15 янв. 2010 г.

Физкультура и математика

У студентов сейчас разгар сессии, но кто-то ещё не очень допущен до экзаменов из-за «ерунды» - отсутствия зачёта по физкультуре. Что делать? Идём к декану (математику).

- Вот, уважаемый, вроде бы по всем предметам успеваете, а на физкультуру редко заходили. Как же так?

- Да я пока лабораторные работы сделаю, пока к конференции доклад подготовлю, пока то, пока сё - вот и время ушло всё.

- Н-да, надо что-то с этим делать. Решите-ка мне задачку! Справитесь - поставлю зачёт своим волевым усилием.

Итак, задачка декана (её недавно предложили в комментариях к заметке о футболе):

На левом краю стометровой резиновой ленты находится студент, желающий получить зачёт. А на правом краю этой ленты ждёт преподаватель физкультуры, готовый поставить студенту зачёт, если тот соизволит подойти. Есть только одна тонкость: как только студент проходит один метр по ленте, она мгновенно растягивается на сто метров.

Другими словами, как только студент проходит метр в сторону преподавателя, лента удлиняется до двухсот метров (поэтому расстояние до заветного зачёта становится равным 198 метров). После этого студент приближается ещё на один метр, а лента опять прибавляет 100 метров к длине. Поэтому студенту надо будет преодолеть 295.5 метров. И так далее.

Вопрос: получит ли студент зачёт, если проявит настойчивость?
(с ленты сходить нельзя)


Уточнения:
- лента растягивается равномерно,
- материал ленты прочный, поэтому она не порвётся, во сколько бы раз её ни растянули,
- студент, желающий получить зачёт, может успеть добраться даже до очень далёкой цели в кратчайшие сроки :)

Студентам желаю легко всё сдать, а семинаристам - подготовленных студентов на экзаменах. И всем хороших выходных!

61 комментарий:

  1. Земля круглая, около 40 000 км окружность.
    Если студент пройдет около 404,04 км вперед лента его занесет с обратной стороны.

    ОтветитьУдалить
  2. А если студент слелает шаг назад?

    ОтветитьУдалить
  3. Сначала хотел написать, что лента удлиняется, а препод остается на месте. А потом понял что значат "правый" край ленты и "левый". =)

    ОтветитьУдалить
  4. Андрей Цяпа, отличная идея!
    Поэтому давайте считать, что в этой задаче Земля плоская :)

    Sergey Ryzhikov, ему зачёт нужен, поэтому двигаться следует к преподавателю, а не от него :)
    Студент идёт только направо.

    ОтветитьУдалить
  5. Если обозначить относительное положение студента на ленте как alpha, а её текущую длину как L, то следующим относительным положением будет уже (alpha + 1/L). Выполнив ещё одну итерацию получим (alpha + 1/L + 1/(L+100)) и так далее (желающие могут убедиться сами).

    Получаем ряд вида:
    alpha + 1/L + 1/(L+100) + 1/(L+200) + 1/(L+300) + ...

    Подставим начальные данные: alpha = 0, L = 100.
    1/100 + 1/200 + 1/300 + ...
    или
    (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...)/100

    В скобках находится расходящийся ряд, насколько я помню из курса математики (могу ошибаться). Если он расходится, значит студент получит зачёт.

    ОтветитьУдалить
  6. Анонимный15.01.2010, 20:54

    Если студент пройдет "до очень далекой цели в кратчайшие сроки" то зачет по физкультуре получит однозначно!

    ОтветитьУдалить
  7. собственно какая нам разница, что лента растягивается?

    Студент пройдет 100метров, лента станет длиной 10км, но зачет он получит ))

    ОтветитьУдалить
  8. Анонимный15.01.2010, 21:36

    У этой задачи есть ответ? Похожая была у Гарднера, точно не помню ответа, но там не так всё однозначно. Задача такая: есть ваза, в неё за пол часа до полудня кладут карточки с номерами от 1-го до 10-ти, и вынимают номер 1. За 15 минут до полудня кладут второй десяток (с 11-ти до 20-ти), и вынимают число 2, за 7.5 минут до полудня кладут третий десяток, и вынимают номер три, и т.д. - каждый раз промежуток кремени уменьшается вдвое, добавляют новый десяток, и вынимают одно число. Вопрос - сколько чисел будет в вазе ровно в полдень?

