи, которое впервые было дано Лапласом, получило специальное название - Laplace's rule of succession.

      Предлагаю читателям попробовать решить эту задачу самостоятельно и повторить подвиг Лапласа.

      Удалить
    29. Анонимный02.04.2012, 11:03

      Да не важно как там ваша теория называется, главное чтоб было понятно в какие ворота камни летят.

      если пять раз подряд выпал орел, то как этот факт повлияет на вероятность того, что следующей будет решка, полностью ЗАВИСИТ от того, что МЫ ЗНАЛИ до того, как получили эту дополнительную информацию

      Вероятность видите ли зависит от наличия наблюдателя. Шредингер утонул бы вместе со своим котом от зависти (от своей слюны).

      А ещё перлы будут?

      Злой анонимный Х.

      Удалить
    30. Анонимный02.04.2012, 11:17

      Прочитав вышеприведенное умозаключение, я сперва подумал...

      А как еще тогда можно понять следующую фразу?

      Приблизительно с частотой 1 ставка из 10, вы будете нарываться на неудачу. После каждой неудачи вам повезет около 9 раз подряд

      Только человек с заблуждением "ошибка игрока" может такое выдать.

      Злой анонимный Х.

      Удалить
    31. > Вероятность видите ли зависит от наличия наблюдателя. Шредингер утонул бы вместе со своим котом от зависти (от своей слюны).

      Да, Шредингер действительно был один из немногих, кто, наряду с Лапласом и Максвеллом, четко понимал, что "теория вероятностей есть не что иное, как сведенный к расчету здравый смысл".

      Рассмотрим следующие задачи.

      Задача 1. Имеется ящик с черными и белыми шарами. Количество и тех и других неизвестно. Мы проводим следующий эксперимент. Вытаскиваем шар, записываем цвет вытянутого шара, возвращаем шар обратно в ящик, после этого хорошенько перемешиваем содержимое ящика (prior информация). Допустим, что в результате пятикратного повтора этого эксперимента, все пять шаров оказались черными (дата). Чему равна вероятность того, при следующем повторе эксперимента выпадет белый шар?

      Задача 2. Имеется монета с двумя сторонами - орел и решка. Больше ничего об этой монете мы не знаем, т.е. мы не знаем симметрична эта монета или, что называется, loaded (prior информация). После подбрасывания этой монеты пять раз, нам сообщают, что все пять раз выпал орел (дата). Чему равна вероятность того, что при следующем повторе эксперимента выпадет решка?

      Теперь у меня есть несколько вопросов для вас.

      1) Вы согласны, что обе эти задачи поставлены совершенно корректно?

      2) Вы согласны, что эти задачи абсолютно идентичны, поэтому в результате решения этих задач мы должны получить один и тот же ответ?

      3) Вы согласны с решением Лапласа (Laplace's rule of succession) двух этих задач, который дает ответ р=1/7? Другими словами, если пять раз подряд выпал орел, то вероятность того, что следующей будет решка не только не повышается резко, а наоборот, она резко падает от исходного значения р=1/2 (до начала эксперимента) до значения р=1/7.

      Ответьте пожалуйста на каждый из трех вопросов отдельно, ясно и, желательно, коротко.

      P.S. Кстати, Злой анонимный Х демонстрирует полное непонимание сути феномена "ошибка игрока" (gambler’s fallacy), о котором он говорит. Это опять-таки случай из серии "слышал звон, да не знаю где он". Порой мне кажется, что Злой анонимный Х и Wanderer братья близнецы.

      Удалить
    32. Анонимный03.04.2012, 6:59

      Вы согласны с решением Лапласа (Laplace's rule of succession) двух этих задач, который дает ответ р=1/7?

      Ну ты дядя тупишь конкретно. Лапласовский ответ в данном случае 6/7.


      More abstractly: If X1, ..., Xn+1 are conditionally independent random variables that each can assume the value 0 or 1, then, if we know nothing more about them,
      P(X(n+1)=1|X(1)+...+X(n)=s) = (s+1)/(n+2)


      Подставь сюда s=5, n=5, получишь 6/7.

      Полное непонимание у тебя в чердаке, очередной раз выясняется. Иди учись.

      Злой анонимный Х.

      Я извиняюсь перед остальными за грубость. Этого не повторится т.к. тема для меня себя исчерпала.

      Удалить
    33. > Ну ты дядя тупишь конкретно. Лапласовский ответ в данном случае 6/7.

      P(X(n+1)=1|X(1)+...+X(n)=s) = (s+1)/(n+2)

      Подставь сюда s=5, n=5, получишь 6/7. Полное непонимание у тебя в чердаке, очередной раз выясняется. Иди учись.


      Злой анонимный Х на радостях, что наконец-то ему удалось разоблачить лжеученого, поторопился, начал тыкать и грубить, и в результате опять потерял лицо. Читать надо внимательно, уважаемый:

      Eсли пять раз подряд выпал орел, то вероятность того, что следующей будет РЕШКА не только не повышается резко, а наоборот, она резко падает от исходного значения р=1/2 (до начала эксперимента) до значения р=1/7.

      Спешка хороша только при ловле блох.

      Удалить
    34. Анонимный03.04.2012, 9:14

      Верно, поторопился. Беру свои слова назад.

      По существу предыдущего вопроса. Задача в современной корректной формулировке. Задано распределение Бернулли с неизвестным p. Найти ДИАПАЗОН p при таких-то выборке, уровне доверия.

      Матстатистика, лабораторная N1 что называется.

      Лаплас вывел эвристику, только вот насколько ей можно доверять если было всего одно испытание (n=1)? И чем ответ по Лапласу отличается от гадания на кофейной гуще при небольших n? Ответ: ничем.

      Корректность поставленной задачи зависит от n и от меры доверия, которую мы считаем достаточной. Обычно закладывают 95%, но в оригинальной задаче ничего об этом не сказано. А раз не задана, то постановка as is некорректна.

      Это уже символично что любая ваша постановка является некорректной. Как я уже говорил, словоблуд. "Этим я указываю точное место, которое Вы занимаете." - (с) О.Бендер.

      Злой анонимный Х.

      И еще на последок. То что вам еще предстоит осознать. Вероятность события или последовательности событий или диапазона возможных событий - объективная величина, точное значение которой нам никогда не известно. Она не зависит от нашего мнения, нашего наличия, методов наших расчетов и даже результатов статистических экспериментов, как ни странно. Мы можем только приблизиться к пониманию его точного значения, но точное значение знает только пожалуй Один, но нам Он его не скажет.

      Удалить
    35. > Arthur,
      Теперь объясню почему я не считаю вашу стратегию оптимальной. На первый взгляд все логично. Наиболее вероятно что число удачных ставок будет 0.9N, так давайте сделаем выигрыш максимальным. Все хорошо, пока мы не зададимся вопросом -- а на сколько его вероятность больше? Может есть еще случаи, которые не сильно отличаются по вероятности? Да, есть такие. Например, нетрудно показать что вероятность того, что число удач будет на 1 больше чем 0.9N, практически такая же. Я уже приводил пример что для N=100, отличия будут в 3-м знаке после запятой. При больших N разница будет еще меньше. Так что рассматривать только один вариант не кажется разумным, его вероятность не настолько больше некоторых других.


