18 дек. 2011 г.

Как считать вероятности?

Добрый день!

Неделю назад мы провели небольшой опрос на тему «Проще выиграть три раза из четырёх или пять раз из восьми?»

Опрос показал, что заметная часть подписчиков не только изучала, но и успешно освоила азы теории вероятностей. Если вы к ним относитесь, то можете смело переходить к последним двум абзацам заметки.

А остальных я приглашаю разобраться в этой задачке. Напомню, что игра у нас была очень простой — мы несколько раз подбрасывали симметричную монетку, после чего считали, сколько раз выпал «орёл» (т.е. сколько раз мы выиграли).

В комментариях можно прочитать разные мнения:
- кто-то считает, что из того, что подбрасывания монетки друг на друга не влияют (что верно), следует, что выиграть 3 раза из 4, 6 раз из 8, 5 раз из 8 можно с равными вероятностями (что неверно),
- кто-то считает, что раз 3 к 4 относится как 6 к 8, то одинаковы вероятности выигрыша 3 раза из 4 и 6 раз из 8,
- кому-то очевидно, что 3 раза из 4 можно выиграть с вероятностью 1/16, а хоть 5, хоть 6 из восьми можно выиграть с вероятностью 1/256.

Короче, разных мнений много, но разводить демократию для выбора правильного ответа мы здесь не будем. Давайте сначала выясним примерный ответ, проведя эксперимент (на JS, как обычно):

<script type="text/javascript">
n = 100000; nb3of4 = 0; nb6of8 = 0; nb5of8 = 0;
for (i = 0; i < n; i++) {
nbWin = 0;
for (j = 0; j < 4; j++)
if (Math.random() > 0.5)
nbWin++;
if (nbWin == 3)
nb3of4++;
for (j = 4; j < 8; j++)
if (Math.random() > 0.5)
nbWin++;
if (nbWin == 5)
nb5of8++;
if (nbWin == 6)
nb6of8++;
}
document.write('pA = ' + nb3of4/n + ', pB = ' + nb6of8/n + ', pC = ' + nb5of8/n);
</script>

Скопируйте этот текст в файл test.html, после чего откройте его браузером (на медленных компьютерах может работать несколько секунд).

Это простая программа проводит 100000 следующих экспериментов:
сначала подбрасывает монетку четыре раза (и если три раза выпал «орёл», то увеличивает на один счётчик nb3of4), а потом подбрасывает её ещё четыре раза (и тут уже увеличивает на единицу nb5of8 или nb6of8, если победа была ровно пять или ровно шесть раз из восьми, соответственно). В последней строке программа выводит три искомых числа (отношение числа побед заданное число раз к общему количеству проведённых экспериментов).

У меня этот эксперимент дал следующие результаты:
  pA = 0.24865,
  pB = 0.10918,
  pC = 0.21898
.

Вроде бы уже понятно, что вероятность события А больше В, а В больше Б, но как раз тут важно не остановиться, а понять, что означают эти числа. Давайте попробуем в первой строке программы заменить число 100000 на 10 (т.е. заметно сократим число экспериментов). У меня получались следующие результаты при n=10:
pA = 0.2, pB = 0, pC = 0.1,
pA = 0.2, pB = 0, pC = 0.5,
pA = 0.1, pB = 0.2, pC = 0.3,
pA = 0.4, pB = 0, pC = 0.2,
pA = 0.3, pB = 0.1, pC = 0.4.

Как видите, в первой и четвёртой строчках наша теория «pA > pC > pB» подтвердилась, а в трёх других строчках не подтвердилась. Что это означает? А это означает это, что мы провели эксперимент с низкой степенью достоверности.

Если вы читали результаты социологических опросов, то могли обратить внимание на примерно такую фразу: «Статистическая погрешность подобных опросов не превышает 3.4%». Люди, изучившие математическую статистику, знают, как вычислить вероятность того, что результаты опроса нескольких тысяч человек не слишком отличаются от результатов опроса всех граждан страны. Интуитивно мы понимаем, что по мнению 10 случайных опрошенных нельзя надёжно понять, что думают люди в стране, поэтому хотим увеличить число опрошенных. Проблема в том, что всех опросить почти невозможно (очень затратно), поэтому приходится искать компромисс.

Так и у нас с этой задачкой: если мы проводим всего 10 экспериментов, то вероятность получить правильный результат не очень высока. Преимущество же наше в том, что мы можем «опросить» всех, что позволит получить совершенно точный ответ.

Итак, кто же эти все? Это элементарные события. Мы можем перечислить все возможные равновероятные ситуации для нашей игры, а потом посчитать количество интересных. Например, если мы будем обозначать победу единицей, а поражение нулём, то список элементарных исходов для четырёх бросков монеты будет выглядеть так:
- 0000,
- 0001,
- 0010,
- 0011,
- 0100,
- 0101,
- 0110,
- 0111,
- 1000,
- 1001,
- 1010,
- 1011,
- 1100,
- 1101,
- 1110,
- 1111.

Поскольку монетка симметричная, а результаты предыдущих бросков не влияют на следующие, то все эти 16 ситуаций имеют равную вероятность. И так как в четырёх случаях из шестнадцати (выделенные строки) победа случается ровно три раза (три единички в строке), то и вероятность таких событий 4/16 = 0.25. Примерно это число мы и увидели в эксперименте при большом n.

Аналогично можно перечислить все расклады для 8 бросков монетки:
- 00000000,
- 00000001,
...
- 11111110
- 11111111.

Далее можно просто посчитать количество строк, в которых ровно 5 и ровно 6 единичек. Знатоки двоичной системы счисления уже давно поняли, что строк будет 2^8 = 256. Понятно, что работа была бы большая, но вполне выполнимая. Но давайте лучше найдём более простой способ посчитать число таких строк.

Начнём с «6 из 8». Нам проще будет посчитать, в каком количестве строк ровно два нуля (это то же самое, что и ровно 6 единиц). Первый нолик можно поставить на одно из восьми мест, а второй нолик — на одно из оставшихся семи мест. Получается, что два нолика можно разместить на восьми местах 8*7 способами. Надо только учесть, что каждый расклад мы посчитали дважды (сначала первый нолик левее второго, а потом на тех же местах второй нолик левее первого). Поэтому наш ответ надо ещё разделить на 2. Получается, что вероятность выиграть 6 раз из 8 равна 4*7/256 = 28/256 = 7/64 = 0,109375.

Теперь понятно, как посчитать число строк с пятью единичками на восьми местах. Будем считать, сколько у нас строк ровно с тремя нулями:
первый нолик можно поставить одним из 8 способов, второй — одним из 7 оставшихся способов, а третий — на одно из шести свободных мест. Получается 8*7*6 вариантов. Но здесь мы опять получили завышенную оценку, так как посчитали каждую возможную конфигурацию 6 раз (три нолика могут занять одни и те же позиции шестью способами: абв, авб, бав, бва, ваб, вба). Это значит, что наш ответ надо поделить на 6. Получается, что вероятность выиграть 5 раз из 8 равна 8*7/256 = 56/256 = 7/32 = 0,21875.