    ОтветитьУдалить
  9. А подвох в том, что когда лента растягивается студент тоже движется?

    ОтветитьУдалить
  10. тут есть два соображения: математическое (основанное на том, что "лента растягивается равномерно) и физическое (говорящее о том, что студент непременно на...пишется "с двумя цэ" с ленты, а физрук - обгорит от трения о воздух).

    ОтветитьУдалить
  11. Анонимный15.01.2010, 22:12

    Поскольку задолго до того, как студент доберётся до преподавателя, лента станет шириной и толщиной в 1 молекулу с относительно большим расстоянием между соседними молекулами (сантиметры, потом и метры), то при её последующем растягивании студент сдвигаться не будет. Следовательно, и зачет не получит.

    ОтветитьУдалить
  12. Валюшка15.01.2010, 22:13

    Если студент ооочень хочет зачет получить, то он уболтает физрука,и тот сам к нему придет)))

    ОтветитьУдалить
  13. Анонимный15.01.2010, 22:35

    Дойдет. Excel - наш лучший друг

    ОтветитьУдалить
  14. Если вместо удлинения ленты укорачивать студенту ноги, то длины его шагов будут 1/N, а sum(1/N) расходится. Значит - 100 метров точно пройдёт.

    ОтветитьУдалить
  15. Анонимный15.01.2010, 22:57

    Не дойдет, быстрее в армию заберут

    ОтветитьУдалить
  16. Ахиллес и черепаха наоборот?

    ОтветитьУдалить
  17. Кстати, довольно удобно считать пройденное расстоняние не в метрах, а в % -- сразу видно, что ряд расходится, а студент уже на сотом пройденном метре будет почти у цели.

    (1 + 1/2 + 2/3 + 3/4 + ...)%

    ОтветитьУдалить
  18. Анонимный15.01.2010, 23:35

    Не понял задачку... по условию, если студент пройдет метр, то лента удлиеиться на 100, и станет равной 200 метров, соответствено и студенту надо будет до цели пройти 199 метров, а не 198. Или я не правильно понял задачу

    ОтветитьУдалить
  19. Artemy,
    Ахиллес и черепаха получились бы, если бы физрук стоял на расстоянии 2м, а лента бы растягивалась не на 100м, а в 2 раза. =)

    Илья Весенний,
    любопытно, можно ли придумать такой вариант задачи, в котором результат достигался бы лишь при дискретном движении студента (например, если студент догадается двигаться прыжками по 2 метра).

    ОтветитьУдалить
  20. А задачка в такой постановке значительно более волнующа и близка сердцу, чем если бы речь шла об улитке и ленте на земле длиной в метр!! Спасибо! ;-))

    ОтветитьУдалить
  21. Анонимный16.01.2010, 0:04

    Нет, не дойдет никак...

    ОтветитьУдалить
  22. На мой взгляд есть два нематематических варианта:
    1. Студент должен идти обратно. Тогда физрук придет к нему сам.
    2. Земля круглая и рано или поздно физрук догонит студента со спины.

    Если предположить, что земля плоская, а студент идет только к физруку - получается, что в явном виде он не дойдет до физрука никогда.

    Кстати, мысль. Студент ведь находится на самой ленте. И удлинняется она ВСЯ. следовательно - удлиннение ленты приближает студента к физруку

    ОтветитьУдалить
  23. Анонимный16.01.2010, 1:40

    Задача обратная апории о Ахиллесе и черепахе :)

    ОтветитьУдалить
  24. [b]fs-FAF[/b]
    > собственно какая нам разница, что лента растягивается?

    Задача студента - не пройти 100м, а дойти до преподавателя.

    [b]Sergey Ryzhikov[/b]
    > Кстати, довольно удобно считать пройденное
    > расстоняние не в метрах, а в % -- сразу
    > видно, что ряд расходится, а студент уже на
    > сотом пройденном метре будет почти у цели.

