Добрый день.
Начался декабрь — последний месяц перед Новым годом. Что мы можем по этому поводу сказать?
Во-первых, 2013 раскладывается на простые множители следующим образом: 2013 = 3 х 11 х 61.
И оно начинает серию из трёх идущих подряд чисел, имеющих 3 разных простых множителя (и ровно 8 делителей):
2014 = 2 х 19 х 53,
2015 = 5 х 13 х 31.
Заметим, что сумма числа 2013 и его простых делителей
2013 + 3 + 11 + 61 = 2088
равна сумме числа 2014 со своими простыми делителями
2014 + 2 + 19 + 53 = 2088.
А ещё это число можно выразить, расставив знаки между цифрами, идущими от 1 до 7:
123 + 45 * 6 * 7 = 2013 (здесь пришлось разрешить склейку, что обычно не используется в автобусных билетиках).
А можно справиться и без склейки, но с возведением в степень: 1 + 2 * (3 + 45) - 6 * 7 = 2013
В заметке «Обучение без интернета» мы уже чуть-чуть говорили о том, имеют ли смысл все эти игры с числами (кстати, в той же заметке мы упомянули блог «Десять букв», из которого взяты все эти новогодние примеры). С одной стороны, никакой пользы от таких игр с числами для народного хозяйства не видно. С другой же стороны, если готовить свою голову к решению достаточно абстрактных задач, то невредно потренировать мозг на методичный быстрый перебор без ошибок, развить память, улучшить математическое чутьё, а также научить его получать удовольствие от возни с цифрами.
Предлагаю на эту тему пару задачек, первую из которых надо решить устно, ничего не записывая на листе бумаге, кроме ответа, а для второй всё же придётся пару строчек из цифр зафиксировать (во всяком случае, мне не удалось решить вторую устно, поэтому поделитесь, пожалуйста, подходом к устному решению, если сможете одолеть её без бумаги).
Задачки звучат так — решите системы уравнений:
а)
Г*О+Д=15
В*Е+К=15
Э*Р+А=15
б)
Г*О+Д=21
В*Е+К=21
Э*Р+А=21
(как обычно, разным цифрам соответствуют разные буквы, система счисления десятичная и т.д.)
Эти две задачи взяты из ЖЖ Константина Кнопа (по этой ссылке вы можете найти ещё несколько интересных ребусов — более сложных, но и более интересных).
Если вы понимаете, что в таких задачках важно не ответ найти (это и компьютер может сделать мгновенно), а развить себя в процессе решения, то, пожалуйста, поделитесь ссылкой на заметку в Twitter, Google+, Facebook, Вконтакте или добавьте её в свой блог/ЖЖ:
<a href="http://my-tribune.blogspot.com/2012/12/numbers.html">Игры в цифры</a>. Спасибо!
Хорошего дня!
5 дек. 2012 г.
Игры в цифры
Темы:
дети,
математика
Подписаться на:
Комментарии к сообщению (Atom)
Понравилась заметка? Подпишитесь на
RSS-feed или email-рассылку.
Хотите поделиться ссылкой с другими? Добавьте в закладки:
Есть вопросы или предложения? Пишите письма на адрес mytribune АТ yandex.ru.
С уважением,
Илья Весенний
RSS-feed или email-рассылку.Хотите поделиться ссылкой с другими? Добавьте в закладки:
Есть вопросы или предложения? Пишите письма на адрес mytribune АТ yandex.ru.
С уважением,
Илья Весенний
Этот комментарий был удален администратором блога.
ОтветитьУдалитьУважаемый аноним,
Удалитьспасибо, что написали ответы. Я их спрятал, чтобы они случайно не помешали другим желающим решить самостоятельно. Здесь важнее не ответ найти, а решить задачу.
Пожалуйста, расскажите, как решили вторую задачку устно, если Вам это удалось.
Тупым перебором второго слагаемого.
УдалитьДа, перебор слагаемого я понимаю. Но в первой можно вообще без перебора решить (методом пристального взгляда). А во второй у меня так не получилось.
