4 окт. 2010 г.

Куб в ребусе

А начнём мы неделю, вернувшись к серии задач с кубиками.

КУБ является кубом. Докажите, что ШАР кубом не является. КУБ и ШАР - трёхзначные числа, разные буквы обозначают различные цифры.

Это формулировка из свежего журнала «Квант» (не зря мы его недавно вспоминали). На всякий случай добавлю, что речь в задаче идёт о записи чисел в десятичной системе счисления. То есть, КУБ - это трёхзначное число, являющееся кубом натурального числа.

Честно говоря, это одна из самых простых задачек в серии о кубах. Но нам сейчас надо собраться с силами, почувствовать уверенность в себе, потому что уже скоро придётся изрядно напрягать своё воображение для решения следующей задачки.

Ну а если вам эта задачка далась слишком быстро, то предлагаю вспомнить более интересную формулировку (пусть и не о кубах):
Для ребуса УДАР+УДАР=ДРАКА найдите основания систем счисления, в которых он имеет решение. Эту задачу автор уже несколько раз публиковал в ФИДО-конференциях и на матбоях, а потом загадал её у себя в ЖЖ (открывайте эту ссылку осторожно, так как там представлено решение).

Хорошего дня и интересных дел!

18 комментариев:

  1. КУБом могут быть только числа 125 216 512 и 729.
    Везде есть 2.
    В ШАРе её нет так как нет ни буквы К ни У ни Б.

    ОтветитьУдалить
  2. R, да, всё так, конечно.
    А что со вторым ребусом? ;)

    ОтветитьУдалить
  3. Про куб и шар добавить больше нечего.

    УДАР+УДАР=ДРАКА
    Раз есть перенос в старший разряд, то Д=1.
     У1АР
    +У1АР
    -------
    1РАКА
    1+1+x=А
    Где x - перенос из младшего разряда, т.е. 0 или 1.
    1) если А=3
     У13Р
    +У13Р
    -------
    1Р3К3
    Очевидно, что сумма 2 одинаковых чисел должна быть чётной, значит этот вариант не возможен.

    2) если А=2
     У12Р
    +У12Р
    -------
    1Р2К2
    Р+Р=*2, так как 1 уже используется, то Р=6.
     У126
    +У126
    -------
    162К2
    Ну и тут уже ясно, что К=2+2+1=5.
    У+У=16 => У=8.
     8126
    +8126
    -------
    16252

    ОтветитьУдалить
  4. LisandreL, если я правильно понимаю, Вы нашли решение в десятичной системе счисления. А вопрос задачи чуть сложнее: перечислить все основания систем счисления, в которых ребус имеет решение.

    ОтветитьУдалить
  5. Анонимный04.10.2010, 11:29

    Вроде бы получилось q = 10+4n, то есть 10, 14, 18

    при этом Р = q/2 + 1; У = (3q+2)/4;

    А = 2; К = 5; Д = 1 как и у Lisandrel

    ОтветитьУдалить
  6. Трудно решать по утрам. )
    Для произвольной системы счисления:

    УДАР+УДАР=ДРАКА
    Раз есть перенос в старший разряд, то Д=1.
    У1АР
    +У1АР
    -------
    1РАКА
    1+1+x=А
    Где x - перенос из младшего разряда, т.е. 0 или 1.
    1) если А=3
    У13Р
    +У13Р
    -------
    1Р3К3
    Р+Р не может быть равным 3, так как это должно быть чётное число.
    Зато это может Р+Р=13, причём основание системы сисления должно быть нечётным числом (что бы 13 было чётным).
    Пусть основание равно х.
    Тогда Р=(х+3)/2=х/2+3/2
    3+3=х+К
    К=6-х
    У+У=х+Р
    2*У=х+х/2+3/2
    У=3/4*(х+1)

    Таким образом х нечётно, меньше 6 и (х+1) делится на 4. Единственное такое х=3.
    Но тогда Р=К=У=3, чего быть не может.

