Интересное в декабре 2009

Добрый день.

Завтра у нас День защиты детей, а сегодня мы вспоминаем, что хорошего было полтора года назад:

1. Мы немножко говорили об обычных людях. Рядовые функционеры часто строят из себя центр мира, если вдруг от них начинает зависеть хоть что-то минимальное. Интересно, что это не всегда свойственно товарищам, чьи слова и дела на самом деле меняют этот мир.

2. В заметке «И так можно» дан ответ на вопрос о том, зачем надо осваивать новое, если старых знаний пока хватает.

3. А на вопрос о пользе от математических знаний у, например, биологов, отвечает заметка «Центрифуга и пять пробирок». Можно, конечно, вставать в позу «бывают умные люди, которые вообще не ориентируются в математике», но трудно не согласиться с тем, что в очень многих областях знаний необходимо иметь приличный уровень математической культуры.

4. Тогда же мы попробовали посмотреть на элементарные механические процессы и соответствие интуиции/ощущения и опыта. В двух заметках (первая и вторая) мы поиграли с разными типами катушек ниток, пытаясь понять, что и куда начнёт двигаться.

Ещё был обзор терминала D аэропорта Шереметьево, вся интересность которого сейчас состоит только в том, что он набрал рекордное количество просмотров и комментариев (это благодаря одной самоотверженной комментаторше, оперативно отвечающей на все вопросы страждущих :)

Хорошего дня!

Запись о заметках прошлых месяцев стала традиционной, поэтому перечислю предыдущие выпуски: интересное в ноябре, интересное в октябре, интересное в сентябре, августе, июле, июне, мае, апреле, марте, феврале, январе 2009 года, интересное в декабре, ноябре, октябре, сентябре, августе, июле и июне, интересное в первые три месяца жизни блога.

Найдите отличия

Что-то увлеклись мы физикой (уже более 80 комментариев в обсуждении задачки про два автомобиля), поэтому сейчас будет простой математический вопрос, который мог бы быть в давнем ЕГЭ, а потом... опять физика :)

Итак, дана функция у = f(x). На каком из промежутков эта функция возрастает?
1) (-∞, 5];
2) [-2, 4];
3) (2, 3);
4) (0, 8).
Думаете я забыл добавить картинку к заметке? ;)

А теперь возвращаемся к физике (эту задачку предложил обсудить один из читателей).

Объясните отсутствие нарушения закона сохранения энергии в следующем случае:
Дан конденсатор ёмкости C с зарядом 2Q. Его энергия равна (2Q)^2/2C. Параллельно ему мы подключили пустой конденсатор такой же ёмкости, после чего заряд равномерно распределился по этим двум конденсаторам. По идее (по формулам) общая энергия этой системы стала Q^2/2C+Q^2/2C = Q^2/C (т.е. в 2 раза меньше, чем изначальная). Но по здравой логике энергия никуда не должна исчезать (заряды-то никуда не делись, как был суммарный 2Q, так и остался).

Многие не любят задачки про электричество, потому что в школе редко хорошо проходят эту тему. Поэтому давайте переведём это же условие на язык жидкостей (такая аналогия часто оказывается не только полностью корректной, но и гораздо более ясной, так как с жидкостями-то мы привыкли иметь дело).

Объясните отсутствие нарушения закона сохранения энергии в следующем случае:
Дана вертикальная цилиндрическая бочка с водой (высота бочки 2h, масса воды 2m). Потенциальная энергия воды в поле тяжести равна 2mgh. Рядом ставим пустую бочку такой же формы, соеденив её с первой бочкой трубочкой, после чего вода равномерно распределился по этим двум бочкам. По идее (по формулам) общая энергия этой системы стала mgh/2+mgh/2 = mgh (т.е. в 2 раза меньше, чем изначальная). Но по здравой логике энергия никуда не должна исчезать (вода-то никуда не делась, как была суммарная масса 2m, так и осталась).

