22 дек. 2009 г.

Центрифуга и пять пробирок

Добрый день, дорогие читатели!

Приношу извинения перед всеми, кто всерьёз начал беспокоиться, заметив долгое отсутствие новых заметок. У меня всё отлично! Сейчас я в романтической поездке, посвящённой юбилею свадьбы. Хоть интернет по дороге и попадался, но найти время даже для чтения комментариев было нелегко: масса новых впечатлений перегружает голову, интересные люди и курьёзные моменты завораживают, от обилия достойных внимания вещей кружится голова. Надеюсь на понимание :)

Впрочем, сейчас я начинаю потихоньку «возвращаться в реальность», поэтому в ближайшее время все получат ответы на письма и комментарии. У нас ещё есть полторы недели в этом году - их надо провести с толком!

Хоть данная заметка и начата в жанре «лытдыбр», сейчас мы плавно перейдём к математической задачке, которую недавно решила моя любимая женщина - биолог по специальности. Рассмотрение этой задачки, например, позволяет дать ответ на весьма распространённый вопрос: «А зачем биологу надо знать математику?»

Итак, представьте себе лабораторную центрифугу на 12 пробирок. Их обычно используют для осаждения, разделения фаз и так далее. Но нам это сейчас неинтересно, а важно понять, как она устроена. Наша центрифуга - это вращающаяся ось, на которой закреплён диск с двенадцатью равномерно распределёнными по окружности отверстиями. Для запуска установки необходимо обеспечить её уравновешенность. Другими словами, центр масс должен оказаться на оси (иначе центрифуга будет прыгать по столу, как советская стиральная машинка при сушке белья, что приводит к поломкам).

Разместить две одинаковые пробирки легко - достаточно воткнуть их в противоположные отверстия. Аналогично можно поместить любое чётное число пробирок. Но как быть, если у нас есть пять одинаковых пробирок?

Пожалуйста, напишите в комментариях не только свой ответ, но и путь, которым его получили - это всегда интересно.

Хорошего дня!

32 комментария:

  1. Уравновешиваем сначала три пробирки, получая равносторонний треугольник
    А потом добавляем еще две друг напротив друга.
    То есть, например, пронумеруем, все отверстия от 0 до 11.
    Будут заняты 0, 4, 8 и 1, 7.

    Наверное 12 отверстий не случайный выбор, потому что в такой центрифуге можно уравновесить любое кол-во пробирок кроме 0 и 11.

    ОтветитьУдалить
  2. сначала выставляем 3, потом выставляем две. путь ... не знаю, как-то сразу не уравновесив 5 начал пробовать по частям.

    ОтветитьУдалить
  3. Сразу стало понятно, что проблема в нечетном количестве пробирок - четное количество достаточно разложить по две с противоположных сторон центрифуги. Далее традиционный прием - начать с решения простейшего случая прямым перебором, чтобы понять закономерность: взял три пробирки и начал раскладывать. Опять-таки, сразу стало понятно, что для уравновешивания "качелей" нужно две пробирки поместить симметрично от третьей на определенном расстоянии. Как только стал думать, как вычислить это расстояние, обратил внимание на симметричность системы.

    Вот и весь ход решения на полминуты.

    ОтветитьУдалить
  4. Анонимный22.12.2009, 8:17

    сразу видно математики...
    Биологи скорее всего добавляют лишнюю пробирку с водой в случае не четности, дабы "высшей" математикой не заниматься.

    ОтветитьУдалить
  5. Анонимный22.12.2009, 8:36

    Да что Вы говорите? То есть плотностью вещества можно пренебречь да? ;)

    ОтветитьУдалить
  6. Берем шестую пробирку и наливаем туда водичку.