Как видите, наши первые эксперименты неплохо предсказали точный результат. Но тут важнее другое:
- мы вспомнили/узнали, как можно точно посчитать вероятность события (перечислить все возможные равновероятные события, посчитать, сколько из них нам интересны, поделить второе на первое),
- на простом примере убедились, что это имеет смысл,
- лишний раз увидели, что вроде бы очевидные рассуждения могут приводить к неправильному ответукомментариях к прошлой заметке есть немало сообщений, содержащих неправильные объяснения ложных утверждений).

Дело в том, что в теории вероятностей ориентируется не так уж и много людей, но «применить здравый смысл» и «порассуждать о нормальном распределении» готовы очень многие (хоть и не готовы сформулировать определение нормального распределения). Я не спорю, иногда некорректные рассуждения приводят к верному ответу. Но надо помнить, что нередко правдоподобные о вроде бы очевидные мысли уводят от истины и мешают к ней вернуться. Поэтому я считаю правильным начинанием введение в ЕГЭ по математике одной простой задачки на теорию вероятностей. Это даёт надежду на постепенное движение к тому, что почти все школьники России будут легко справляться с элементарными вопросами о вероятностях.

Если человек не способен решать даже школьные задачки по теории вероятностей, то ему не следует пользоваться терминологией из этой теории для убеждения себя или кого-то другого. Почему? Да потому что это будет самообман или обман кого-то другого.

51 комментарий:

  1. Анонимный18.12.2011, 20:00

    Илья, эти подсчеты понятны. Но почему из того, что 3/4=6/8 не следует, что вероятность А = вероятности Б?
    Если считать Вашим способом, то ответы разные. А если рассуждать логически, то одинаковые. Почему Ваше вероятностное рассуждение надо считать правильным, а логическое неправильным?

    ОтветитьУдалить
  2. "А если рассуждать логически..."

    Интуитивно, вы хотите сказать, ибо логикой в вашем рассуждении и не пахнет. Ну так и подводит вас интуиция, о чем собсно автор уже который пост пишет.

    ОтветитьУдалить
  3. Мне кажется интуиция одумается, если ее спросить, будет ли вероятность выиграть ровно 3 раза из 4 равна вероятности выиграть *ровно* 30000 раз и 40000.

    ОтветитьУдалить
  4. Думаю вас заинтересует лекция про использование Википедии в образовании. Правда, на английском.
    Wikimania 2011 - Wiki and Education. Wikipedia in the classrooms (English)

    ОтветитьУдалить
  5. Мы верим Гауссу, а Чурову мы не верим и там далее по ссылке идёт разбор. В том числе есть экспериментальная иллюстрация распределения Гаусса.

    ОтветитьУдалить
  6. Eyeless,

    Мне кажется, что аноним задает хороший вопрос, который заслуживает конкретного ответа, а не отвержения сходу ссылкой на то, что "логикой в вашем рассуждении и не пахнет". Логика (или гипотеза, если хотите), которая неявно присутствует в вопросе анонима, может быть сформулирована в общем виде следующим образом:

    р(выиграть ровно n раз из m бросков) = р(выиграть ровно kn раз из km бросков).

    Не такая уж глупая логика (гипотеза). Беда в том, что она приводит к логическому противоречию, и поэтому должна быть отвергнута. Действительно, если мы примем эту гипотезу, вот что получается:

    р(0 из 4)= р(0 из 8);
    р(1 из 4)= р(2 из 8);
    р(2 из 4)= р(4 из 8);
    р(3 из 4)= р(6 из 8);
    р(4 из 4)= р(8 из 8).

    Но согласно определению вероятности

    р(0 из 4)+р(1 из 4)+р(2 из 4)+р(3 из 4)+р(4 из 4)=1,

    и мы получаем заведомо неверное равенство:

    р(0 из 8)+р(2 из 8)+р(4 из 8)+р(6 из 8)+р(8 из 8)=1,

    ибо мы знаем, что по определению должно быть

    р(0 из 8)+р(1 из 8)+р(2 из 8)+р(3 из 8)+р(4 из 8)+р(5 из 8)+р(6 из 8)+р(7 из 8)+р(8 из 8)=1.

    ОтветитьУдалить
  7. Как дополнительный бонус, вышеприведенное рассуждение дает интуитивную основу для понимания того факта, что вероятность р(3 из 4) должна быть приблизительно в 2 раза выше чем р(6 из 8).

    ОтветитьУдалить
  8. Илья, раз Вы заговорили о важности правильного преподования теории вероятности, я хотел бы высказать свое скромное мнение по этому вопросу.

    Излишняя надежда и упор на прогонку статистических экспериментов, как способа подтверждения правильности вероятностных оценок, закрепляет закостеневшую трактовку самого понятия "вероятность" как нечто, что неразрывно связанно со статистикой, т.е. сугубо частотную трактовку этого понятия. На такой трактовке зиждется вся ортодоксальная теория вероятности, и, к великому сожалению, в России (здесь я думаю сыграл свою негативную роль огромный авторитет Колмогорова, который буквально задавил первоначальный смысл, который придавали понятию "вероятность" такие ученые как Байес, Гаусс, Лаплас, Максвелл, Шрёдингер и многие другие) мало кто осознает по-настоящему, что такая трактовка сопряжена с колоссальными методологическими трудностями. Но это было бы всего лишь пол-беды. Jaynes не уставал повторять, что такое неприемлемо узкое понимание вероятности катастрофически сужает сферу приложений, где это чрезвычайно важное для всей науки понятие может применяться с успехом.

    Даже простой здравый смысл подсказывает, что частотная трактовка вероятности явно не соответсвует тому смыслу, который люди инстинктивно вкладывают в это понятие. Например, мы вполне законно можем говорить и каким-то образом оценивать вероятность термоядерной войны. Пожалуй все согласятся, что вероятность подобного события была гораздо выше во время Кубинского кризиса, чем когда либо до или после попытки Хрущова поместить ракеты с ядерной боеголовкой на Кубе в начале 60-х годов. Каким образом человеческий мозг дает оценку вероятности для подобных событий? Никто точно не знает, но ясно одно - подобное умозаключение никак не связано и не основано на проведении опытных термоядерных войн и подсчете каких-то частот.

