Добрый день!
А давайте проверим, как связаны наши представления о здравом смысле с сухой математикой. Представьте, что вы несколько раз участвуете в игре, в которой вероятности победы во всех партиях равны. Простейший пример такой игры — подбрасывание честной и симметричной монетки (если выпал орёл, то вы победили, а в противном случае — проиграли).
Теперь прикиньте на глазок, как соотносятся вероятности следующих событий:
А) вы победили ровно в трёх играх из четырёх,
Б) вы победили ровно в шести играх из восьми (т.е. мы увеличили оба числа в два раза),
В) вы победили ровно в пяти играх из восьми.
Я прошу вас написать в комментариях что-то вроде «вероятности Б и В одинаковы, а про вероятность А не знаю, но вроде бы должна быть меньше Б» (не это, а то, что подсказывает ваш здравый смысл).
Да, это не парадоксальный вопрос теста, но уверяю, что и здесь есть возможность ошибиться повод для интересной беседы. Два года назад мы уже рассматривали предновогоднюю задачку о подарках, в которой здравый смысл подсказывал одно, а трезвый подсчёт выявил совсем другое. Давайте в этот раз сначала соберём из ваших комментариев мнения интуиции и здравого смысла, а в одной из следующих заметок проанализируем и задачу, и ответы.
Хороших выходных!
UPD: опубликовано продолжение разговора.
10 дек. 2011 г.
Вероятность победы
Темы:
математика
Подписаться на:
Комментарии к сообщению (Atom)
Понравилась заметка? Подпишитесь на
RSS-feed или email-рассылку.
Хотите поделиться ссылкой с другими? Добавьте в закладки:
Есть вопросы или предложения? Пишите письма на адрес mytribune АТ yandex.ru.
С уважением,
Илья Весенний
RSS-feed или email-рассылку.Хотите поделиться ссылкой с другими? Добавьте в закладки:
Есть вопросы или предложения? Пишите письма на адрес mytribune АТ yandex.ru.
С уважением,
Илья Весенний
Таки наврал, забыл, что с увеличением числа попыток крутизна пика распределения растет.
ОтветитьУдалитьА > В > Б
Так, а тут надо уточнять. Речь идет о том, что мы победили точно 6 раз или минимум?
ОтветитьУдалитьEyeless, ровно 6 раз (спасибо за вопрос).
ОтветитьУдалитьВ>Б
ОтветитьУдалитьА>Б
А,В интуицией у меня не берется (быстрая прикидка показала А>В)
p(Б) < p(A)
ОтветитьУдалитьp(Б) < p(В)
Помогите разобраться, пожалуйста... я совсем запутался уже на первом этапе.
ОтветитьУдалитьЕсли отношение побед к играм
А) 3/4; Б) 6/8; В) 5/8
, то почему мне здравый смысл должен подсказывать, что "вероятности Б и В одинаковы, а вероятность А должна быть меньше Б"?
Или я неправильно читаю условие, или у меня _слишком_ плохо с математикой: совсем не думая, я не могу прийти к выводу, что вероятность исхода 6/8 равна вероятности 5/8.
Уважаемый аноним,
ОтветитьУдалитьв заметке был приведён пример возможного комментария (образец, чтобы стало яснее, чего я ожидаю). Оказалось, что иногда это сбивает с толку :)
Илья, благодарю.
ОтветитьУдалитьЯ не думал, что Вы напишете, что ожидаете неверного решения :)
А>В>Б интуитивно.
ОтветитьУдалитьА=Б<В
ОтветитьУдалитьВ первую секунду решил, что вероятности А и Б равны, но потом подумал, что А больше всех, а В побольше Б.
ОтветитьУдалитьЯ хочу сказать, что вероятности А и Б равны, но давно читаю этот блог, поэтому понимаю, что тут зарыта ловушка. Но вот в чём она?
ОтветитьУдалитьВот В явно больше Б, тут проблем быть не может. А почему тогда А не равно Б?
Если без расчетов, то мне кажется, что В > Б > А. Грубо говоря, чем дальше мы от экстремальных случаев (100% выигрышей или проигрышей), то вероятность выше.
ОтветитьУдалитьС уважением, Александр.
Б < А < В
ОтветитьУдалитьЧто-то комментарий сбился, удалите. Вот правильный:
ОтветитьУдалитьр(А)больше р(Б). На пальцах - в первом случае нужно выбрать число (номер броска, где проиграл) от 1 до 4. Во втором - сделать то же самое дважды, выбирая по одному числу в первой и второй четвёрках. При этом мы ещё не учли варианты, когда оба проигрыша в одной четвёрке. Значит, p(A)^2 больше р(Б), но как оценить насколько именно, не знаю.
р(В) больше р(В) - очевидно, базовые свойства биномиальных коэффициентов.
Как сравнить А и В - не додумался. Хотя задним числом интерпретировать ответ можно. Рассуждаем, почти как в случае с А и Б. Вариант, когда все выигрыши сразу или в первой или во второй четвёрке, маловероятны (хотя, опять же, не ясно, насколько). Тогда в одной четвёрке будет два выигрыша, два проигрыша. Игра честная, выигрышей и проигрышей поровну, так что эта четвёрка на результат не повлияет. В другой четвёрке имеем ситуацию А. Значит, р(В)<р(А)
Попробую так А=В>Б :)
ОтветитьУдалитьЕще есть видеокурс на английском, вот эти лекции как раз про вероятности
https://www.ai-class.com/course/video/quizquestion/41
Ага, понял, что В ровно в два раза больше Б.
