15 окт. 2010 г.

Куб и тетраэдры

Для хранения часто используют контейнеры в виде параллелепипедов, потому что коробки с прямыми углами проще плотно расставить на складе. Но поскольку мы продолжаем нашу серию задач о кубах, то давайте лучше будем использовать единичный куб.

Тетраэдр в кубеИтак, у нас есть много правильных единичных тетраэдров и один единичный куб.

Возникают вполне естественные вопросы:
1) Можно ли поместить один тетраэдр в куб?
2) Можно ли поместить два тетраэдра в куб?
3) Можно ли поместить три тетраэдра в куб?
4) Можно ли поместить четыре тетраэдра в куб?
5) Можно ли поместить пять тетраэдров в куб?
и так далее.

С первым вопросом всё просто - на рисунке справа показано, как можно впихнуть в единичный куб тетраэдр с гораздо большим ребром. С последним вопросом тоже просто: объём тетраэдра примерно в 8.5 раз меньше объёма куба, поэтому больше восьми их точно не влезет. А вот с остальными уже придётся порисовать... Успехов!

Хорошего вам завершения недели и удачных выходных!

28 комментариев:

  1. Два у меня вроде впихнулись (основание к основанию, вершины - к противоположным вершинам куба и покрутить).
    И сумма высот меньше диагонали куба, и ребро тетраэдра короче, чем отрезок от середины верхней стороны передней левой грани до середины нижней стороны передней правой грани на рисунке.
    Не рисовал.
    Насчёт трёх - мне уже сложно, но нутром чую, что не влезет (заодно проверим мой здравый смысл =))

    ОтветитьУдалить
  2. Черт, а ведь поначалу для меня задача показалась простой, с очевидным ответом 4. И ведь даже не обратил внимание на подсказку с объемом ;)

    ОтветитьУдалить
  3. Анонимный15.10.2010, 13:36

    Думаю должно влезть 5 тетраэдров, на большее не хватает фантазии

    ОтветитьУдалить
  4. больше двух поместить не удается. 1 вершиной вниз, второй - вершиной вверх. к сожалению, без рисунка. все упирается в то, что длины грани одинаковые, а угол 60 градусов.

    ОтветитьУдалить
  5. видимо был невнимателен, сбила картинка. если поместить фигуры надо именно в куб (вместе с верхней граню-крышкой), то два тоже влезть должны. длина диагонали, соединяющей вершины оснований корень из 12/3, сумма высот тетрэдров - корень и 8/3. в общем, только 2 - мой ответ.

    ОтветитьУдалить
  6. Sergey, да, фигуры надо поместить именно в куб.

    С размещением двух тетраэдров Вы, похоже, разобрались. А как же третий? ;)

    ОтветитьУдалить
  7. Анонимный17.10.2010, 2:29

    Извините а не нашел ответа про этот билет
    Встречная загадка.
    Решить тот же 123456, но что б каждый из знаков был задействован хотя бы один раз.

    ОтветитьУдалить
  8. а почему именно тетрадке ?
    Тут намного проще получается http://ideluxe.net/

    ОтветитьУдалить
  9. Игорь Иванов у себя в блоге написал очень интересный пост, рекомендую, основанный на подборке обзорных статей про биофизику клетки в последнем выпуске журнала «Nature Physics».

    По-мимо этого есть ссылки и на несколько других связанных новостей, краткий список я выложил у себя.

    ОтветитьУдалить
  10. Провёл эксперимент с бумажными моделями
    2 влазит 100% - если склеить сторонами, сумма высот будет меньше чем диагональ куба (корень из 8/3 против корня 3).

    4 - не влазит 100% - некуда дальше

    с тремя нужно сичтать потому что выходит впритык, а там уже бумага вносит погрешности.

    ОтветитьУдалить
  11. BuHTuK, отлично!
    С парой тетраэдров разобрались. Давайте теперь разместим сразу три :)

    ОтветитьУдалить
  12. В общем получается, что если 2 тетраедра, лежат на соседних гранях куба, но на непараллельных и не смежных рёбрах (не помню как такие прямые называются), то они не пересекаются.

    Одновременно таких пар может быть не больше 3-х.

    Соответственно, если они попарно не пересекаются, то и 3 штуки влазит.

    ОтветитьУдалить
  13. При детально пересчёте оказалось что в такой конфигурации они таки пересекаются :(

    разве что их как-то по-хитрому повернуть...

