5 дек. 2012 г.

Игры в цифры

Добрый день.

Начался декабрь — последний месяц перед Новым годом. Что мы можем по этому поводу сказать?

Во-первых, 2013 раскладывается на простые множители следующим образом: 2013 = 3 х 11 х 61.

И оно начинает серию из трёх идущих подряд чисел, имеющих 3 разных простых множителя (и ровно 8 делителей):
2014 = 2 х 19 х 53,
2015 = 5 х 13 х 31.

Заметим, что сумма числа 2013 и его простых делителей
2013 + 3 + 11 + 61 = 2088
равна сумме числа 2014 со своими простыми делителями
2014 + 2 + 19 + 53 = 2088.

А ещё это число можно выразить, расставив знаки между цифрами, идущими от 1 до 7:
123 + 45 * 6 * 7 = 2013 (здесь пришлось разрешить склейку, что обычно не используется в автобусных билетиках).

А можно справиться и без склейки, но с возведением в степень: 1 + 2 * (3 + 45) - 6 * 7 = 2013

В заметке «Обучение без интернета» мы уже чуть-чуть говорили о том, имеют ли смысл все эти игры с числами (кстати, в той же заметке мы упомянули блог «Десять букв», из которого взяты все эти новогодние примеры). С одной стороны, никакой пользы от таких игр с числами для народного хозяйства не видно. С другой же стороны, если готовить свою голову к решению достаточно абстрактных задач, то невредно потренировать мозг на методичный быстрый перебор без ошибок, развить память, улучшить математическое чутьё, а также научить его получать удовольствие от возни с цифрами.

Предлагаю на эту тему пару задачек, первую из которых надо решить устно, ничего не записывая на листе бумаге, кроме ответа, а для второй всё же придётся пару строчек из цифр зафиксировать (во всяком случае, мне не удалось решить вторую устно, поэтому поделитесь, пожалуйста, подходом к устному решению, если сможете одолеть её без бумаги).

Задачки звучат так — решите системы уравнений:
а)
Г*О+Д=15
В*Е+К=15
Э*Р+А=15

б)
Г*О+Д=21
В*Е+К=21
Э*Р+А=21

(как обычно, разным цифрам соответствуют разные буквы, система счисления десятичная и т.д.)

Эти две задачи взяты из ЖЖ Константина Кнопа (по этой ссылке вы можете найти ещё несколько интересных ребусов — более сложных, но и более интересных).

Если вы понимаете, что в таких задачках важно не ответ найти (это и компьютер может сделать мгновенно), а развить себя в процессе решения, то, пожалуйста, поделитесь ссылкой на заметку в Twitter, Google+, Facebook, Вконтакте или добавьте её в свой блог/ЖЖ:
<a href="http://my-tribune.blogspot.com/2012/12/numbers.html">Игры в цифры</a>. Спасибо!

Хорошего дня!

29 комментариев:

  1. Анонимный05.12.2012, 10:26

    Этот комментарий был удален администратором блога.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Уважаемый аноним,
      спасибо, что написали ответы. Я их спрятал, чтобы они случайно не помешали другим желающим решить самостоятельно. Здесь важнее не ответ найти, а решить задачу.

      Пожалуйста, расскажите, как решили вторую задачку устно, если Вам это удалось.

      Удалить
    2. Анонимный05.12.2012, 10:35

      Тупым перебором второго слагаемого.

      Удалить
    3. Да, перебор слагаемого я понимаю. Но в первой можно вообще без перебора решить (методом пристального взгляда). А во второй у меня так не получилось.

      Удалить
  2. Но зато можно без склеек и степеней сделать из цифр от 1 до 9, например, так
    (1+2)/3 + 4*(5-6+7*8*9)

    Впрочем, из 1...9 можно собрать любое число от 0 до 2103

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. А у Вас есть короткое доказательство этого утверждения?

