28 мая 2010 г.

О случайных процессах

В комментариях к нашей совместной с Борисом Нечаевым заметке «Что такое случайность?» развернулась очень интересная дискуссия. И сейчас мы предлагаем её продолжить с новыми фактами. Заметка получилась не очень короткой, но, надеемся, познавательной. Ну а перед ответом на вопрос о существовании истинно случайный процессов давайте зададимся другим вопросом: а зачем вообще нужны случайные процессы? Какая нам разница, существуют они или нет?

Если оглянуться по сторонам, то можно найти множество случаев, когда требуется последовательность случайных чисел, предугадать которую никто не может. Простейший пример - выигрышная комбинация лотереи. В книге «Understanding Probability: Chance Rules in Everyday Life» описан следующий случай: в 1920-х годах один из преступных синдикатов Нью-Йорка использовал последние пять чисел ежедневного баланса казначейства США для генерации выигрышной комбинации в своей нелегальной лотерее, поскольку ничего лучше найти не удалось. В то время этого было достаточно для успешной лотереи, но в наши дни, используя современные статистические методы, можно было бы найти регулярность в этих числах, чтобы начать делать ставки на более вероятные исходы.

Схожий пример - онлайн казино, владельцы которых сильно заинтересованы, чтобы их случайные числа никто не мог угадать. Полтора года назад мы уже обсуждали пример того, к чему может привести плохая или неправильная генерация случайных чисел в онлайн покере.

Также случайные числа необходимы для криптографических алгоритмов, используемых для шифрования сетевого трафика в Интернете, банковских транзакций и так далее. Одна из первых уязвимостей, основанная на «плохих» случайных числах была обнаружена в браузере Netscape аж в 1995 году, когда Интернетом пользовалось примерно в сто раз меньше человек, чем сейчас. Другая крупная уязвимость была обнаружена в популярном семействе дистрибутивов линукса Debian совсем недавно - в 2008 году. Разработчики дистрибутива просто закомментировали пару строчек в алгоритме генерации случайных чисел, потому что отладчик из-за этих строк выдавал слишком много предупреждающих сообщений. А когда отладка была окончена, раскомментировать строчки забыли.

Другими словами, случайные числа - вещь крайне важная в самых разных областях человеческой деятельности. Теперь мы рассмотрим способы генерации случайных чисел. И попробуем определить, правда ли они случайны.

В древности и в средние века люди использовали монетки, кубики и другие простые объекты, чтобы генерировать случайные числа. Как мы уже убедились, такой подход плох, поскольку очень трудно сделать объект, который будет выдавать совершенно равновероятные результаты для всех возможных исходов. Этой особенностью предприимчиво воспользовался британский инженер Джозеф Джаггер. В 1873 году он с шестью помощниками отправился в казино и принялся записывать выпадания чисел на рулетках. Обнаружив, что на одном из рулеточных столов некоторые числа выпадают заметно чаще остальных, он принялся ставить деньги на эти числа. После забавной игры в кошки-мышки с владельцами казино, которые заподозрив неладное начали по ночам переставлять столы местами, Джаггер в общей сложности выиграл около 325 тысяч долларов, что в переводе на сегодняшний курс составляет около 5 миллионов.

Кстати, а задумывались ли вы, откуда вообще берётся случайность в таком простом действии, как бросание монетки? Почему, подбрасывая монетку несколько раз, пытаясь сделать это совершенно одинаково, мы всё равно получаем разные результаты? Причиной такого поведения является динамический хаос, присущий многим нелинейным системам. В принципе, в детерминированной системе начальные условия (в нашем примере - положение монетки, сила и направление броска, и так далее) полностью определяют дальнейшую эволюцию, а значит абсолютное повторение начальных условий привело бы к тому же результату. Проблема же в том, что даже небольшое различие в начальных условиях «усиливается», поэтому через некоторое время система ведёт себя совершенно иначе, и монетка может упасть на другую сторону.

Таким образом, для наблюдателя, который не может узнать начальные условия с достаточной точностью, результат будет истинно случайным, в том смысле, что он не имеет возможности его предсказать. Однако не стоит путать случайность и равновероятность: даже истинная случайность (в смысле отсутствия детерминированной модели) не гарантирует того, что все исходы будут выпадать равновероятно - этим и воспользовался вышеупомянутый Джозеф Джаггер.