    Я настоятельно рекомендую всем взглянуть на фундаментальную работу Jaynes "Probability Theory - The Logic Of Science":

    http://www-biba.inrialpes.fr/Jaynes/prob.html

    К сожалению эта книга, важность которой абсолютно невозможно переоценить, еще не переведена на русский язык. Я настолько верю в неизбежность и важность возврата к первоначальному пониманию смысла вероятности как расширения классической логики Аристотеля для дальнейшего прорыва во всех областях науки (и особенно для вывода квантовой механики из того тупика, в котором она оказалась в начале 30-х годов, т. е. с мометна триумфа и окончательной консолидации ортодоксальной теории вероятности, благодаря во многом усилиям Колмогорова, как всего лишь математической дисциплины теории мер, что взялся за неблагодарную работу перевести эту книгу на русский язык.

    Те, кто не владеет английским, но хотел бы получить представление об этой книге, дайте мне знать, и я с удовольствием пришлю мой перевод первых 3-х глав. Мой электронный адрес: arthur.baraov собачка att.net

    ОтветитьУдалить
  9. Qnan,
    спасибо за хороший пример, позволяющий подсказать интуиции на её ошибку.

    alexsmail,
    благодарю за ссылку на видео.
    А что касается разоблачительных статей, то там не всё так просто. Я к тому, что разоблачать надо честно, аккуратно и строго, а не "просто руками махать, иногда произнося правильные слова".

    Arthur Baraov,
    спасибо за полезные пояснения по задачке!
    По подходам к обучению у меня следующая позиция:
    - есть массовое образование,
    - есть передний край науки спереди.
    И они не очень пересекаются. Т.е. я склонен объяснять азы теории вероятностей таким образом, чтобы их могли понять все желающие. Мне кажется, это очень важно.

    А для развития науки, конечно, надо пользоваться более удобной для работы методологией. И я бы с удовольствием прочитал первые главы перевода. Пришлите их, пожалуйста, на адрес mytribune АТ yandex.ru.

    ОтветитьУдалить
  10. Анонимный19.12.2011, 12:55

    Для Ильи.
    Илья, поправьте в предложении " И так как в четырёх случаях из шестнадцати победа случается ровно три раза " три на четыре.

    Какое-то запутанное объяснение количества интересных исходов. Многа букафф. Бегло читая не смог осилить. Помоему "цэ из эн по ка" звучит красноречивее.

    Для Артура.
    Я не согласен с идеей Артура. Ни по существу ни по конкретному примеру с термоядерной войной.

    Человек вполне способен давать субъективную оценку меры вероятности события А, основываясь на умозрительных заключениях вида "вот появилась еще одна предпосылка, следовательно вероятность события А повысилась". Обратите внимание, в этом рассуждении понятие статистики или опыта никак не использовано.

    НО! Справедливость таких выводов целиком и полностью основывается на следующей зависимости, которая, обратите внимание, выведена из жизненного опыта (следовательно из статистики): чем больше было предпосылок для того чтобы случилось А, тем чаще это А случалось.

    А насчет статистики по термоядерным войнам. Ну и что что их не было. Были ведь другие войны. И начинались они аккурат в разгар политического кризиса.

    ОтветитьУдалить
  11. Уважаемый аноним, спасибо, но менять тут "три" на "четыре" будет неправильно, так как мы считаем именно вероятность события "три орла из четырёх возможных", а не "четыре из четырёх".

    Что касается "цэ из эн по ка", то этот текст написан не для тех, кто ориентируется в комбинаторике. Естественно, решение этой задачи можно записать гораздо короче. У меня же была цель сделать не коротко, а понятно для тех, кто ещё не разбирается в этой теме, но хотел бы лучше её понимать.

    ОтветитьУдалить
  12. Интересно Вы свели вероятности к политике, спасибо.

    Меня тоже часто напрягают бездумные туши. Если есть время - почитайте http://kartz.ru/2011/12/20/hamster10k/

    ОтветитьУдалить
  13. @Илья

    Перевод трех глав выслал, надеюсь получили.

    ОтветитьУдалить
  14. Анонимный20.12.2011, 6:50

    Илья, еще раз внимательно перечитайте этот абзац, ведь у Вас именно четыре строки выделено цветом, а не три!

    " И так как в четырёх случаях из шестнадцати победа случается ровно три раза (выделенные строки), то и вероятность таких событий 4/16 = 0.25"

    ОтветитьУдалить
  15. Анонимный20.12.2011, 7:04

    PS
    Если не согласны, то хотя бы количество выделенных строк уменьшите, а то концы с концами не сходятся.

    ОтветитьУдалить
  16. Полагаю, Илья никак не мог предположить, что смысл его предложения можно так исказить. Понимать это предложение надо так:

    "И так как в четырёх случаях (выделенные строки) из шестнадцати победа случается ровно три раза (т.е. количество единичек в каждой из 4-х выделенных строчек), то и вероятность таких событий 4/16 = 0.25"

    и тогда все сойдется.

    ОтветитьУдалить
  17. Dober,
    уж куда не хотелось скатываться, так это в политику. Спасибо за ссылку.

    Arthur Baraov,
    спасибо, статью получил.

    Уважаемый аноним, Вы правы, то предложение можно понять двояко. Я постарался поправить так, чтобы уменьшить вероятность неверного толкования.

    ОтветитьУдалить
  18. Аноним @19.12.11 12:55 сказал:

    Я не согласен с идеей Артура. Ни по существу ни по конкретному примеру с термоядерной войной. Человек вполне способен давать субъективную оценку меры вероятности события А ...

    Излишне говорить, что эта идея, к моему великому сожалению, не принадлежит мне. Однако я хотел бы сделать небольшой комментарий по вопросу: что можно считать объективной вероятностью, а что нельзя.

    Объективной вероятности, как таковой, вообще не существует, т.е. говорить о вероятности того или иного события в отрыве от субъекта, дающего оценку этой вероятности, не имеет смысла. Другими словами, вероятность не является физическим свойсвом объектов или даже процессов, как являются, скажем, масса или скорость. Думать, что, дав определение вероятности в терминах частоты наблюдения повторяющихся событий, которую можно измерить экспериментально наподобие массы или скорости, классическая теория вероятности, тем самым, придала понятию вероятности объективный характер - не более чем иллюзия.

    Например, мы считаем, что вероятность выпадения орла для обсолютно симметричной монеты равна 1/2, но не потому, что это является объективной физической характеристикой симметричной монеты. И не потому что опыт убедил нас в этом. Более того, дело даже не только и не столько в том, что все это имеет какое-то отношение к процедуре бросания монеты. Если бы это было так, то нам было бы положительно невозможно оценить вероятность выпадения орла для изогнутой монеты как 1/2.

    Но любой здравомыслящий человек скажет не задумываясь, что вероятность выпадения орла для изогнутой монеты, точно также как и для абсолютно симметричной, в точности равна 1/2, если он не знает в какую именно сторону она изогнута.

    Оценка вероятности того или иного события - это всего лишь отражение состояния знания того, кто дает эту оценку, не более того.

