28 апр. 2011 г.

Как решать геометрическую задачку?

Давайте теперь решим первую устную задачку, как будто мы отвечаем на собеседовании. Напомню условие: Через середины трёх рёбер куба провели два отрезка (как на рисунке). Найдите угол между этими отрезками.

Метод 1 («универсальный», «метод кувалды», «лишь бы не думать»).
Пусть длина стороны этого куба равна 2. Тогда векторы, соответствующие красным отрезкам, можно записать как v1=(1, 1, 0) и v2=(1, 0, 1). Угол между ними легко найти из определения скалярного произведения (<v1,v2> = |v1|*|v2|*cos(a)). Получается cos(a) = <v1,v2>/2 = 1/2. По косинусу угла находим сам угол - 60 градусов.

Некоторые люди, идущие по этому пути, сразу себя поправляют, получив такой ответ: «Но искомый угол очевидно тупой, а мы получили острый, потому что... а-а, потому что мы посчитали угол не между векторами, исходящими из общей точки двух отрезков... Один из векторов надо развернуть в противоположную сторону, поэтому правильный ответ 180-60=120 градусов.

Более аккуратные, применяя метод координат, хорошо понимают, что он позволяет легко делать серьёзные ошибки, которые иногда очень трудно отловить (в этой простой задачке нам просто повезло, что сразу было видно неправильность ответа 60). Такие люди сразу корректно записывают вектора (один из них с противоположным направлением), поэтому получают cos(a) = -1/2, из чего сразу следует верный ответ.

Это вполне хороший метод, показывающий, что студент/соискатель не склонен городить что-то сложное, если можно решить задачу, не подключая голову. В самом деле, думать утомительно, поэтому пусть универсальный метод сам ищет решение (если задачка ему по зубам).

Метод 2 («метод пристального взгляда», «красивый», «лишь бы не считать»).
Давайте построим сечение куба плоскостью, проходящей через два красных отрезка. Легко показать, что получится правильный шестиугольник, у которого, естественно, все углы равны 120 градусам.

Такое решение показывает, что его автор имеет хорошую интуицию или видел эту задачку ранее (оба варианта хорошие). Чтобы лучше понять, что из себя представляет человек, стоит ему предложить доказать, что в сечении будет именно правильный шестиугольник (соответственно, лучше заранее быть готовым это рассказывать, чтобы произнести чёткое и короткое обоснование).

Метод 3 («красивый, но и думать надо», «компромисс»).
Воспользуемся тем, что угол между отрезками не поменяется, если мы будем их параллельно переносить:
- верхний отрезок передвинем на диагональ верхней грани, а потом сбросим на такую же диагональ нижней грани,
- ближний к нам отрезок передвинем на диагональ ближней к нам квадратной грани.

После этого наши два красных отрезка будут иметь общую точку в вершине куба, а сами станут диагоналями этого куба. Найти угол между такими отрезками легко - достаточно всего лишь достроить третью диагональ - получим правильный треугольник (т.е. нашли угол 60 градусов). Дальше надо не забыть, что таким образом мы нашли не тот из двух углов, поэтому говорим ответ - 120 градусов.

В этом решении пришлось городить чуть больше, но и интуиция/чувство пространства не были нужны в большом объёме (всё-таки разглядеть шестиугольник - это отдельный талант).

Все эти три решения хороши, все они показывают кандидата с хороших сторон. Кстати, идеальный кандидат, рассказав одно из решений, почти сразу произносит примерно следующее: «Давайте ещё попробуем посмотреть на задачку с другой стороны. Например, можно ...» (и так пока его не прервут). Не надо стесняться блистать гранями, покажите разнообразие своих навыков, даже если задачка элементарная!

Если интересно теперь порешать другую геометрическую задачку, то рекомендую вспомнить давнюю борьбу с конусами (там тоже всюду равносторонние треугольники и всё красиво). И если у вас было существенно другое решение этой задачки об угле между двумя отрезками, то, пожалуйста, поделитесь им.

Хорошего дня! (кстати, завтра вечером пройдёт турнир по «Банальностям», рекомендую - подробности)

2 комментария:

  1. Анонимный28.04.2011, 10:40

    А вот самый "тупой" способ. Между свободными концами данных отрезков, проведем третий отрезок. Получим равнобедренный треугольник. Пусть длина стороны куба равна 2. Основание по теореме Пифагора 6^1/2, боковая сторона 2^1/2. Синус половины искомого угла 1/2*3^1/2. Получаем угол 120 градусов. К сожалению этот способ просто "убивает" красоту задачи.

    Читатель

    ОтветитьУдалить
  2. Я же просто ближнее правое ребро куба и ближний отрезок продлевал вверх до точки пересечения. Полученная точка логично соединяется с дальним концом второго отрезка и получается равносторонний треугольник. При этом искомый угол оказывается дополняющим.
    Имхо чуть более простая версия третьего варианта.

    ОтветитьУдалить

Понравилась заметка? Подпишитесь на RSS-feed или email-рассылку.

Хотите поделиться ссылкой с другими? Добавьте в закладки:



Есть вопросы или предложения? Пишите письма на адрес mytribune АТ yandex.ru.

С уважением,
      Илья Весенний