Сегодня во многих операционных системах и приложениях используются генераторы псевдо-случайных чисел. Такие генераторы также основаны на динамическом хаосе, возникающем вследствие математических преобразований, однако по своей природе являются детерминированными. В этом случае наблюдатель может предсказать результат, угадав начальные условия генератора. Вероятность такого угадывания всегда может быть уменьшена путём увеличения количества возможных начальных состояний (длины ключа), но можно ли это назвать истинной случайностью?

Атмосферный шумИзбавиться от такого угадывания позволяют очень сложные динамические системы, обладающие огромным числом исходных состояний, а также недостаточно точно известными на сегодняшний день физическими законами. В качестве примера можно привести атмосферу нашей планеты, производящую атмосферный шум или проводник со множеством носителей, генерирующий тепловой шум.

Но по-настоящему случайные явления, недетерминированность которых гарантируется законами физики и математическими выкладками, происходят в квантовой механике. Кстати, ученых физиков, до этого считавших, что мы живем в абсолютно детерминированном мире и что все процессы можно однозначно проследить из начальных условий, квантовая механика повергла в настоящий шок. Многие наверное слышали знаменитую фразу Альберта Эйнштейна «Бог не играет в кости», в которой он выразил свое отношение к индетерминизму квантовой механики. Нильс Бор, который кстати любил поспорить с Эйнштейном на тему пристрастия Бога к азартным играм, говорил: «Тот кто не был шокирован квантовой механикой, просто ее не понял».

В чем же коренное отличие квантовых явлений от подкидывания монетки? Оказывается, квантовые объекты подчиняются принципу неопределенности Гейзенберга, который гласит, что мы не можем со сколь угодно большой точностью измерить все необходимые параметры такого объекта. То есть, не можем не просто из-за того, что не хватает технических возможностей, а в принципе не можем. А раз не можем измерить всех параметров, значит не можем и предсказать исход процесса.

Эйнштейна такое состояние дел не устроило, поэтому он предложил мысленный эксперимент, призванный указать на неполноту квантовой механики. Эйнштейн утверждал, что квантовые явления все-таки схожи с подкидыванием монетки, просто все нужные параметры либо еще не открыты, либо скрыты от нас. Эту теорию так и стали называть - теорией скрытых параметров.

Но Эйнштейн в этом случае был неправ, так как Джон Белл математически показал возможность постановки эксперимента, который однозначно опровергнет существование скрытых параметров. С тех пор было поставлено множество таких экспериментов со все большей и большей точностью, и все они подтвердили, что индетерминизм - неотъемлемая черта квантовой механики. Остаётся вопрос о том, являются ли эти эксперименты абсолютным доказательством принципа Гейзенберга или всё же возможна какая-либо альтернативная модель мира... На него может ответить (если ответ существует) только специалист в этой области.

Таким образом, ответ на поставленный нами ранее вопрос утвердительный: да, истинно случайные явления существуют, по крайней мере в рамках существующей модели мира. Но возможно ли их практическое применение? Снова «да»! Исследователи постоянно совершенствуют способы генерации случайных последовательностей при помощи квантовых явлений. К примеру, одна из заметных статей в этом направлении появилась всего чуть более месяца назад в журнале Nature. А вот так выглядит квантовый генератор случайных чисел, который можно подключить к USB или воткнуть в шины PCI и PCI Express.

Хорошего дня!

20 комментариев:

  1. Спасибо за ссылку, не знал, что квантовые генераторы продаются. $1000 - не такая большая цена, на самом деле, за по-настоящему случайную последовательность.

    ОтветитьУдалить
  2. Ivan, вопрос не только в цене, но и в качестве. Даже квантовый генератор можно сделать неправильно, и в результате генерируемая последовательность не будет "по-настоящему случайной". Хотя для большинства применений даже небольшая доля истинной случайности будет достаточной.

    Кстати, у них забавное утверждение на сайте:
    > True quantum randomness (passes all randomness tests)
    Либо имеется в виду "проходит тесты на случайность" => "истинно случайно" (что, понятно, чушь), либо это так ненавязчиво утверждается, что оно пройдёт любой тест на случайность, даже ещё не придуманный.

    ОтветитьУдалить
  3. Требуется уточнение, Джон Белл математически показал возможность постановки эксперимента, который однозначно опровергнет существование локальных скрытых параметров. Существуют теории нелокальных скрытых параметров, которые пока не проверены из-за трудностей в постановке эксперимента.