    Такое понятие как абсолютно случайный процесс - тоже не имеют смысла. Например, думать, что квантовая механика "доказала", что есть абсолютно случайные процессы - это, по меткому выражению Jaynes, не более как Ложное отождествление восприятия Природы с самой Природой.

    ОтветитьУдалить
  19. Анонимный21.12.2011, 10:17

    "Оценка вероятности того или иного события - это всего лишь отражение состояния знания того, кто дает эту оценку, не более того."
    Это слишком однобоко. Я лучше знаком с рисками, а не теорией вероятности, а потому буду говорить о них. Риск имеет объективно-субъективную природу. Конечно, оценка риска очень сильно зависит от объема информации, которой владеет проводящий такую оценку. Но, с другой стороны, наша субъективная оценка не влияет на объективные процессы и может с разной степенью точности их отображать.
    Кстати говоря, статистический (частотный) подход к вероятности не так уж сильно доминирует в науке. Кроме старого классического подхода можно выделить по крайней мере логическую концепцию вероятности (Кейнс, Кайберг, Карнап) и субъективную интерпретацию (Рамсэй, Севидж, Демпстер). Просто искать нужно в других областях знаний, в часности в экономике, где управление рисками - это не просто "кабинетное" занятие, а процес, от которого зависит деятельность компании.

    ОтветитьУдалить
  20. Я лучше знаком с рисками, а не теорией вероятности, а потому буду говорить о них. Риск имеет объективно-субъективную природу.

    С этим трудно спорить. Риск + Вероятность это предмет Теории Принятия Решений - отдельная математическая дисциплина. Ей посвящена Глава 13 в упомянутой выше книге:

    http://www-biba.inrialpes.fr/Jaynes/cc13v.pdf

    Самой известной, и пожалуй самой яркой, проблемой в этой области математики до сих пор остается знаменитый Санкт-Петербургский парадокс. Решению этой проблемы был посвящен мой доклад

    On the Notion of Fair Games and Bernoulli’s
    Concept of Moral Expectation

    на международной конференции, которая состоялась в июле этого года в Канаде

    http://www.maxent2011.org/

    ОтветитьУдалить
  21. Анонимный21.12.2011, 16:20

    "Ей посвящена Глава 13 в упомянутой выше книге"
    Спасибо, ознакомлюсь. Возможно, пригодится для диссертации :)

    ОтветитьУдалить
  22. Аноним @19.12.11 12:55 сказал:

    ... НО! Справедливость таких выводов целиком и полностью основывается на следующей зависимости, которая, обратите внимание, выведена из жизненного опыта (следовательно из статистики): чем больше было предпосылок для того чтобы случилось А, тем чаще это А случалось.

    Уважаемому анониму будет нелегко убедить нас, не говоря уже доказать, что оценка вероятности любого события всегда в конечном итоге сводится к статистике. Мне же, чтобы доказать обратное, достаточно привести один маленький, но убедительный контрпример.

    Я верю, что оценка вероятности сводится (пожалуй, правильнее было бы сказать - должна сводиться) в конечном итоге к набору знаний (информации). И я согласен, что источником знаний в конечном итоге является жизненный (коллективный и частный) опыт людей. Но жизненный опыт сводится к статистике далеко не всегда.

    Вот простейший пример. Представьте себе, что у нас есть надежная информация, что монета мошенническая, т.е. мы знаем абсолютно точно, что обе стороны монеты имеют одинаковую картинку, но мы не знаем эта картинка орел или решка. Какова вероятность выпадения орла при первом броске? Ответ очевиден - 1/2. После первого броска мы узнаем (опыт, но не статистика - согласитесь, что результат одного броска не составляет статистику), что выпала решка. Теперь в свете этого дополнительного знания, какова наша вероятность выпадения орла при втором броске? Ответ опять таки очевиден - 0.

    ОтветитьУдалить
  23. Возвращаясь к важному вопросу "субъективный" против "объективного" в контексте теории вероятности, вот что говорит Jaynes:

    Злоупотребление этими словами настолько велико в теории вероятности, что мы хотим разъяснить какой смысл мы вкладываем в эти понятия в данной работе. В теории, которую мы здесь развиваем, любая оценка вероятности неизбежно будет «субъективной» в том смысле, что она отражает всего лишь уровень осведомленности, т.е. как мы говорим состояние знания, а не какую-то величину, которую можно измерить с помощью какого-то физического эксперимента. Объязательно кто-то спросить: «Чье состояние знания?» Ответ: «Робота – или кого угодно в том же состоянии знания, что и робот, и кто мыслит в соответствии с системой наших дезидерат».

    Любой, кто располагает той же информацией, но приходит к отличному от нашего робота заключению, будет объязательно нарушать одну из наших дезидерат. Хотя никто не может запретить подобного рода нарушения, нам кажется, что всякий разумный человек будет стараться избегать их (в любом случае, ему будет нелегко убедить других принять его выводы, если подобное нарушение носит явный для других характер).

    С другой стороны, цель наших интерфейсных дезидерат (IIIb), (IIIc) заключалась именно в том, чтобы обеспечить «объективность» оценок вероятности в том смысле, что они не зависят от личности пользователя. Эти оценки представляют собой не что иное как средство описания (или, что то же самое, средство кодирования) заданной в постановке задачи информации, вне зависимости от личных ощущений (надежд, страхов, моральных суждений, и т. д.), которые вы или я могли испытывать по поводу имеющих отношение к данной проблеме вещей. Именно такого рода «объективность» нужна для респектабельной с научной точки зрения теории логического вывода.

    ОтветитьУдалить
  24. Выше я выразил мнение, что интуиция, которая подсказывает, что возможно

    р(выиграть ровно n раз из m бросков) = р(выиграть ровно kn раз из km бросков),

    не является такой уж глупой. Почему? Протому что это очень красивая и очень простая гипотеза. А методологический принцип, получивший название «бритва Оккама» или «лезвие Оккама», как известно учит нас: «Не следует привлекать новые сущности без самой крайней на то необходимости».

    На заре становления науки, Галилей, которого трудно обвинить в тупости, выдвинул аналогичную, в определенном смысле, гипотезу: скорость свободно падающего из состояния покоя тела пропорциональна пройденному расстоянию. Очень красивая и очень простая гипотеза. Но, поразмыслив над ней некоторое время, Галилей пришел к выводу, что эта гипотеза логически противоречива и отверг ее. Как оказалось, скорость свободно падающего из состояния покоя тела пропорциональна не пройденному расстоянию, а прошедшему времени. Не менее красивая и не менее простая идея.

    Я хотел бы предложить вниманию достопочтенных читателей проблему, которую я сформулировал сравнительно недавно в связи с другой проблемой, над которой я размышлял и продолжаю размышлять уже более года: почему сила гравитационного притяжения убывает обратно пропорционально именно квадрату расстояния? случайно ли, что именно такую же форму зависимости от расстояния имеет электростатическая сила?