    По моим подсчетам на сотом пройденном метре студент будет в 9,5 километрах от преподавателя :)

    Вы, имхо, считаете некорректно совершенно.

    Пусть у нас номер шага обозначен i
    Изначальное расстояние - s
    Удлиннение ленты за один шаг обозначим x (=100)
    Общую длину ленты на i-ом шаге обозначим L[i]
    Расстояние "справа" от студента обозначим S[i]
    На "i+1"-ом шаге расстояние "справа" будет равно:
    S[i+1] = S[i] - 1 + ((S[i]-1) * x / L[i])
    L[i] в формуле можно заменить на S[0]+x*i

    Проверим формулу:
    Начальное положение i=0, L[0] = 100, S[0] = 100
    Первый шаг: i=1, L[1] = 200, S[1] = 100-1+99*100/100 = 198
    Второй шаг: i=2, L[2] = 300, S[2] = 198 - 1 + 197*100/200 = 197 + 197/2 = 295,5

    Вот Excel'евский файл с расчетом:
    http://sukebe.ru/moving_student.xls

    Но попробуем все-таки разобрать "полуаналитически" (подставив начальные данные типа S[0] и x).
    Преобразуем формулу для S[i+1] и посмотрим на нее внимательно:
    http://sukebe.ru/eqn1248.png

    Как думаете, можно считать, что при i стремящемся к бесконечности будет верно следующее равенство?
    http://sukebe.ru/eqn1249.png
    Если здесь я не ошибся (а меня этот момент очень беспокоит, ну совсем уверенности нет), то студент-таки дойдет до препода (если тот согласиться подождать пару лет :))

    ОтветитьУдалить
  25. Не дойдет он до физрука (2 < 100). И это правильно, потому как ему не к физруку надо, а к декану...

    ОтветитьУдалить
  26. Дмитрий Пленкин,
    да, я ступил =)

    ОтветитьУдалить
  27. Я думаю так: когда лента удлинится настолько, что слева от студента она окажется длиннее более чем в 99 раз чем справа (простите за тавтологию), ситуация будет выглядеть следующим образом: студент проходит метр, слева лента будет увеличиваться больше чем на 99 метров, а справа меньше чем на метр.Таким образом расстояние между ним и преподавателем начнет уменьшаться.

    Осталось выяснить, наступит ли такой момент. А вот с этим у меня проблемы =\

    ОтветитьУдалить
  28. Лента растягивается пропорционально все время движения студента или только в момент его остановки?

    ОтветитьУдалить
  29. Анонимный16.01.2010, 9:24

    Сорок тысяч сделанных шагов (по метру каждый) позволили пройти только 11% пути. Это значение монотонно увеличивается - студент дойдет.

    ОтветитьУдалить
  30. Протягивает купюру декану: "Вот тут цифры есть, это ответ".

    ОтветитьУдалить
  31. eyeless-watcher, в условии сказано, что «как только студент проходит один метр по ленте, она мгновенно растягивается на сто метров», поэтому можно считать, что студент дискретно движется на один метр, а сразу после этого лента мгновенно растягивается на 100 метров.

    Grigor, он к декану уже пришёл, чтобы получить эту задачку. Если верно решит - то зачёт у него в кармане :)

    Paul, совершенно правильная мысль у Вас в последнем абзаце. С ней уже можно решать эту задачку математически. Успехов!

    ОтветитьУдалить
  32. Шаг - один метр
    Li - длина ленты на i-ом шаге (L0=100)
    Si - положение студента относительно левого края ленты (S0=0)
    ΔL - увеличение длины ленты с каждым шагом (ΔL=100)

    Длина ленты на n-ом шаге: Ln = L0+n*ΔL
    Т.к. по условию ΔL=L0, то Ln = (n+1)*ΔL

    Каждый пройденный метр на n-ом шаге растягивается на Ln/L(n-1), т.е.
    первый пройденный метр
    на 1 шаге становится длиной L1/L0
    на 2 шаге - (L1/L0)*(L2/L1) = L2/L0
    на 3 шаге - L3/L0
    и т.д.