    ОтветитьУдалить
  7. Да, до меня уже все сказано - надо взять шестую пробирку с водой.
    Например, этот метод очень поможет, в том случае, если нужная пробирка у нас всего одна :)

    ОтветитьУдалить
  8. Пробирки надо расположить так: 12 часов, 3 часа, 4 часа, 8 часов, 9 часов.
    Рассуждал так. Разделил окружность с 12 пробирками на 4 равных сектора линиями проходящими через 6-12 часов и 9-3 часа. Для того, чтобы уравновесить 5 пробирок, сначала надо расположить их симметрично относительно одной из осей (пусть 6-12 часов). Это даст нам уравновешенность относительно этой оси. Это возможно, если одна пробирка располагается на оси (пусть на 12 часов), а остальные - друг напротив друга (1-11, 2-10 и т.д.). Именно это соображение заставило меня поделить на 4 сектора именно через пробирки, а не между ними, как я попытался сделать вначале.
    Далее надо уравновесить пять пробирок относительно второй оси 9-3 часа. Симметрии здесь уже не получится. Однако, уравновешенности можно добиться, если проекции моментов инерции на ось, перпендикулярную 9-3 (т.е. на ось 6-12) будут равны для обоих частей. Одна пробирка у нас зафиксирована, про остальные мы решили только, что они друг против друга. Проекция момента инерции пробирки 12 = 1. Моменты инерции пробирок 1,11,5,7 равны по sqrt(3)/2, пробирок 2,10,4,8 - по 1/2, пробирок 3, 9 - по 0. Элементарный подбор даёт ответ.

    ОтветитьУдалить
  9. Очевидно, что производители центрифуги тоже были знакомы с математикой :) Ведь 12 очень хорошее число, и выбрано оно явно не просто так. У него много делителей, а не_делители можно разложить на сумму делителей.

    Фактически в эту центрифугу не получится заложить только 1 и 11 пробирок, да и те можно уравнять "водичкой". При условии, конечно, что массы пробирок примерно равны.

    ОтветитьУдалить
  10. Анонимный22.12.2009, 11:49

    Илья, поздравляю с юбилеем! Семья - это же самое главное :-)
    А ответов на комментарии я и подождать могу.
    Задачу эту мы решали ещё в школе :-)

    ОтветитьУдалить
  11. Надо разделить вещество в каждой пробирке на две и тогда получится четное число пробирок. В случае с 5 пробирками - получится 10 и тогда все хорошо уравновешивается.
    Странно, что никто так и не встречал этого решения...

    ОтветитьУдалить
  12. может просто в вершинах равностороннего n-угольника?

    ОтветитьУдалить
  13. Ну ничего себе вы распределили пробирки, господа!
    Кроме добавления лишней пробирки такого же веса, или разделения содержимого каждой из пробирок на две части мне ничего в голову не приходит.
    Такие проблемы, вероятно, возникают при количествах 1, 5, 7, 11.

    ОтветитьУдалить
  14. Да помнится, я же эту задачку и присылал. Сочинил лет 20 назад.
    Решение проще некуда: 3+2, но некоторые покупаются и начинают составлять уравнения с синусами-косинусами.

    ОтветитьУдалить
  15. Да, и насчет математики для биологов. У экспериментальщиков на каждом шагу математическая статистика. А в Новосибирском Институте цитологии и генетики сейчас самый большой отдел - теоретический, там сплошь математики и программеры.

    ОтветитьУдалить
  16. Добавить шестую пробирку с водой из под крана.

    ОтветитьУдалить
  17. Виктор,
    боюсь, без "косинусов" не показать, что три пробирки уравновешиваются (исключая способ "очевидно").

    ОтветитьУдалить
  18. Вообще 12 без остатка делиться на 2,3,4,6. Число 10 только на 2 и 5 - поэтому выбор числа пробирок не случаен. В теории двенадцатиричная система счисления гораздо лучше десятичной, но к сожалению пальцев у нас только десять.
    Ответ: уравновесить 3+2.

    ОтветитьУдалить
  19. 3 пробирки уравновешиваются, поскольку они переходят в себя при повороте на 120 градусов. Значит и центр масс переходит в себя при повороте на 120 градусов - а значит он лежит на оси поворота. Никаких косинусов не нужно.

    ОтветитьУдалить
  20. Кстати, я тут подумал - по логике, не должен биолог вообще решать эту задачку. Такие задачки решаются раз и навсегда, и результат заносится в инструкцию.