    Вот моя проблема. Представьте себе, что мы берем солнечную систему в том состоянии, в котором она находится в данную секунду, и в точности копируем ее с разницей лишь в масштабе. Т.е. все размеры в нашей модели, скажем, в 100 раз меньше по сравнению с оригиналом, а во всем остальном копия совпадает с оригиналом.

    Естесственно, если мы сжимаем равномерно оригинал, то массы и скорости планет тоже сожмутся соответствующим образом. Спрашивается: будут ли в точности совпадать конфигурации оригинала и копии, которые сложатся по прошествии, скажем, одного года? Другими словами, будут ли эволюции оригинала и копии совпадать во времени, или одна будет отставать от другой с каким-то временным коэффициентом, или они будут настолько разными, что совместить их невозможно будем простым разжатием копии ни в какой момент времени?

    ОтветитьУдалить
  25. Анонимный25.12.2011, 19:09

    Илья, а вот вы прочтите сначала http://esquire.ru/elections, а потом говорите "просто руками махать, иногда произнося правильные слова". Никто не станет спорить с тем, что зубцы на графиках выдают обман! Если хотите его пропускать мимо ушей, то лучше вообще не лезте в эту тему!

    ОтветитьУдалить
  26. Эти демонстрации совсем не о том были махинации на выборах или нет. Поэтому думать, что главные организаторы и устроители этих демонстраций - навальные, немцовы, каспаровы и их щедрые и влиятельные покровители забугром ратуют за демократию и права для Ивана, и с серьезным видом обсуждать были эти выборы честными или нет - это верх политической наивности или, скорее всего, верх наглого лицемерия.

    Плевать хотели властители Америки на демократию и на честные выборы в России, или где бы то ни было еще, включая саму Америку. Они хотять "Ельцина" под контролем березовских, и не хотят "Путина" кто хочет и может противостоять их желанию раз и навсегда лишить Россию независимости от политики глобализма - вот вся их демократия.

    ОтветитьУдалить
  27. Уважаемый аноним, конечно, я видел эту статью. Зубцы - это прекрасный индикатор малого старания или ангажированности её авторов. Если бы они знали математику и хотели честно и объективно что-то доказать, то сразу бы поняли, что зубцы быть должны. А раз авторы той статьи называют зубцы признаком фальсификации, то они или мало подумали, или намеренно вводят читателей в заблуждение. Оба случая плохие, потому что, как я уже говорил, разоблачать надо честно, аккуратно и строго. А иначе это будет просто невнятный лепет.

    Arthur Baraov, я не умею читать мысли, чтобы уверенно говорить, чего кто-то другой хочет, поэтому не люблю обсуждать, на что хотели плевать власти Америки и т.д. Это не политический блог, поэтому давайте вернёмся к математике :)

    > Спрашивается: будут ли в точности совпадать конфигурации оригинала и копии, которые сложатся по прошествии, скажем, одного года?
    Я ни разу не физик, поэтому пока плохо понимаю проблему. Мне казалось, что это достаточно простой вопрос, так как можно придумать конфигурацию, в которой при пропорциональном изменении масс и скоростей траектории некоторых объектов станут пересекающимися. Т.е. в исходной системе число летающих объектов не поменяется, а в масштабированной пара тел столкнётся, что приведёт к изменению их количества. Соответственно, мы получим совсем другую систему.
    Надо ещё подумать, но пока я не вижу, что здесь не так. Поделитесь своими соображениями?

    ОтветитьУдалить
  28. Илья,

    Извиняюсь, что не удержался от политического комментария. Безусловно, это не место для подобных дискуссий.

    О задаче. Речь идет о любой системе N небесных тел, взаимодействующих согласно законам механики Ньютона. Чтобы постановка задачи стала ясной и недвусмысленной, рассмотрим самый простой случай системы из двух тел с массами m и M. Если упростить задачу еще дальше и принять m << M, тогда можно считать, что тело M покоится, а m вращается вокруг него по эллипсу. Пусть в момент времени t=0 тело m находится в перигелии и движется со скоростью V. Берем эту систему в момент t=0 и копируем ее с масштабом 1/2, т.е. копия имеет параметры m/2, M/2, V/2.

    1. Достигнут ли эти системы состояние апогелия одновременно?
    2. Подобны ли орбиты оригинала и копии, т.е. можно ли совместить две орбиты равномерным растяжением малого эллипса в 2 раза?

    ОтветитьУдалить
  29. Анонимный26.12.2011, 15:09

    Артур, Вы как нельзя кстати привели обличительный пример, который обличает именно Вас!!! хе-хе.

    Если бы Вы провели небольшое статистическое исследование, перед тем как выносить "профессиональное суждение", Вы бы как умный человек могли сразу правильно сказать, что вероятность выпадения орла в первом броске равна нулю, как и во втором.

    И здесь статистика смогла бы спасти Вас от раззорения, а всякие умозрительные конструкции, непонятно на чем основанные - нет.

    ОтветитьУдалить
  30. Очевидно, я недостаточно ясно выразился. Речь идет о том, чтобы оценить вероятность орла ДО ПРОВЕДЕНИЯ небольшого статистического исследования. Если бы Вы сказали, что в такой ситуации говорить о вероятности вообще не имеет смысла в рамках теории вероятности, основанной на частотном понимании вероятности, я, пожалуй, согласился бы с Вами. Но говорить, что НАДО ПРОВЕСТИ небольшое статистическое исследование, и тогда станет очевидно, что вероятность орла ДО ПРОВЕДЕНИЯ небольшого статистического исследования равна нулю ... Не знаю.

    Я "разорялся" гораздо обширнее по подобному же вопросу в нескольких последних постах обсуждения проблемы двух конвертов:

    http://my-tribune.blogspot.com/2009/08/blog-post_25.html#comment-form

    Посмотрите, может это убедить Вас, что интерпретация: теория вероятности - расширеннная логика все-таки имеет смысл.

    ОтветитьУдалить
  31. Дмитрий К.26.12.2011, 20:39

    Уважаемый Артур, я тоже (как и Илья уже признался) ни разу не физик, но вопрос Вы ставите интересный, поэтому прошу пояснить. Я не понял про V/2. Если мы сжимаем размеры, то, наряду с массами, пропорционально уменьшаем и расстояние между телами. Тогда на них действуют такие же силы (GMm/R^2). При этом, в силу меньшей массы, увеличивается ускорение, но скорость-то остается такой же. По крайней мере, для случая круговой орбиты это кажется очевидным (v=sqrt(GM/R)). В чем подвох?

