13 апр. 2011 г.

Устные задачки

Добрый день.

Чем отличается письменный экзамен от устного? Одно из важных различий состоит в том, что при формировании письменной работы мы не имеем обратной связи с проверяющим, а на устном вполне можно успеть себя поправить, если «чуть-чуть» пойти не в ту сторону.

Опять же, экзаменатору удобен устный опрос, потому что не приходится сомневаться, написана эта конкретная глупость по невнимательности или по незнанию, так как можно проверяемого переспросить (это если нам умные важнее внимательных, например).

Есть у устных собеседований и недостатки:
- медленные люди на них оказываются в невыгодной ситуации, так как не успевают сообразить, что требуется в простой ситуации (хотя эти же люди способны справиться со сложным вопросом, если им дать достаточно времени),
- больший простор для проявления субъективности (на мнение оценивающего начинают влиять внешность и манера говорить собеседуемого, из-за чего снижается вес знаний),
- так как на устном экзамене невозможно задать сложный вопрос, экзаменатору приходится искать простые и интересные формулировки (а их значительно меньше, чем сложных и интересных). Из-за этого собеседование иногда превращается в проверку, видел ли опрашиваемый раньше этот вопрос и ответ на него, а должно всё-таки проверяться его умение самостоятельно справиться с вопросом.

Впрочем, есть ситуации, когда это всё не является проблемой - если мы проводим отбор быстрых и приятных в общении людей, имеющих широкий кругозор и большой опыт решения различных задач.

Предлагаю три задачки из разных областей знаний: геометрия, арифметика и физика. Если захочется потянуться к карандашу и бумаге, то остановите себя, так как это устные задачки. Здесь не надо рисовать и выписывать формулы, а достаточно всего лишь показать свою способность разбираться с простыми вопросами, запоминать совсем небольшие объёмы данных, делать верные логические переходы и так далее.

1. Через середины трёх рёбер куба провели два отрезка (как на рисунке). Найдите угол между этими отрезками.

2. Найдите наименьшее натуральное n, такое, что n-я степень натурального числа не бывает шестизначным числом (задачка из ЖЖ Константина Кнопа, но будьте осторожны, нажимая на ссылку, так как там опубликован ответ).

3. Два автомобиля массы m едут со скоростью v по дороге в одну сторону. В системе отсчёта дороги их кинетическая энергия равна mv2/2. А относительно друг друга их скорость равна нулю, поэтому и кинетическая энергия рава нулю. Теперь один из автомобилей потратил литр бензина, чтобы разогнаться до скорости 2v. Его кинетическая энергия в лабораторной системе отсчёта стала равной m(2v)2/2 = 2mv2. А в системе отсчёта второго автомобиля его кинетическая энергия стала mv2/2 (так как их скорости отличаются на v). Возникает вопрос: почему сжигание одинакового количества топлива в разных системах отсчёта привело к отличающемуся в три раза приросту энергии объектов? Закон сохранения энергии ведь никто не отменял.

Кстати, год назад мы рассматривали одну задачку о сохранении энергии - и вот её разбор.

Дополнение. Ниже перечислены заметки, имеющие отношения к данной:
Как отвечать на собеседовании?
Как решать задачку по геометрии?
Как решать задачку по алгебре?
Как решать физическую задачку?


Хорошего дня!

41 комментарий:

  1. Алексей13.04.2011, 8:34

    1. Шестигранник
    2. 2 в некоторой степени становится семизначным
    3. Хм, за 10 секунд не придумал

    ОтветитьУдалить
  2. eyeless-watcher, верно (судя по всему, Алексей выше пытался это же сказать).

    Алексей, Ваш ответ на вторую задачу невнятен. Чему равно n?

    dlazerka, что это значит? И как это помогает понять третью задачку?

    ОтветитьУдалить
  3. Алексей13.04.2011, 9:41

    Я и не пытался дать ответ прямым текстом, чтоб не испортить думающим впечатление первым комментарием.

    n=10

    ОтветитьУдалить
  4. 2) 10, но как-то не очень устная задачка получается (или я лёгкого решения не увидел)

    ОтветитьУдалить
  5. Во вторую задачу, мне кажется, стоит добавить слово "любого": "такое, что n-я степень любого натурального числа ...". Для меня было неочевидно, что речь идет не об одном и том же числе.

