26 нояб. 2010 г.

Геометрия и логика

Геометрия - один из важнейших разделов школьной программы, потому что позволяет прочувствовать массу логических нюансов. В геометрии легко споткнуться о правдоподобные «доказательства» неверных фактов, легко быть уверенным, что «уж эти два отрезка не могут быть равны», а они будут равными... И это всё можно пощупать, почувствовать.

Редкого ребёнка увлечёт алгебра, потому что «это всего лишь буквы». В алгебре трудно (и куда менее естественно) нарабатывать интуицию. Безусловно, математики со временем это неизбежно делают. Но (способность?) чувствовать алгебру куда менее свойственна большинству людей, чем ощущения в геометрии. А вот логика нужна всем.

сумма углов треугольника 180 градусовЕщё раз: геометрия нужна не ради каких-то параллелограммов и признаков подобия треугольников, а ради логических рассуждений. Если бы было что-то проще геометрии, что
- является красивым, ясным и логичным (чтобы не отталкивать),
- является простым и естественным (чтобы было понятно почти каждому),
- предлагает массу логических ловушек, в которые можно легко попасть, но из которых интересно вылезать,
то я бы проще относился к нападкам на геометрию. Но, увы, другого полигона для развития логического мышления детей в школе пока не видно.

Я уже писал, что перекосы с ЕГЭ приводят к вытеснению геометрии из школ, а тут очередная новость: вроде бы приличная газета «Математика» (там почти всегда были разумные и содержательные материалы) публикует статью с невинным названием «Интерактивная геометрия: новые возможности для учителя и учащихся». Проблема в том, что это газета для учителей, которые хотят стать лучше. И некоторые из молодых преподавателей могут не разобраться, что в этой статье предлагается совершенно недопустимое - искажать логические рассуждения на уроках геометрии. Это нельзя пропагандировать, но именно это предлагается неопытным (потому что опытные точно не станут так делать) учителям в серьёзной газете.

Я не буду говорить, что была опубликована «заказная» статья в 21-ом номере журнала «Математика» за 2010 год. Больше похоже, что авторы искренне считают, что не стоит учить школьников логике. Но куда смотрел главный редактор? Такие материалы можно публиковать только при одном условии - рядом должен быть комментарий от редактора, в котором крупно написано «идея интересная, чтобы её обдумать, но так делать нельзя, потому что ...».

Логическая ошибкаН-да, обругать я успел, а уже давно надо было объяснить, в чём суть. Итак, краткое содержание обсуждаемой статьи:
1. В геометрии надо много чертить, но детям неинтересно смотреть на статические чертежи в книжках.
2. Есть программная среда «1С: Математический конструктор», позволяющий удобно чертить и вычислять значения на чертежах.
3. Рассмотрим несколько примеров использования этой программы на уроке.

Собственно, начало выглядело вполне пристойно, но потом начались примеры. Окончание одного из них я сфотографировал и разместил справа. Для доказательства того, что сумма углов в треугольнике равна 180 градусам, предлагается
а) построить какой-нибудь треугольник,
б) доверить программе вычислить его углы и сложить их,
в) подвигать вершины треугольника, чтобы убедиться, что сумма всегда будет 180 градусов.

Я не шучу! Они в самом деле после этого пишут «Свойство доказано», хотя оно всего лишь не опровергнуто для нескольких треугольников (не будем отвлекаться на рассуждения о погрешности при вычислениях, так как логические проблемы тут куда серьёзнее). И если детей приучать, что так можно что-то доказывать, то с чего бы они научились логически мыслить?

Увидев эту статью, я решил попробовать разобраться, чья это инициатива, поэтому открыл инструкцию к программе «1С: Математический конструктор». Оказалось, в ней не предлагаются такие «доказательства». Даже есть реверансы на тему качества чертежей: «Разумеется, при изучении геометрии не всегда нужно выполнять чертеж тщательно, доказательства можно проводить и при помощи эскизов, выполненных палочкой на песке. И все же удобный инструмент для создания аккуратных геометрических чертежей, которые порой способны подсказать ученику путь решения задачи, помешать не может.» Кстати, сама программа мне показалась интересной по описанию.

Другими словами, мы имеем дело с неправильным использованием инструмента, который вполне может быть хорошим, поэтому странно винить разработчиков программы. А вот понять мотивацию авторов статьи и редактора очень бы хотелось. Не могут же они искренне считать, что надо учить детей неправильным логическим рассуждениям?

Почему это важно? Да по той простой причине, что потом эти нелогичные люди вырастают и идут работать! Например, если клиент «Сбербанка» захочет вдруг работать своим счётом через интернет, то ему выдадут инструкцию со следующими пунктами:

4. Для Windows XP Отключить «Windows Firewall» (Брандмауэр) для соединения с Интернет.

8. MS WINDOWS VISTA после установки по умолчанию имеет высокую степень защиты и не позволяет полноценно работать в сети интернет. Необходимо произвести следующие настройки: [вырезано И.В.]
отключить службу UAC: «Пуск»->«Настройки»->«Панель управления»->«Учетные записи пользователей»->«Включение или отключение контроля учетных записей (UAC)» — убрать галочку.
отключить службу DEP [вырезано И.В., как это предлагается сделать].


