5 июн. 2011 г.

Квадрат циркулем и линейкой

Добрый день.

Задачи на построение – это отличный способ тренировать логику, аккуратность и интуицию. Надо почувствовать, какие действия с циркулем и линейкой имеет смысл совершать, убедиться, что всё сделано верно (сам себя не обманул, например, посчитав два отрезка параллельными, когда они могут быть какими угодно), проверить, что построенное является тем, что требовалось (т.е. ещё надо решить геометрическую задачу на доказательство, чтобы убедиться в правильности построений).

Интересная разновидность задач на построение – поиск кратчайшего решения (с минимальным количеством действий). Полгода назад мы решали пару близких задачек о построении перпендикуляра, а сегодня я предлагаю построить квадрат.

Итак, на плоскости дан отрезок, а у нас в руках есть циркуль и линейка без делений (пусть линейка в несколько раз длиннее данного отрезка). Постройте любой из двух квадратов, стороной которого является отрезок.

Ясно, что меньше трёх действий быть не может, так как для рисования трёх оставшихся сторон квадрата надо совершить ровно три действия (это если уже знать, как они расположены). Задача как раз и состоит в том, чтобы за наименьшее количество действий построить точки, через которые надо проводить эти отрезки.

За сколько линий вы можете построить любой из нужных квадратов? ;)

Хорошего дня!

54 комментария:

  1. Если линейка имеет форму прямоугольника (который хотя бы в корень из 2 раз длиннее исходного отрезка), то можно за 5 действий ;)

    ОтветитьУдалить
  2. id, линейка имеет форму отрезка, поэтому строить прямые углы за одно действие нельзя. Впрочем, судя по тому, что Вам потребовалось 5 действий, а не 4, Вы не этим занимались :)

    ОтветитьУдалить
  3. Не ставил пока что перед собой целью минимизацию действий.
    При помощи циркуля любой отрезок можно поделить пополам путем начертания двух окружностей с центрами в концах отрезка.

    Если мы соединим точку пересечения окружностей с концами отрезка, то получим равносторонний треугольник ABC (он равнобедренный, так как медиана перпендикулярна основанию, а также основание и одна из сторон равны радиусу), где AB - отрезок(А - центр одной из окружностей), С - точка пересечения окружностей.

    Таким же образом, можно поделить отрезок AC, получив DE, перпендикулярный АС и делящий его пополам.

    DE пересекаясь с окружностью А, дает точку E.
    Треугольник DEA прямоугольный с углом EAD=60.
    Отметим, что угол CAB также равен 60 градусам (треугольник равносторонний).

    Следовательно, если поделить угол EAD пополам (что тоже выполнимо при помощи циркуля), то, сложив половинку этого угла плюс угол CAB, получим прямой угол, и соответствующий радиус, вторая сторона квадрата.

    Та же операция повторяется с точкой B.

    В результате три стороны, соединяем = квадрат!

    Знаю, что долго, подумаю потом, как можно побыстрее.

    ОтветитьУдалить
  4. http://dropmocks.com/mV04-
    1. окружность с радиусом равным стороне.
    2. то же самое в другого конца отрезка.
    3. деление начального отрезка пополам.
    4. окружность с радиусом равным половине из точки пересечения бОльших окружностей.
    5. касательные к этой окружности (меньшей) от точек начального отрезка до пересечения с бОльшими окружностями.
    6. соединение нужных точек. готово. видимо долго.

    ОтветитьУдалить
  5. Дан отрезок АВ длиной R.
    Немного сомневаюсь в точности одной из операций, но тоже подходит:
    1. Строим 2 круга с радиусом R (длина отрезка), с центрами в концах отрезка;
    2. опускаем на круги сверху линейку до построения касательных к обоим кругам разом; получили точки C и D для кругов с центрами A и B соответственно;
    3. строим отрезки CD, AC и BD;
    4. докажем, что ABCD - квадрат:
    == а) угол ACD прямой, так как построен на касательной и радиусе из точки касания; угол BDC доказывается аналогично;
    == б) отрезки касательных (CD и AC) к окружности A равны по одному из свойств окружностей.
    Итог: есть 4 равных отрезка, углы между тремя из них прямые - это квадрат.