    Сжигание топлива приводит к уменьшению веса. Тут надо считать.

    ОтветитьУдалить
  6. +1 monkegoist

    Формулировка мутновата. Я вообще сначала не понял, что именно спрашивается. Имхо надо сформулировать: "Найдите наименьшее натуральное n, такое, что n-я степень ни одного из натуральных чисел не бывает шестизначным числом"

    ОтветитьУдалить
  7. Последнюю задачу тоже не понял (туплю наверное )))

    Даже если никакого топлива не сжигать, то кинетическая энергия автомобилей относительно земли и относительно друг-друга разная. Это ж разные системы отсчета. Т.е. я не понял проблемы... )

    ОтветитьУдалить
  8. LisandreL, позже обсудим, наверное. У меня эта задачка легко решается вслух за пару минут. Если у Вас тоже, но решение Вам кажется сложным, то, вероятно, мы говорим об одном и том же, но разными способами его оцениваем :)

    monkegoist, судя по двум комментариям с этим вопросом, непонимание в этом месте возможно. Но я не уверен, что правильно будет усложнить текст условия, чтобы некоторые невнимательные люди с большей вероятностью правильно его поняли. Другими словами, если человек хочет неправильно понять, то он это сделает, а если хочет вчитаться, то тоже всё для этого есть. И я не уверен, что надо чуть-чуть сдвигать границу непонимания (полагаю, очень мало людей спотыкаются об эту очевидную мелочь).

    Aleck, если в разных системах отсчёта отличаются эрергии у разных объектов, то это нормально. Но когда от сжигания одного и того же литра бензина в разных системах отсчёта получаем разный прирост энергии - это уже странно. Или не странно?

    ОтветитьУдалить
  9. > Но когда от сжигания одного и того же литра бензина в разных системах отсчёта получаем разный прирост энергии - это уже странно. Или не странно?

    Может я и заблуждаюсь, но мне кажется все в порядке. Энергия зависит от скорости. Скорость - величина относительная (относительно системы отсчета). Следовательно, и кинетическая энергия тела тоже может рассматриваться только в какой-то конкретной системе отсчета.

    В этом смысле меня нисколько не напрягает тот факт, что величина кинетической энергии для разных систем отсчета разная. Так и есть. Если разогнанный автомобиль будет взаимодействовать с первым, то характер взаимодействия можно описать относительно движущейся системы отсчета, т.е. посчитав энергию исходя из относительной скорости. Если же автомобиль врежется в столб, то характер этого взаимодействия будет описываться энергией, определенной из скорости в системе отсчета, связанной с землей.

    Т.е. тут я как бы проблем не вижу... Или может я очень широко смотрю?

    ОтветитьУдалить
  10. Нашел такую фразу: "Таким образом, при переходе от одной системы отсчета к другой меняется не только кинетическая энергия, но и изменение кинетической энергии. Но всегда изменение кинетической энергии равно работе сил в этой же системе отсчета." Получается, работа сил в этих двух системах отсчета разная.

    Пример со столбом хорош :) В первой системе отсчета у автомобиль будет двигаться навстречу столбу со скоростью 2v. Во второй автомобиль будет двигаться навстречу столбу со скоростью v, но и столб будет двигаться навстречу автомобилю со скоростью v, следовательно, суммарная скорость будет равна 2v, как и в первой системе отсчета.

    ОтветитьУдалить
  11. Топливо после сжигания ведь тоже движется. Его энергию мы и не учли. Дополнительно мы не учли кинетическую энергию земли, ведь за счет ускорения машины она тоже изменила свою скорость.

    ОтветитьУдалить
  12. (1) 2π/3

    (2) n = 10

    (3) E = mc^2 [1 + (1/2)(v/c)^2 + (3/8)(v/c)^4 + (5/16)(v/c)^6 + ...]

    ОтветитьУдалить
  13. (3) Энергия, высвобожденная в результате сжигания литра бензина, пошла не только на прирост кинетической энергии машины, но на что-то ещё.

    Простые расчёты, основанные на законах сохранения энергии и импульса показывают, что всё сходится и нет никакого противоречия. Моё первоначальное подозрение, что разброс можно объяснить релятивистскими формулами не состоятелен.

    ОтветитьУдалить
  14. to Arthur Baraov:
    Я думаю, тут надо простыми рассуждениями, без расчетов, объяснить - как так получается. Это нечто вроде софизма:)
    Разумеется, расчеты покажут, что все в порядке.