    ОтветитьУдалить
  32. Дмитрий,

    Вы правы - как я ни старался, постановка задачи все-еще выглядит двусмысленной. Попробую пояснить. Заданы две независимые системы.

    1. Исходная конфигурация и параметры первой системы таковы. Есть два шарообразных тела радиуса r1 и r2, и массы m1 и m2, где m1 << m2. Тела удалены друг от друга на расстоянии R >> r1, r2. Скорость тяжелого тела равна нулю. Скорость легкого тела направлена перпендикулярно линии, соединяющей центры двух шаров, и равна V.

    2. Исходная конфигурация и параметры второй системы таковы. Есть два шарообразных тела радиуса kr1 и kr2, и массы km1 и km2, где m1 << m2. Тела удалены друг от друга на расстоянии kR >> kr1, kr2. Скорость тяжелого тела равна нулю. Скорость легкого тела направлена перпендикулярно линии, соединяющей центры двух шаров, и равна kV.

    Ясно, что мы имеем дело с двумя разными по размеру эллиптическими орбитами. Вопрос: подобны ли эти орбиты? Частный случай круговой орбиты неинтересен, ибо и так ясно, что все окружности подобны.

    ОтветитьУдалить
  33. Анонимный27.12.2011, 12:52

    Артур, Вы видимо вообще не в теме, что такое теория вероятности, матстатистика, для чего они нужны и как ими пользоваться. Эти теории никогда не утверждали, что вероятность орла равна одной второй, равно как и вероятность встретить дракона равна одной второй, равно как и вероятность того что мошенническая монета - с орлом - равна одной второй.

    Единственное о чем эти теории утверждают - если у Вас есть гипотеза о распределении исходов, то можно посчитать вероятность очередного исхода.

    А заниматься приписками что все исходы равновероятны (как в подбрасывании нормальной монеты) или наоборот сугубо детерминированы (как в подбрасывании фальшивой монеты) эти теории Вас и никого другого не заставляют. Это Ваш личный выбор и если хотите, дело вкуса и интуиции. И от этого всё зависит.

    Налицо непонимание теории.

    ОтветитьУдалить
  34. Дмитрий К.27.12.2011, 15:49

    Артур,

    Орбита:

    r = (L^2/GM)/(1+e*cos(ф)),

    L = r^2 * ф' = const.

    В начальный момент rф' = V (скорость в перигелии, нулевая радиальная составляющая).

    Отсюда L = RV.

    Получается

    1+e = RV^2/GM.

    Кстати, отсюда хорошо просматриваются первая (e=0) и вторая (e=1) космические скорости.

    Выходит, что если M и R изменить пропорционально, то при такой же скорости получаются орбиты с одинаковым эксцентриситетом. Иначе - с разными.

    ОтветитьУдалить
  35. Моя оценка вероятности того, что я смогу объяснить уважаемому анониму, что сегодня в науке есть две принципиально отличающиеся друг от друга интерпретации понятия "вероятность" стремительно приближается к вероятности встретить динозавра на центральной площади, т.е. к нулю. Но я еще не теряю надежду, что другие смогут извлечь выгоду из того, что я скажу дальше.

    Дело совсем не в том, что одна интерпретация (частотная, статистическая, классическая - есть разные названия для этой интерпретации) является "объективной", а другая интерпретация (расширение дедуктивной логики с целью охватить индуктивные логические выводы, т.е. лапласовская интерпретация) - "субъективной". Дело в том, что "частотная" интерпретация есть всего лишь часть (причем абсолютно мизерная с точки зрения области применимости) по сравнению с гораздо более общей "логической" интерпретацией. Разные, и фундаментально различные, интерпретации понятия "вероятность" ведут, что не удивительно, к принципиально различным теориям. "Частотная" интерпретация в конечном итоге консолидировалась и получила свою завершенную форму в аксиоматической теории вероятности Колмогорова. Другая интерпретация привела к теории с бесконечно более широким охватом возможных приложений; суть этой теории наиболее ярко выражена в следующих словах Лапласа: Теория вероятности есть не что иное как здравый смысл сведенный к расчету.

    В последнее время я часто сталкиваюсь со ссылками на эту пресловутую проблему динозавра на площади. Чтобы ярко проиллюстрировать разницу, о которой я говорил выше, давайте рассмотрим следующий вариант этой задачи.

    Какова вероятность встретить товарища Сталина на Красной Площади в Москве?

    Если мы придерживаемся узкого, т.е. частотного, понимания термина "вероятность", нам трудно принять, что вероятность встретить товарища Сталина на Красной Площади в Москве равна нулю, потому что это не согласутся со статистикой - мы все хорошо знаем, что Сталин появлялся, и не раз, на трибуне мавзолея.

    С другой стороны, теория вероятности как здравый смысл сведенный к расчету, объязывает нас учитывать не только статистику, но абсолютно всю информацию, которая имеется у нас в рапоряжении и имеет хоть какое-то отношение к обсуждаемой проблеме. В данном конкретном случае, самой важной информацией является конечно тот общеизвестный факт, что товарищ Сталин умер в 1953 году, и ему очень нелегко появиться на Красной Площади. И говорить, что мол и это можно свести к статистике, ибо статистика показала, что
    умершие люди к жизни не возвращаются - не более чем слабая попытка спасти то, что нельзя, да и не нужно, спасать. Точно также как нельзя, да и не нужно было, спасать сложную и неуклюжую геоцентрическую систему Птоломея.

    ОтветитьУдалить
  36. Дмитрий,

    Если я Вас правильно понял, конкретный и короткий ответ на конкретный вопрос в моей конкретной задаче таков: Орбиты нельзя совместить простым растяжением (т.е. в равной степени по горизонтали и вертикали) малой орбиты; короче говоря, они не являются подобными кривыми. Так?

    ОтветитьУдалить
  37. Если так, то я с Вами согласен, Дмитрий.

    ОтветитьУдалить
  38. Давайте теперь вернемся к той проблеме, которая меня интересует, в самой общей ее постановке. Мы находимся в рамках классической механики и пытаемся понять, почему сила гравитационного притяжения убывает пропорционально именно квадрату расстояния между гравитирующими телами. Конечно можно сослаться на косвенные и прямые экспериментальные подтверждения, что именно так ведет себя природа и больше не ломать над этим голову. Но хочется чего-то более изъящного, черт побери! Нельзя ли вывести закон обратного квадрата из какого-то принципа, который выглядит настолько просто и изъящно, что здравый смысл готов ринуться прямо в объятия такому принципу? Вот вопрос который меня интересует.