    Квадрат готов за 5 линий =)

    ОтветитьУдалить
  6. Анонимный05.06.2011, 13:01

    > опускаем на круги сверху линейку до построения касательных к обоим кругам разом; получили точки C и D для кругов с центрами A и B соответственно

    Нет такой операции! В задачах на построение можно только:
    1) проводить прямую через две данные точки,
    2) проводить окружность радиусом, равным расстоянию между двумя данным точками, с центром в данной точке.

    ОтветитьУдалить
  7. Готово за 8 действий. На картинке http://goo.gl/1XnQf показаны 6. Еще 2 - построение недостающих сторон по имеющимся вершинам.

    ОтветитьУдалить
  8. 1-2 Окружности
    3 Перпендикуляр
    4-5 Диагонали
    6-8 Три оставшихся стороны

    ОтветитьУдалить
  9. http://dropmocks.com/mV1-h
    1, 2, 3 - деление отрезка пополам.
    4 - нахождение точки пересечения диагоналей.
    5, 6 - недостающие вершины квадрата, лежащие на прямых, проходящих через данные вершины и точку пересечения диагоналей. вершины лежат на бОльших окружностях.
    7, 8, 9 - соединение отрезками точек.
    всего линий получается 9

    ОтветитьУдалить
  10. http://www.dropmocks.com/mV1v5
    Концы отрезка - точки A и B
    1. Строим окружность: центр=A радиус=AB (красная)
    2. Строим окружность: центр=B радиус=AB (зелёная)
    3. Через точки пересечения окружностей проводим линию (синяя), которая является перпендикуляром к AB и пересекает его в середине (точка C).
    4. Строим окружность: центр=C радиус=AB (фиолетовая) -> в пересечении с перпендикуляром получаем точку D
    5. Строим окружность: центр=D радиус=AC (желтая) -> в точках пересечения с окружностями из пунктов 1 и 2 получаем точки E и F - оставшиеся вершины квадрата (доказательство см. ниже)
    6. Чертим отрезок AE
    7. Чертим отрезок BF
    8. Чертим отрезок EF

    Доказательство того, что E и F - вершины нужного квадрата:
    1. AB = AE - следует из того, что E - находится на окружности с центром в A и радиусом AB
    2. AE = AB = BF - следует из того, что F - находится на окружности с центром в B и радиусом AB
    3. DE = AC - следует из того, что E находится на окружности с центром D и радиусом AC
    4. CD = AB - следует из того, что D - находится на окружности с центром в C и радиусом AB
    5. треугольники ACD и DEA равны по трём сторонам (AD - общая, AC = DE, AE = CD (обе равны AB))
    6. Из равенства треугольников следует, что угол AED прямоугольный, т.к. равен углу DCA, а последний прямоуголен по построению (образован отрезком и перпендикуляром к нему).
    7. Тут надо бы вспомнить теорем, чтобы доказать, что EDF - прямая, а не угол, и что AB параллельно EF, но я вспомнить таковых не могу :(
    8. Из вышесказанного тогда можно было бы доказать аналогично пунктам 5 и 6 равенство и прочих треугольников и прямоугольность соответствующих углов (EAC, CBF и BFD)
    9. На выходе в четырёхугольнике ABFE углы прямоугольны, а стороны равны, ч.т.д...

    booble не смог повторить Ваших построений - не могли бы картинку выложить?

    ОтветитьУдалить
  11. Еще раз прилагаю картинку:
    http://goo.gl/1XnQf
    Всего 8 шагов.

    ОтветитьУдалить
  12. A,B - концы данного отрезка.
    Построим 2 окружности с одинаковым радиусом с центрами в А и в B.
    Соединим их точки пересечения, это будет серединный перпендикуляр к AB.
    Назовем середину AB точкой H.
    Итак, строим прямую через H и эти 2 точки пересечения окружностей, прямая перпендикулярна AB.
    Отмеряем циркулем длину AB, на этой прямой отсчитываем от H 2 таких расстояния AB.
    Назовем конец этого отрезка J.
    Способом, которым мы уже делали, построим серединный перпендикуляр к HJ. Пусть середина HJ - I. Построим на этом перпендикуляре IC=HB=HA=ID. (IC и ID противоположно направлены).
    Получили ABCD - искомый квадрат.