    ОтветитьУдалить
  15. Космический корабль разгоняется отбрасывая от себя быстрый поток газа. Что же отбрасывает от себя разгоняющийся автомобиль? Конечно он отбрасывает от себя выхлопные газы, но не это является причиной разгона автомобиля. Разгоняющийся автомобиль ‘отбрасывает’ от себя Землю, результатом чего является ‘разгон’ всей планеты в обратную сторону, т. е. вращательное движение планеты меняется.

    Рискуя быть обвинённым что я опять решаю какую-то свою задачу, хочу проиллюстрировать сказанное следующим примером. Представьте себе тело массой m в свободном пространстве, которое покоится в системе отсчёта X и движется с некоторой постоянной скоростью V в другой системе отсчёта Y. В результате какой-то химической реакции тело расщепляется на два куска m1 и m2, которые приобретают скорости v1 и v2, соответственно, в системе отсчёта X.

    Давайте подсчитаем прирост кинетической энергии тела m в системах X и Y.

    1. Система X:

    ΔK(X) = m1*v1^2/2 + m2*v2^2/2

    2. Система Y:

    ΔK(Y) = m1*(V+v1)^2/2 + m2*(V+v2)^2/2 - (m1+m2)*V^2/2 = ΔK(X) + (m1*v1 + m2*v2) = ΔK(X)

    Т. е. химическая энергия пошла на прирост кинетической энергии всей системы, и этот прирост один и тот же в обеих системах отсчёта X и Y, как и должно быть.

    ОтветитьУдалить
  16. Между прочим из вышеприведённых расчётов вытекает очень интересная и неожиданная (по крайней мере для меня) интерпретация закона сохранения импульса: этот закон не представляет собой независимый принцип, а просто-напросто является неизбежным логическим следствием закона сохранения энергии и принципа относительности.

    Действительно, принцип относительности утверждает, что все физические законы абсолютно одинаковы в любых двух системах отсчёта, одна из которых движется с постоянной скоростью по отношению к другой, и никакими физическими измерениями невозможно их различить. Следовательно, из условия, что никакими физическими измерениями невозможно обнаружить разницу в приросте кинетической энергии в двух различных системах отсчёта X и Y после химической реакции, с неизбежностью следует логический вывод:

    m1*v1 + m2*v2 = 0

    ОтветитьУдалить
  17. Анонимный14.04.2011, 8:42

    вроде по теореме Кёнига для перевода энергии из одной системы отсчета в другую надо еще PV добавить в нашем случае это m*v*v, то есть как раз 2(mv^2/2) и тогда все сходится

    ОтветитьУдалить
  18. Теорема Кёнига не имеет вроде никакого отношения к переводу энергии из одной системы отсчета в другую.

    Она просто утверждает, что кинетическая энергия системы есть энергия движения центра масс плюс энергия движения относительно центра масс.

    Иными словами, полная кинетическая энергия тела или системы тел в сложном движении равна сумме энергии системы в поступательном движении и энергии системы во вращательном движении относительно центра масс.

    ОтветитьУдалить
  19. Вот другой, более приземлённый так сказать, метод правильного подсчёта прироста кинетической энергии в двух системах. Как можно было бы избавиться от необходимости учёта изменения вращательно движения Земли в результате разгона автомобиля? Очень просто: надо симметризовать задачу.

    К паре автомобилей A и B движущихся в одном направлении с одинаковой скоростью v добавим другую пару A’ и B’ движущихся в противоположном направлении с той же по абсолютной величине скоростью. Автомобили B и B’ удваивают скорость движения. Теперь расчет прироста кинетической энергии в неподвижной системе отсчёта X, т.е. относительно Земли, и в подвижной системе Y принимают вид:

    ΔK(X) = m(2v)^2/2 + m(-2v)^2/2 - mv^2/2 - m(-v)^2/2 = 3mv^2

    ΔK(Y) = mv^2/2 + m(-3v)^2/2 - m(-2v)^2/2 = 3mv^2

    Т. е. ΔK(X) = ΔK(Y), как и должно быть.

    ОтветитьУдалить
  20. Чтобы как-то развлечь читателей пока Илья готовит очередной пост, предлагаю пару дополнительных задачек.