    ОтветитьУдалить
  4. Анонимный28.05.2010, 18:47

    "Согласно соотношению неопределённостей, невозможно абсолютно точно определить одновременно координаты и скорость частицы. Например, чем больше точность определения координаты частицы, тем меньше точность определения ее скорости."

    Объясните мне, пожалуйста вот такую фигню: если скорость - это расстояние пройденное за определенное время, а чтобы узнать расстояние нужно знать ДВЕ координаты. То есть у нас есть "процедура" определения одной точки - координат обьекта, двух точек - скорости объекта.
    Одна точка - две точки...
    Как они вообще могут быть равны? Как вообще можно их сравнивать?
    Где тут неопределенность, когда налицо явная неопределимость?

    ОтветитьУдалить
  5. Кстати, насчет шума — а неплохо бы брать и писать тепловой шум из звуковой карты. И использовать его в качестве рандомного ключа например.

    ОтветитьУдалить
  6. Анонимный29.05.2010, 11:09

    >> Объясните мне, пожалуйста вот такую фигню..

    а вот человек правильно понял принцип неопределенности. не вдаваясь в дебильную мистику.

    здесь та же хрень, что и невозможно одновременно определить частоту и уровень переменного сигнала.
    т.к. говоря о частоте, подразумеваем "много много разных уровней"

    ОтветитьУдалить
  7. Анонимный29.05.2010, 13:22

    Познавательно, спасибо!
    Вот ещё сайт с генератором - http://www.random.org/

    ОтветитьУдалить
  8. Анонимный30.05.2010, 7:56

    Илья, представьте себе такую задачу. Вам задали мальчика и его собаку. Проблема: определить любит ли мальчик свою собаку или нет на основе наблюдений. Вы вездесущи и можете наблюдать всё и измерить всё что хотите, но нельзя напрямую спросить мальчика любит ли он свою собаку и получить ответ на поставленный вопрос таким "нефизическим" путем.

    Можно ли решить эту проблему наблюдая только за собакой и измеряя только параметры и харатеристики одной лишь собаки?

    Ответ довольно очевиден мне кажется - нет нельзя, правильный ответ можно получить только наблюдая взаимодействие и взаимотношения между мальчиком и его собакой.

    Когда вы ставите вопрос: а бывают ли по-настоящему случайные явления, и пытаетесь ответить на свой вопрос, не замечая что этот ворос не имеет смысла, пока вы не дополните
    его другим вопросом - случайный для кого? - вы ставите себя на место человека, который пытается решить проблему мальчик-собака полностью выключая из уравнения мальчика.

    Вы можете попытаться перехитрить самого себя и сказать: по-настоящему случайное явление - это явление, которое НИКТО не может предсказать достоверно.

    Тогда вы безнадежно увязнете на вопросе: что означает НИКТО? Никто с вашего двора? с вашего города? с вашей страны? всех в мире? всех в нашей галактике? входят ли туда сегодняшние машины и те которые ещё не изобретены? и так далее. Вы можете не сдаваться и сказать НИКТО включает всё и вся. Тем самым вы переходите, весьма успешно, из области реальности в область фантазий, что не имеет ничего общего с физикой или наукой вообще.

    Попробую проиллюстрировать сказанное с абсолютно другой точки зрения. Представьте себе, что каждую секунду перед вами появляется новая цифра - 0 или 1. Вы не знаете кто (или что) и как генерирует эту непрерывную цепочку нулей и единиц. Но вам не удается обнаружить какую-бы то ни было регулярность или закономерность в этой цепочке. Затем вы вспоминаете о "точном" математическом определении случайной величины, предложенной фон Мизесом, и смотрите если эта последовательность нулей и единиц удовлетворяет двум критериям фон Мизеса. Убедившись что фон Мизес работает, вы успокаиваетесь: ничего удивительного что я не смог найти регулярность или закономерность в этой цепочке - это же настоящий случайный процесс!

    Затем с большим энтузиазмом вы рассказываете своему сыну-балбесу, который только-что вернулся из школы, о проделанной работе. А сын говорит: папа, а ты проверил не является ли твоя последовательность двоичным представлением числа пи. Ошарашенный этой идеей сына-балбеса, вы бросаетесь проверять - первые десять цифр совпали! Полагаю, вы уже поняли мораль этой басни: бывают ли по-настоящему случайные явления - вопрос не имеющий большого научного смысла. Если у вас есть склонность к философии вы можете заниматься этим вопросом, поскольку философы, как любил говорить E. T. Jaynes, вообще не объязаны делать ничего путного.