    второй пройденный метр
    на 2 шаге - L2/L1
    на 3 шаге - L3/L1
    и т.д.

    Имеем: Sn = Ln/L0+Ln/L1+...+Ln/L(n-1)
    Подставляем Ln, выраженное через ΔL:
    Sn = (n+1)*ΔL/ΔL+(n+1)*ΔL/(2*ΔL)+...+(n+1)*ΔL/(n*ΔL)
    Sn = (n+1)+(n+1)/2+...+(n+1)/n
    Sn = (n+1)*(1+1/2+1/3+...+1/n)

    Предположим, студент дошел до физрука или перешагнул через него на n-ом шаге, тогда Ln ≤ Sn
    (n+1)*ΔL ≤ (n+1)*(1+1/2+1/3+...+1/n)
    ΔL ≤ 1+1/2+1/3+...+1/n
    Левая часть неравенства равна 100, а правая стремиться к 2 при росте n
    Однако 2 < 100, следовательно студент не дойдет

    ОтветитьУдалить
  33. Ой, недосып сказывается :) надо читать, что написал, на один раз больше...

    ОтветитьУдалить
  34. Таки дойдет. Скорость движения студента увеличивается с увеличением длинны ленты. Соответственно скорость удаления преподавателя от студента уменьшается.

    Грубое моделирование:
    Если взять начальную длину ленты равную 10 и увеличение то же равное 10 то расстояние между преподом и студентом выглядит так.

    По идее это можно решить через ряды или лимиты, но я уже забыл это все.

    ОтветитьУдалить
  35. Получит он свой зачет примерно на 849 650 539 080 704 000 000 000 000 000 метровом шаге

    ОтветитьУдалить
  36. Пусть шаг у студента - метр. (Воспользуемся допущением, что лента удлиняется только после того как студент сделал шаг).
    1. Студент шагнул - прошел 1/100 ленты. Длина ленты стала 200. Но, какая бы длина не стала у ленты, он все равно будет на расстоянии 1/100 от левого конца ленты.
    2. Следующий шаг в один метр 1/200 ленты. - Всего 1/100 + 1/200 = (1/1 + 1/2)*(1/100)
    3. 1/300.
    и т.д.

    1 + 1/2 + 1/3... - расходящийся ряд.

    Так что получается, что дойдет.

    PS. А сразу после прочтения задачи кажется, что никогда не дойдет. И даже думать не надо! Но было бы полной неожиданностью, если бы Илья Весенний задал задачу без подвоха. Т.е. такую которая дает именно тот ответ который кажется верным. И уже практически "очевидно", что ответ у задачи будет противоположным ответу при первом взгляде. Что входит в привычку, привычку не думать :)

    ОтветитьУдалить
  37. если студент сделает 1 шаг вперёд и 2 шага назад, лента сама подтащит препода к нему.

    нет?

    ОтветитьУдалить
  38. Анонимный17.01.2010, 2:29

    "лента растягивается равномерно"
    Расстояние между студентом и преподавателем уменьшается на 1 м и одновременно увеличивается на расстояние пропорциональную доле остатка ленты к полному расстоянию. Через некоторое время эта доля станет меньше 1% и студент начнет приближаться к преподавателю.
    Если вложиться в норматив по бегу, то студент добежит до зачета за 6 мин

    ОтветитьУдалить
  39. Фигушки — она кажется логарифмической только в начале, но потом резко возрастает.

    Для интереса я посчитал, что будет, если лента будет 5 метров и таким же будет прирост. Получилось, что студент дойдёт до преподавателя чуть более, чем за 80 шагов.