    В результате сильной грозы с ураганом, в посёлке городского типа Бельская Лепота испортились одновременно все светофоры таким образом, что в каждом отдельно взятом светофоре постоянно горит(ят) один, два, или все три цвета. Докажите (или опровергните) что следующие неравенства всегда имеют место:

    (1) Number(Red,~Yellow) + Number(Yellow,~Green) >= Number(Green, ~Red)

    (2) Number(Red,~Yellow) + Number(Yellow,~Green) >= Number(Red, ~Green)

    Обозначения полагаю прозрачные. К примеру, Number(Red,~Yellow) означает количество тех светофоров где горит красный, но не горит жёлтый, ну и т. д.

    ОтветитьУдалить
  21. Анонимный18.04.2011, 15:01

    в левой части получается или красный горит или не зеленый
    в правой (1) и зеленый и не красный, (2) и красный и не зеленый . Значит во втором случае очевидно, что неравенство правильно, в то же время первое неверно ( например если горят только зеленые )

    ОтветитьУдалить
  22. Уважаемый аноним,

    Возможно не подозревая того сами, вы только что доказали, и весьма изящно надо сказать, неравенство (2), которое по существу тождественно очень важному утверждению, впервые доказанному John Bell и получившему в теоретической физике пышное название Bell’s Inequality. Приложение этого неравенства в квантовой механике, известное под названием Bell’s Theorem, вызвало пожалуй самый большой переполох и сумятицу за всю историю не только квантовой механики, но и всей науки в целом.

    Я настоятельно рекомендую вам заняться близко изучением квантовой механики: если вы смогли в уме доказать так быстро Bell’s Inequality, то пожалуй вам удастся вывести эту область физики из того тупика, в который окончательно загнал её Bell своей теоремой.

    http://www.upscale.utoronto.ca/PVB/Harrison/BellsTheorem/BellsTheorem.html

    ОтветитьУдалить
  23. Похоже, что я чуточку поспешил с выводами по поводу доказательства неравенства (2) предложенного анонимом: в изящном доказательстве есть изящный изъян, который можно изящно изъять :-).

    Действительно, аноним полагает, что

    Number(Red,~Yellow) + Number(Yellow,~Green) = Number (Red or ~Green) .

    А ведь это неверно, например, когда есть хотя бы один светофор где горят все три цвета.

    ОтветитьУдалить
  24. Анонимный19.04.2011, 12:52

    Товарищи! Наш офис не может работать уже 3 дня. Скажите же ответ на 3 задачу.

    /Сергей

    ОтветитьУдалить
  25. Анонимный19.04.2011, 16:09

    Друзья, закон сохранения энергии (данном случае механической) работает в изолированных системах. А машина с топливным баком таковой не является. Она при разгоне передает импульс и энергию Земле. Соответственно, надо считать Землю телом конечной массы. Для простоты вместо Земли возьмите брусок массы М с одной степенью свободы на котором находится машина и рассмотрите два случая (С.О. бруска и С.О. машины). В обоих случаях приращение механической энергии системы будет одинаковым (с точностью до израсходованной массы бензина).
    Уважаемый Илья, задача отличная, только, на мой взгляд не совсем устная, а скорее для устного экзамена. Все-таки посчитать результат
    надо.

    /Читатель

    ОтветитьУдалить
  26. Анонимный19.04.2011, 19:21

    Друзья, закон сохранения энергии (данном случае механической) работает в изолированных системах

    Уважаемый Читатель,

    Объясните пожалуйста почему вы считаете, что в данном случае речь идёт о сохранении механической энергии. Механическая энергия изолированной системы Автомобиль-Земля увеличилась в результате разгона автомобиля, а не сохранилась, не так ли.

    Чисто интуитивно, чтобы понять что происходит на самом деле, полезно представить себе очень большое колесо с бегущей белкой внутри колеса.