    Вы конечно знаете что Копенгагенская интерпретация квантовой механики, с принципом неопределённости Гейзенберга в её основе, рассматривалась в прошлом и рассматривается сегодня по настоящему независимыми и незаурядными умами как абсолютная химера. Наиболее яркие примеры - Эйнштейн, и в особенности, Шредингер. Когда заурядные ученые слышать подобное заявление они, в зависимости от темперамента, либо весело хохочут, либо возмущаются: как Копенгагенская интерпретация может быть химерой когда столько вещей было предсказано с такой точностью квантовой механикой на основе этой интерпретации? Чтобы ответить на это возражение, достаточно вспомнить геоцентрическую систему Птоломея, которая была не хуже чем геоцентрическая система Коперника по способности и точности предсказания небесных явлений, но тем не менее была настоящей химерой.

    Я надеюсь, добрые читатели простят мне некоторую резкость изложения моих неортодоксальных взглядов на этот невероятно важный для всей науки вопрос.

    Arthur

    ОтветитьУдалить
  9. > А сын говорит: папа, а ты проверил не является ли твоя последовательность двоичным представлением числа пи. Ошарашенный этой идеей сына-балбеса, вы бросаетесь проверять - первые десять цифр совпали!

    Ну и что? Где гарантия, что цифры с номерами после миллиардной тоже совпадут?

    Обезьяны вполне могут настучать текст "Гамлета".

    ОтветитьУдалить
  10. Анонимный30.05.2010, 15:08

    Поправка: гелиоцентрическая система Коперника.

    Fractal,

    Я просто пытаюсь наглядно проиллюстрировать: то что сегодня для кого-то выглядить абсолютно случайным процессом, завтра для другого может стать абсолютно предсказуемым. И принцип неопределённости Гейзенберга не спасет вас.

    Если бы вы сказали: Обезьяны В ПРИНЦИПЕ могут настучать текст "Гамлета", я пожалуй возразил бы что это безвредная, но и бесполезная тавталогия, не достойная времени физика. Но когда вы говорите: Обезьяны ВПОЛНЕ могут настучать текст "Гамлета", я даже не знаю что и сказать.

    Arthur

    ОтветитьУдалить
  11. > Но когда вы говорите: Обезьяны ВПОЛНЕ могут настучать текст "Гамлета", я даже не знаю что и сказать.

    А чего тут говорить? Текст Гамлета конечен, количество различных текстов такой же длины велико, но конечно. Вероятность строго больше нуля.

    Чем отличается "В ПРИНЦИПЕ" от "ВПОЛНЕ"?

    ОтветитьУдалить
  12. Анонимный30.05.2010, 23:17

    Люди все конечно разные, и понимание смысла одного и того же слова разными людьми тоже могут оличаться. Для меня, например, слово "В ПРИНЦИПЕ" в данном контексте означает именно то что вы совершенно правильно отметили:

    "Текст Гамлета конечен, количество различных текстов такой же длины велико, но конечно. Вероятность строго больше нуля."

    Смысл же слова "ВПОЛНЕ", на мой взгляд, предпологает что у обезьян есть хоть мало-мальски, но практически шанс успеха с "Гамлетом". Но вы пожалуй согласитесь что если вы соберете всех людей в мире кто никогда не читал "Гамлета", не говоря уже об обезьянах, и они будут стучать до конца своих дней, шанс что хотя бы один из них сможет правильно напечатать хотя бы первые 100 слов "Гамлета" правильно, не говоря уже обо всем тексте "Гамлета", практически не отличимо от нуля. Т. е. говорить что вероятность этого события отлично от нуля не имеет абсолютно никакого практического смысла.

    Как я уже отмечал, если вам доставляет удовольствие рассуждать в таком русле, никому от этого плохо не будет, но и ожидать от этого большой пользы, по-видимому, тоже не следует.

    Arthur

    ОтветитьУдалить
  13. Arthur, мы косвенно затрагиваем подчёркнутый Вами вопрос относительности случайности когда говорим о невозможности предсказания. Именно эта возможность предсказания и является относительной, и зависит от доступных данных, возможностей их интерпретации и дальнейших логических построений.