Кстати, водная аналогия позволяет лучше понять вот какую вещь: если трубочка, соединяющая бочки, будет толстой, то половина воды быстро перетечёт во вторую ёмкость (если сопротивление проводника между конденсаторами будет малым, то заряд быстро перераспределится). Но эта толщина трубочки (сопротивление проводника) не влияют на финальное количество энергии.

В чём вопрос? Как обычно:
0) На каком из промежутков возрастает функция f(x) из начала заметки?
1) Объясните отсутствие нарушения закона сохранения энергии в обоих случаях.
2) Чем так отличаются примеры с водой и электричеством, что про бочку воды мы не сомневаемся, а с конденсаторами есть ощущение, что что-то не так?

Хорошего дня!

Три фильма

Добрый день!

Сегодня в нашей традиционной рубрике «Три чего-нибудь» я предлагаю обсудить три фильма. Точнее, фильмов будет четыре, но два из них об одной социальной группе, поэтому странно было бы их разделять:

1) «Сказ о розовом зайце», снятый в 2010 году, с первых кадров вызывает желание выключить эту очередную молодёжную комедию с элементами мордобоя, но поскольку его мне порекомендовали путёвые люди, то продолжаю смотреть. И не жалею об этом! Оказалось, что мало кому известные актёры работают очень хорошо, а сценарий тщательно продуман. Фильм показывает очень «везучего» студента, который за короткое время существенно преображается, не замечая этого.

2) Два фильма про чиновников: наш и не наш. «Какраки» 2009 года с первых кадров показывают, как должна начинаться правильная отечественная комедия. А «Девушка из кафе» (2005 год) не может не думать о бедной части человечества, не может обманывать или даже промолчать, если обсуждается важный вопрос. Оба фильма (второй в больше степени) градусом одиночества и тоски напоминают «Трудности перевода», но в обоих превалирует совсем другая линия. Обе картины качественно сделаны, а смотреть их имеет смысл подряд, чтобы прочувствовать разницу и сходство отечественных и зарубежных бюрократов.

3) Комедия Григория Константинопольского «Самка», снятая в 2010 году, почему-то почти нигде не обсуждалась, хотя задумана и сделана весьма интересно. Концентрация сценариста на некоторых моментах слегка смущает, но при этом хорошо понятно, что без них было бы трудно выразить идею в короткой ленте. Кстати, в данной подборке «Самка» - это единственный фильм, который можно смотреть с детьми. Но его стоит посмотреть именно с детьми :)

Ну а всем интересующемся кинематографом напоминаю про недавнюю подборку «фильмов про Алис».

Хорошей недели!

Устные ответы

Добрый день.

На прошлых выходных blogspot.com болел (внезапно пропадали статьи), поэтому многие не смогли прочитать заметку с решением задачки про два автомобиля, один из которых разгоняется. Сейчас та запись и комментарии к ней восстановлены, поэтому приглашаю к обсуждению (а там есть, что обсуждать - в комментариях предложены альтернативные правильные взгляды на ситуацию).

Заодно напомню ссылки на все статьи по теме:
- Устные задачки
- Как отвечать на собеседовании?
- Как решать задачку по геометрии?
- Как решать задачку по алгебре?
- Как решать физическую задачку? (это и есть та восстановленная статья).

Приглашаю в комментариях к этой заметке поделиться своими историями с собеседований и экзаменов из вашей жизни. Наверняка же были интересные ситуации и вопросы, заданные вам? Да и сами вы, наверное, нередко проводили отборы разного уровня? Расскажите, пожалуйста, об этом, так как это очень интересно!

Хорошего дня!

Как решать задачу по физике?

А сегодня мы попробуем хорошо ответить на вопрос про два автомобиля и сохранение энергии. Напомню, что мы играем в устное собеседование, мы примерно понимаем цели этого мероприятия, поэтому даже догадываемся, как отвечать на собеседовании, значит осталась мелочь. Давайте вспомним саму задачку:

Два автомобиля массы m едут со скоростью v по дороге в одну сторону. В системе отсчёта дороги их кинетическая энергия равна mv²/2. А относительно друг друга их скорость равна нулю, поэтому и кинетическая энергия рава нулю. Теперь один из автомобилей потратил литр бензина, чтобы разогнаться до скорости 2v. Его кинетическая энергия в лабораторной системе отсчёта стала равной m(2v)²/2 = 2mv². А в системе отсчёта второго автомобиля его кинетическая энергия стала mv²/2 (так как их скорости отличаются на v). Возникает вопрос: почему сжигание одинакового количества топлива в разных системах отсчёта привело к отличающемуся в три раза приросту энергии объектов? Закон сохранения энергии ведь никто не отменял.