    Arthur Baraov

    ОтветитьУдалить
  27. Анонимный20.04.2011, 12:48

    Уважаемый Arthur Baraov,
    Согласен, про механическую энергию замечание было не совсем корректное, но его я сделал умышленно, почитав предыдущие комментарии, чтобы показать, что суть здесь в чистой механике, и не надо искать термодинамических и иных потерь. Есть система Автомобиль-Земля. В нее добавили кинетическую энергию, равную теплоте сгорания топлива с учетом КПД. В результате добавления этого количества энергии скорость автомобиля увеличилась на V. Так вот, независимо от того, рассматриваем мы движение в С.О. Земли или в С.О. второго автомобиля, одинаковое приращение кинетической энергии, приводит к одинаковому приращению скорости. В чем можно убедиться простыми расчетами. Модель с бруском мне нравится больше,чем с белкой потому, что ее численно посчитать может и восьмиклассник, не умеющий работать с вращательным движением.

    Читатель

    ОтветитьУдалить
  28. Анонимный21.04.2011, 1:45

    Товарищи! Наш офис не может работать уже 3 дня. Скажите же ответ на 3 задачу.

    Ещё один способ правильного подсчёта прироста кинетической энергии, предназначенный специально для Сергея и его коллег, чтобы они наконец смогли вернуться к плодотворной офисной работе.

    В неподвижной системе кинетическая энергия Земли равна нулю, поэтому весь прирост кинетической энергии замкнутой системы Автомобиль-Земля сосредоточен в автомобиле:

    ΔK(X) = m(2v)^2/2 - mv^2/2 = 3mv^2/2

    До разгона автомобиля его скорость в подвижной системе равна нулю, а скорость Земли равна –v; после разгона скорость автомобиля равна v, а скорость Земли чут-чуть увеличится и будет равна –(v+Δv). Учитывая, что масса Земли M гораздо больше массы автомобиля m, а также закон сохранения импульса, согласно которому

    mv – M(v+Δv) = -Mv (т.е. mv = MΔv ),

    получаем полный прирост кинетической энергии в подвижной системе:

    ΔK(Y) = M(v + Δv)^2/2 + mv^2/2 - Mv^2/2 = MvΔv + mv^2/2 = mv^2 + mv^2/2 = 3mv^2/2

    т.е. опять, как и следовало ожидать, ΔK(X) = ΔK(Y).

    Arthur Baraov

    P. S. Это всё семечки, ребята, давайте лучше займёмся доказательством эквивалента Bell’s Inequality.

    ОтветитьУдалить
  29. Анонимный21.04.2011, 4:32

    Поскольку с автомобилями в разных С.О. все понятно, пока молчит Илья предлагаю вернуться к белке в колесе. Вопрос устный и на ответ на него не должно быть формул. Есть 2 бутылки из под пепси-колы 0.5л. Одна пустая другая полная. Какая из них будет катится по наклонной плоскости быстрее, чем другая, и если будет, то почему.

    Читатель

    ОтветитьУдалить
  30. Анонимный21.04.2011, 19:08

    Ну с бутылками просто всё - быстрее будет катиться та которая пустая

    Потому что:
    ускорение свободного падения действует на них одинаковое потому если бы падали вниз то падали одновременно

    угол наклона плоскости одинаков, потому это не оказывает влияния на скорость

    а вот трение качения разное , потому что оно зависит от массы - то есть раскрутить легкий диск проще чем тяжелы потому что у него из за массы инерция меньше

    потому быстрее пустая

    Только вот ещё вопрос на засыпку - как считать если вращается только бутылка а жидкость внутри остаётся в покое :) , всё равно будут потери на трение жидкость бутылка, но задачка становится интереснее

    По поводу задачи 3 - вот интересно , а если автомобиль который едет быстрее врежется в гору , а второй нет - то относительно системы земля автомобиль его кинетическая енергия превратиться в 0 (то есть уменьшиться на 2mv2) а для второй системы энергия станет -mv2 (mv2 в сумме и вектор поменяет) снова разница энергий :)


    И ещё один вопрос: есть тело, которое имеет массу. Мы прикладываем энергию и поднимаем тело вверх отдаляя от земли и увеличивая его потенциальную энергию. С ростом высоты энергия растёт - но , когда мы покидаем поле тяготения земли эта энергия пропадает, т.е. если мы отпустим тело то ничего не произойдет, оно не изменит скорость, не изменит энергию - куда подевалась энергия ?

    ОтветитьУдалить
  31. С ростом высоты энергия растёт - но , когда мы покидаем поле тяготения земли эта энергия пропадает, т.е. если мы отпустим тело то ничего не произойдет, оно не изменит скорость, не изменит энергию - куда подевалась энергия ?

