4 февр. 2014 г.

2D -> 3D -> 2D

Добрый день.

Название этой заметки вовсе не про моду постоянно менять только было ставший привычным стиль иконок операционной системы. Сегодня мы поговорим о решении геометрических задачек с использованием своей «суперспособности» — выходить за пределы плоскости (кстати, зачем учить геометрии мы недавно обсуждали).

Классическая задачка на эту тему звучит так (была разобрана как минимум у Шарыгина):
- на плоскости даны три окружности разных радиусов (r1 < r2 < r3),
- причём ни одна из этих окружностей не лежит целиком внутри другой (D(ci, cj) > |ri - rj| для 1 <= i < j <= 3),
- через каждую пару окружностей проведены две общие внешние касательные (они заведомо пересекаются, так как радиусы окружностей различны),
- т.е. для каждой пары окружностей мы имеем точку пересечения общих внешних касательных.

Доказать: все эти три точки лежат на одной прямой.


Я знаю два коротких решения этой задачи:
- одно требует минимальных знаний стереометрии (с моей точки зрения, самое естественное и простое решение),
- во втором достаточно планиметрии, но надо каким-то образом придумать достаточно неожиданное построение в 3D (я пока не понимаю, как решить задачу таким образом, не придумав предварительно первое решение).

Прелесть обоих решений: достаточно пары-тройки предложений, чтобы их выразить. Если вам повезло не знать решение этой задачи, то я приглашаю вас в комментарии, чтобы посоревноваться в краткости.

Если же эта задача вам известна, то вопросы шире:
- какие ещё планиметрические задачи вы знаете, которые удобно решить, выйдя из плоскости?
- какие стереометрические задачи вы знаете, которые удобно решить, выйдя из трёхмерного пространства в четырёхмерное?


Любителям стереометрии напоминаю про задачу о двух конусах.

Хорошего дня!

16 комментариев:

  1. Задача еще решается с помощью теоремы Менелая. Отношения длин отрезков из этой теоремы сводятся к отношениям радиусов окружностей из подобных треугольников.

    По сложности это решение примерно такое же, как и с выходом в 3D. Хотя, возможно, я придумал не самое оптимальное дополнительное построение.

    ОтветитьУдалить
  2. Доказать: все эти три точки лежат на одной прямой.
    _______________________________________________
    А еще при определенных условиях эти три точки могут совпадать, и в этом случае мы не можем утверждать, что они лежат на одной прямой ;)

    ОтветитьУдалить
  3. Ребята, я хочу поделиться с вами информацией, важность которой для возрождения математики, всей математики и, в конечном итоге, для возрождения всей науки совершенно невозможно переоценить.

    Прежде, позвольте мне задать риторический вопрос. Можно ли из механизма убрать что-то и, в результате такой операции, сделать этот механизм проще, дешевле, изящнее, надежнее и эффективнее, т.е. сделать его лучше во всех отношениях? Ответ очевиден: Да, если механизм - плохой, а изобретатель - хороший.

    Так вот я утверждаю, что современная математика, построенная на фундаменте бесконечных множеств, и есть такой механизм. А изобретателя, который показал, что и как надо поменять во всем этом громадном механизме, чтобы сделать его проще, понятнее, логичнее, изящнее и, что самое главное, гораздо мощнее, зовут Norman Wildberger – канадский математик, который живет и преподает сегодня в Австралии.

    Для тех, кто в состоянии понять и оценить по достоинству то, о чем я говорю, даю необходимые (и достаточные) ссылки:

    Prof N.J. Wildberger

    MathFoundations (серия из 105 коротких видео роликов).

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Артур, спасибо за интересный анонс. А могли бы Вы чуть подробнее рассказать идею тем, кто не готов сразу смотреть серию из 105 роликов? Думаю, примерно поняв очертания мечты, люди вернее смогут осознанно выделить время для просмотра этих роликов.

      Удалить
    2. Хорошая мысль, Илья. Я с удовольствием сделаю это, как только появится время.

      Если коротко, сущность этого амбициозного проекта состоит в попытке очистить математику от смердящего духа Бурбакизма, и вернуть ее к жизни в традициях Декарта, Ферма, Лейбница, Эйлера, Гаусса и других замечательных первопроходцев, включая сюда, конечно, знаменитую плеяду ученых из семейства Бернулли.

      Изложение ведется на английском, но пусть этот факт, вместо преграды, станет дополнительным стимулом для тех, кто и так хотел улучшить свое знание этого важного в современном мире языка.