      Wanderer,

      Я столько времени потратил на вас, а вы до сих пор ничего не поняли. Столько чепухи в одном обзаце! Во первых, вероятность того, что число удачных ставок будет 0.9N не только не является самой высокой из всех возможных исходов, а наоборот, она просто равна нулю (за редкими исключениями, когда число N кратно десяти; а я подчеркивал уже и пытался объяснить вам, что N это любое натуральное число). Во-вторых, тот факт, что при N кратных десяти исход с 0.9N удачными ставками действительно является наиболее вероятным, сам по себе не имеет решающего значения. Решающим фактором, который вынуждает нас осознать, что стратегия Келли является оптимальным является то обстоятельство, что при любом значении N наиболее вероятные исходы (а не ОДИН какой-то, пусть даже наиболее вероятный, исход) КУЧКУЮТСЯ именно вокруг исхода с ≈0.9N удачными ставками. Причем это кучкование становится все более и более ярко выраженным при увеличении N. Повторяю последний раз, на математическом языке все сказанное можно выразить в одну строчку:

      ∀x ∈ [0, 1] и ∀ε > 0: p[|f(k,m,N;x) – 1| ≤ ε] → 1 при N → ∞.

      Чтобы наконец дошло, попробую проиллюстрировать сказанное следующим образом. Ясно, что плотность распределения вероятности окончательного состояния игрока после N ставок выглядит как колокол, где вершина колокола соответствует исходу с ≈0.9N удачными ставками. Если бы эта кривая выглядела не как колокол, а скорее напоминала двугорбого верблюда, то наше внимание все равно было бы привлечено не к пику левого или правого горба, а опять-таки к центральной точке "кучкования", т.е. к точке, которая лежит на дне долины между горбами. Понимаете?

      Удалить
    36. > Верно, поторопился. Беру свои слова назад.

      Это делает вам честь.

      > Лаплас вывел эвристику, только вот насколько ей можно доверять если было всего одно испытание (n=1)? И чем ответ по Лапласу отличается от гадания на кофейной гуще при небольших n? Ответ: ничем.

      А вот здесь вы даже представить себе не можете, насколько нелепо буквально все что вы сказали. Эта не эвристика - это единственно возможный логически непротиворечивый вывод. Более того, точность и строгость решения Лапласа абсолютно не зависит от n. Оно работает одинаково хорошо даже при n=0, т.е. решение Лапласа дает логически абсолютно безупречный результат для исходных вероятностей (т.е. до проведения единого эксперимента): р=1/2 как для решки так и для орла.

      Удалить
    37. И еще на последок. То что вам еще предстоит осознать. Вероятность события или последовательности событий или диапазона возможных событий - объективная величина, точное значение которой нам никогда не известно. Она не зависит от нашего мнения, нашего наличия, методов наших расчетов и даже результатов статистических экспериментов, как ни странно. Мы можем только приблизиться к пониманию его точного значения, но точное значение знает только пожалуй Один, но нам Он его не скажет.

      В этих словах ЗлойХ, как нельзя лучше, описал самое главное препятствие, с которым встречаются “частотники” (и которое редко кому из них удается преодолеть) на пути к пониманию вероятности как логического по сути понятия, а не физического, или, как они ошибочно полагают, “объективного”. Даже самый великий из “частотников”, Sir Ronald Fisher, до конца своей жизни так и не сумел окончательно преодолеть этот барьер, хотя есть свидетельства (см. книгу Edwin Jaynes “Probability Theory: The Logic of Science”), что он был близок к окончательному осознанию фундаментальной ошибочности “частотной” философии теории вероятностей (http://en.wikipedia.org/wiki/Ronald_Fisher). Так что вряд ли следует удивляться, что ЗлойХ находится в надежном плену фундаментального заблуждения всех “частотников”.

      Я уже выразил точку зрения “Лапласников” по этому вопросу вопросов, но, к сожалению, не только ЗлойХ, но буквально все проигнорировали этот, пожалуй самый важный, среди моих комментариев до сей минуты. Пожалуйста перечитайте этот комментарий , обращая особое внимание на выделенные жирным шрифтом слова.

      Удалить
    38. Arthur,
      > "Во вторых, если пять раз подряд выпал орел, то как этот факт повлияет на вероятность того, что следующей будет решка, полностью зависит от того, что мы знали до того, как получили эту дополнительную информацию (prior)."

      На вероятность в данном случае не влияет ничего -- она полностью определяется параметрами монеты. Меняется только наша оценка этой вероятности.

      > "1) Вы согласны, что обе эти задачи поставлены совершенно корректно?"

      Я против формулировки "Чему равна вероятность" -- корректно будет "оценить вероятность".

      > "2) Вы согласны, что эти задачи абсолютно идентичны, поэтому в результате решения этих задач мы должны получить один и тот же ответ?"

      Задачи не абсолютно идентичны. Вероятность выпадения монетки (истинная, неизвестная нам) может быть иррациональным числом. С шариками вероятность рациональна. И в первом случае оценка никогда не будет равна истинной вероятности.

      > "3) Вы согласны с решением Лапласа (Laplace's rule of succession) двух этих задач, который дает ответ р=1/7?"

      В этом решении используется гипотеза о равномерном распределении p. Это не единственный подход к оценке.

      > "Другими словами, если пять раз подряд выпал орел, то вероятность того, что следующей будет решка не только не повышается резко, а наоборот, она резко падает от исходного значения р=1/2 (до начала эксперимента) до значения р=1/7."

      Очень странно звучит. Вероятность не поменялась, а вот ее оценка меняется.

      > "Да, Шредингер действительно был один из немногих, кто, наряду с Лапласом и Максвеллом, четко понимал, что "теория вероятностей есть не что иное, как сведенный к расчету здравый смысл"..... "Даже самый великий из “частотников”, Sir Ronald Fisher, до конца своей жизни так и не сумел окончательно преодолеть этот барьер,"

      Исключительное у вас самомнение. Вы серьезно полагаете что понимаете тервер глубже чем Фишер?

      > "Пожалуйста перечитайте этот комментарий , обращая особое внимание на выделенные жирным шрифтом слова."

      Вы напрасно полагаете что ваш комментарий не читали. Вот только он не имеет отношение к действительности. Вам уже не раз сказали что никакого "частотного" подхода в теории нет. Вероятность это мера на сигма-алгебре. Все.

      Удалить
    39. Arthur,
      > "Во первых, вероятность того, что число удачных ставок будет 0.9N не только не является самой высокой из всех возможных исходов, а наоборот, она просто равна нулю (за редкими исключениями, когда число N кратно десяти; а я подчеркивал уже и пытался объяснить вам, что N это любое натуральное число)."

      Вы невнимательно читаете. Я уже делал оговорку что если N не кратно 10, то вместо 0.9N нужно использовать наивероятнейшее значение числа успехов.

      > "Решающим фактором, который вынуждает нас осознать, что стратегия Келли является оптимальным является то обстоятельство, что при любом значении N наиболее вероятные исходы (а не ОДИН какой-то, пусть даже наиболее вероятный, исход) КУЧКУЮТСЯ именно вокруг исхода с ≈0.9N удачными ставками."

      Во первых это ваше "кучкуются" -- как минимум требует оценки. А во-вторых, и это самое главное, вам уже писали что дисперсия растет с ростом N -- то есть не кучкуется, а расползается! А вы просто проигнорировали этот факт. Вместо этого который раз пишите предел, и, кстати, никак его не доказываете. Дoкажите его, если вы так уверены. Да хоть банально вычислите эту вероятность для конкретного случая.