    но пока моя версия - 2

    ОтветитьУдалить
  14. склеил куб и тетраэдры. ТРИ помещаются!

    ОтветитьУдалить
  15. Максимум 6, мне кажется больше не как...

    ОтветитьУдалить
  16. Анонимный30.10.2010, 10:00

    3 можно.
    выбрать у куба три ребра перпендикулярных друг другу и в разных плоскостях
    (например, если смотреть на одну грань лицом, ближнее нижнее, дальнее правое, и верхнее левое.)
    поставить на каждое ребро одно ребро тетраэдра, тогда противоположные ребра сойдутся в центре куба.

    больше нельзя

    ОтветитьУдалить
  17. Отлично, три разместили!
    Кто больше?

    ОтветитьУдалить
  18. Если тетраэдр одним ребром и одной гранью лежит на ребре и грани куба, то центр куба лежит внутри этого тетраэдра.

    Это можно увидеть если провести плоскость через середину тетраэдра и куба.
    На плоскости будет треугольник с основанием sqrt(3)/2 и одной из сторон 1, вписанный в квадрат.

    Если провести перпендикуляр из середины стороны квадрата (там где основание треугольника), то она будет равна (sqrt(3)-1)/sqrt(2) что немного больше 1/2.

    Так что поместить таким образом даже 2 тетраэдра не получится.

    ОтветитьУдалить
  19. BuHTuK, хорошо, так мы убедились, что не надо совмещать грани тетраэдра и куба.

    ОтветитьУдалить
  20. о! а если совместить только ребро, и направить "диагональ" тэтраэдра (отрезок соединяющий середины несмежных рёбер) в центр куба, то он как раз упрётся в центр.

    Это значит что 3 штуки таким образом влезут и сойдутся в центре, что уже предлагал Анонимный.

    ОтветитьУдалить
  21. Илья, ну вы даёте!
    1. "... на рисунке справа показано, как можно впихнуть в единичный куб тетраэдр с гораздо большим ребром"
    На фотографии (а не рисунке) справа отчётливо видно что тетраэдр "не впихнут", потому что выступает. Если же вы имели ввиду частично -- то тогда не очевидно, что 8 тетраэдров не могут частично влезть в куб.
    После всяких школьных олимпиад, где условия вылизаны настолько, что не придерётся даже юрист, ваши задания как-то разочаровывают (это уже не в первый раз, да).

    ОтветитьУдалить
  22. dlazerka, спасибо за интересные замечания. Я стараюсь делать тексты предельно ясными, но до идеала, конечно, ещё далеко. Буду благодарен, если Вы найдёте возможность оперативно сообщать о неточностях.

    Что касается тетраэдра, который "не впихнут", то это не совсем так. Можно догадаться, что у этого тетраэдра сторона в sqrt(2) раз больше, чем у куба, поэтому он прекрасно влазит. А на фотографии фигуры стоят именно так, чтобы было понятнее, как они расположены. Это иллюстрация к первой простейшей задачке ("доказать, что один тетраэдр влезет") добавлена в текст заметки, чтобы появились нужные ассоциации.

    Ещё раз благодарю за критику.

    ОтветитьУдалить
  23. Уважаемый аноним, поясните, пожалуйста, как Вам удалось разместить 6 тетраэдров.

    ОтветитьУдалить
  24. Анонимный27.10.2011, 0:50

    Мой ответ 5. Очевидно даже из рисунка! Провел эксперимент на яблоке! Получилось только 5! Отсекаем тетраэдеры от одной вершины к противоположным угловым точкам! Получается 4 и один как показано на рисунке. Короче каждая грань тетраэдера с рисунка является гранью другого тетраэдера, а у первого их всего 4 и он сам пятый! Вот и все

    ОтветитьУдалить
  25. Уважаемый аноним,
    Вы используете общеизвестное определение правильного тетраэдра? Из Ваших объяснений это не вполне очевидно. Если не трудно, пришлите, пожалуйста, ссылку на поясняющую картинку.

    ОтветитьУдалить
  26. Анонимный12.03.2013, 17:08

    3 - максимум, господа!

    ОтветитьУдалить

Понравилась заметка? Подпишитесь на RSS-feed или email-рассылку.

Хотите поделиться ссылкой с другими? Добавьте в закладки:



Есть вопросы или предложения? Пишите письма на адрес mytribune АТ yandex.ru.

С уважением,
      Илья Весенний