31 мая 2010 г.

Парадокс лжеца

Парадокс лжецаНаверняка многие знакомы с этой классической формулировкой. Но все ли видели внятные соображения на этот счёт?

Пусть некто говорит: «Произнося эту фразу, я лгу». Как нам понять эти слова? Ясно, что их нельзя считать правдивыми, так как это бы противоречило их смыслу. Но если они и в самом деле лживы (как сообщается во фразе), то окажется, что фраза является правдивой. Опять парадокс! Как же быть?

Тем, кто ещё не проводил приятный вечер в размышлениях об этой простой фразе, «разрушающей стройное здание современной математики», я предлагаю пока повременить с чтением заметки по следующей ссылке. В самом деле, очень здорово бывает самостоятельно прорваться с боями через некоторые препятствия, возникающие на пути, а уже потом читать, как можно было «сделать это же, только проще и правильнее» ;)

Более того, свои мысли могут оказаться более глубокими и интересными, чем чужой взгляд. Но знание этих самых чужих идей может помешать найти более оригинальные свои. В любом случае, я предлагаю сначала представить Пиноккио, нос которого, как известно, удлиняется, если тот говорит неправду. И вот пусть наш Пиноккио говорит: «Сейчас мой нос удлинится». Как быть носу? Можно считать, что в нём есть «правдометр», который определяет, нужно ли увеличивать длину. Но в данном случае нос не может определиться с выбором, так как в любом случае он нарушит основное правило сказки (нос должен увеличиваться, если Пиноккио лжёт)... Как же быть?

Заметьте, что если бы Пиноккио сказал «Сейчас мой нос не удлинится», то нос, не нарушая правил сказки, имеет право поступить так, как он сам «хочет» (чем не случайный процесс? ;)

Само по себе это выглядит странно, не так ли? Мне кажется, что если начали рассматривать парадокс лжеца, то стоит убедиться в понимании парадокса Рассела, потому что у них есть общие моменты.

Специалистам по данной тематике, дочитавших до этого места, ничего нового тут точно ждать не стоит. Будет только ссылка на попытку аккуратно покачать парадокс лжеца, чтобы лучше его понять. По ссылке вы найдёте достаточно аккуратный текст (кстати, там и обсуждение местами занятное).

И вопрос ко всем:
А вы помните, как в первый раз столкнулись с этим парадоксом?
Помните, какие соображения возникли в тот момент?

Хорошего дня!

32 комментария:

  1. Анонимный31.05.2010, 8:05

    Очень люблю парадокс Исполнителя желаний, который в общем похож на парадокс лжеца. Заключается он в том, чтобы выяснить, что должен будет сделать Исполнитель желаний, если ему загадать: "Не исполняй это мое желание".
    Мозг быстро сваливается в рекурсию от таких размышлений.

    ОтветитьУдалить
  2. Когда я с ним столкнулся моя первая мысль была "Ну и что? Логические уравнения могут не иметь решений."

    ОтветитьУдалить
  3. Ну, кроме парадокса Рассела, можно вспомнить «парадокс неожиданной казни», хотя в данном случае «парадокс лжеца» скорее запутывает, чем помогает разобраться.

    > чем не случайный процесс?
    Ну, как для программиста, это для меня скорее не случайный процесс, а undefined behavior.

    ОтветитьУдалить
  4. А я про Пиннокио думал так:
    Нос удлиннится, т.к. Пиннокио сказал фразу, по которой (ОН САМ!) не мог заранее знать что произойдет (удлинится ли нос или нет), т.к. удлинение носа происходит усилиями "Правдомера", т.е. слабо зависит от усилий Пиннокио. тем более вряд ли Пиннокио проводил сложные цепочки рассуждений, чтобы понять удлиннится ли нос илинет.
    Это конечно при известном допущении, что Правдомер может удлинять нос когда Пиннокио говорит ложь не подозревая об этом, ну т.е. Правдомер выступает таким.. "носителем истины".
    Вот блин.. написал и тут же подумал что неправ :) больно все натянуто :))

    ОтветитьУдалить
  5. Анонимный31.05.2010, 12:17

    В случае с Пиноккио больше лингвистики, чем математики, т.к. понятие "ложь" из булевой алгебры подменяется коммуникативным понятием "обман". Назначение Правдомера в имитации комплекса вины у робота. То есть, Правдомер удлиняет нос в случае намеренного обмана. Поскольку логического решения парадокса у Пиноккио изначально быть не могло, своим заявлением он соврал (пообещал наблюдателю, что произойдёт нечто, в чём нельзя быть уверенным). Поэтому нос вырастет, не по причине логической ложности высказывания Пиноккио, а по причине игнорирования им её неопределённости.