Для начала перечислим, чего говорить не надо:
- «А в чём проблема? Ну и пусть отличается в три раза, что такого-то?»
- «Нет здесь никакого парадокса! Физическая теория работает в куда более сложных случаях. И здесь всё правильно поэтому».

Надо понимать, что экзаменатор, который предложил эту задачку, знает физику и много раз уже слышал размышления об этих двух автомобилях. Поэтому лучше не терять время на пустые слова, а понять, чего он хочет. А хочет он убедиться, что у кандидата есть вменяемые представления о законе сохранения энергии, развита способность внятно излагать и так далее (эта задачка хороша тем, что даёт поводы для многих дополнительных вопросов, если собеседующему захочется углубиться в каких-то направлениях).

Итак, сначала надо объяснить, почему кажется, что есть парадокс: «В самом деле, в разных системах отсчёта было извлечено одинаковое количество энергии из горючего, поэтому может казаться, что и прирост энергии в разных системах должен быть равным. Ошибка именно в этом месте, так как почему-то совершенно не рассмотрена работа внешних сил, которая в разных системах будет отличаться».

Вообще говоря, услышав такие слова, экзаменатор может решить, что дальше можно и не разговаривать, так как, скорее всего, соискатель всё прекрасно понимает. Очень может быть, что после этого будет предложена более интересная задачка. Впрочем, и в этой можно поразбираться, так как возможностей для дополнительных вопросов она даёт массу.

Поэтому давайте продолжим: «Убедимся, что работа внешних сил в разных системах отсчёта тоже отличается в три раза (как и приросты кинетических энергий). Для начала рассмотрим частный случай - равноускоренное движение разгоняющегося автомобиля. Пусть разгон происходит за время t (естественно, одинаковое в разных система отсчёта).

В лабораторной системе отсчёта автомобиль разогнался со скорости v до 2v. При этом он прошёл расстояние 3vt/2 (так как ускорение постоянное). Это значит, что совершена работа 3Fvt/2. А в системе отсчёта равномерно двигающегося автомобиля разгон произошёл с нулевой скорости до v, поэтому расстояние пройдено меньшее - vt/2, а значит, работа тоже меньше - Fvt/2. Что и требовалось понять».

Если и в этот момент собеседующий не остановит, то можно попробовать развить мысль, насколько это возможно без бумажки: «Для частного случая равноускоренного движения мы всё поняли, но этого, конечно, недостаточно. Давайте разберёмся с общим случаем - разгоном автомобиля с непостоянным ускорением.

В этом случае рассуждения можно повторить, если воспользоваться формулой dE=v*dP (изменение энергии равно произведению скорости на изменение импульса). Достаточно проинтегрировать обе части этого равенства по интервалам импульсов в разных системах отсчёта».

Кстати, в этот момент нас уже могут спросить, что это за формула и почему мы можем ею пользоваться. Поэтому давайте её быстренько докажем: «dP = F(t)dt, а dx = v(t)dt, поэтому dx = v(t)dP/F(t). А изменение энергии dE = F(t)dx = v(t)dP» (такие вещи уже нелегко делать в уме, поэтому нам, если уже задали такой дополнительный вопрос, то предложат доску и маркер или бумажку и ручку). Главное - не растеряться, а спокойно всё вывести, продемонстрировав знание определений и умение производить простейшие преобразования.

Раз уж мы зашли так далеко, то давайте добьём задачку: «В таком подходе мы можем манипулировать непосредственно скоростями и импульсами, а не координатами и временем, что позволяет нам не обращать внимание на величину мгновенного ускорения.