    График зависимости оставшегося расстояния от номера шага: http://malinnikov.ru/files/ribbon.png

    XLS-файл с расчетом: http://malinnikov.ru/files/ribbon.xls

    ОтветитьУдалить
  40. Анонимный17.01.2010, 2:39

    Зачем такие сложные расчеты?))))
    Все происходит линейно
    После первого шага, оставшееся расстояние равно 198м (длина ленты 200м)
    После второго 295,5м (длина ленты 300м)

    2/198 = 0,01
    4,5/295,5 = 0,02

    0,02 > 0,01 а так как не линейных хитростей нет, то отношение пройденного расстояния к оставшемуся будет все время увеличиваться, таким образом студент получит зачет

    ОтветитьУдалить
  41. Нет, отношение пройденного расстояния к оставшемуся растёт нелинейно. Сначала резко возрастает, потом скорость роста замедляется, как при логарифме, но затем резко возрастает снова.

    Кроме того, прирост этого отношения не обязательно означает, что студент дойдет до цели. Пусть пройденное расстояние в 10 000 раз больше, чем оставшееся, это не означает, что оставшееся станет отрицательным, он мог бы при опр. условиях бесконечно приближаться.

    ОтветитьУдалить
  42. Анонимный17.01.2010, 2:57

    Вообще предполагаю, что если бы при одном шаге лента увеличивалась бы, скажем на 100м+1мм, то студент бы не дошел)))))
    Кто проверит?

    ОтветитьУдалить
  43. Я проверил, что дойдёт, подставив в условие вместо 100 метров — 5, потому что так быстрее видно развитие событий.

    Дойдет и при 100 и при 200 метровых приростах, только шагов понадобится больше. В этом, надо полагать, и заключается физкультура.

    ОтветитьУдалить
  44. Sergey Ryzhikov, наверняка можно придумать такую вариацию задачи, но мне ничего такого пока не удалось ни вспомнить, ни придумать. Пишите, если найдёте - подумаем :)

    Уважаемый аноним, соображение про 100м+1мм не очень понятно. В чём сложность? Как только расстояние до зачёта будет всего один миллиметр, студент только начнёт делать свой шаг (1мм), а лента не растянется (потому что она это делает только после полного метра, пройденного студентом). Я не вижу проблемы. А Вы?

    ОтветитьУдалить
  45. Хорошая задачка. Я на подобную наткнулся в Этюдах для программистов на RSDN "Человек и паучок". Если пытаться решать интуитивно (на глазок, спереди приращение сильно больше и даже то что сзади резинка тоже растянется - очень малое приращение и типа никогда не догонит) - то интуиция обманывается (и можно сильно попасть впросак доверяя интуиции ;)).

    А если рассмотреть с точки зрения математики - все наоборот. Более того в задаче про паучка (там расстояния другие) даже время получается очень приемлемое - за <7 часов догонит.

    ОтветитьУдалить
  46. Анонимный17.01.2010, 16:05

    Предполагал, что через через 1000 шагов, этот миллиметр накопит еще один метр, шагнув на который студен снова отодвинется на N-ое растояние от цели. Посчитал. Предположение ошибочно.

    ОтветитьУдалить
  47. Щербак Алексей, а Вы помните условие той задачки? Если не трудно, покажите ссылку, пожалуйста.

    ОтветитьУдалить
  48. На n-том шаге студент прошел (n+1)(sum(1/n)), длина ленты: 100*(n+1). То есть студент догонит препа, когда sum(1/n)>=100. Википедия сообщает:
    Гармонический ряд расходится очень медленно (для того, чтобы частичная сумма превысила 100, необходимо около 10^43 элементов ряда).
    Счастливого пути!

    ОтветитьУдалить
  49. http://www.rsdn.ru/forum/etude/2620563.flat.1.aspx
    Вот ссылка. Тред на 5 страничек :)

    ОтветитьУдалить
  50. Анонимный18.01.2010, 12:39

    Думаю подвох данной задачи состоит в том, что лента растягивается относительно центра. Соответственно, если студент доберется до центра, то он быстро доберется и до преподавателя - здесь все очевидно. следовательно, нужно ответить на вопрос - доберется ли он до центра. по моим, может неправильным, подсчетам получается, что студент перешагнет центр ленты на 8 шаге.
    что-то типа
    X[i]=L[i]-(L[i-1]-X[i-1])-(L[i-1]-X[i-1])*L[i]/L[i-1]
    X - расстояние до центра. L - длина ленты.