    ОтветитьУдалить
  6. ПарадоксальныеСомнения31.05.2010, 12:20

    А вы помните, как в первый раз столкнулись с этим парадоксом? Помните, какие соображения возникли в тот момент?
    Сначала я столкнулся с этим парадоксом в школе. Интересовался занимательной математикой.
    Тогда было такое решение - не может истинный лжец произнести такую фразу... Внутренний запрет.
    Если человек произнес такую фразу он не является ни лжецом, ни правдолюбом.

    Потом, столкнулся в институте - когда стал изучать булеву алгебру. Разбирали этот парадокс в качестве "просто поговорить" - было много точек зрения, но мне одна понравилась - и, я думаю, она много объясняет.
    Итак, в булевой алгебре есть операция импликация (по русски близкое слово "следствие").
    В отношении высказываний она применяется просто: из истинного высказывания всегда следует истинное высказывание,
    из ложного может следовать как истинное, так и ложное.
    Или в отношении к лжецам, правдолюбам - правдолюб всегда говорит правду, лжец может сказать как правду, так и ложь.

    Так что:
    1) Слова "Я лгу" мог произнести только лжец. И его высказывание ложно, даже если иногда оно истинно. :)
    2) С пиноккио, тоже получается всё просто - если нос не может определить, что сказанное истина, то должен вырасти...

    PS. Вспомнил музыкальный фильм-сказку для детей (да и для взрослых тоже) по мотивам повести Д. Крюса «Тим Талер, или Проданный смех».

    ОтветитьУдалить
  7. Анонимный31.05.2010, 12:49

    но тут скрыто два утверждения, первое
    то что говорит Пиноккио, второе "У Пиноккио растет нос, если он говорит неправду", ложным может быть и первое и второе, согласитесь. поэтому этот случай и вызывает некоторые затруднения. а так вообще исключенное третье не работает в этих случаях, not (not A) <> A

    ОтветитьУдалить
  8. Анонимный31.05.2010, 13:42

    по-моему вывод тут можно сделать только один - истинность высказывания не определяется утверждением об истинности или ложности этого высказывания, содержащимся в самом высказывании.
    Потому что все относительно.

    ОтветитьУдалить
  9. Анонимный31.05.2010, 15:38

    И вот пусть наш Пиноккио говорит: «Сейчас мой нос удлинится». Как быть носу?

    Ответ: вибрировать. Учитесь думать как физик и изобретатель, скорее чем рассуждать как прямолинейный математик. Это доставить вам больше удовольствия, не говоря уже - гораздо полезнее.

    Может ли движуйщийся предмет одновременно находиться в покое? Да, может. Стержень, который крутится с частотой выше частоты восприятия глаза - находящийся в покое диск.

    Может ли гибкая нить быть жесткой как стальной стержень? Да, может. Вы никогда не видели травокосилку, которая режет траву быстро-вращающейся гибкой нитью?

    Arthur

    ОтветитьУдалить
  10. Анонимный31.05.2010, 16:11

    Можно ли уничтожить целый народ, не принося абсолютно никакого вреда ни одному из членов этого народа? Да, можно. Запретите семьям этого народа иметь только одного ребенка, остальное предоставьте геометрической прогресcии - правильнее сказать регресcии. Или убедите их что раса не имеет значения, что общество - ничто, а член общества - все.

    Это не черный юмор - что-то подобное происходит сегодня с белым населением Америки.

    Arthur

    ОтветитьУдалить
  11. Анонимный31.05.2010, 16:32

    Зрелые граждане России легко вспомнят лозунги типа "Движение - все, цель - ничто", "Ни войны, ни мира, а армию распустить" и к чему они и подобные им лозунги привели Россию.

    Илья, я надеюсь вы не боитесь затрагивать политически некорректные темы.

    Arthur

    ОтветитьУдалить
  12. В статье по ссылке меня больше всего удивило то, что парадокс лжеца - всего лишь аналогия теоремы Геделя о неполноте. Я всегда думал, что теорема Геделя вполне применима и для разрешения этого парадокса.