      Хотя очевидно, что если у вас вероятность стремится к 1, то в е-окресность должны попасть практически все значения функции, то есть почти при всех k. А это, в свою очередь означает что вы заканчиваете игру с одним и тем-же выигрышем независимо от количества удачных ставок. Феерический бред.

      Удалить
    40. Дорогой Wanderer, после каждого вашего комментария я чувствую себя, как говорят Американцы, like a kid in a candy store: столько соблазнительных сладостей, что глаза разбегаются, и трудно решить что хватать первым. Все утверждения в последних двух ваших комментариях (в буквальном смысле все, без единого исключения) не только не попадают в десятку - они не попадают даже в молоко; все они летят мимо самой мишени.

      Чтобы не быть голословным, я разберу по косточкам каждое из этих вздорных высказываний в последующих моих комментариях.

      Удалить
    41. Wanderer,

      Пожалуйста обратите внимание, что выше я не сказал, что вы ошибаетесь, или неправы. Я сказал: Все ваши утверждения не только не попадают в десятку - все они летят мимо самой мишени.

      Прежде чем начать разбирать ваши утверждения, следует пожалуй пояснить, что именно я хотел этим сказать. Позвольте напомнить вам о чем вообще эта заметка. Вот ключевая цитата из заметки:

      > Адекватное раскрытие темы, подразумеваемой таким провокационным названием, потребовало бы целого трактата. Но наши цели здесь гораздо скромнее:

      -обратить внимание на важный факт, что есть как минимум два понятия вероятности (соответственно, можно говорить о двух разных теориях вероятностей).

      -и разница между различными понятиями вероятности, и разница между основанными на этих понятиях теориями гораздо шире и глубже, чем может показаться с первого взгляда.


      Спор, который идет между нами, образно говоря, напоминает мне следующую картину. Я, преследуя цели обозначенные вышеприведенной цитатой из заметки, ставлю свои мишени и предлагаю читателям отвлечься на время от той мишени, на которую их всю жизнь нацеливали начиная со школьной скамьи, и вместо этого сосредоточить внимание на моих мишенях. Вы же, вместо того чтобы хотя бы взглянуть на эти мишени, продолжаете стрелять в противоположную сторону по старой мишени. Стоит ли удивляться, что вы не попадете даже в молоко моей мишени.

      Те три вопроса, которые я выставил выше - это хорошо продуманные мишени именно такого типа. А как вы отвечаете на эти вопросы? Давайте посмотрим.

      > На вероятность в данном случае не влияет ничего -- она полностью определяется параметрами монеты. Меняется только наша оценка этой вероятности.

      Это плохо изложенная точка зрения классической (т.е. школьной, или Колмогоровской, называйте ее как хотите) теории вероятностей. Коротко вот в чем заключается эта точка зрения. Есть несимметричная монета. Была бы монета абсолютно симметричной, мы могли бы с уверенностью сказать, что истинная вероятность выпадения орла (значит и решки) р=1/2. Но монета несимметричная, поэтому мы просто не знаем, чему равна истинная вероятность выпадения орла (значит и решки). Но не следует сомневаться ни на секунду, что истинная вероятность выпадения орла существует - она полностью определяется параметрами монеты. Другими словами, вероятность выпадения орла - это физическое свойство монеты (также как и масса, например,) которое зависит от геометрических, физических и других параметров самой монеты и больше ничего. Эту вероятность (классическая теория называет ее по всякому - физическая, объективная, реальная, истинная и т.д.) мы не знаем, но мы можем ее оценить, т.е. измерить приблизительно. Как? Этот коротенький и противный вопрос, от которого классическая теория бежит как черт от ладана, превращает красивое карточное здание этой теории в прах, как маленькая спичка превращет дом из сруба в груду пепла.

      Действительно, как измерить приблизительно физическую вероятность? Я дам вам мою изогнутую монету и все физические, химические и прочие лаборатории мира - измеряйте все геометрические, физические, химические, и какие угодно другие параметры монеты. Кто нибудь предложил методику приблизительного измерения физической вероятности таким способом? Нет, и не предложит. А может сигма-алгебра поможет нам выйти из этого затруднительного положения. Нет, вероятность как мера на сигма-алгебре такими неинтересными вопросами не занимается. А что же делать? Как что - как малые дети, честное слово - подбрасывать монету и начинать считать! Вот где родовое "частотное" пятно начинает выступать как сыпь на красивом лице классической вероятности. Нельзя забывать, откуда растут ноги у определения вероятности как меры на сигма-алгебре. Все что сделал Колмогоров это аксиоматическая формализация теории, которая существовала и выросла задолго до него.

      Продолжение следует.

      Удалить
    42. Ну хорошо, уговорили, начинаем подбрасывать монету. Берем монету орлом вниз, приподнимаем ее над столом на высоту равную ее диаметру и отпускаем. Я только, что проделал этот эксперимент 20 раз и у меня монета каждый раз выпала решкой вверх. Потом я проделал тот же эксперимент еще 10 раз с той лишь разницей, что монету я бросал решкой вниз. В этой серии бросков монета каждый раз выпала орлом вверх. Мне конечно возразят, что монету надо подбрасывать "честно". А как это "честно"? Теперь оказывается, что результат приблизительного измерения физической вероятности очень сильно (настолько сильно, что о приближении к чему-то существующему объективно можно говорить лишь с большой натяжкой) зависит от того как именно подбрасывать монету, т.е. похоже, что вероятность это скорее характеристика системы "монета + процедура подбрасывания", а не монеты в отдельности.

      Дальше в лес - больше дров. Мы теперь встали на такой скольский путь, из которого нам не вернуться живыми и невредимыми. Люди, которые прошли этот путь честно до конца, вынуждены признать простую истину: дать логически непротиворечивое определение вероятности как физического свойства объектов (монета) или событий (дождливое завтра) невозможно.

      Но можно дать логически непротиворечивое определение вероятности как меры достоверности логического высказывания. И можно построить математически строгую теорию, основанную на таком определении вероятности. Причем эта теория дает все, что может дать классическая теория, и несравненно больше. Но как это сделать? Обсуждение этого вопроса и есть наша мишень. Вы, правда, не только заносчиво заявили с самого начала, что зделать это просто невозможно, но, если я не ошибаюсь, даже искренне верите, что вы уже успели доказать это с помощью пары детских аргументов.

      Почему же я так уверен, что конструктивный ответ на этот вопрос существует? Да потому что я знаком с трудами людей, которые уже дали такой ответ. Я не раз называл имена этих людей. Лучший способ начать знакомиться с их трудами это книга E. T. Jaynes Probability Theory: The Logic Of Science

      Продолжение следует.

      Удалить
    43. Arthur,
      > "Эту вероятность (классическая теория называет ее по всякому - физическая, объективная, реальная, истинная и т.д.) мы не знаем, но мы можем ее оценить, т.е. измерить приблизительно. Как? Этот коротенький и противный вопрос, от которого классическая теория бежит как черт от ладана, превращает красивое карточное здание этой теории в прах, как маленькая спичка превращет дом из сруба в груду пепла"

      Полная чушь. Как это измеряется можно прочесть в любом учебнике по матстату. Как, с какой точностью, оценки точные, интервальные, смещенные или несмещенные, и т.д. Все расписано. Идите и читайте.