    ОтветитьУдалить
  51. Анонимный18.01.2010, 21:10

    кажется мне что не дойти студенту до физрука даже если проявит настойчивость :) с каждым пройденным 1 метром, он удалятся от цели (конца ленты вместе с ждущим преподавателем) ровно на 99 метров. пройдёт он 11 метров и расстояние и вот больше километра а только что было да только 100 метров. если считать что лента удлиняется с обеих сторон, то можно взять аналогичную ситуацию, но только с 2 метровой лентой - удлиняющаяся тоже на 2 м. получится рисунок http://img138.imageshack.us/img138/6821/53238937.jpg

    ОтветитьУдалить
  52. Уважаемый аноним. Судя по Вашим рассуждениям, Вы не учитываете, что лента растягивается равномерно. Другими словами, студент тоже смещается при растяжении ленты.
    Поэтому Ваши слова «с каждым пройденным 1 метром, он удалятся от цели ровно на 99 метров» ошибочны.

    ОтветитьУдалить
  53. Анонимный19.01.2010, 9:37

    Метры надо пробегать

    ОтветитьУдалить
  54. Согласен с Kirill
    (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...)/100 - гармонический ряд, а он - расходится. Прямая аналогия с задачей про Архимеда (Ахиллеса) и черепаху.

    ОтветитьУдалить
  55. Быстрая прикидка показывает что дойдет через 15092688622113788323693563264538101449859497 метров )

    ОтветитьУдалить
  56. графически место нахожденья студента относительно концов ленты) является кривой, а растяжение/длина ленты развивается по прямой. думаю что в точке пересечение графиков и будет получен зачёт.
    П.С. русский не мои родной язык, так что извините если что :)

    ОтветитьУдалить
  57. А есть ли правильное решение?

    ОтветитьУдалить
  58. Nix, выше было преждложено несколько правильных решений. Самое изящное и ясное решение (на мой взгляд) у Vitaly. Такая краткость и концентрация на важном говорят о высокой степени организации головы :)

    ОтветитьУдалить
  59. Классная задачка спасибо. Уломал голову себе и половине отдела.

    Сперва прикинул в голове -скорость преподавателя линейна, студента же движется с ускорением, хотя его ускорение будет постоянно уменьшаться.

    Потом вывел на какое расстояние сдвигается студент и препод на каждом шаге:
    s1 (препод) = s1 + 100
    s2 (студент) = s2 + 1 (шаг студента) + 100*s2/s1 (смещение студента за счет растяжения ленты)

    И написал программу чтобы посчитать сколько же пройти надо... не помогло. Слишком большое число.

    Потом вспомнил про метод регрессии и посчитал для меньшей длинны и прироста ленты.
    путь который проходил студент с каждой новой лентой оказался геометрической прогрессией с коэффициентом q=2.71828

    соответственно при длинне ленты в 100 он дойдет до преподавателя гдето через 1*q^99 шагов.

    Решение конечно не математическое - но здорово напомнило матерьял по моделированию техпроцессов, по которому недавно сдавал экзамен.

    ОтветитьУдалить
  60. Анонимный08.07.2011, 21:03

    Вот как вижу это я:
    Студент стоит на ЛЕВОМ краю ленты,препод-на ПРАВОМ.С каждым пройденным метром студента к преподу(поперек ленты)она увеличивается на 100 метров вдоль.Студент проходит 100 метров,получает зачет,лента растягивается на 10100 метров.

    ОтветитьУдалить
  61. Анонимный13.02.2014, 13:40

    Задачка по физкультуре
    1 надо быстро добраться
    2 лента растягивается, когда проходит
    3 на физкультуре бегают прыгают ползают, ну и скачи к зачету , лента не потянется
    4 ну или ходить по полметра, а не по метру и отдыхать, для совсем ленивых
    К

    ОтветитьУдалить

Понравилась заметка? Подпишитесь на RSS-feed или email-рассылку.

Хотите поделиться ссылкой с другими? Добавьте в закладки:



Есть вопросы или предложения? Пишите письма на адрес mytribune АТ yandex.ru.

С уважением,
      Илья Весенний