      Удалить
  3. Как вторую решить устно: замечаем нечто хорошее про цифру 7 и про цифру 0. Затем предполагаем хорошую вещь про цифру 1. Из оставшихся цифр пытаемся перебором найти ответ.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Да и первую я таким же образом решал почти. Только предполагать про 9 пришлось.

      Удалить
    2. Да, Вы правы! Про 7 и 0 я почему-то проглядел. А ведь в первой именно аналогичное наблюдение про 5 и 0 всё расставило на места.

      Удалить
  4. А я вот что-то сильно запутался. Сначала я взял и просто перебрал все варианты: получилось 3 комбинации, в которых можно еще менять местами множители, то есть 6 комбинация всего. получается, что соответствий тоже можно найти больше одного (4 кажется). Как же понять, какая из них «правдивее»?

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Сергей, здесь имеет смысл говорить об уникальных решениях с точностью до перестановок. Внутри каждой тройки (строчки) есть два варианта (так как множители можно переставить), поэтому на одних этих перестановках получаем 2^3 = 8 вариантов. Но к этому надо ещё добавить возможности переставлять три строки (это можно сделать 3!=6 способами). Итого, найдя одно решение, мы можем назвать 6*8=48 решений, делая простые перестановки.

      Удалить
    2. прочтя ваши слова о том, что правильное решение и выглядит правильными, я подумал о том, что ответ один и что-то должно подсказать, что он именно такой. тут же получается, что на самом деле правильных ответов 48. как-то это некрасиво :)

      поясните, пожалуйста, потом способ, который заключается не в переборе вариантов, а в каких-то свойствах 0, 5 и 7.

      Удалить
    3. а, я кажется понял. эти свойства заключаются в том, что с 0 надо начинать перебор)

      Удалить
    4. > тут же получается, что на самом деле правильных ответов 48. как-то это некрасиво
      В данном случае надо почувствовать, что все эти 48 ответов равнозначны и правильны.

      > а, я кажется понял. эти свойства заключаются в том, что с 0 надо начинать перебор
      Нет, не очень важно, с чего начинать перебор, так как цель - найти все решения, а не первое попавшееся. Например, у первой задачи их два (т.е. с учётом перестановок 2*48=96). А если удовлетвориться первым попавшимся решением, то об остальных можно и не узнать.

      Поэтому максимальная польза достигается, если решать такие задачи не перебором.

      Удалить
  5. user_ami wrote:

    5 дек, 2012 17:27 (UTC)
    1) Очевидно, что ни один из множителей -- не ноль, и хотя бы в двух произведениях они оба больше единицы. Годятся варианты

    2*3+9
    2*4+7
    2*6+3
    2*7+1
    3*5+0

    Во всех вариантах, кроме последнего, есть цифра 2. Значит 3*5+0 должно быть обязательно, а ещё одно из равенств -- либо 2*4+7, либо 2*7+1. В первом случае остаются цифры 1, 6, 8, 9, во втором -- 4, 6, 8, 9, что не годится, так как 4*6 уже больше 15. В первом получается 1*6+9 или 1*9+6. (Не знаю, правильно ли считать эту перестановку нетривиальной)

    2) Каждое из произведений должно быть не меньше 12 и не больше 21. Возможны варианты:

    2*6+9
    3*4+9
    3*5+6
    2*8+5
    2*9+3
    4*5+1
    3*7+0

    Во всех вариантах, кроме предпоследненго, есть либо 2, либо 3. Значит, 4*5+1 должно быть обязательно. Из оставшегося списка выкидываем варианты, где есть какая-то из этих цифр, а так же тот, где 2 и 3 вместе. Остаются 2*6+9 и 3*7=0

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Спасибо, что описали свой ход мыслей! Мне всегда очень интересно понять, как именно другие люди размышляют.

      Я написал решение, которое мне кажется более простым и естественным, но прекрасно понимаю, что каждому автору его решение ближе и роднее :)
      Просто я старался минимизировать перебор, чтобы задачу легко можно было одолеть без бумажки.