      Удалить
  4. Комментарии, которые присылали на email:

    Во-первых, ссылка на статью Александра Шеня - http://www.lirmm.fr/~ashen/springer-published/1997-3-2-3-dimensions.pdf

    Во-вторых, следующий текст:
    Задача: доказать, что одной линейкой нельзя построить середину отрезка.

    Решение. Предположим противное, что существует алгоритм, который одной линейкой строит середину любого отрезка.

    Выйдем в пространство: разместим где-то над плоскостью, в которой лежит отрезок, точку O и проведём другую плоскость, не параллельную плоскости чертежа и не проходящую через точку O. Тогда можно любой точке А на первой плоскости можно поставить в соответствие точку f(A) на второй, а именно точку пересечения OA и второй плоскости. Такое преобразование переводит прямые в прямые, а значит, если алгоритм делит пополам отрезок AB на первой плоскости, он же будет делить и отрезок f(A) f(B) на второй. Но при таком преобразовании свойство точки быть серединой отрезка не сохраняется. Середина отрезка может перейти в точку, делящую его в отношении 1:3 (или другом). Значит, наше предположение о существовании такого алгоритма оказалось неверным, ЧТД.

    ОтветитьУдалить
  5. > а значит, если алгоритм делит пополам отрезок AB на первой плоскости, он же будет делить и отрезок f(A) f(B) на второй. Но при таком преобразовании свойство точки быть серединой отрезка не сохраняется.

    Поясните пожалуйста.
    Да, при таком преобразовании середина отрезка может перейти в "несередину" и что?
    Наш алгоритм работает на исходном отрезке и сработает заново, если его применить к отображению исходного отрезка (на отображении он выявит новую "середину").
    Где сказано, что алгоритм, найдя середину одного отрезка, обязан обеспечивать сохранность этой "середины" при отображениях?

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Здесь надо понять, что применение алгоритма на одной плоскости должно перейти в применение алгоритма на другой плоскости (это особенность выбранного отображения)

      Удалить
    2. > применение алгоритма на одной плоскости должно перейти

      Говоря о применении алгоритма Вы, похоже, имеете в виду не сам алгоритм, а результаты его работы. Так?

      Тогда почему Вы используете слово "должно"? Из определения задачи наличие этого "долженствования" не следует.

      Удалить
    3. Верно, в тексте задачи не сказано "если построить рядом плоскость, а потом на неё вот так проектировать, то будет верно такое-то утверждение", но это не значит, что эту мысль нельзя сформулировать и доказать.

      Удалить
  6. Этак, по-Вашему, я и циркулем середину отрезка найти не смогу только лишь на том основании, что после преобразования середина сместится? ;-)

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. При предложенном проецировании построения с линейкой переходит однозначно в построение с линейкой. Для циркуля это неверно, поэтому данное рассуждение нельзя применять.

      Удалить
    2. > построения с линейкой переходит однозначно
      > в построение с линейкой

      Это аксиома?
      Каков перечень действий, допустимых в операциях типа "построение с линейкой"?

      Удалить
    3. Это теорема. И касается она конкретных классов отображений (параллельное проектирование на плоскость и проектирование на плоскость через точку).
      Я уверен, что если Вы постараетесь, то разберётесь в этой задаче быстрее, чем понадобится любому, чтобы её Вам объяснить.
      Я не отказываюсь пояснять, но прошу Вас попробовать разобраться ещё раз.

      Удалить
  7. Анонимный09.04.2014, 14:32

    ck6262@mail.ru

    Для начала. Занимательность математики (имхо) не находится в области формул функций, цепочек вычислений и прочей тоски.)))

    О задачке. Представим себе (естественно бесконечный) двугранный угол ребром вниз с засыпанными в него (в бесконечном же количестве) прозрачными разнокалиберными сферами способными пересекаться каждая из которых касается обоих граней и все становится просто.

    ))) После такого рассмотрения ясно - условие что ни одна из трех окружностей не лежит целиком внутри другой становится, несколько, натянутым и не обязательным. Что бы это понять достаточно повертеть указанную модель и рассмотреть ее со всех сторон (например заглянуть между гранями) и увидеть как линия ребра пересекает окружности сфер. Я понятно излагаю? ))))

    ОтветитьУдалить

Понравилась заметка? Подпишитесь на RSS-feed или email-рассылку.

Хотите поделиться ссылкой с другими? Добавьте в закладки:



Есть вопросы или предложения? Пишите письма на адрес mytribune АТ yandex.ru.

С уважением,
      Илья Весенний