    Но сначала о мотивации, которая привела меня к постановке этой проблемы. Представьте себе, что наряду с нашим миром есть параллельный и несависимый мир, который отличается от нашего лишь в одном - в новом мире все без исключения небесные тела получили одинаковую для всех дополнительную скорость. Вас поместили в один из миров. Наблюдая за всем происходящим вокруг вас и делая какие угодно вашей душе измерения, расчеты и сравнения, вы можете сказать в какой из миров вас поместили? Мы конечно говорим о физическом принципе, который известен в науке под разными названиями - принцип инерции, принцип Галилея, первый закон Ньютона. У меня есть, серьезные на мой взгляд, основания полагать, что если мы примем этот принцип, то из него следуют почти неизбежно два логических вывода: (1) суммарный импульс двух тел должен сохраняться до и после столкновения, и (2) кинетическая энергия тела должна расти пропорционально именно квадрату скорости. Очень важно отметить, что эти два вывода не опираются и не нуждаются ни во втором, ни в третьем законе Ньютона. Более того, из этих двух выводов можно в конечном итоге получить 2-й и 3-й законы Ньютона. То есть мы можем обойтись одним лишь принципом инерции вместо трех законов Ньютона. Мы говорили и спорили на эту тему довольно горячо и подробно в этом же блоге несколько месяцев назад. Вот ссылка для интересующихся:

    http://my-tribune.blogspot.com/2011/05/blog-post.html

    Но как быть с законом всемирного тяготения? Этот закон никак не удается "выжать" из принципа Галилея.

    С. Банах заметил: Хорошие математики видят аналогии между теоремами; великие математики видят аналогии между аналогиями. Нам далеко до хороших математиков, не говоря уже о великих, но никто не мешает нам воспользоваться этим наблюдением знаменитого математика.

    Представьте себе, что наряду с нашим миром есть параллельный и несависимый мир, который отличается от нашего лишь тем, что в новом мире размеры всех тел, расстояния между всеми телами, и скорости всех тел сократились пропорционально на одну и ту же величину. Все остальное, включая плотность рапределения массы, одинаково в двух мирах. Вас поместили в один из миров. Наблюдая за всем происходящим вокруг вас и делая какие угодно вашей душе измерения, расчеты и сравнения, вы можете сказать в какой из миров вас поместили?

    Если, по аналогии с принципом Галилея, мы принимаем этот принцип и отвечаем: "Нет, эти миры невозможно различить", тогда я утверждаю, что из этого принципа следует логически неизбежный вывод, что гравитационная сила должна убывать пропорционально именно квадрату расстояния. Другими словами, если бы гравитационная сила менялась с расстоянием по любому закону, отличному от обратного квадрата, то эволюции нормального и сжатого миров не были бы подобны друг другу в том смысле, что конфигурацию одного мира невозможно было бы совместить с конфигурацией другого простым изменением масштаба, что дало бы способ их различить.

    ОтветитьУдалить
  39. Анонимный28.12.2011, 6:48

    Еще раз повторяю, чтобы наконец то дошло. Теория вероятности это всего лишь инструмент, и качество продукта на основе этого инструмента зависит от кривизны рук. И она никогда не говорила, что единственное что надо принимать во внимание - это статистику. Она всего лишь утверждает, что объективный критерий проверки Вашей гипотезы о частоте появления сталина на площади - инструменты матстатистики. И если Ваша гипотеза не согласуется с экспериментом, то надо поправлять Вашу гипотезу, а не всю теорию в целом.

    ОтветитьУдалить
  40. Дмитрий К.28.12.2011, 8:50

    Артур,

    Я не понял, эллипсы с одинаковым эксцентриситетом - недостаточно подобные фигуры? Если же существенно условие kV (а ведь Вы хотите еще и одинкаовый период обращения, так?), то неправомерно условие kM. И ведь в самом деле, если пропорционально изменяются все линейные размеры, то масса должна измениться в k^3 раз, при сохранении плотности. И тогда именно при скорости kV получится орбита с таким же эксцентриситетом.

    ОтветитьУдалить
  41. Последний комментарий уважаемого анонима напомнил мне случай, который произошел когда я еще работал в Советском Союзе. Кто-то позвонил нам на работу в один предпразничный день, начальник лаборатории поднял трубку и, послушав молча нескольких секунд, положил трубку со словами: "Товарищ, Вы там пожалуйста закусывайте."

    "гипотезы о частоте появления сталина на площади" ?!? Дорогой мой, о частоте не ставят гипотезу - частоту мерят. Потом, Сталин не предмет ... короче, Вы там пожалуйста закусывайте, товарищ.

    ОтветитьУдалить
  42. Дмитрий сказал: И ведь в самом деле, если пропорционально изменяются все линейные размеры, то масса должна измениться в k^3 раз, при сохранении плотности.

    Совершенно верно! Сразу видно, человек не забывает закусывать :). В моей частной задаче линейные размеры, скорости и МАССЫ изменяются в одной и той же пропорции. Поэтому две орбиты не будут подобными. В общей же постановке, когда мы сравниваем наш мир со сжатым, мы сжимаем расстояния и скорости при сохранении плотности вещества. Будет здесь иметь подобие? Ответ: Да, но только лишь благодаря тому факту, что сила гравитации убывает обратно пропорционально КВАДРАТУ расстояния. Если бы она убывала обратно пропорционально расстоянию, или по любому другому закону, то подобие не имело бы места.

    ОтветитьУдалить
  43. Дмитрий К.28.12.2011, 12:11

    Артур,

    А можно немножко поподробнее обосновать вывод? Более-менее очевидно, что при другом законе F(r) орбиты не будут являться коническими сечениями, но вот непременное отсутствие подобия как-то сразу в глаза не бросается. Или я торможу.

    ОтветитьУдалить
  44. Мне думается, что нужно просто смотреть какой закон гравитации позволяет исключить коэффициент k из уравнений движения и начальных условий, которые в совокупности, как известно, определяют всю дальнейшую эволюцию системы. Например, поскольку M = 4πρr^3/3, то для простого случая двух тел мы имеем следующие уравнения движения для легкого тела:

    d^2[Rcos(φ)]/dt^2 = G(4πρr^3/3)/R^2
    d^2[Rsin(φ)]/dt^2 = G(4πρr^3/3)/R^2

    Теперь, если мы меняем масштаб мира линейно (r -> kr, R -> kR), коэффициент k выпадает полностью из уравнений именно благодаря тому, что в знаменателе правой части каждого уравнения стоит расстояние в квадрате.

    Как Вы думаете, не упускаю я здесь что-то важное?

    ОтветитьУдалить
  45. Дмитрий К.28.12.2011, 16:36

    Артур,

    Во-первых, мне кажется, что Вы упустили cos и sin в правой части. Но это не главное. Вы приводите уравнения движения, уже предполагая определенный вид "гравитационной функции". А если не делать таких предположений? Ведь Ваша цель - показать, что именно такой вид функции неизбежно следует из принятого постулата. Поэтому начинать надо с просто некоторой функции, а затем показать, что она не может быть ничем иным.