В той инструкции есть и другие опасные действия, но эти уж слишком очевидны. Так делать нельзя. Мы же на этом компьютере хотим работать через интернет с деньгами, а нам предлагают отключить средства обеспечения безопасности!

Почему так? Потому что разработчики системы «убедились, что эта инструкция позволяет работать с их системой», чего уже автоматически хватает, чтобы считать доказанной её правильность. Это столь же нелепо, как выдавать клиенту деньги только после того, как он подпишет бумагу, что их ему уже выдали. Мне это сразу напомнило «Убедитесь, что при любых таких изменениях сумма углов всегда равна 180 градусов. Свойство доказано». Да, оно работает. Да, оно уже много раз сработало в разных условиях. Но оно неправильное, потому что не может быть правильным.

Берегите логику! Хорошего дня!

18 комментариев:

  1. >Но оно неправильное, потому что не может быть правильным

    Тут Вы сами малость погрешили против логики:)

    Коммунизм неизбежен, потому что он неотвратим. Или как там было...

    ОтветитьУдалить
  2. 1) > Но (способность?) чувствовать алгебру куда менее свойственна большинству людей, чем ощущения в геометрии.
    Мне на олимпиадах геометрические задачи давались сложнее остальных... Ну, разве что, за исключением некоторых задач о графах.

    2) > И если детей приучать, что так можно что-то доказывать, то с чего бы они научились логически мыслить?
    Видимо из них получатся физики.
    Не раз видел схему:
    а) выдвинем теорию
    б) проведём эксперименты
    в) результаты экспериментов укладываются в теорию => теория доказана

    3) > И все же удобный инструмент для создания аккуратных геометрических чертежей, которые порой способны подсказать ученику путь решения задачи, помешать не может.На самом деле может. Например порой, при доказательстве от противного, что бы доказать, что 3 точки лежат на 1 прямой надо предположить, что они на ней не лежат и найти противоречие. Если на чертеже они изначально лежат на 1 прямой до такого хода додуматься сложнее.

    4) > В той инструкции есть и другие опасные действия, но эти уж слишком очевидны. Так делать нельзя.
    Ну в 4 пункте они поленились, можно было просто внести приложение в исключение Firewall'а. Впрочем, я бы действительно посоветовал бы отключить Windows Firewall и установить и настроить более функциональный Firewall (благо даже бесплатных сейчас хватает), но это уже требует от пользователя некоторой квалификации.
    Что до 8 пункта - UAC в Vist'е действительно непродуман и надоедлив, в итоге человек либо его отключает, либо перестаёт читать сообщения от него и разрешает всё подряд не вникая в суть. Так что со своей защитной ролью он всё равно не справляется.
    Что до DEP, то его отключать не дело. Лучше уж внести их клиент в список исключений. Ну а совсем правильный ход был бы поправить код своего клиента так, что бы не возникало DE.

    ОтветитьУдалить
  3. Логику еще развивает матанализ ;). Вообще я геометрию не люблю - олимпиадные задачи на другие темы на много интереснее и их можно давать до 6 класса, когда школьники еще не знают ничего о геометрии.

    ОтветитьУдалить
  4. Да зачем нам олимпиадные задачи по геометрии, если даже с самыми базовыми можно найти массу интересного?!

    ОтветитьУдалить
  5. Анонимный26.11.2010, 14:15

    Уважаемый, у меня возник один вопрос.
    В школе у меня были проблемы с геометрией, очень большие.
    Даже дважды была двойка в полугодии.
    При поступлении в институт мне очень повезло, попалась очень лёгкая задачка по стереометрии.
    В институте начертательная геометрия шла очень тяжело.
    Теперь хотелось бы всё-таки научиться. Да, позорно, но лучше поздно, чем никогда.
    С какого бы учебника вы посоветовали начать?
    Для физики есть Фейнман, например :)
    Заранее благодарен.

    ОтветитьУдалить
  6. Да, я теперь знаю почему я такой весь умный и логичный. Да потому что я инж.-конструктор! И всю свою жизнь занимаюсь геометрическими построениями. И честное слово, меня просто поражает тупизна и алогичность многих наших физиков. В первую очередь из-за их способа мышления и "доказательств" полученных так как выше описал LisandreL. С точки зрения здравого смысла это же полный ЛОЛ! Я не удивлюсь езли завтра вдруг подтвердится что и закон всемирного тяготения не правильный и СТО полная ерунда!

    ОтветитьУдалить
  7. С таким же успехом можно сократить программу русского языка, ведь существует спелчекер почти в каждом редакторе (бесплатном или платном)!!! или я не прав?

    ОтветитьУдалить
  8. Уважаемый аноним, я бы советовал такой список литературы:

    1) Книги Шарыгина И.Ф. со словом геометрия.
    Лучше всего начинать, мне кажется, с учебника геометрии Шарыгина «Геометрия, 7-9 классы». Но в нём хватает сложных задач, поэтому придётся или прилагать много усилий, или найти соответствующую этому учебнику "книгу для учителя", или хорошего учителя, который знает этот учебник. В любом случае, сам учебник очень хорош, поэтому его стоит освоить. А потом можно переходить к задачникам по геометрии и стереометрии этого же автора.