      Удалить
    44. Анонимный05.04.2012, 9:55

      т.е. похоже, что вероятность это скорее характеристика системы "монета + процедура подбрасывания", а не монеты в отдельности.

      Как увлекательно наблюдать за ребенком, делающим первые шаги и открытия. Я видимо поторопился уходить.

      Да, действительно есть понятие вероятности события, но нет вероятности объекта. Нет вероятности монеты.

      Но можно дать логически непротиворечивое определение вероятности как меры достоверности логического высказывания.

      Совершенно верно. Еще одно открытие. Любая мера подходящая под определенную аксиоматику отлично будет работать в рамках тервера. Вам об этом с самого начала было сказано. Переименуйте "событие" в "достоверность суждения", если вам так привычнее рассуждать и вперед. Только убедитесь что аксиоматика выполняется.

      И это будет очередным прикладным применением тервера. Но не наоборот. Камень преткновения всего спора - ключевая фраза "Но не наоборот".

      Здесь предвижу что у вас будут проблемы с объективностью "достоверности логического высказывания", т.к. я заметил что у вас допускается субъективность "достоверности логического высказывания". В таком случае научная ценность вашей теории как метода познания равна нулю. Единственная польза - вывести какую нибудь эвристику для какого нибудь частного случая практического применения.

      Злой анонимный Х.

      Удалить
    45. > Во первых это ваше "кучкуются" -- как минимум требует оценки. А во-вторых, и это самое главное, вам уже писали что дисперсия растет с ростом N -- то есть не кучкуется, а расползается! А вы просто проигнорировали этот факт.

      Действительно, было бы неплохо дать формальное и точное определение понятию "кучкуются". Введем следующие обозначения: N - общее количество ставок, K - количество удачных ставок, M - количество неудачных ставок, так что N=K+M. Под "кучкуются" я имею в виду следующие два предела:

      ∀ε > 0: p[|K/(0.9N) – 1| ≤ ε] → 1 & p[|M/(0.1N) – 1| ≤ 9ε] → 1 при N → ∞.

      Ясно, что |K - 0.9N| → ∞ при N → ∞. Тем не менее, вышеприведенные пределы имеют место.

      > Вместо этого который раз пишите предел, и, кстати, никак его не доказываете. Дoкажите его, если вы так уверены.

      Справедливый упрек. Тот предел я выписал из эвристических соображений, но не пытался еще доказывать. Моя эвристика не раз подводила меня в прошлрм, так что в справедливости этого предела не могу поручиться. Однако обещаю заняться этим как только у меня появится время. Я докажу, что этот предел имеет место или же опровергну его. В худшем случае открыто признаю, что несмог сделать ни того ни другого.

      Удалить
    46. > Полная чушь. Как это измеряется можно прочесть в любом учебнике по матстату. Как, с какой точностью, оценки точные, интервальные, смещенные или несмещенные, и т.д.

      Опять суетитесь. Не успел я разобрать предыдущие ваши вздорные высказывания, вы уже торопитесь с новыми.

      Во-первых, по свойственной вам невнимательности, вы не заметили, что я говорил о классической терии вероятностей, а не о матстатистике. Даже ЗлойХ знает, что есть теория вероятностей, которая вообще не занимается обратными задачами, и есть матстатистика, которая в классическом мире считается отдельной от теории вероятности наукой.

      Во-вторых, матстатистика тоже разделяет несостоятельную с методологической точки зрения концепцию вероятности как объективно существующая истинная величина, с одной стороны, и приблизительная оценка этой вероятности, с другой. Т.е. приблительная оценка истинной вероятности это как бы вероятность вероятности. Вздор. Нет никакой истинной (объективной, реальной, физической) вероятности. Есть только оценка степени достоверности индуктивного вывода, которая, как должно быть очевидно любому здраво-мыслящему и непредвзятому человеку, полностью зависит от информации, которой владеет дающий эту оценку агент в тот самый момент, когда он дает эту оценку. Эта оценка и есть “истинная” вероятнось, а не вероятнось вероятноси.

      Статистика это определенный тип информации, не более того, и в принципе нет никакой надобности рассматривать матстатистику (statistical inference) и саму теорию вероятностей как отдельные теории. В теории, которую мы здесь условно называем Лапласовской, нет такого разделения - это единая логическая теория для работы с индуктивными умозаключениями на основе любой информации, которая в подавляющем большинстве жизненных ситуаций не имеет статистического характера. Именно это я и хотел продемонстрировать когда говорил о Laplace's rule of succession, которое дает единственно возможный с точки зрения логической непротиворечивости ответ не только для больших n, но для любого значения n, включая n=0. Нельзя ведь называть статистикой, информацию, которую мы получаем как результат одного эксперимента, не говоря уже о ситуации до проведения первого эксперимента.

      Я пытаюсь вытащить вас за уши из той глубокой колеи, в которую загнало вас современное школьное/университетское образование; познакомить вас с чем-то очень важным, о существовании которого вы не имели даже малейшего представления до этой заметки, а вы закапываетесь еще глубже.

      Одумайтесь несчастный и, следуя мудрому совету ЗлогоХ, покайтесь, то бишь окститесь уже :-).

      Удалить
    47. >Как увлекательно наблюдать за ребенком, делающим первые шаги и открытия. Я видимо поторопился уходить.

      Рад за вас, дорогой ЗлойХ: «Чем бы дитя ни тешилось, лишь бы не плакало».

      Удалить
    48. >Здесь предвижу что у вас будут проблемы с объективностью "достоверности логического высказывания", т.к. я заметил что у вас допускается субъективность "достоверности логического высказывания". В таком случае научная ценность вашей теории как метода познания равна нулю.

      Дорогой ЗлойХ,

      Вы успешно продолжаете демонстрировать поразительное по глубине непонимание того, о чем я толкую уже вторую неделю. Да поймите же наконец, что вся “субъективность” сводится к различию в информации в наличии у агента A и агента B. Здесь под информацией имеется в виду абсолютно весь набор знаний. Если этот набор знаний один и тот же у A и B, то нет никакого произвола в оценках этих агентов, если конечно они будут следовать правилам, которые предписывает теория, и не нарушать их.

      Если вы обратили внимание, я все время говорю об агентах, а не людях, чтобы лишний раз подчеркнуть, что все зависит от информации, а не от личных амбиций, эмоций, черт характера, вкусов и т. д.

      Вот почему с получением дополнительной информации (если она имеет отношение к делу) моя оценка достоверности того или иного вывода (события) может запросто поменяться. Теория доказывает, что всякий кто нарушает правила, установленные “логической” теорией вероятностей Лапласа, с неизбежностью придет рано или поздно к логическому противоречию. Это и есть предел всякой “объективности”, которую можно в принципе достигнуть.

      Как отметил Edwin Jaynes, слова “объективность” и “субъективность” настолько потрепаны философами, что лучше избегать пользоваться ими, а если уж пользоваться, то объязательно разъяснить смысл, который вы вкладываете в эти понятия. Именно поэтому он вводит понятие робота в своей книге, чтобы когда люди типа ЗлогоХ достанутт его вопросами о чьей именно вероятности идет речь, он мог коротко и ясно ответить: о вероятности робота или любого, кто обладает тем же самым набором знаний, что и робот.