    Т.е. надо глянуть инструкцию к центрифуге - там должна быть картинка, как расставлять какое количество пробирок, когда надо добавлять пробирку с водой (1 и 11 пробирок), а когда не надо.

    ОтветитьУдалить
  21. halyavin, согласен, спасибо.

    ОтветитьУдалить
  22. aamonster, каждый биолог может и не должен. Но представьте студента, которого в первый раз подпустили к центрифуге. Думаете ему дадут инструкцию?

    ОтветитьУдалить
  23. Может быть стоит добавить еще одну пробирку с обычной водой? ;)

    ОтветитьУдалить
  24. Анонимный24.12.2009, 1:31

    8,9,12,3,4.

    Просто и тупо - три плюс две. А как я до этого дошёл...

    Решил перепробовать различные осесимметричные раскладки. Действует комбинаторика - одна из пробирок на 12. Одна пара пробирок на 1/11, или 2/10, или 3/9. Вторая - на 4/8, или 5/7. Перебор невелик.

    ОтветитьУдалить
  25. Юлия А, студенту или дадут упрощенную инструкцию (допустим, ставить ровно две пробирки с противоположных сторон центрифуги), или скажут "расставь пробирки и позови преподавателя, прежде чем запустить центрифугу".

    Я хоть и не биолог, но студентом был, и как их допускают к оборудованию - помню.

    Собственно, я к чему веду: решать задачки такого рода приходится, когда работаешь с оборудованием в нештатном режиме. И ни изготовители оборудования, ни преподаватели не будут рисковать оборудованием для проверки, правильно ли пользователь решил задачку.

    ОтветитьУдалить
  26. Анонимный25.12.2009, 15:54

    Как вариант для совсем ленивых - налить во все пробирки воду, кроме тех что с жидкостями

    ОтветитьУдалить
  27. Анонимный25.12.2009, 19:56

    MATLAB для ленивых:

    for j = 1:100000
    i = randperm(12)-1;
    i = i(1:5);
    i = sort(i);
    r = 1;
    x = r*sin(2*pi*i/12);
    y = r*cos(2*pi*i/12);

    d = sum(abs([sum(x), sum(y)]));

    if d < 10e-10
    compass(x,y);
    end
    F = getframe();
    end

    ОтветитьУдалить
  28. Спасибо за варианты своих решений!

    Всё необходимое уже сказано выше:
    1) пять пробирок можно разместить, справившись с двумя более простыми задачами - про 2 и 3 пробирки,
    2) производители центрифуг выбирают именно 12 отверстий, потому что только 1 или 11 пробирок требуют дополнительной "заглушки" для балансировки, а все остальные количества можно распределить без проблем.

    Уважаемый аноним, спасибо! :)

    Юлия А, 5 и 7 вполне разрешимы :)

    Виктор, спасибо за задачку! И благодарю за интересную информацию о приоритетах биологов :)

    Уважаемый аноним, спасибо за технологичное решение на матлабе!

    ОтветитьУдалить
  29. Такого решения еще не было, кажется.
    В центрифугах автобалансировка есть.
    Поэтому на глаз разместить, чтоб не все пять с одной стороны были. :)

    ОтветитьУдалить
  30. 2) производители центрифуг выбирают именно 12 отверстий, потому что
    Производители центрифуг делают и 4, и 8, и 10, и 12, и 16, и большее количество отверстий. И в инструкциях иногда пишут, что если уравновесить пробирки не получается, добавьте лишние. Т.е. 12 ― число удобное, но не настолько, чтобы под него подгонять конструкцию центрифуги.

    ОтветитьУдалить
  31. alexzzzzz, спасибо за важное уточнение! Конечно, бывают и другие центрифуги. Число 12 удобно, но не для всех типов задач.

    ОтветитьУдалить

Понравилась заметка? Подпишитесь на RSS-feed или email-рассылку.

Хотите поделиться ссылкой с другими? Добавьте в закладки:



Есть вопросы или предложения? Пишите письма на адрес mytribune АТ yandex.ru.

С уважением,
      Илья Весенний