УдалитьНо зато можно без склеек и степеней сделать из цифр от 1 до 9, например, так
ОтветитьУдалить(1+2)/3 + 4*(5-6+7*8*9)
Впрочем, из 1...9 можно собрать любое число от 0 до 2103
А у Вас есть короткое доказательство этого утверждения?
УдалитьКак вторую решить устно: замечаем нечто хорошее про цифру 7 и про цифру 0. Затем предполагаем хорошую вещь про цифру 1. Из оставшихся цифр пытаемся перебором найти ответ.
ОтветитьУдалитьДа и первую я таким же образом решал почти. Только предполагать про 9 пришлось.
УдалитьДа, Вы правы! Про 7 и 0 я почему-то проглядел. А ведь в первой именно аналогичное наблюдение про 5 и 0 всё расставило на места.
УдалитьА я вот что-то сильно запутался. Сначала я взял и просто перебрал все варианты: получилось 3 комбинации, в которых можно еще менять местами множители, то есть 6 комбинация всего. получается, что соответствий тоже можно найти больше одного (4 кажется). Как же понять, какая из них «правдивее»?
ОтветитьУдалитьСергей, здесь имеет смысл говорить об уникальных решениях с точностью до перестановок. Внутри каждой тройки (строчки) есть два варианта (так как множители можно переставить), поэтому на одних этих перестановках получаем 2^3 = 8 вариантов. Но к этому надо ещё добавить возможности переставлять три строки (это можно сделать 3!=6 способами). Итого, найдя одно решение, мы можем назвать 6*8=48 решений, делая простые перестановки.
Удалитьпрочтя ваши слова о том, что правильное решение и выглядит правильными, я подумал о том, что ответ один и что-то должно подсказать, что он именно такой. тут же получается, что на самом деле правильных ответов 48. как-то это некрасиво :)
Удалитьпоясните, пожалуйста, потом способ, который заключается не в переборе вариантов, а в каких-то свойствах 0, 5 и 7.
а, я кажется понял. эти свойства заключаются в том, что с 0 надо начинать перебор)
Удалить> тут же получается, что на самом деле правильных ответов 48. как-то это некрасиво
УдалитьВ данном случае надо почувствовать, что все эти 48 ответов равнозначны и правильны.
> а, я кажется понял. эти свойства заключаются в том, что с 0 надо начинать перебор
Нет, не очень важно, с чего начинать перебор, так как цель - найти все решения, а не первое попавшееся. Например, у первой задачи их два (т.е. с учётом перестановок 2*48=96). А если удовлетвориться первым попавшимся решением, то об остальных можно и не узнать.
Поэтому максимальная польза достигается, если решать такие задачи не перебором.
user_ami wrote:
ОтветитьУдалить5 дек, 2012 17:27 (UTC)
1) Очевидно, что ни один из множителей -- не ноль, и хотя бы в двух произведениях они оба больше единицы. Годятся варианты
2*3+9
2*4+7
2*6+3
2*7+1
3*5+0
Во всех вариантах, кроме последнего, есть цифра 2. Значит 3*5+0 должно быть обязательно, а ещё одно из равенств -- либо 2*4+7, либо 2*7+1. В первом случае остаются цифры 1, 6, 8, 9, во втором -- 4, 6, 8, 9, что не годится, так как 4*6 уже больше 15. В первом получается 1*6+9 или 1*9+6. (Не знаю, правильно ли считать эту перестановку нетривиальной)
2) Каждое из произведений должно быть не меньше 12 и не больше 21. Возможны варианты:
2*6+9
3*4+9
3*5+6
2*8+5
2*9+3
4*5+1
3*7+0
Во всех вариантах, кроме предпоследненго, есть либо 2, либо 3. Значит, 4*5+1 должно быть обязательно. Из оставшегося списка выкидываем варианты, где есть какая-то из этих цифр, а так же тот, где 2 и 3 вместе. Остаются 2*6+9 и 3*7=0
Спасибо, что описали свой ход мыслей! Мне всегда очень интересно понять, как именно другие люди размышляют.