      Удалить
    49. Анонимный06.04.2012, 7:18

      Теория доказывает, что всякий кто нарушает правила, установленные “логической” теорией вероятностей Лапласа, с неизбежностью придет рано или поздно к логическому противоречию.

      Логическое противоречие начинается ещё до применения правил. Если робот А сказал по поводу альфа фразу "вероятность равна 1/2", а робот Б сказал по поводу альфа фразу "вероятность равна 4017/5002", то кто из них прав?

      Т.е. в одном ракурсе вероятность того что монета честная (в скобках буду писать для знающих тервер, речь о связке монета+рука+это наблюдение) и что орел будет выпадать ровно в половине случаев ("ровно в половине случаев" - это бред для знающих тервер, но у Артура типичный случай ошибки игрока, поэтому рассуждаем в его парадигме) практически стопроцентная, в другом ракурсе всё то же с точностью до наоборот. Т.е. есть гарантия что эта рука - рука мошенника.

      Эти роботы серьезно рассуждают про одну и ту же монету (связку монета+рука)?

      Здесь надо пояснить что ракурс первого робота - он только что вступил в наблюдение процеса, а ракурс второго робота - он смотрел предыдущие 5000 испытаний. Оба посчитали вероятность по формуле Лапласа.

      С позиции Артура всё путем - у каждого свой набор информации , однозначно определяющих правду, но получается что у каждого своя правда. Может ли в жизни быть несколько истин? а в быту? а в науке? а в инженерии? А в вопросах человеческой безопасности? Можно ли таким роботам хоть что-то доверить?

      Очевидно ценность такого подхода равна нулю.

      Злой анонимный Х.

      Удалить
    50. Arthur,
      > "Да поймите же наконец, что вся “субъективность” сводится к различию в информации в наличии у агента A и агента B. Здесь под информацией имеется в виду абсолютно весь набор знаний. Если этот набор знаний один и тот же у A и B, то нет никакого произвола в оценках этих агентов, если конечно они будут следовать правилам, которые предписывает теория, и не нарушать их."

      На одном и том наборе данных метод моментов и метод максимального правдоподобия дают разные оценки неизвестной вероятности. Как будете выкручиваться?

      Для оценки дисперсии А взял несмещенную выборочную дисперсию, а В просто выборочную дисперсию. Кто нарушил правила?

      Удалить
    51. > Я против формулировки "Чему равна вероятность" -- корректно будет "оценить вероятность"... Очень странно звучит. Вероятность не поменялась, а вот ее оценка меняется

      Выше я уже отвечал подробно на подобного рода возражения. Выражение "оценить вероятность" подразумевает, что говорящий все еще находится в рамках несостоятельных представлений классической теории, и верит в существование "объективной" физической вероятности, точное значение которой нам не дано знать, но можно приближенно оценить. Повторяю - это вздор. Концепцию "объективной" физической вероятности, якобы существующую независимо от информации в распоряжении агента, никому пока еще не удалось удовлетворительно (т.е. без логических противоречий) обосновать. И не удастся. Это все равно, что пытаться дать концепцию расстояния для одной изолированной точки. Точно также как расстояние есть характеристика двух точек, вероятность есть свойство двух "точек" - одна "точка" это конкретное индуктивное логическое умозаключение, а вторая "точка" это весь набор знаний и информации в распоряжении агента. Точно также как мы можем получить другое значение расстояния, если поменяем одну из двух точек в геометрии, мы можем получить другое значение вероятности, если поменяем одну из "точек" в теории Лапласа. И нечего говорить здесь о "субъективности", якобы присущей теории Лапласа. Все это абсолютно "объективно".

      > Задачи не абсолютно идентичны. Вероятность выпадения монетки (истинная, неизвестная нам) может быть иррациональным числом. С шариками вероятность рациональна. И в первом случае оценка никогда не будет равна истинной вероятности.

      То же самое, та же глупость. Но я хочу ответить на это возражение отдельно, потому что это возражение несостоятельно даже в рамках классической теории. Wanderer очевидно рассуждал следующим образом. Обозначим количество белых и черных шаров через w и b, соответственно. Эти числа нам не заданы, но они существуют реально, несмотря на то, что мы их не знаем. Следовательно, истинная (физическая, объективная) вероятность выпадения белого шара равна w/(w+b). Т.е. эта величина, хотя она и неизвестна нам, тем не менее есть рациональное число, и мы можем вытягивать шарики сколько угодно, но результаты этих вытягиваний никак не повлияют на величину истинной вероятности.

      Это мираж знойного дня, дорогой Wanderer. Во-первых, вы совершаете очень типичный для "классиков" грех. Не замечая того сами, вы пользуетесь информацией, которой у вас нет: вы уже допустили, что количество шаров в урне конечно. Перечитайте внимательно мою постановку задачи, и вы убедитесь, что подобную информацию я вам не давал.

      Но это всего-лишь детская ошибка. Глубинное же заблуждение опять-таки заключается в нелепой вере, что "расстояние" это характеристика изолированной "точки", а не "игра" двух "точек".

      Удалить
    52. У меня есть хорошая новость для Wanderer и спешу обрадовать его: моя эвристика подвела меня! Похоже, что предел

      ∀x ∈ [0, 1] и ∀ε > 0: p[|f(k,m,N;x) – 1| ≤ ε] → 1 при N → ∞.

      действительно не имеет места. На этот раз я хочу хорошенько убедиться, что мое математическое доказательство отсутствия такого предела достаточно строгое, прежде чем выставить его на суд читателей. Между тем, я благодарю Wanderer за его настойчивость и объявляю его дважды героем Советского Союза :-)

      Удалить
    53. > Исключительное у вас самомнение. Вы серьезно полагаете что понимаете тервер глубже чем Фишер?

      Ложное утверждение с последующим недобросовестным вопросом. У меня нет исключительного самомнения. У меня есть, однако, исключительно высокое мнение о таких ученых как Лейбниц, Байес, Бернулли (автор книги "The Art of Conjecture"), Лаплас, Гаусс, Максвелл, Пуанкаре, Мах, Шредингер, Шэннон, Кокс и Джейнис, образ мышления которых мне близок по духу. На другой стороне этого спектра находятся такие, тоже безусловно выдающиеся, ученые как Ньютон, фон Мизес, Фишер, Эйнштейн, Бор, Гейзенберг и Белл, образ мышления которых я не разделяю.

      На обложке маленькой книжечки в 114 страниц - я уже упоминал о ней: "The Algebra of Probable Inference" by Richard T. Cox - есть такая короткая рекомендация:

      "This book is, in my opinion, one of the most important ever written on the foundations of probability theory, and the greatest advance in the conceptual, as opposed to the purely mathematical, formulation of the theory since Laplace" - E.T.Jaynes, American Journal of Physics.

      Я полностью разделяю эту точку зрения Джейнис, сам внесший огромный вклад в теорию Лапласа, на важность результатов Кокса.

      Пожалуй кто-то будет недоумевать: как может вопрос быть недобросовестным - вопрос есть вопрос? Очень просто. Сравните следующие два вопроса:

      (1) Вы серьезно полагаете, что понимаете тервер глубже чем Фишер?

      (2) Вы серьезно полагаете, что концепция вероятности, которая прослеживается в трудах Байес, Бернулли, Лаплас, Максвелл, Шредингер, Шэннон, Кокс и Джейнис глубже чем та концепция, которой придерживался Фишер?