    Именно поэтому выводы в заметке сделаны с оглядкой на фундаментальные принципы и современные научные представления, и они могут поменяться если поменяются последние.

    А вот касательно неопределенности Гейзенберга я не согласен - я разделяю сомнения в истинности этой теории, но при этом не вижу оснований однозначно утверждать, что она неверна: для меня этот вопрос остаётся неопределённым.

    ОтветитьУдалить
  14. Анонимный31.05.2010, 18:36

    7vies,

    За вашим комментарием я вижу человека с открытым взглядом на вещи и независимым мышлением. Довольно редко и очень похвально.

    Arthur

    ОтветитьУдалить
  15. Варшавский, прочитал я рекомендованные вами статьи. О quantum random generator у меня сложилось некое поверхностное представления, а вот ваша вторая ссылка Logical independence and quantum randomness поставила меня в тупик. Математическую (логическую) часть я понял, но вот с квантовой физикой, к сожалению, я не знаком (даже не знаю, что такое бра и кет (про гильбертово пространство знаю, но это мне не помогло)), поэтому всю квантовую часть не понял совершенно, пришлось довольствоваться общими словами.

    Там в конце делается краткий экскурс в историю с упоминаем неравенства Белла и том, что оно показывает, а что нет. Но это Илья Весенний хорошо раскрыл в его следующей заметки о случайности.

    ОтветитьУдалить
  16. Анонимный01.06.2010, 19:22

    "Но Эйнштейн в этом случае был неправ, так как Джон Белл математически показал возможность постановки эксперимента, который однозначно опровергнет существование скрытых параметров."

    Edwin Jaynes, наряду с Эйнштейном и Шредингером, считал Принцип неопределенности Гейзенберга, и Копенгагенскую интерпретацию в целом, мистицизмом и настоящей бедой кваноовой механики.

    Edwin Jaynes - это Американский физик, кто впервые понял, что Принцип максимума энтропии это по-существу принцип логики, позволяющий делать оптимальное умозаключение на основе доступной, и следовательно ВСЕГДА ограниченной, информации. Думаете ли вы, что он не был знаком с теоремой Белла? Логика теоремы Белла не выходит за рамки ящика, на которого Edwin Jaynes смотрел снаружи этого ящика как на забавную математическую игрушку.

    Безусловно, Эйнштейна можно считать первоклассным экспертом в области теоретической квантовой механики (не смотря на что он получил Нобелевскую премию именно в области квантовой физики – фотоэффект) только с очень большой натяжкой, но он был настоящим физиком, которого не легко провести математическими фокусами типа теоремы Белла.

    И давайте не будем забывать, что именно Шредингер с его уравнением (а не Бор с его мистицизмом), в отличие от Эйнштейна, был и остается главным авторитетом в области теоретической квантовой физики.

    Arthur

    ОтветитьУдалить
  17. Arthur,
    спасибо за интересный комментарий!
    Основания для сомнений в математических выкладках есть всегда: и в простых рассуждениях, и в сложных. Поэтому позиция недоверия к некоторым выводам более чем понятна.

    ОтветитьУдалить
  18. Анонимный18.05.2012, 13:46

    Но Эйнштейн в этом случае был неправ, так как Джон Белл математически показал возможность постановки эксперимента, который однозначно опровергнет существование скрытых параметров.


    Каких-то заданных предложенной моделью параметров или вообще каких-бы то ни было?
    Если второе, то как можно вообще экспериментально подтвердить что предложенная модель - это последняя точка над последней i? Если первое, то причем здесь что Эйнштейн был якобы не прав?

    ОтветитьУдалить
  19. Анонимный22.05.2012, 7:06


    Вы конечно знаете что Копенгагенская интерпретация квантовой механики, с принципом неопределённости Гейзенберга в её основе, рассматривалась в прошлом и рассматривается сегодня по настоящему независимыми и незаурядными умами как абсолютная химера. Наиболее яркие примеры - Эйнштейн, и в особенности, Шредингер.


    Было бы интересно узнать фамилию нашего современника среди официальных "авторитетов", кто проповедует независимые взгляды. По мне так вся современная физика - одна большая сплошная химера.

    ОтветитьУдалить

Понравилась заметка? Подпишитесь на RSS-feed или email-рассылку.

Хотите поделиться ссылкой с другими? Добавьте в закладки:



Есть вопросы или предложения? Пишите письма на адрес mytribune АТ yandex.ru.

С уважением,
      Илья Весенний