      Удалить
  6. Странно, но мне вторая задача даже легче показалась.
    Я с неё и начал (наверное, как и многие) :) Почему-то я не подумал сразу про цифру "ноль", и тут же получил, что решений нет. Рассуждал так.
    1 не может быть множителем, это сразу даёт нам единственное подходящее уравнение. 2,4,8 точно не могут быть слагаемыми, 4 уже занята в уравнении с единицей, у множителя 2 два варианта уравнения, зато 8 даёт также единственное возможное уравнение, но оно противоречит с первым! Упс. Следовательно, либо 1, либо 8 не участвуют в решении.
    В любом случае есть единственно возможное уравнение с нулём. Оно совместимо и с уравнением с единицей, и с уравнением с восьмёркой.
    Если добавляем уравнение с единицей, то третье получаем легко и непринуждённо.
    Если добавляем уравнение с восьмёркой, то третье построить не удаётся.

    Кстати, подсчитывая количество возможных решений (не в данном случае нет, но вообще), вы забыли возможные варианты с единицей, например 7*1+8 = 8*1+7.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Мне кажется, что это правильно считать разными решениями, хоть и случайно так совпало, что они похожи.

      Удалить
  7. Кому понравилась "возня с цифрами", предлагаю ещё:
    а)
    Г*О-Д=15
    В*Е-К=15
    Э*Р-А=15

    б)
    Г*О-Д=12
    В*Е-К=12
    Э*Р-А=12

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Avegar, спасибо за модификации!

      Удалить
    2. 2*8-1=15
      3*5-0=15
      4*6-9=15

      2*6-0=12
      3*7-9=12
      4*5-8=12

      Удалить
    3. Устно решили?

      Удалить
  8. Что интересно, кроме 15 и 21 никакие другие числа не подойдут.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Хы, у меня возник тот же вопрос, ради интереса прогнал на компьютере - разрешимы только два варианта для вида х1*х2+х3=А и два для вида х1*х2-х3=А. Других нет.
      А вот для системы, где два уравнения с одним знаком перед х3, а третье - с другим знаком, таких А множество, а потому и неинтересно.

      Удалить
    2. Упс! Сорри! Для вида х1*х2-х3=А, кроме А=12 и А=15, ещё разрешимы для А={6,7,8,9}. А вот для "плюса" только А=15 и А=21.

      Удалить
    3. Спасибо за интересное исследование!

      Удалить
  9. Вторую задачу решил устно, как и первую, по одинаковому принципу. Рассказываю.
    Перед нами комбинация из 9 цифр. Надо за что-то ухватиться. Допустим цифра 1 – это второе слагаемое в одном из уравнений. Для порядка, пусть это будет первое уравнение. Если 1 – второе слагаемое, то произведение первых двух цифр в уравнении должно быть 20 (21-1=20). Только цифры 4 и 5 могут дать такое произведение. Значит, считаем, что цифры 1, 4 и 5 уже заняты. Идем дальше. В произведении во втором уравнении не могут быть большие цифры, иначе общее выражение будет больше 21. Поэтому там должны присутствовать 2 и/или 3. 2 * 3 не подходит, так как второе слагаемое должно быть 15, а это уже не цифра, а число. Поэтому возьмем отдельно, например, 3. В этом случае только 3*7+0=21. Остаются цифры, 2, 6, 8, 9. В них легко рассмотреть 2*6+9=21.
    Только оставшиеся цифры для последнего уравнения я записал на бумажку, чтобы ничего не забыть. Будь у меня лучше память, можно было бы обойтись без бумажки.

    ОтветитьУдалить
  10. Могу предложить свою задачку (быть может, известную):

    Д + Е = Н + Ь

    Г + О = Д

    Э + Р = А

    Задача: найти решение или доказать, что его не может быть.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Спасибо, очень своевременная задачка!

      Удалить

Понравилась заметка? Подпишитесь на RSS-feed или email-рассылку.

Хотите поделиться ссылкой с другими? Добавьте в закладки:



Есть вопросы или предложения? Пишите письма на адрес mytribune АТ yandex.ru.

С уважением,
      Илья Весенний