    ОтветитьУдалить
  13. Анонимный05.06.2011, 14:44

    booble,
    прямой АВ по условию нет. +1 действие

    ОтветитьУдалить
  14. Мда, условие невнимательно прочитал :(
    Почему-то подумал что по условию дана прямая и сторона квадрата должна лежать на ней.
    Но в любом случае у меня не получается построить квадрат меньше чем за 8 шагов.

    ОтветитьУдалить
  15. Пока 8 действий.
    1−2. Окружности радиуса 1 из концов отрезка AB. Точка их пересечения — C.
    3−4. Прямые AB и BC.
    5. Окружность с центром в C, проходящая через A и B. Одним действием получаем сразу две точки на продолжении сторон, D и E.
    6−7. Прямые AD и BE. Сразу же получаем остальные две вершины — F и G.
    8. Проводим отрезок FG. ABGF — наш квадрат.

    Как ни мучился — за 7 действий не вышло.

    ОтветитьУдалить
  16. third.

    http://dropmocks.com/mV07N

    1,2 - окружности из концов отрезка с радиусом равным отрезку.
    3. окружность диаметром, равным отрезку с центром в точке пересечения бОльших окружностей.
    4,5 - касательные к меньшей окружности из готовых вершин (точки пересечения прямых с окружностями бОльшего радиуса - недостающие две вершины).
    спорно, насколько точно параллельны будут касательные при реальном построении.
    6. соединение вновь определенных вершин.

    итого линий - 6.

    ОтветитьУдалить
  17. Касательные к окружностям нельзя строить "на глазок".
    4,5 - так делать нельзя

    ОтветитьУдалить
  18. ddt, а что за софт используете для черчения?

    ОтветитьУдалить
  19. Последний комментарий натолкнул на идею...
    Действительно, и циркулем и линейкой (реальной, по крайней мере) можно не только чертить окружности и линии, но и отмерять расстояния...
    В случае ddt квадрат не получится, потому что высота треугольника не равна его стороне,
    Но, циркулем можно отмерить отрезок AB на высоте и прочертить окружность с радиусом AB/2.
    Касательные будут единственными, под прямым углом к АВ, и равны ему...то есть получится квадрат.
    Таким образом,
    1,2 - окружности
    3- линия по пересечению АВ
    4 - окружность радиуса AB/2 на медиане
    5,6 - касательные
    7 - соединение вершин.

    ОтветитьУдалить
  20. В задачах на построение линейка не имеет делений и имеет только одну сторону бесконечной длины.
    Т.е. поделить отрезок пополам можно только дополнительным построением.

    ОтветитьУдалить
  21. to booble - geogebra - http://www.geogebra.org/cms/ru/download

    если циркулем можно отмерять расстояния, можно элементарно разметить линейку, получив отрезки готовой длины.

    ОтветитьУдалить
  22. Даны точки A и B
    1 Строим отрезок AB
    2 Окружность o1 R=AB с центром в A
    3 Окружность o2 R=AB с центром в B
    - точки пересечения этих окружностей D и E
    4 Строим прямую через D и E: F - середина AB
    5 строим дугу окружности o3 R=AB с центром в F пересекающую прямую DE: G - точка пересечения O3 и DE
    6 Строим окружность o4 R=AG с центром в F
    - точки пересечения o4 с o1 и o2 - вершины искомого квадрата H и I
    7 Строим отрезок AH
    8 Строим отрезок BI
    9 Строим отрезок HI

    ОтветитьУдалить
  23. Анонимный06.06.2011, 7:43

    1. Окружность из А радиусом АВ
    2. Окружность из В радиусом ВА
    точка пересечения окружностей О и О1
    3. Проводим отрезок ОО1 находим точку пересечения Н (необходимо найти половину АВ)
    4. Проводим окружность из О радиусом АН
    точка пересечения окружности В (ВА) и О (ОН) = С
    точка пересечения окружности А (АВ) и О (ОН) = D
    5. Проводим отрезок ВС
    6. Проводим отрезок АD
    7. Проводим отрезок DC
    Квадрат АВСD построен.