Изменение энергии равно работе A, которая равна интегралу от VdP по интервалу от P1 до P2, который равен интегралу от PdP/m (по тому же интервалу), который равен разнице квадратов импульсов P1 и P2, делённой на 2m. Если подставить значения начального и конечного импульсов, то эта формула повторит уже известный результат - изменение энергии в лабораторной системе отсчета будет в 3 раза больше».

Как это всё почувствовать? Представьте себе беговую дорожку, двигающуюся со скоростью v. По ней едут два автомобиля (тоже со скоростью v относительно поверхности дорожки). Относительно планеты оба автомобиля стоят на месте. Теперь один из них начинает ускоряться до скорости 2v (относительно ленты). Заметьте, что расстояние относительно планеты (или второго автомобиля), которое пройдёт разгоняющийся автомобиль, пока достигнет удвоенной скорости, гораздо меньше, чем расстояние, которое он проехал вдоль движущейся ему навстречу ленты. Как мы уже знаем, эти расстояния как раз различаются в три раза. Какой-то такой образ тоже вполне подходит для объяснения этой задачки, конечно, если не шибко путаться. Главное - объяснить, что происходит. Если подкрепить объяснения выкладками, то это будет хорошо. Но даже внятное пояснение на пальцах, показывающее незамутнённость - это уже очень ценно.

Я дополнил текст заметки «Устные задачки» ссылками на все три разбора (включая этот), поэтому сейчас, я думаю, та заметка вполне подходит, чтобы рекомендовать её идущим на собеседования. Если у вас есть такие знакомые, то покажите им её. Надеюсь, это увеличит их шансы попасть на желанную учёбу или работу. Успехов!

Как решать алгебраическую задачку?

Продолжаем отвечать устно на собеседовании. Пусть на этот раз нам досталась задачка из теории чисел. Напомню условие (две недели назад были опубликованы три устные задачки):
Найдите наименьшее натуральное n, такое, что n-я степень натурального числа не бывает шестизначным числом.

Первым делом надо понять, что всё это значит. Что такое натуральное число? Непрерывщикам удобно считать, что это целые неотрицательные числа (0, 1, 2, ...), а дискретчики (как и большинство школьников) работают с натуральными числами, не включающими ноль. Вообще говоря, решая эту задачку, можно продемонстрировать понимание этого вопроса: «Если бы речь шла о множестве натуральных чисел, включающих ноль, то правильным ответом был бы 0, потому что это наименьшее n, такое, что n-я степень всех чисел не бывает шестизначным числом (так как нулевая степень любого числа равна единице). Но это слишком просто, поэтому я решу задачу и для более классического определения множества натуральных чисел».

Второй момент - понять, что значит выражение «n-я степень натурального числа не бывает шестизначным числом». О каком натуральном числе идёт речь? Надо понимать, что обо всех. Да, именно так принято выражаться: вместо «никто из кандидатов не решил эту задачку» говорят «кандидаты не решили эту задачку».

Теперь давайте переформулируем задачу, сузив круг поиска. Например, может ли искомое n равняться единице? Не может, потому что шестизначное число в первой степени является шестизначным.

Другими словами, наша задача теперь звучит так: найти целое число n > 1, чтобы никакое натуральное x в n-ой степени не могло быть шестизначным.

Теперь давайте как-нибудь ограничим n сверху. Чем больше x, тем больше xⁿ, поэтому давайте возьмём наименьшее x, которое имеет смысл возводить в степень. Так как единица в любое степени равна единице, мы возьмём двойку.

Программисты, в какую степень надо возвести 2, чтобы получить семизначное число? Чему равно 2²⁰? Да, это чуть больше миллиона (1048576) - как раз семизначное. Если мы возьмём число x большее двух, то получим x²⁰ > 2²⁰, т.е. заведомо не шестизначное.

Задача стала ещё проще: надо найти наименьшее 1 < n < 20, чтобы для любого натурально x было ложным следующее утверждение 100000 <= xⁿ < 1000000.