    2) Классический учебник Киселёва А.П. «Элементарная геометрия». Чем старее издание, тем лучше, потому что в новые напихали не всегда удачных задач, что нарушает изначальную продуманность учебника. Учебник этот очень хорош, потому что укладывает всё в голову "сам" (очень продуман!). Главный минус - отсутствие современных тем (всякие векторы, тригонометрия и т.д.). Но если твёрдо освоить азы геометрии, то это всё можно будет догнать. Главное - азы, а с этим Киселёв справляет прекрасно.

    Успехов в навёрстывании геометрии!

    makharadg, категоричные люди бывают не только среди физиков, поэтому я предлагаю так сильно на них не наезжать. Да, у физиков принципиально нет возможности доказывать свои "законы". И многие из них это вполне понимают. Главное, что даже в таких ограниченных условиях они смогли очень серьёзно развить свою науку. Где бы мы были сейчас без достижений физиков (пусть и в результате эмпирических опытов)? Этот подход тоже нужен, если нет возможности доказывать в прямом смысле этого слова.

    lukyoung, не понятно, к чему относится Ваше возражение. С чем Вы спорите? Сокращать программу русского языка не стоит, я думаю.

    ОтветитьУдалить
  9. Анонимный27.11.2010, 22:08

    а меня поражает тупизна некоторых инж.-конструкторов. В физике используются модели реального мира, которые нельня доказать - можно только подтвердить или опровергнуть.
    (Не физик)

    ОтветитьУдалить
  10. > Да, у физиков принципиально нет возможности доказывать свои "законы". И многие из них это вполне понимают. Главное, что даже в таких ограниченных условиях они смогли очень серьёзно развить свою науку.
    Никто, не спорит, что если бы они пытались 100% доказать всё и не двигались дальше, то наука развивалась медленее.
    Тем не менее часто слышу/читаю смешение понятий «подтверженно экспериментально» и «доказанно», в итоге, когда появляется новая теория, противоречащая предыдущим доказанным теориям (но не результатам экспериментов), её встречают в штыки.

    ОтветитьУдалить
  11. LisandreL, да, этот эффект очень раздражает.
    Это больше похоже на религию: одни верят в одну теорию, другие - в другую, но в обе укладываются все имеющиеся эксперименты. А ещё хуже, если новые эксперименты противоречат старой теории, но фанатики предпочитают не выходить из привычной колеи, настаивая "мы всегда так делали, поэтому так правильно".

    ОтветитьУдалить
  12. Илья, дак вы проявили свою гражданскую сознательность и написали письмо в журнал? :)

    ОтветитьУдалить
  13. yuri, да, вопрос я задал. Потом напишу здесь, если будет ответ.

    ОтветитьУдалить
  14. Алгебру можно сделать наглядной на первых парах : даём детям чашечные весы, слева ставим гирю в 10 грамм, справа 8, задаём вопрос, сколько и куда поставить, что бы уровнять уравнение 10=8+x. Желательно дать детям всё делать своими руками. На этом же примере можно объяснить и отрицательные числа используя шарики с гелием.
    пс. да, геометрию любил в школе с самого 5го класса за её наглядность. алгебру не могли преподать весело. заканчиваю образование инженера дизайнера.

    ОтветитьУдалить
  15. Alexandr, да, так вполне можно показывать азы арифметики. Но можно ли столь красиво изобразить формулы сокращённого умножения и другие изящные преобразования выражений?

    ОтветитьУдалить
  16. В учебниках формулам сокращенного умножения дают геометрическую интерпретацию.
    А как такая иллюстрация: Волшебник дарил приходившим к нему детям конфеты. Он любил дружных детей и давал каждому столько конфет, сколько детей к нему приходило.(Если приходил один, то получал одну конфету, а двое по две конфеты каждому)Однажды к нему пришло а мальчиков, каждый получил по а конфет, т.е. всего а^2 конфет. Только ушли мальчики, как пришло в девочек, каждая получила по в конфет, всего в^2 конфет.
    На следующий день эти девочки и мальчики пришли вместе и каждый получил по (а+в) конфет, всего (а+в)^2 конфет. На сколько больше конфет получили мальчики и девочки во второй день?
    (Фактически нужно ответить на вопрос на сколько отличается (а^2+b^2)от (a+b)^2)

    ОтветитьУдалить
  17. Забыла: эта задача из "Алгебра" И. М. Гельфанд, А.Шень. М., 2009

    ОтветитьУдалить
  18. tsarkova, спасибо за добрую задачку!

    ОтветитьУдалить

Понравилась заметка? Подпишитесь на RSS-feed или email-рассылку.

Хотите поделиться ссылкой с другими? Добавьте в закладки:



Есть вопросы или предложения? Пишите письма на адрес mytribune АТ yandex.ru.

С уважением,
      Илья Весенний