    С уважением Андрей.

    ОтветитьУдалить
  24. Андрей, а почему построенный четырёхугольник будет квадратом?

    ОтветитьУдалить
  25. Анонимный06.06.2011, 8:06

    PS:
    Для построения 2-х квадратов необходимо 9 действий:
    добавится 4.1 (между 4 и 5 )
    4.1 Проводим окружность из О1 радиусом АН
    точка пересечения окружности В (ВА) и О1 (ОН) = С1
    точка пересечения окружности А (АВ) и О1 (ОН) = D1

    изменится 5 и 6
    5. Проводим отрезок С1С
    6. Проводим отрезок D1D

    добавится 9
    9. Проводим отрезок D1C1

    С Уважением Андрей.

    ОтветитьУдалить
  26. Анонимный06.06.2011, 8:39

    это не квадрат
    пусть это квадрат
    угол OAB=60гр => OAC=30
    ОС^2=AC^2+AO^2-2*AC*AO*cos(OAC)=R^2+R^2-2R^2*sqrt(3)/2
    R^2*3/4=R^2(1-sqrt(3)/2)
    противоречие

    ОтветитьУдалить
  27. Анонимный06.06.2011, 9:51

    Ой дико извиняюсь ....
    от точки пересечения на шаге 4 конечно же находим пересечение с прямой ОО1, а от нее откладываем половину длины отрезка АВ.

    С уважением Андрей

    ОтветитьУдалить
  28. http://s45.radikal.ru/i108/1106/4c/2ecc135cff29.jpg

    1-2. Окружности радиусом AB из A и B.
    3. Прямая через точки пересечения C и D дает середину отрезка F.
    4. Из точки F окружность радиусом AB дает точку E, EF=AB
    5. Из точки E окружность радиусом AF дает на пересечениях с окружностями 1 и 2 точки G и H - это и есть вершины квадрата.

    ОтветитьУдалить
  29. Анонимный06.06.2011, 11:25

    Еще способ за 5 действий. На мой взгляд поэлегантней и поточнее, т.к. шаг циркуля не меняется и линейка не нужна. А и В - концы отрезка. Отмеряем на циркуле радиус отрезка. Проводим 5 окружностей одинакового радиуса.
    1. В точке А
    2. В точке В
    3. В точке С - пересечение предыдущих двух
    4. В точке D - пересечение А и С (не В а другое, симметрично отрезку АС)
    5. В точке Е - пересечение В и С (не А а другое, симметрично отрезку ВС)

    Точка F - пересечение C и D (не А, а симметрично отрезку CD)

    Точка G - пересечение C и E (не B, а симметрично отрезку CE)

    Теперь на линиях FA и GB лежат стороны квадрата.

    ОтветитьУдалить
  30. Красиво, олимпийские кольца напоминает.

    Да, но для получения точек вершин квадрата эти линии FA и GB надо провести, а это еще два действия и все-таки линейкой.

    ОтветитьУдалить
  31. Анонимный06.06.2011, 14:23

    Илья писал, что считаем только подготовительные действия. И все авторы тоже вроде так и считали. И я также посчитал. А всего для готового квадарата 8 действий.

    ОтветитьУдалить
  32. Условие несколько смутное, в одном месте "Задача как раз и состоит в том, чтобы за наименьшее количество действий построить **точки**, через которые надо проводить эти отрезки", в другом - "За сколько линий вы можете построить любой из нужных **квадратов**?".

    У вашего метода преимущество в том, что точки получаются одновременно со сторонами, и поэтому достаточно провести четвертую, "горизонтальную", сторону по ним. Поэтому точки у меня находятся быстрее, но полный квадрат получается в обоих случаях за 8 линий.

    Быстрее способа пока не видно.

