Выход из плоскости

Добрый день.

В прошлый раз я напрасно оговорил Шарыгина, так как задачка о трёх окружностях и общих касательных была разобрана у Моденова. Если вы не сталкивались раньше с таким классом решений (речь о выходе из плоскости), то я рекомендую вам прочитать статью Александра Шеня «Three-dimensional solutions for two-dimensional problems» — это всего четыре страницы, но много разных интересных идей.

Во-вторых, давайте сформулируем ещё пару задачек, которые решают достаточно похоже (я вообще люблю и считаю очень полезными задачки на построение, поэтому радуюсь любому поводу про них вспомнить):

1) Докажите, что невозможно построить биссектрису угла, пользуясь только линейкой.

2) Докажите, что невозможно построить середину отрезка, пользуясь только линейкой.

(естественно, в обеих задачках подразумевается, что у нас есть карандаш, но нет циркуля)

В-третьих, разберёмся с прошлой задачкой про три окружности и внешние общие касательные.

Мне показалось более естественным следующее решение:
- надуем в центре каждой из этих окружностей сферу, радиус которой совпадает с радиусом соответствующей окружности,
- заметим, что плоскость, касающаяся пары таких сфер, проходит через точку, в которой пересекаются общие касательные пары соответствующих окружностей,
- уроним сверху плоскость на три наши сферы — она пересечётся с основной плоскостью по прямой, на которой и находятся все три точки.

Моденов предлагает такое построение (без сфер):
- из центра каждой окружности отложим отрезок, длина которого равна радиусу окружности, а сам он перпендикулярен плоскости (все отрезки направим в одну сторону от плоскости,
- заметим, что прямая, проходящая через концы пары таких отрезков, лежащие вне плоскости, содержит точку, в которой пересекаются общие касательные пары соответствующих окружностей,
- уроним сверху плоскость на три конца отрезков — она пересечётся с основной плоскостью по прямой, на которой и находятся все три точки.

Я понимаю, почему второе решение проще первого — оно почти не требует стереометрических знаний. Но как его придумать?

Итого, вопросы такие:
1) Вы тоже считаете, что решение со сферами более естественное? Или это мой личный способ видеть сложное там, где его нет?
2) Какие стереометрические задачи вы знаете, которые удобно решить, выйдя из трёхмерного пространства в четырёхмерное?

Хорошего дня!