20 мая 2013 г.

Найти более одного решения и разрезание на подобные фигуры

Добрый день.

В условиях некоторых задачкек авторы явным образом просят предъявить нетривиальное решение, понимая, что есть одно-два решения, которые сразу бросаются в глаза. Обычно это происходит в следующей ситуации: придумано настоящее интересное решение, но трудно так сформулировать задачу, чтобы только оно и подходило.

Поясню: в задаче «найдите хотя бы два решения уравнения (x-1)(xx-3)=0» требование найти два ответа нелогично, так как x=1 является очевидным решением, которое легко исключить, убрав скобку (x-1). Но в следующей задаче следует искать именно два разных решения, так как не так уж легко найти способ избавиться от более простого.

Заодно я предлагаю вам вспомнить о задачках на разрезание. Иногда в них требуется разрезать на несколько одинаковых фигур, иногда — на несколько фигур, из которых можно сложить квадрат, иногда используется не квадратная, а треугольная решётка. Здесь же мы будем резать фигуру, нанесённую на треугольную решётку на подобные фигуры — это очень интересный класс таких задач (сама задачка от Константина Кнопа, по ссылке в комментариях есть ответы, будьте осторожны).

Перед вами правильный треугольник со стороной 16 (для удобства визуально разделенный на треугольники со стороной 2), из которого вырезан единичный правильный треугольник. Разрежьте эту фигуру на две подобных друг другу фигуры, коэффициент подобия которых равен 2. Резать можно по клеточкам, а можно и не по клеточкам.

В комментариях по ссылке предложен один ответ, но задача имеет ещё одно интересное решение, которое я вам предлагаю найти. А когда обнаружите его, попробуйте ещё один вариант развития данной треугольной задачки: найдите все возможные координаты красного треугольника, при которых у данной задачи существует хотя бы одно решение.

В комментариях у Константина кратко обсуждается поиск всех координат дырки для квадратной версии этой задачи (кстати, её тоже стоит победить). Но я рекомендую треугольную вариацию, потому что она должна осуществить более интенсивный массаж головы, так как нашему мозгу квадратные задачки куда привычнее. Если вам интересна тема автоматического решения задач на разрезание, то предлагаю начать читать краткую статью об этом.

А какие задачи с осмысленным требованием найти как минимум два решения знаете вы?

Хорошего начала недели!

15 комментариев:

  1. Вначале долго думал, что это не возможно, а потом понял, что решений бесконечно много.
    https://googledrive.com/host/0B4-_ODwhstSyRUIwMXBTb1RMeU0/%D0%A0%D0%B0%D0%B7%D1%80%D0%B5%D0%B7%D0%B0%D0%BB%D0%BA%D0%B016.png

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Спасибо за интересный вариант!
      Возможно, Вам будет интересно, что существует несколько разрезаний и на две однограничные фигуры.

      Удалить
    2. Анонимный23.05.2013, 14:50

      Так тут ведь получается разрезание не на две фигуры (как того требует условие), а на намного большее количество фигур.

      Удалить
    3. Уважаемый аноним, если я правильно понял автора решения, он предложил разрезание на две многограничные фигуры - белую и зелёную. Это красивое и очень сложное решение. Интересно, что и белая и зелёная фигура имеют бесконечное количество компонент.

      Удалить
    4. https://googledrive.com/host/0B4-_ODwhstSyRUIwMXBTb1RMeU0/case1.png
      и
      https://googledrive.com/host/0B4-_ODwhstSyRUIwMXBTb1RMeU0/case2.png
      считаются?

      Удалить
    5. Да, это интересные решения. Прекрасно, что Вам приходят в голову эти фрактальные варианты! Ваш оригинальный взгляд очень украсил эту задачу, заставив смотреть на неё другими глазами. Спасибо, что нашли время нарисовать такие сложные решения!

      Удалить
    6. В этот раз рисовал все-таки компьютер ;). Я лишь задал коэффициенты поворотной гомотетии и написал простую программу, которая выполняет итерации и раскрашивает треугольник в зависимости от их четности.

      Удалить
  2. Забавная задачка. С разбегу получилось вот так:
    https://dl.dropboxusercontent.com/u/5447644/Geometry/triangles.png
    Внутренний треугольник ILK с дыркой внутри подобен ABC за вычетом, собственно, ILK.
    По идее должно строиться в том же виде для любого выпуклого многоугольника, для любого коэффицента подобия (больше 1, разумеется) и для любого положения отверстия (включая повёрнутое) до тех пор пока отверстие подобно внешней фигуре. Но это надо ещё как-то проверить, могут быть подводные камни в каких-то случаях.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Всё же я был слишком оптимистичен. Коэффициент подобия здесь важен и есть углы поворота, которые надо обрабатывать иначе.

      Удалить
  3. Учитывая, что маленький треугольник в 16 раз меньше большого, такие фигуры будут подобны только при коэффициенте подобия 4. При коэффициенте подобия 2 придется брать фигуру из нескольких треугольников.

    ОтветитьУдалить
  4. Интересно, что пока ещё никто не написал, что нашёл хотя бы одно из решений с конечным количеством разрезов на однограничные фигуры. А они есть! :)

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Никто кроме вас не знает что это (однограничная фигура) такое. И вы не ответили подходят ли вам решения case1.png и case2.png выше. Стандартное решение у меня, конечно, тоже получилось.

      Удалить
    2. Фигура с одной границей - понятие достаточно распространённое (речь об односвязной фигуре без дырок).

      Удалить
    3. Ну вот в случаях case1 и case2 границы фигур связны, но фигуры как замкнутые множества не односвязны, а как открытые - не связны. Если правильным образом включить часть границы можно получить множество, которое одновременно связное и односвязное. Вот является ли это "однограничной фигурой" или нет?

      Удалить
    4. Это хороший вопрос!
      Обычно при разговоре о k-граничных фигурах договариваются, что граница - это множество отрезков и дуг окружностей, обладающее следующими свойствами:
      - концы i-ого и (i+1)-ого рёбер совпадают (как и концы последнего и нулевого рёбер),
      - каждый конец каждого ребра совпадают ровно с одним концом других рёбер,
      - других пересечений рёбер нет.
      (ну да, здесь ещё обычно описывают случай границы, состоящей из одного ребра, являющегося дугой окружностью с углом 2pi)

      Соответственно, обычно подразумевается конечное количество рёбер на границе. Но Ваши решения мне очень интересны! Скорее всего, я бы никогда не узнал о них, если бы не Вы. Поэтому ещё раз благодарю за упорство!

      Удалить

Понравилась заметка? Подпишитесь на RSS-feed или email-рассылку.

Хотите поделиться ссылкой с другими? Добавьте в закладки:



Есть вопросы или предложения? Пишите письма на адрес mytribune АТ yandex.ru.

С уважением,
      Илья Весенний