    ОтветитьУдалить
  33. Анонимный06.06.2011, 15:04

    Ну дык точки F и G чем не точки через которые надо провести отрезки? Тем что немного отдалены?

    ОтветитьУдалить
  34. Анонимный07.06.2011, 6:41

    циркуль радиусом АВ
    1. В точке А
    2. В точке В
    3. Строим прямую через пересечения E,F
    4. В точке на прямой О, чтобы окружность прошла через точку пересечения Е.
    5. Строим отрезок из точки С пересечение окружности В и О к точке В
    6. Строим отрезок из точки D пересечение окружности А и О к точке А
    7. Строим отрезок СD

    Вопрос : Насколько корректно действие 4 ? Либо необходимо найти сначала центр О? Практически несложно провести такую окружность.

    ОтветитьУдалить
  35. Анонимный07.06.2011, 6:43

    PS :
    4. В точке О на прямой EF , чтобы окружность прошла через точку пересечения Е.

    ОтветитьУдалить
  36. Я не очень понимаю, как можно считать четвёртый пункт одним действием. Напомню, что допустимых действий всего три:
    0. Обозначить буквой точку пересечения двух линий.
    1. Провести прямую через две точки.
    2. Провести окружность из одной точки с таким радиусом, какое расстояние между двумя заданными точками (или со случайным радиусом).

    ОтветитьУдалить
  37. Различающихся способов построить квадрат за 8 действий насчитал уже штуки четыре. Из них парочка находит нужные вершины за пять действий.

    Такое большое количество равноценных решений наводит на мысль поискать что-то получше, но пока что не удается.

    ОтветитьУдалить
  38. Анонимный07.06.2011, 15:44

    1. Проводим окружность из точки А радиусом равным длине отрезка AB.
    2. Проводим окружность из точки B радиусом, равным длине отрезка AB. Получаем точки C и D пересечения этих окружностей.
    3. Проводим прямую через точки C и A. Получаем точку Е пересечения прямой с окружностью из первого пункта.
    4. Проводим окружность из точки D радиусом равным длине отрезка ЕB. Получаем точки F и G пересечения данной окружности с окружностями из пунктов 1 и 2.

    ABGF - искомый квадрат.

    Итого: 4 действия для построения вершин квадрата + 3 действия для построения сторон.

    Степан

    ОтветитьУдалить
  39. Степан, пытался повторить ваши действия - квадрат выродился в прямую.

    ОтветитьУдалить
  40. Анонимный07.06.2011, 16:20

    booble: Степан, пытался повторить ваши действия - квадрат выродился в прямую.

    http://s43.radikal.ru/i102/1106/f0/6355136d242e.jpg

    Степан

    ОтветитьУдалить
  41. Анонимный07.06.2011, 16:24

    Рисунок не удался, конечно. Кажется, что центр последней окружности лежит на отрезке, но чертить его надо с центром в точке D.
    Степан.

    ОтветитьУдалить
  42. Степан, вот чертеж по вашим инструкциям.

    http://s61.radikal.ru/i173/1106/5a/0edc9b251582.jpg

    Непонятно.

    ОтветитьУдалить
  43. Анонимный07.06.2011, 16:41

    Вы правы, ребята. Я поспешил и ошибся :) Буду думать дальше.
    Степан.

    ОтветитьУдалить
  44. пятиминутное :
    1... построить перпендикуляр к одному из концов отрезка (надо посмотреть сколько там действий выйдет)
    2. отложить на нем длину отрезка
    3, 4. построить окружности в центрах концов отрезков не являющихся вершиной полученного прямого угла
    5,6. соединить место пересечения окружностей со свободными концами отрезков. квадрат построен

    ОтветитьУдалить
  45. kaa, осталось придумать, как быстро строить перпендикуляр из заданной точки.

    ОтветитьУдалить
  46. Анонимный09.06.2011, 7:55

    Я уже 7 способов насчитал длиной 5 подготовительных шагов, 8 полностью шагов. Без нарушения симметрии. Это если третий отрезок симметричен ко второму по построению.