      В чем разница между этими вопросами, которые, если учесть контекст нашего спора, вопрошают фактически об одном и том же? Разница вот в чем: первая форма вопроса нарочно скрывает очень важную информацию, когда вторая не только не скрывает ее, а наоборот, подчеркнуто обращает внимание читателя на эту самую информацию. Первый вопрос является бесчестным, второй - честным. Надеюсь понятно почему.

      Стоит ли удивляться после этого, что ответ, который мы получим от группы иначе несведущих людей, скажем группы присяжных заседателей, будет в огромной степени зависеть от того, какой именно из двух вопросов мы им зададим. В этом заключается, среди прочего, талант адвоката и прокурора, т.е. задавать вопросы в нужной форме.

      Между прочим это хорошая иллюстрация к пониманию роли информации, и всей философии понятия вероятности, в теории Лапласа. Лаплас, между прочим, не только говорил, но и применял теорию вероятности к (не очень сложным, правда) вопросам оценки достоверности исторических "фактов", юриспруденции, и в других далеких от естественных наук областях.

      Удалить
    54. Arthur,
      > "У меня есть хорошая новость для Wanderer и спешу обрадовать его: моя эвристика подвела меня!"

      Это хорошая новость прежде всего для вас, а не для меня. Возможно вы все-таки разберетесь в этой задаче.

      Удалить
    55. Я чувствую себя достаточно уверенным, чтобы наконец разобраться окончательно с моим злосчастным пределом. Но сперва я хочу пояснить какие эвристические соображения привели меня к мысли, что этот предел должен соблюдаться. Если кучкование имеет место, т.е. относительное количество удачных ставок K/N неуклонно стремиться к 0.9, а относительное количество неудачных ставок M/N неуклонно стремиться к 0.1 при росте N, или выражаясь математическим языком, если имеют место следующие пределы

      ∀ε > 0: p[|K/(0.9N) – 1| ≤ ε] → 1 & p[|M/(0.1N) – 1| ≤ 9ε] → 1 при N → ∞,

      в справедливости которых нельзя сомневаться поскольку эти пределы представляют собой ничто иное как определенную форму закона больших чисел - фундаментального закона теории вероятностей - то казалось вполне естественным предположить, что наше состояние после N ставок тоже будет кучковаться около значения, которое соответствует точкам кучкования относительного количества удачных и неудачных ставок. Эта эвристическая мысль, выраженная на математическом языке, и есть тот предел, с которым нам надо строго разобраться раз и навсегда:

      ∀x ∈ (0, 1) и ∀ε > 0: p[|F(K,M,N;x) – 1| ≤ ε] → 1 при N → ∞, где

      F(K,M,N;x)=[(1+х)^K][(1-х)^M]/[(1+х)^(0.9N)][(1-х)^(0.1N)].

      Введем обозначение Δ = K - 0.9N. Тогда поскольку N=K+M, то M - 0.1N = -Δ. Формула для нашего состояния после N ставок сильно упрощается в терминах Δ:

      F(Δ; x) = [(1+x)/(1-x)]^Δ.

      Нам остается лишь выяснить, что происходит с Δ при N → ∞. Если Δ → 0 при N → ∞, то ∀x ∈ (0, 1): F(Δ; x) → 1 при N → ∞, что я и утверждал на основе эвристических соображений. Но из теории вероятностей хорошо известно, что |Δ| → ∞ при N → ∞. Следовательно, моя эвристика дико подвела меня!

      Вырисовывается очень интересная картина. Несмотря на то, что относительные количества удачных и неудачных ставок кучкуются в две группы как стадо перепуганных стаей волков овец, относительные величины нашего окончательного состояния не только не кучкуются при росте N, а разбегаются как перепуганные при неожиданном появлении света на запущенной кухне тараканы. Вот это да!

      Но почему, черт побери, моя интуиция все-таки абсолютно убеждена, что, несмотря на все эти факты, стратегия максимизации "среднего" выигрыша (1+х)^(0.9N)(1-х)^(0.1N) и есть самая оптимальная стратегия!

      Я нашел, как мне кажется, очень простой, очень красивый и очень убедительный ответ на это. Этот ответ напрямую перекликается с основной идеей, которая легла в основу работ Нобелевского лауреата по экономике Марковица по созданию теории портфолио. Но об этом я расскажу только после того как Илья, как он и намерен сделать, опубликует отдельную заметку об этой, как оказалось, очень интересной и поучительной задачке.

      Удалить
  6. Как мне кажется, Артур излагает достаточно ясно, однако я бы хотел добавить пояснений, прежде всего терминологических.

    Действительно, есть колмогоровская ТВ, которая является строгой математической теорией, основанной на обычном для математики базисе — аксиоматике Колмогорова («вероятностное пространство — это тройка ...»). И есть классическая ТВ, где свойство «иметь вероятность» приписывается логическому высказыванию. Чтобы избежать лишней путаницы, я предлагаю употреблять термин «достоверность» в применении к утверждениям (также в литературе можно встретить слово «правдоподобие» в том же контексте), а «вероятность» оставить для колмогоровской ТВ.

    Что касается классической ТВ (я бы даже назвал ее интуитивной в силу изложенного ниже), то она, строго говоря, выходит за рамки математики, поскольку оперирует физическими понятиями, такими как опыт. Точнее сказать, она не то чтобы апеллирует к каким-то физическим понятиям, а даже наоборот — философское определение самой физики-науки опирается на классическую ТВ (там где речь идет об эксперименте, воспроизводимости и т.п.). Видимо, что-то в классической ТВ есть такого, с чем хорошо работает интуиция. И она появилась и активно использовалась намного раньше чем более простая строгая математическая теория.

    Даже когда мы решаем задачи, формально оставаясь в рамках колмогоровской ТВ, нередко в рассуждениях скатываемся к интуитивному пониманию вероятности. Например, если после броска игральная кость осталась закрытой от нашего взора непрозрачным стаканом, то ведь нельзя в строго математическом смысле рассуждать о вероятности того, что «мы увидим шестерку, если уберем стакан», поскольку настоящее вероятностное событие уже произошло, просто мы пока не знаем его результатов, и, таким образом, строго корректный ответ — вероятность либо ноль, либо единица. Однако ж нормальные люди засмеют наш догматизм и скажут, что вероятность, ежу понятно, равна 1/6. То же самое происходит в теории игр, когда карты уже розданы, но адекватные игроки должны играть так, как будто (пока) невидимые им карты будут выбраны в соответствии с вычисленным ими распределением. (Кстати, если здесь поглубже покопаться, то можно переосмыслить существующие интерпретации квантовой механики или даже породить свою.)