УдалитьЯ написал решение, которое мне кажется более простым и естественным, но прекрасно понимаю, что каждому автору его решение ближе и роднее :)
Просто я старался минимизировать перебор, чтобы задачу легко можно было одолеть без бумажки.
Странно, но мне вторая задача даже легче показалась.
ОтветитьУдалитьЯ с неё и начал (наверное, как и многие) :) Почему-то я не подумал сразу про цифру "ноль", и тут же получил, что решений нет. Рассуждал так.
1 не может быть множителем, это сразу даёт нам единственное подходящее уравнение. 2,4,8 точно не могут быть слагаемыми, 4 уже занята в уравнении с единицей, у множителя 2 два варианта уравнения, зато 8 даёт также единственное возможное уравнение, но оно противоречит с первым! Упс. Следовательно, либо 1, либо 8 не участвуют в решении.
В любом случае есть единственно возможное уравнение с нулём. Оно совместимо и с уравнением с единицей, и с уравнением с восьмёркой.
Если добавляем уравнение с единицей, то третье получаем легко и непринуждённо.
Если добавляем уравнение с восьмёркой, то третье построить не удаётся.
Кстати, подсчитывая количество возможных решений (не в данном случае нет, но вообще), вы забыли возможные варианты с единицей, например 7*1+8 = 8*1+7.
Мне кажется, что это правильно считать разными решениями, хоть и случайно так совпало, что они похожи.
УдалитьКому понравилась "возня с цифрами", предлагаю ещё:
ОтветитьУдалитьа)
Г*О-Д=15
В*Е-К=15
Э*Р-А=15
б)
Г*О-Д=12
В*Е-К=12
Э*Р-А=12
Avegar, спасибо за модификации!
Удалить2*8-1=15
Удалить3*5-0=15
4*6-9=15
2*6-0=12
3*7-9=12
4*5-8=12
Устно решили?
УдалитьЧто интересно, кроме 15 и 21 никакие другие числа не подойдут.
ОтветитьУдалитьХы, у меня возник тот же вопрос, ради интереса прогнал на компьютере - разрешимы только два варианта для вида х1*х2+х3=А и два для вида х1*х2-х3=А. Других нет.
УдалитьА вот для системы, где два уравнения с одним знаком перед х3, а третье - с другим знаком, таких А множество, а потому и неинтересно.
Упс! Сорри! Для вида х1*х2-х3=А, кроме А=12 и А=15, ещё разрешимы для А={6,7,8,9}. А вот для "плюса" только А=15 и А=21.
УдалитьСпасибо за интересное исследование!
УдалитьВторую задачу решил устно, как и первую, по одинаковому принципу. Рассказываю.
ОтветитьУдалитьПеред нами комбинация из 9 цифр. Надо за что-то ухватиться. Допустим цифра 1 – это второе слагаемое в одном из уравнений. Для порядка, пусть это будет первое уравнение. Если 1 – второе слагаемое, то произведение первых двух цифр в уравнении должно быть 20 (21-1=20). Только цифры 4 и 5 могут дать такое произведение. Значит, считаем, что цифры 1, 4 и 5 уже заняты. Идем дальше. В произведении во втором уравнении не могут быть большие цифры, иначе общее выражение будет больше 21. Поэтому там должны присутствовать 2 и/или 3. 2 * 3 не подходит, так как второе слагаемое должно быть 15, а это уже не цифра, а число. Поэтому возьмем отдельно, например, 3. В этом случае только 3*7+0=21. Остаются цифры, 2, 6, 8, 9. В них легко рассмотреть 2*6+9=21.
Только оставшиеся цифры для последнего уравнения я записал на бумажку, чтобы ничего не забыть. Будь у меня лучше память, можно было бы обойтись без бумажки.
Могу предложить свою задачку (быть может, известную):
ОтветитьУдалитьД + Е = Н + Ь
Г + О = Д
Э + Р = А
Задача: найти решение или доказать, что его не может быть.
Спасибо, очень своевременная задачка!
Удалить