    2) если А=2
    У12Р
    +У12Р
    -------
    1Р2К2
    Р+Р=*2, так как 1 уже используется, то Р=х/2+1, где x - основание системы.
    К=2+2+1=5.
    У+У=х+х/2+1
    У=3/4*х+1/2
    У=(3*х/2+1)/2
    Значит х - чётное, х/2 - нечётное, х больше 5.
    Пусть х=4*n+2
    Р=2*n+2
    У=3*n+2

    Для n=1, У=3*n+2=5=К, что недопустимо.

    Т.е. для x=10, 14, 18... 4n+2...
    Для n>=2 решение будет.





    8126
    +8126
    -------
    16252

    ОтветитьУдалить
  7. Уважаемые аноним и LisandreL,
    в этой задачке есть грамотная ловушка, которая сбила с верного пути не одну сотню очень умных людей. Успехов в решении! ;)

    ОтветитьУдалить
  8. Анонимный04.10.2010, 13:41

    Похоже, еще одну систему обнаружил
    основание q>=5 (см. Д, У, Р, А, К. лол)
    Д=1 - тривиально.
    А = 2Д либо А = 2Д+1 (переполнение предыдущего разряда). То есть А = 2 либо А = 3. Случай с А = 2 описан выше.

    Проверим А = 3;
    2Р = А + q = 3+q => Р = (q+3)/2 (и при этом q нечетное);
    K = 2А + 1 - q = 7-q (+1 потому что в предыдущем разряде было переполнение, -q чтобы переполнение было в следующем и тогда выполнится 2Д+1 = 3);
    Р = 2У - q (чтобы было переполнение разряда) => У = (Р + q)/2 = 3(q+1)/4 (q+1 делится на 4)

    То есть получаем 5<=q<=7, q нечетное, q+1 делится на 4 => q = 7.
    Значит, К = 0; Р = 5; У = 6

    Подставим:
    6135+
    6135
    ----
    15303

    при основании 7

    ОтветитьУдалить
  9. ШАР и КУБ - слишком просто.

    На второй задаче я тоже при решении попал в ловушку с нечётностью А и получил решение вида 4x+2.

    Написал программу проверки для первых 50 оснований. Кому интересно, вот: http://realcode.ru/?d2d8c05233adec0d
    Работает на GCC++.

    Выше уже все варианты разобрали, так что приводить смысла нет.

    Полный ответ - числа 7 и вида 4х+2 при х >=2.

    ОтветитьУдалить
  10. Посыпаю голову пеплом. Про возможность переноса в нечётной степени я действительно не подумал.

    ОтветитьУдалить
  11. Поздравляю всех успешно решивших оба ребуса!

    LisandreL, именно из-за такой ловушки мне эта задачка очень нравится :)

    ОтветитьУдалить
  12. А вот и объяснения автора, почему ему нравится эта задачка.

    ОтветитьУдалить
  13. Илья Весенний, не сочтите за навязчивую рекламу. В любом случае можете удалить этот комментарий, если посчитает нужным, я вас пойму.

    Я думаю вам и читателям вашего блога будет интересно прочитать о моих впечатлениях
    о книге "Является ли Бог математиком?" Марио Ливио
    . Я их писал достаточно долго, уже половину следующей книги книги прочитал (тоже про математику).

    Заметка получилась весьма длинной, так что в какой-то момент я решил просто давать ссылки на мои прошлые посты по затронутым в книге темам, так что приглашаю прочитать и их.

    ОтветитьУдалить
  14. Илья! Хотелось бы снова привлечь Ваше внимание к статье в Вике Задача о двух конвертах

    ОтветитьУдалить
  15. alexsmail, спасибо, познавательно.

    BurykinD, Вы проделали большую и интересную работу. Спасибо, что прислали ссылки на свою заметку и это обсуждение в Википедии.

    ОтветитьУдалить
  16. Первый раз тут. Мощно тут ваще... =)

    ОтветитьУдалить

Понравилась заметка? Подпишитесь на RSS-feed или email-рассылку.

Хотите поделиться ссылкой с другими? Добавьте в закладки:



Есть вопросы или предложения? Пишите письма на адрес mytribune АТ yandex.ru.

С уважением,
      Илья Весенний