    Не являясь математиком, я представлял себе теорему Геделя в вольной форме: "в любой достаточно сложной непротиворечивой системе существуют бессмысленные (одновременно истинные и ложные) утверждения".

    Как вы считаете, почему теорема Геделя не может быть корректно применена в этом случае? Из-за того ли, что человеческий язык не является формальной системой, в которой можно определить основные арифметические понятия?

    ОтветитьУдалить
  13. Думаю, что автореферентность — это плод чистых игр разума, не имеющих отношения к реальной действительности.

    Неудивительно, что математики об неё спотыкаются и извлекают кучу парадоксов. Это всё равно как попытаться помыслить «чёрную белизну», «светлую темноту» или «идеальный куб, который одновременно является идеальным шаром».

    ОтветитьУдалить
  14. Способ рассуждения, основанный на технической реализации изменения размеров носа Пинокио:

    Допустим, после окончания очередной фразы, через опр. время генерируется событие, запускающее процедуру определения её истинности или ложности, которая по результатам проверки изменяет длину носа.

    Истинность или ложность фразы "Сейчас мой нос удлинится" можно установить только после подтверждающего или опровергающего поведения носа.

    Значит, до изменения носа фраза не является ни истинной ни ложной.

    А это значит, что правдометру в носу не на что реагировать, следовательно, нос не изменится.

    Что произойдёт дальше? Дальше опять не произойдёт ничего, так как процедура проверки истинности уже завершилась и нет события, по которому она могла бы запустится опять.

    ОтветитьУдалить
  15. Анонимный31.05.2010, 22:24

    Проблема тут в неявном утверждении "всякое утверждение может быть оценено либо как истинное, либо как ложное". Если для оценки использовать не двоичную, а четверичную логику, то проблема исчезает: фраза "я говорю правду" неопределенная, фраза "я лгу" бессмысленная.

    ОтветитьУдалить
  16. Андрей01.06.2010, 14:54

    встречал похожий парадокс в другом виде: листок бумаги, на одной стороне написано
    "на другой стороне написана правда",
    а на другой стороне написано
    "на другой стороне написана ложь".
    Размышления примерно в ту же сторону, но, кажется, более интересные.

    ОтветитьУдалить
  17. Boris, это достаточно сложный вопрос, чтобы нормально раскрыть его в тексте комментария. Я думаю, об этом будет отдельная заметка.

    ОтветитьУдалить
  18. Недвоичная логика рулит. Просто считаем, что Пиноккио в данном случае порет чушь.

    ОтветитьУдалить
  19. Бог с камнем который он сможет или нет поднять - это вроде из той же оперы.

    ОтветитьУдалить
  20. [..]Пусть некто говорит: «Произнося эту фразу, я лгу». Как нам понять эти слова? Ясно, что их нельзя считать правдивыми, так как это бы противоречило их смыслу. Но если они и в самом деле лживы (как сообщается во фразе), то окажется, что фраза является правдивой. Опять парадокс! Как же быть?[..]

    Имхо, здесь нечему быть правдивым или ложным т.к. в данном выражении отсутствует информация - просто набор слов. Есть отрицание, но нет предмета, на которое оно направлено.

    Может правильнее было бы - "все сказанное мной, включая эту фразу, является ложью"?

    А парадокс с Пиноккио прикольный.. что-то тут есть от 'кошки Шредингера'.. или неопределенности Гейзенберга .. В общем - погрешность определения длины носа после произнесения этой фразы должна стать бесконечной.

    ОтветитьУдалить
  21. ... и только так мироздание может устоять ;-)

    ОтветитьУдалить
  22. У Мартина Гарднера было несколько хороших статей на тему логических парадоксов.

    Нашел только здесь, к сожалению белый текст на черном фоне:
    http://golovolomka.hobby.ru/books/gardner/surprize.shtml

    Самое забавное - письмо ученых Стэнфордского университета с комментариями к задаче о яйце в коробке. Кто читал книгу, тот сразу вспомнит.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Анонимный14.03.2013, 17:03

      Да, юмор хорош. Я бы свел его содержание к следующему:

      Рассмотрим следующие 2 высказывания:
      (1) Оба высказывания, как (1) так и (2) - ложны.
      (2) 2 + 2 = 5.