(Да, это всё невредно произнести на устном собеседовании, чтобы экзаменатор/наниматель мог убедиться, что в голове у соискателя не каша, что кандидат умеет объяснить, что и почему он прямо сейчас обдумывает. Потому что в реальной работе/учёбе очень важно правильно ожидать действия/идеи от партнёров.)

Дальше можно решить эту задачку, показав свои способности быстро считать и хорошо помнить. Например, можно сказать так:

«Пусть n=2. Так как 1000² = 1000000, то 999² как раз будет шестизначным числом (если надо, можем явно посчитать его по формуле сокращённого умножения: 999² = (1000-1)² = 1000000 - 2000 + 1). Поэтому квадрат точно отметаем.

Пусть n=3. Так как 100³ = 1000000, то 99³ как раз будет шестизначным числом. Куб отметаем.

Пусть n=4. Вспоминаем случай n=2 - нам достаточно оценить корень из 999 - это примерно 30. Значит, 30⁴ будет шестизначным (30⁴ = 900² = 810000), так что и четвёртая степень не подходит.

Пусть n=5. Это легко - 10⁵ = 100000. Поэтому и пятая степень не может быть ответом.

Пусть n=6. Вспоминаем случай n=3. Надо оценить корень из 99. Это примерно 9. Давайте посчитаем 9⁶. Это легко: 9⁶ = 81³ ~= 80³ = 8³ * 1000 = 2⁹ * 1000 = 512000. Как и ожидалось, получили шестизначное число, поэтому n=6 не подходит.

Пусть n=7. Мы помним, что 9⁶ уже около полумиллиона, поэтому в седьмую степень имеет смысл возводить что-то меньшее девяти. Давайте оценим 8⁷. Со степенями двойки всё очень быстро: 8⁷ = 2²¹ (уже больше миллиона). Поэтому пробуем семёрку возвести в седьмую степень: 7⁷ = 49³ * 7 < 50³ * 7 = 125000 * 7 (чуть меньше миллиона). Так мы разобрались с седьмой степенью.

Пусть n=8. Вспоминаем n=4: 30⁴ является шестизначным, поэтому осмысленно смотреть на корень из 30, округляя вниз. Чему равна восьмая степень пятёрки? 5⁸ = 25⁴ = 625² ~= чуть меньше полумиллиона.

Пусть n=9. Сейчас уже имеют смысл только очень маленькие x (меньшие 5, потому что 5⁹ ~= 5*полмиллиона уже будет семизначным). Давайте попробуем четвёрку: 4⁹ = 2¹⁸ ~= чуть больше четверти миллиона. И девятка не подходит.

Пусть n=10. Как мы помним, 4¹⁰ = 2²⁰ больше миллиона, а 2¹⁰ = 1024. Поэтому остаётся проверить только тройку в десятой степени: 3¹⁰ = 9⁵. Но мы же помним, что 10⁵=100000 является наименьшим шестизначным числом. А так как 9⁵ < 10⁵, то 9⁵ заведомо не шестизначное. Выходит, мы нашли границу: 3¹⁰ меньше шестизначного, а 4¹⁰ уже больше шестизначного. А поскольку мы для всех степеней меньших десяти уже нашли такое x, что xⁿ является шестизначным, то мы решили задачку».

Я несколько раз слышал примерно такое рассуждение (устно эту задачку рассказывают за 3-4 минуты). Интересно, что рассказывающий решение может не знать ответ (потому что ещё до него не дошёл), но он уверен, что идёт по верному пути (так как уже ограничил n маленьким интервалом, а на каждой из 18 итерации задерживается на считанные секунды). Конечно, двигаясь к ответу, можно было и срезать некоторые углы. Но даже такое переборное решение является вполне неплохим: человек показывает свою способность быстро и адекватно проводить оценки, использовать ранее сделанные вычисления, сосредоточенно и целенаправленно двигаться к цели, не опускать руки на середине пути, не путаться в логике происходящего. Не скрывайте эти свои качества, когда проходите собеседование!

А теперь поделитесь, пожалуйста, своим подходом к решению этой задачки. Мне интересны разные правильные способы рассказать её за несколько минут :)

Хороших праздничных выходных!