    Столько нелепых утверждений в одном предложении! Энергия не пропадает - гравитационная потенциальная энергия все там же; поле тяготения земли падает постепенно обратно пропорционально квадрату расстояния от центра зеили, т. е. покинут полностью это поле невозможно; если мы отпустим тело при нулевой скорости, оно неизбежно обратно упадёт на землю в конечном итоге.

    Вопрос становится более интересным, если вместо плавно меняющегося гравитационного поля рассматривать поле ядерных сил, которое, как известо, практически разрывным образом исчезает на определенном и очень близком расстоянии от атомного ядра.

    ОтветитьУдалить
  32. Анонимный22.04.2011, 0:07

    Не упадёт - то есть если я отлечу но 1М световых лет от земли то она меня будет так же притягивать ? :)

    поле тяготения земли падает постепенно обратно пропорционально квадрату расстояния от центра земли, т. е. покинут полностью это поле невозможно; если мы отпустим тело при нулевой скорости, оно неизбежно обратно упадёт на землю в конечном итоге.

    абсолютно верно, и Вы считаете что при достаточном расстоянии эта сила не исчезает ? действует на бесконечно большем расстоянии, и невозможно покинуть поле тяготения, так ?

    просто значение имеет расстояние - и как сказал один человек, в этой теме - потенциальная энергия это такая энергия которая имеет значение только в системах с полями. И равна она ВОЗМОЖНОЙ работе полей по перемещению массы (заряда, etc ...) из текущей точки. И эта величина имеет значение только в системах с такого рода полями , а в моём примере то и произошло что объект покинул систему с землей.

    ОтветитьУдалить
  33. Не упадёт - то есть если я отлечу но 1М световых лет от земли то она меня будет так же притягивать ? :)

    Да, будет, с силой равной (согласно классической модели гравитации):

    F = γMm/(1 миллион световых лет)^2

    Теперь, конечно никто не может запретить вам сомневаться, что классическая модель будет работать адекватно при таких экстремальных условиях. Вы можете провести эксперимент и попытаться опровергнуть Ньютона. Я уверен, что вам будет сопутствовать удача, при условии вы успеете завершить свой эксперимент вовремя.

    Удачного полёта.

    ОтветитьУдалить
  34. Анонимный22.04.2011, 5:22

    :) как забавно , берем калькулятор
    считаем по классической формуле
    при таких порядках расстояний сила должна быть порядка 4,5*10^-18Н (для тела массой 1 кг)

    Теперь вопрос - если мы будем увеличивать расстояние , до тех пор пока гравитационное взаимодействие с землей не станет слабее самых слабых сил , будет ли считаться что его нет ?


    А вот ещё один вопрос - на расстоянии 1 тыс св лет от наблюдателя находится звезда, предположим что существуют только эти два объекта. Звезда резко меняет свою массу (взрывается , и рассеивается + часть массы переходит в энергию. Т.е не просто изменение плотности но и потеря массы) - как скоро наблюдатель почувствует изменение силы гравитации которая была между этими двумя объектами ?

    ОтветитьУдалить
  35. Славик22.04.2011, 23:19

    "как скоро наблюдатель почувствует изменение силы гравитации которая была между этими двумя объектами ?"

    распространение любого типа взаимодействия ограничено по скорости скоростью света

    1 120
    2 1
    3 delta E = A, A = delta r * F F = ma = m*d^2(r)/d(t^2), а вектор перемещение в разных системах отсчета различен. при одинаковом времени.

    ОтветитьУдалить
  36. Не думая и не читая: надо учитывать раскрутку Земли.

    ОтветитьУдалить
  37. Анонимный04.05.2011, 12:46

    "в левой части получается или красный горит или не зеленый "

    Уважаемый Аноним здесь ошибся, хотя дальше всё правильно. В левой части доступны красный, красно-зеленый, желтый, красно-желтый, что заведомо включает в себя красный и красно-желтый.

    ОтветитьУдалить
  38. Задачка про звезду порадовала. Дополнительный вопрос - каков механизм изменения силы гравитации действующей на наблюдателя?

    ОтветитьУдалить

Понравилась заметка? Подпишитесь на RSS-feed или email-рассылку.

Хотите поделиться ссылкой с другими? Добавьте в закладки:



Есть вопросы или предложения? Пишите письма на адрес mytribune АТ yandex.ru.

С уважением,
      Илья Весенний