    В векторной форме:

    d^2(r)/dt^2 = f(M,r)*ř,

    где ř=r/r, r=|r|.

    Масштабирование:

    d^2(kr)/dt = f(k^3*M,k*r)*ř.

    Любая функция f, обладающая свойством
    f(k^3*M,k*r) = k*f(M,r),
    заведомо обеспечит подобие.

    А в общем случае, совсем неочевидно, возможно ли при каких-то сочетаниях начальных условий в исходном и масштабированном случаях добиться подобия.

    ОтветитьУдалить
  46. Александр28.12.2011, 17:25

    "Даже простой здравый смысл подсказывает, что частотная трактовка вероятности явно не соответсвует тому смыслу, который люди инстинктивно вкладывают в это понятие. Например, мы вполне законно можем говорить и каким-то образом оценивать вероятность термоядерной войны. Пожалуй все согласятся, что вероятность подобного события была гораздо выше во время Кубинского кризиса, чем когда либо до или после попытки Хрущова поместить ракеты с ядерной боеголовкой на Кубе в начале 60-х годов. Каким образом человеческий мозг дает оценку вероятности для подобных событий? Никто точно не знает, но ясно одно - подобное умозаключение никак не связано и не основано на проведении опытных термоядерных войн и подсчете каких-то частот."
    Уважаемый Arthur Baraov. Я сам только что защитил диссертацию на подобную тематику (исследовал вопросы безопасности и риска эксплуатации нефтяных танкеров) и могу сказать, что для оценки вероятности реализации подобных названным Вами событий, экспериментальное исследование которых затруднено по экономическим, гуманистическим и т.п. причинам, существует неплохой (лучше пока нет) метод. Исследуемое нежелательное событие разбивается на более простые, реализация которых может привести к возникновению головного. Эти события разбиваются на еще более простые и т.д., пока с требуемой степенью детализации не дойдем до исходных событий, частоты (или вероятности) реализации которых у нас имеются или их несложно получить экспериментально. То есть составляются так называемые "деревья отказов". Элементов (событий) в них много - например при исследовании вопросов безопасности АЭС, где это пока единственный метод, проведение экспериментов там невозможно по понятным причинам - количество элементов в деревьях составляет МИЛЛИОНЫ!!! Таким подходом вполне реально (хотя и сложно) с определенной степенью достоверности оценить и вероятность термоядерной войны.

    ОтветитьУдалить
  47. Дмитрий,

    Спасибо за поправку с синусом и косинусом, но это, как Вы опять совершенно правильно отметили, не меняет сути дела. Потом, я конечно же делал множество негласных допущений. Я не хотел до поры до времени говорить на том строгом языке на котором Вы говорите. Но ведь можно говорить даже на еще более строгом языке. Например, Ваше уравнение молчаливо допускает, что сила гравитации пропорциональна массе легкого тела, оставляя при этом характер зависимости этой силы от массы тяжелого тела открытым. Потом есть негласное допущение об эквивалентности инертной и гравитационной масс. При желании, мы можем пойти дальше и спросить: а почему собственно гравитация является функцией только трех переменных. Между прочим это совсем не праздный вопрос. Например, есть неглупые люди, серьезно обсуждающие вопрос о возможной зависимости гравитации от температуры:

    http://www.shuttlefactor.com/Docs%20PDF/Universal%20Gravitation%20A.pdf

    Моя цель на этом этапе гораздо скромнее: приняв пропорциональную зависимость гравитации от масс взаимодействующих тел как нечто данное, попытаться понять, почему сила гравитации непременно должна меняться обратно пропорционально квадрату расстояния.

    Но все это никоим образом не умаляет правильности всех Ваших замечаний.

    ОтветитьУдалить
  48. Александр,

    Поздравляю Вас с защитой диссертации. Я понимаю о чем Вы говорите; все это имеет смысл и будет работать, и причем неплохо, во многих случаях. Тоже самое можно сказать о геоцентрической системе Птоломея - все это нагромождение эпициклов работала и работает, причем работает не хуже чем гелиоцентрическая система Коперника по точности предсказаний затмений и прочих небесных явлений.

    Вот интересная цитата из Вашего комментария, на которой я хотел бы сконцентрировать свое и Ваше внимание: Эти события разбиваются на еще более простые и т.д., пока с требуемой степенью детализации не дойдем до исходных событий, частоты (или вероятности) реализации которых у нас имеются или их несложно получить экспериментально.

    1. Если оставить в стороне эксперимент, откуда берутся вероятности этих самых элементарных событий в рамках классической теории?

    2. Допускает ли классическая теория мысль, что распределение вероятности по элементарным событиям (т.е. тем событиям, которых невозможно дальше разбить на еще более мелкие) в принципе может оказаться неравномерным? Если допускает, то как классическая теория выходит из этого тупика (опять-таки не прибегая к помощи экспериментальных частот)?

    3. Есть очень хороший пример, который показывает, что распределение вероятности по элементарным событиям может оказаться неравномерным. Этот же пример показывает, что это неравномерное распределение можно получить логическим путем не прибегая к экспериментам и, что гораздо важнее с принципиальной точки зрения, это неравномерное распределение в принципе невозможно получить экспериментальным путем. Я говорю о проблеме двух конвертов.

    ОтветитьУдалить
  49. Дмитрий К.28.12.2011, 21:01

    Артур,

    Вы так глобально ставите задачи, что я немного запутался в том, что можно допускать, а чего нет. В самом деле, было бы корректнее в виде

    ma = f(m,M,r)

    (оставим уж температуру, будем считать, что экспериментируем при постоянной температуре).

    Но если эквивалентность масс считать признанной, то функция f(M,m,r) имеет вид M*m*f(r), и можно сократить m и рассматривать функцию вида M*f(r). Чтобы исключить коэффициент k, такая функция должна обладать свойством f(kr)=(1/k^2)*f(r). А тогда это функция вида const/r^2.

    Цель данного этапа можно считать достигнутой.

    ОтветитьУдалить
  50. Дмитрий,

    Я очень рад, что получил соратника в Вашем лице. Но я боюсь, что в научном мире мало кто согласиться с нами, что закон всемирного тяготения можно "вывести" логическим путем из предложенного выше аналога принципа Галилея, который по праву можно было бы назвать масштабным принципом.

    ОтветитьУдалить
  51. Анонимный10.03.2012, 15:42

    Господа, позвольте и мне вставить анонимные пять копеек с двойным орлом: генератор случайных чисел в JavaScript распределен равномерно.

    ОтветитьУдалить

Понравилась заметка? Подпишитесь на RSS-feed или email-рассылку.

Хотите поделиться ссылкой с другими? Добавьте в закладки:



Есть вопросы или предложения? Пишите письма на адрес mytribune АТ yandex.ru.

С уважением,
      Илья Весенний