Как решать геометрическую задачку?

Давайте теперь решим первую устную задачку, как будто мы отвечаем на собеседовании. Напомню условие: Через середины трёх рёбер куба провели два отрезка (как на рисунке). Найдите угол между этими отрезками.

Метод 1 («универсальный», «метод кувалды», «лишь бы не думать»).
Пусть длина стороны этого куба равна 2. Тогда векторы, соответствующие красным отрезкам, можно записать как v1=(1, 1, 0) и v2=(1, 0, 1). Угол между ними легко найти из определения скалярного произведения (<v1,v2> = |v1|*|v2|*cos(a)). Получается cos(a) = <v1,v2>/2 = 1/2. По косинусу угла находим сам угол - 60 градусов.

Некоторые люди, идущие по этому пути, сразу себя поправляют, получив такой ответ: «Но искомый угол очевидно тупой, а мы получили острый, потому что... а-а, потому что мы посчитали угол не между векторами, исходящими из общей точки двух отрезков... Один из векторов надо развернуть в противоположную сторону, поэтому правильный ответ 180-60=120 градусов.

Более аккуратные, применяя метод координат, хорошо понимают, что он позволяет легко делать серьёзные ошибки, которые иногда очень трудно отловить (в этой простой задачке нам просто повезло, что сразу было видно неправильность ответа 60). Такие люди сразу корректно записывают вектора (один из них с противоположным направлением), поэтому получают cos(a) = -1/2, из чего сразу следует верный ответ.

Это вполне хороший метод, показывающий, что студент/соискатель не склонен городить что-то сложное, если можно решить задачу, не подключая голову. В самом деле, думать утомительно, поэтому пусть универсальный метод сам ищет решение (если задачка ему по зубам).

Метод 2 («метод пристального взгляда», «красивый», «лишь бы не считать»).
Давайте построим сечение куба плоскостью, проходящей через два красных отрезка. Легко показать, что получится правильный шестиугольник, у которого, естественно, все углы равны 120 градусам.

Такое решение показывает, что его автор имеет хорошую интуицию или видел эту задачку ранее (оба варианта хорошие). Чтобы лучше понять, что из себя представляет человек, стоит ему предложить доказать, что в сечении будет именно правильный шестиугольник (соответственно, лучше заранее быть готовым это рассказывать, чтобы произнести чёткое и короткое обоснование).

Метод 3 («красивый, но и думать надо», «компромисс»).
Воспользуемся тем, что угол между отрезками не поменяется, если мы будем их параллельно переносить:
- верхний отрезок передвинем на диагональ верхней грани, а потом сбросим на такую же диагональ нижней грани,
- ближний к нам отрезок передвинем на диагональ ближней к нам квадратной грани.

После этого наши два красных отрезка будут иметь общую точку в вершине куба, а сами станут диагоналями этого куба. Найти угол между такими отрезками легко - достаточно всего лишь достроить третью диагональ - получим правильный треугольник (т.е. нашли угол 60 градусов). Дальше надо не забыть, что таким образом мы нашли не тот из двух углов, поэтому говорим ответ - 120 градусов.

В этом решении пришлось городить чуть больше, но и интуиция/чувство пространства не были нужны в большом объёме (всё-таки разглядеть шестиугольник - это отдельный талант).

Все эти три решения хороши, все они показывают кандидата с хороших сторон. Кстати, идеальный кандидат, рассказав одно из решений, почти сразу произносит примерно следующее: «Давайте ещё попробуем посмотреть на задачку с другой стороны. Например, можно ...» (и так пока его не прервут). Не надо стесняться блистать гранями, покажите разнообразие своих навыков, даже если задачка элементарная!

Если интересно теперь порешать другую геометрическую задачку, то рекомендую вспомнить давнюю борьбу с конусами (там тоже всюду равносторонние треугольники и всё красиво). И если у вас было существенно другое решение этой задачки об угле между двумя отрезками, то, пожалуйста, поделитесь им.

Хорошего дня! (кстати, завтра вечером пройдёт турнир по «Банальностям», рекомендую - подробности)