    Подчеркну, что и в приведенном выше примере, и в задаче про N конвертов «интуитивная» теория не нужна — здесь прекрасно справляется формальная.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. janatem,

      Несмотря на то, что я практически не согласен почти со всеми наиболее важными вашими высказываниями, мне очень понравился ваш комментарий. Я не пытаюсь нарочно звучать парадоксально, поэтому попробую объяснить это высказывание. Во-первых, мне кажется, что вы сохранили способность видеть вещи своими глазами и критически оценивать то, чему вас учили в школах. Это очень хорошо и очень похвально. Во-вторых, вы интуитивно чувствуете ту огромную концептуальную разницу, которая существует между открытой и живой физической теорией Лапласа, с одной стороны, и замкнутой и мертвой (да простить меня Злой Анонимный Х за подобное богохульство) математической теорией Колмогорова, с другой. В третьих, ваше, природное я бы сказал, понимание предмета данной заметки достигло критического состояния, от которого нетрудно будет перейти к полному объятию и принятию логического понимания природы вероятности. Вам достаточно будет четко уяснить, и понять по настоящему, один очень маленький, но невероятно важный момент, и вы легко и свободно покатитесь с критической неустойчивой точки в сторону теории Лапласа.

      Но этот маленький момент представляет невероятно трудный барьер практически для каждого студента, природные и здоровые понятия которого несколько лет разбавляли мертвой водой очень узкого, частотного понимания смысла вероятности. Я говорил об этом маленьком, но очень трудном для осмысления моменте не раз и повторю его специально для вас.

      Концепция вероятности как некое физическое свойство объектов и/или явлений природы, вне всякой зависимости от человека, не только не имеет практически никакого смысла, но очень вредна для науки в целом - физики, биологии, геологии - всей науки. Концептуальный эксперимент, на который ссылаются во всех учебниках сегодняшней ортодоксальной теории вероятностей - это чушь несусветная, которая выдерживает серьезную концептуальную критику с таким же успехом, как решето удерживает воду. Понятие вероятности - если ему служить всей науке сполна, а не просто быть математической игрушкой - нельзя отрывать от агента, а точнее от той информации, которой владеет этот агент в МОМЕНТ, когда он дает СВОЮ оценку достоверности тому или иному ИНДУКТИВНОМУ утверждению.

      Если вы сумеете переварить эту маленькую пилюлю по настоящему, дорогой janatem, перед вами откроются врата великих возможностей. Вы сможете тогда понять, понять по настоящему, что такое понятие как абсолютно случайное событие не имеет ни малейшего смысла - даже в контексте такой святой коровы как Копенгагенская интерпретация квантовой механики. Вы будете на пути выздоровления от тяжелейшего маразма, вызванного к жизни внушением так-называемой теоремы Белла, и многих других умственных повреждений, нанесенных вашему мозгу многими, в общем-то не плохими, считающимися учеными людьми - не со зла, а скорее потому что они сами были одурачены другими или же самими собой.

      Удалить
  7. Блин, написал длинный комментарий, он почему-то не отправился... Попробую восстановить.
    Я хотел в этом контексте отметить две идеи Нассима Талеба
    1. Люди всегда недооценивают маловероятные события.
    2. Люди чрезвычайно сильно полагаются на прогнозы, которые чаще всего не сбываются.

    Насчёт первого пункта. Люди раньше не сталкивались с маловероятыми событиями. А если и сталкивались, они не были для них разрушительными (такой мир он называет Медиостан). В экстримистане, где мат. ожидание от маловероятного события высокое, наше интуиция даёт сбой. Он делал, какие-то выкладки с хвостами различных, в частности, биноминальных, распеределений, честно говоря я не сильно вникал. Он выступал даже в Конгрессе с критикой VaR, его основной тезис был в том, что невозможно дать оценку маловероятному событию. Более того, ошибка в такой оценке "ведёт себя очень плохо"... Я могу сослаться, на лауреата Нобелевской премии по экономики за 2002 год профессора Даниэля Канемана который поддерживает в этом месте Талеба см. к примеру тут В частности, Канеман приводит эксперименты, в которых люди ведут себя не в соответствии с ожиданием теорией вероятности...

    Насчёт второго пункта. Он имеет дело с достоверностью. Люди имеет свойство чрезмерно полагаться на прогнозы\модели\теории. Проблема не только в том, что "карта местности" отличается от самой местности (модель от явления), но и в том, что ошибки в них ведут себя "не линейно"...

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. alexsmail,

      Раз пошла такая пьянка - рез последний огурец. То чрезмерно большое значение, которое Талеб придает эпистемологическим изысканиям профессионального философа Карла Поппера и "научным открытиям" Каннемана, было одним из пунктов критики Талеба в моем письме к нему. Вот эта выдержка из письма.

      I would like to elaborate on the subject: Kahneman and Tversky - geniuses or scientific charlatans? I know that you do not make any secret out of the way you feel about the scientific value of the results of many studies coming from the academia in the fields of so called 'soft' sciences. But somehow Kahneman and Tversky escaped your critical analysis; it appears to me that you are ready to give a lot of credibility to the results of their studies. I could make some conjectures about how could that happen. For example, it is rather trivial observation that we tend to enthusiastically embrace ideas that are in good agreement with our own heart felt ideas. There is nothing wrong with that. What is wrong is that we often do that without subjecting those ideas to the best critical analysis we are capable of.

      Back to Kahneman and Tversky. Here are few of my many objections to the way these two gentlemen conduct their scientific business.

      - Whether they realize it or not, the scenarios in their psychological tests are carefully selected with conscious or subconscious desire to get 'interesting' and marketable results. Tests accurately reflecting real life scenarios would hardly survive their selection process. In other words, your favorite "survivorship bias" is in full play here.

      - The results of the experiments are interpreted in a very narrow, and very specific way. I could make a long case arguing that the way they interpret the test results tells me more about the testers than the results of the tests tell me about those who were tested.

      - The tests are often presented in an overly mathematical setup. The language of mathematics is foreign to most of people. However, if you put an equivalent question in front of them in simple words without a scientific gobbledygook you might get very different results.

      - The mere fact that the tests are not natural but staged is a big nuisance and distraction per se. How do you eliminate, or at least measure, the Hawthorne Effect? In fact, the Hawthorne Effect could change not only the value of whatever you are measuring but also the sign of that magnitude (from negative to positive).

      Продолжение в следующем комменте

      Удалить
    2. When I get bored at work I like to run some psychological tests of my own. Here is one. I ask one of my colleagues to come up to where I stand from where he stands along the shortest possible path. Most of the time the person does not come right away to me along the straight line which is, of course, the shortest one. Normally, after a little commotion, follows a request to clarify what is it I want from him, and ultimately he reluctantly walks towards me along the straight path.

      Then I ask him to do the same thing but with an additional requirement that he has to touch the wall before he comes up to me. In this second test, he fails miserably to pick the shortest path - he starts walking along the line that is perpendicular to the wall. Even the solar beam could do better at this test for the solar beam reflected from the mirror behaves just like that - it travels along the shortest path.

      So what kind of inference could I draw from this test? I could make Kahneman and Tversky style conclusion that humans are more stupid than the solar beam is. Or I could blame myself for not explaining properly what I asked of my colleague. Or I could make any number of other conclusions. But I have no doubt in my mind that any person would pick a path very close to the optimum one if the adequate scenario had arisen naturally at a construction sight, especially if the person under scrutiny was carrying a couple of heavy buckets.

      - Here is a passage from "Judgment under Uncertainty: Heuristics and Biases" by Daniel Kahneman. "Suppose you have run an experiment on 20 subjects, and have obtained a significant result which confirms your theory (z=2.23, p<0.05 two-tailed). You now have cause to run an additional group of 10 subjects. What do you think the probability is that the results will be significant, by a one-tailed test, separately for this group?"