    ОтветитьУдалить
  47. Анонимный09.06.2011, 8:38

    Вот Вам 8-й способ:
    1-3 Строим серединный перпендикуляр к отрезку.
    4. От точки его пересечения откладываем на серединном перпендикуляре половину длины отрезка. Находим центр описанной окружности.
    5. Строим описанную окружность квадрата из этой точки.
    6-8 Соединяем отрезки.

    С уважением Андрей.

    ОтветитьУдалить
  48. Анонимный09.06.2011, 8:45

    Да, это восьмой способ.

    ОтветитьУдалить
  49. Здравствуйте,
    возник один вопрос.

    По идее (в моём понимании), при идеальных циркуле и линейке должен работать такой способ:
    1,2) чертим окружности с радиусом, равным отрезку, с центрами на его концах;
    3) проводим любую из двух общих касательных к обеим окружностям;
    4,5) каждую точку касания соединяем с ближайшим к ней концом отрезка.

    Понятно, что если б этот способ был легитимен, он бы и всем остальным в голову пришёл.
    В чём же его нелегитимность? В невозможности точно обнаружить точки касания? В невозможности точно провести общую касательную?
    Почему это невозможно даже при наличии идеальных инструментов?

    Заранее спасибо за ответ.

    ОтветитьУдалить
  50. В геометрии точки являются бесконечно малыми. Найти бесконечно малую точку касания "на глаз" невозможно. Точка определяется только как пересечение одномерных, бесконечно тонких линий.


    Количество разных вариантов найти точки за пять шагов приближается к десятку. В этой ситуации хочется подумать над общим доказательством. Скажем, точки должны определяться как пересечение двух линий, одна из которых может быть общей - это уже три действия как минимум. То есть вопрос в том, можно ли найти опору для проведения этой общей линии в одно дополнительное действие, чем бы оно ни было.

    Пока дальше мысль не продвигается.

    ОтветитьУдалить
  51. Одиноков, да, проблема именно в третьем пункте - мы не знаем, как выполнить его за одно действие.

    Что называется действием? Есть всего два их типа:
    1) провести прямую через две точки,
    2) провести окружность с центром в одной точке, радиус которой равен расстоянию между двумя точками.

    Других действий у нас нет, хоть циркуль и линейка и являются идеальными.

    U'nik, примерно такими рассуждениями и доказывают, что за столько-то действий невозможно получить такую-то точку. И чем больше действий, тем сложнее построить аккуратное доказательство.

    ОтветитьУдалить
  52. U'nik,
    спасибо, приблизительно так и представлял себе ответ. В голове всё вроде бы стало на свои места.

    Илья,
    да, когда изучал комментарии, уже видел это определение 'действий построения при помощи циркуля и линейки' (и видел, кажется, не только в этом посте). Проблема возникла именно на почве того, что этим определением так сразу не получалось отсечь пункты от "моего" "решения". Иными словами, было неясно (не было чёткого понимания), в чём отличие моего пункта "3)" от первого действия из определения.
    Комментарий U'nik добавил ясности и чёткости 8)

    ОтветитьУдалить
  53. Ровно 8 действий. (Без читов с построением кругов равного радиуса)
    Картинка: http://imgur.com/hL5Cgwm
    Данные две точки - A и B.
    1. Окружность с центром в точке A и радусом AB.
    2. Окружность с центром в точке B и радусом AB (пересекает предыдущую окружность в точках C и D).
    3. Прямая через точки C и D.
    4. Окружность с центров в точке C проходящая через А и B (пересекает CD в точке E; пересекает первые две окружности в точках F и H; пересекает прямую CD в точке G).
    5-6-7-8. Отрезки EF, FG, GH, HE образуют искомый квадрат.

    ОтветитьУдалить
  54. Анонимный20.07.2014, 18:15

    DanSkeel. И что, отрезок АВ равен сторонам квадрата EFGH?

    ОтветитьУдалить

Понравилась заметка? Подпишитесь на RSS-feed или email-рассылку.

Хотите поделиться ссылкой с другими? Добавьте в закладки:



Есть вопросы или предложения? Пишите письма на адрес mytribune АТ yandex.ru.

С уважением,
      Илья Весенний