      Может ли высказывание (1) быть истинным? Предположим, что оно истинно, тогда, согласно его содержанию, оно ложно. Противоречие доказывает, что высказывание (1) ложно.
      Тепрерь обратимся к высказыванию (2). Предположим, что оно ложно. Тогда оба высказывания были бы ложными, и высказывание (1), которое именно это и утверждает, оказалось бы истинным. Но как мы уже установили выше, это не так.
      Следовательно, высказывание (2) истинно.

      Известен пример Бертрана Рассела, который из 1 + 1 = 1 смог вывести, что он - папа римский. Данное доказательство идет несколько дальше.

      Удалить
  23. Сергей Корнилов, спасибо за ссылку на хороший классический текст.

    ОтветитьУдалить
  24. Насколько я понмю и понимаю, подобные парадоксы рушатся просто и банально. Математика имеет дело с высказываниями, а ими являются далеко не все предложения из естественного языка.

    ОтветитьУдалить
  25. Arthur,
    да, обсудить данный мысленный эксперимент Шредингера - это отличная идея!

    ОтветитьУдалить
  26. Нет никакого ограничения "сверху" на условия, при которых нос у Пиннокио растет. То есть - известно, что нос растет, когда Пиннокио врёт, но это необходимое, а не достаточное условие: нос может расти еще при куче других обстоятельств, о которых нам неизвестно и которые в задаче не оговорены никак. Нет достаточного условия в духе "нос не растет НИКОГДА, если только Пиннокио не врёт".

    Потому если после высказывания Пиннокио "А сейчас мой нос вырастет!" нос у него действительно вырастет - это не будет являться никаким парадоксом. Высказывание было истинным, а то, что нос вырос несмотря на отсутствие лжи - ну так мало ли, почему он вырос именно в этот раз?

    ОтветитьУдалить
  27. LisandreL, спасибо за картинку!

    ОтветитьУдалить
  28. Если рассматривать парадокс лжецов на Пинокио, то скорее у вас вырастать нос, так как он растет всю жизнь… Нос это следствие действий Пинокио, а именно его намеренной лжы, так как Пинокио не разговаривает истинностью, вопрос истины значение это вообще отдельная тема, так бы его нос рос и рос. То эта фраза говорить об отрицаний. Лучше давайте поговорим об энтропии ващего текста и ссылок в нем…

    ОтветитьУдалить
  29. Анонимный17.01.2012, 14:12

    Честно говоря, мне кажется что в случае Пинокио вообще нет никакого парадокса. Однозначно что его фраза "Мой нос сейчас будет расти" - неправда (т.к. нос не собирался расти просто так). Значит остаться в покое нос не может - это будет противоречить его основному правилу - расти после неправды. Значит он должен вырасти. И никакого парадокса для носа нет! Он корректно отреагировал на ложную фразу.

    Но да, для наблюдателя это может показаться парадоксом - сказал правду, а нос вырос. Но ещё раз: ложная фраза - это причина, рост носа - это следствие.
    ---
    Andrew

    ОтветитьУдалить
  30. Анонимный27.12.2012, 11:08

    Если Пиноккио говорит, то, значит, кроме носа у него есть рот, есть артикуляционный аппарат, которым он возмущает воздушную среду (соотвественно сотрясает воздух). Наблюдатель (но не сам Пиноккио, а другой субъект)Пиннокио может формировать, в соотвествии с тем, как Пиноккио сотрясает воздух, то, что соотвествует нашей последовательности нажатых клавиш: "Сейчас мой нос удлинится."Если Пиноккио разбирается сам с собою, то наблюдатель может регистрировать состояние его носа. Таким образом, не зная, ЧТО мыслит Пиноккио, наблюбдатель может знать по варианту состояния носа: обманывает себя Пиноккио или не обманывает. При наличии наблюдателя его фраза (наблюдателя) - "Сейчас мой нос удлинится" - это версия наблюдателя прогноза Пиноккио о состоянии собственного носа на ближайший момент, т.е. Пиноккио собирается кого-то ввести в заблуждение, но пока неизвестно, как. Парадокс возникает у наблюдателя, который формируемое собственное высказывание, в соотвествии с тем, как Пиноккио возмущает воздух, приписывает его Пиноккио.

    ОтветитьУдалить

Понравилась заметка? Подпишитесь на RSS-feed или email-рассылку.

Хотите поделиться ссылкой с другими? Добавьте в закладки:



Есть вопросы или предложения? Пишите письма на адрес mytribune АТ yandex.ru.

С уважением,
      Илья Весенний