      What the hell he is talking about? I have read this passage 3 times but I still do not understand what he is asking of me. If I've been subjected to this kind of test what my reaction would be? Most probably I would curse him in my mind and call him stupid before I put some random number out of the legitimate range of values so that I would not look ridiculous. The last thing I would do is to ask him to clarify the question for me: it would be to embarrassing for somebody who holds a PhD in Mathematics and Physics.

      - People under the Kahneman and Tversky type tests have no incentive to make any mental efforts. We are lazy and follow the path of least resistance just like rivers and electric currents do. Just recall how do you fill out all those stupid questionnaires that come your way. What I would recommend to Kahneman is to use the money he got from the Nobel Committee to add a little incentive for his test rabbits to make those tests more realistic. But he wouldn't do that would he. He is not that stupid.

      I could continue this list on and on, but I think I've made my point clear: Whenever Nobel Committee awards its prize for Kahneman's type scientific achievements, it does not necessarily make Kahnemans more respectable but it sure makes the Nobel Committee less respectable. Kahnemans should be working as advertisement professionals, or circus magicians, or party propagandists, rather than scientists at major universities.

      Удалить
    3. Ну, раз пошла такая пьянка... :-) Вот здесь в трёх частях я высказал некоторые критические замечания по-поводу "Чёрного Лебедя Талеба". Да и, честно говоря, насчёт Карла Поппера у меня есть много что сказать. :-)
      Вот насчёт Канемана, я соглашусь с вашим определением, что это soft science, но по-существу я обсуждать не готов, так как не знаю предмета.

      Могу только пересказать байку, которую он сам рассказывал. Система интервью принятая в Армии Обороне Израиля, ЦАХАЛе, придумал именно он и она действует до сих пор. Более того, он, рассказывал как-то, на офицерских курсах проводят психологический тест, дают какое-то задание и нужно действовать в группе. Так выявляют, вот он-лидер, и т.п. Так вот, по заявлению Канемана, после того как курсанты успешно заканчивают курс и попадают в свои части, Канеман несколько раз собирал статистику, насколько точно были его предсказания. По его словам, они были далёко от реальности. Несмотря на это, эта система до сих пор в армии работает. :-)

      В комментарии ниже я ещё кое-что добавлю.

      Удалить
    4. Ремарка насчёт Канемана. Тут желающие могут посмотреть некоторые его выступления, в частности тут AFAIR он рассказывает приведённую выше байку. Честно говоря, сами его работы я не читал. Я попал в приведённую Вами ловушку. Мне кажется, что его выводы верны. Честно говоря в soft science не возможно подвергать критическую анализу почти ничего, всё через чур зыбко...

      А вот в следующем комментарии я напишу то, что собирался написать выше. :-)

      Удалить
    5. Если всё-таки вернуться ближе к Колмагорову, Лапласу и Байесу :-) то я бы выделил бы следующие моменты:

      - в реальной жизни мы не знаем распределение вероятности. Часто, в таких случаях используется нормальное распределение, из-за центральной предельной теоремы, цитата

      Центральные предельные теоремы (Ц.П.Т.) — класс теорем в теории вероятностей, утверждающих, что сумма достаточно большого количества слабо зависимых случайных величин, имеющих примерно одинаковые масштабы (ни одно из слагаемых не доминирует, не вносит в сумму определяющего вклада), имеет распределение, близкое к нормальному.

      Так как многие случайные величины в приложениях формируются под влиянием нескольких слабо зависимых случайных факторов, их распределение считают нормальным. При этом должно соблюдаться условие, что ни один из факторов не является доминирующим. Центральные предельные теоремы в этих случаях обосновывают применение нормального распределения.

      Конец цитаты.

      - при нормальном распределении, "хвосты отрубаются". Однако, как мы знаем, важна не просто вероятность которую мы приписываем событию (она может быть сколь угодно мала), важно влияние этого события на нас (мат. ожидание в простейшем случае или любая другая целевая функция). В этом месте я бы рекомендовал бы почитать критику Талеба VaR (value at Risk). К примеру, здесь есть его выступление в Конгрессе США по этому поводу.

      - Люди переоценивают информацию, которую они имеют (overconfident). Таким образом, вопрос о достоверности некоторого суждения в Лапласовском смысле требует по-меньшей мере уточнения.

      Удалить
  8. Этот комментарий был удален автором.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Думаю читателям этого блога будет не безынтересно посмотреть знаменитые лекции Фейнмана по физике. Все, кроме пятой лекции сопровождены субтитрами на русский.

      Удалить
    2. alexsmail,
      сурово Вы отвечаете на свои же собственноручно удалённые комментарии :)
      Надеюсь, это не слишком запутает читателей.

      Удалить
    3. Илья Весенний, меня на сам деле это древовидная структура комментариев путает...К примеру, только сейчас заметил, что идёт обсуждение, но не в конце, а где-то в серединие...
      Я просто не на то "ответить" нажал. То что я удалил помещено выше, в ветке. А второй раз удалять я не хотел... В общем, я с этой заметки удалюясь, так как следить за дискуссией-не могу.

      Удалить
    4. Вот опять почему-то в новой ветке появилось сообщение... Пойду, что ли Manual почитаю... :-))))

      Удалить
  9. Илья, добрый день!

    А не могли бы вы порекомендовать какую-либо улекательную книгу по теории вероятностей, но не такую где одни лишь сухие формулы, но и интересные «истории»?

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Денис, тут всё зависит от стартовых условий.
      Я бы рекомендовал начинать с хороших книг по комбинаторике. Есть масса забавных комбинаторных задачек, которые не только приятно и интересно решать, но и очень полезно для будущего освоения теории вероятностей.
      Если же с этим разделом математики у Вас всё хорошо, то можно почитать, например, "Парадоксы в теории вероятностей и математической статистике" (Секей Г.)
      Это хорошая и очень внятная книга, показывающая интересные "граничные эффекты" (что как раз позволяет лучше почувствовать тонкости теории).

      Удалить
  10. >>> Wanderer Mar 21, 2012 11:29 PM

    Сравните: корректное уравнение x*x+1=0, неразрешимое в вещественных числах, приводит к комплексным числам. А система x+2=0 и x+5=0, также не имеющая решения не приводит ни к какому расширению. Именно потому что она несовместна. >>>
    ___________________________________
    К моему глубокому сожалению я пропустил эту тему, и поскольку я присоединился к объявленному Артуром мораторию на обсуждение, до времени, парадоксов ТВ, я не буду здесь высказываться развёрнуто, но пару маленьких замечаний всё же себе позволю.
    По поводу системы

    x+2=0
    x+5=0

    1. эта система не имеет решений, но она сама, в свою очередь, является решением
    уравнения х^2+7*x+10=0.
    Согласитесь, что требовать от решения, чтобы оно имело решение, это плохой каламбур.
    2. С другой стороны, если приравнять эти два выражения

    х+2=х+5
    или
    х=х+3

    а затем поделить на "х",
    то получим:

    1 = 1 +3/х,

    что обязательно приведёт нас к такому известному расширению, как теория пределов, и понятие бесконечности.

    ОтветитьУдалить

Понравилась заметка? Подпишитесь на RSS-feed или email-рассылку.

Хотите поделиться ссылкой с другими? Добавьте в закладки:



Есть вопросы или предложения? Пишите письма на адрес mytribune АТ yandex.ru.

С уважением,
      Илья Весенний