ОтветитьУдалитьЗдравый смысл:
ОтветитьУдалить1. p(В) явно больше p(Б)
2. p(А) явно больше р(Б)
3. В уме сравнить р(А) и р(В) не получается
Точные расчеты дали:
р(В) = 2 * р(Б)
p(A) > p(В)
А р(A) и р(В) не сильно разнятся)
В сравнении А и Б я наврал. Вторая попытка.
ОтветитьУдалитьОцениваем Б. Нам нужно выбрать 2 числа из 8. Они будут отличаться как минимум в одном двоичном разряде. С другой стороны, 8 чисел можно разбить на две четвёрки как раз сгруппировав по одинкаовым значениям любого из битов. Всего разрядов 3. Так что 3*р(А)^2 больше р(Б). Учитывая, что р(А) равно 1/4, получаем ответ.
И ещё, в сравнении А и В можно сказать точнее: р(В) чуть меньше половины р(А)
А)1/4 Б)7/64 В)7/32
ОтветитьУдалитьЗдравый смысл подсказывает что вероятность А должна быть близка к вероятности Б и обе должны быть меньше В.
Вероятность Б меньше вероятности А, вероятность В больше Б и примерно одинакова с А.
ОтветитьУдалитьСорри, но это элементарно: каждое подбрасывание монетки никак не влияет на предыдущие и последующие.
ОтветитьУдалитьКроме того, Илья не указал, что выигрыши были ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫ.
Мой ответ: во всех трёх случаях вероятности ОДИНАКОВЫ
в уме сходу не вышло, прикинул все же на калькуляторе, (4/16), ((8*7)/2/256), ((8*7*6)/6/256), вышло A>В>Б
ОтветитьУдалитьОчевидно вероятности А и Б равны, а В больше их.
ОтветитьУдалить[Роман]
На вскидку если, то наиболее вероятен выигрыш А, затем В, затем Б.
ОтветитьУдалитьТеперь можно и посчитать. Все задачи решаются формулой Бернулли (вроде так называлась, хотя может и перепутаю название) p^k*q^(n-k)*(C из n по k), где p = 1/2, q = 1/2:
А) всего попыток n = 4, выигрышей из них k = 3, итого имеем вероятность P = 0,25
Б) всего попыток n = 8, выигрышей из них k = 6, итого имеем вероятность P = 0,109
В) всего попыток n = 8, выигрышей из них k = 5, итого имеем вероятность P = 0,218
Возможно, мой смысл не такой уж здравый (а рассчеты проводить лень), но кажется очевидным, что:
ОтветитьУдалить1) наибольшую вероятность имеет событие А;
2) вероятности Б и В равны.
Мой здравый смысл предположил: вероятность А больше В, которая больше Б
ОтветитьУдалитьНу, интуиция подсказывает, что событие А вероятней Б, а Б вероятней В. Почему? А хрен знает, наверное потому что проиграть один раз - это 50%, проиграть два раза - это 50*50%, и проиграть ровно три раза - это 50*50*50%. Тервера не знаю, поэтому могу ошибаться.
ОтветитьУдалитьЯ согласна с Павлом. Считаю, что нужно решать по формуле Бернулли. Т. е. А > В > Б.
ОтветитьУдалитьВероятность события А - 1/16
ОтветитьУдалитьВероятность события Б - 1/256
Вероятность события В - 1/256
Моя интуиция подсказывает, что p(A) > p(Б) и p(Б) < p(В), а ручка и бумажка говорят, что
ОтветитьУдалитьA) p(A)=16/64
Б) p(Б)=7/64
B) p(В)=14/64,
итого, p(A)>p(В)>p(Б)
--MK
1. 0.5^4
ОтветитьУдалить2. 0.5^8
3. 0.5^8
Изначально подумал:
ОтветитьУдалитьр(А) = р(Б) > р(В)
потом вспомнил про слово "ровно" и подумал что в таком случае каждая комбинация (выиграл-проиграл) имеет равную вероятность и всё зависит только от количества игр.
Соответственно:
р(А) > р(Б) = р(В)
а потом подумал что под понятие "ровно N" подходит несколько комбинаций (тут же вспомнилось слово "бином").
собственно:
р(А) > р(В) > р(Б)
Вероятность выиграть в 3 играх из 4 = 4096/16384.
ОтветитьУдалитьВероятность выиграть в 6 играх из 8 = 1792/16384.
Вероятность выиграть в 12 играх из 16 = 455/16384.
Мы так до нуля скатимся?
*без расчетов и не читая комментарии:
ОтветитьУдалить1) выбрать 5 из 8 можно большим числом способов, чем 6 (кажется очевидным).
2)
Сначала показалось, что P(Б) >= P(А), но подумав получше решил, что такого быть не может - число вариантов всего в Б выросло очень сильно.
либо P(А)>P(В)>P(Б) либо P(В)>P(А)>P(Б)
Вот акт навскидку, и не читая каментов:
ОтветитьУдалить1. 3 из 4 самая высокая вероятность
2. 4 из 5 вероятность меньшая, чем предыдущая
3. 6 из 8 самая низкая вероятность из всех вариантов.
Теперь читаем каменты и считаем... )))
здравый смысл, во-первых, мне кажется, что вероятности будут примерно равны. вероятность А и Б должны быть абсолютно равны, а вероятность В чуть выше.
ОтветитьУдалитьЗдравый смысл у тех кто проходил тервер и тех кто его прогуливал разный. У нас в ограниченном объеме предмет был и на вскидку А>В>Б, хотя оценить А и В честно сложно. Предпочел А, т.к. меньше комбинаций, хотя это ни о чем не говорит - чисто интуитивно.
ОтветитьУдалитьПосле этого посчитал:
A - 4/16 или 128/512
Б - 84/512
В - 126/512
Качественное сравнение вероятностей событий в случаях Б) и В) довольно легко, потому что количество бросков монеты одинаково в этих случаях. Ясно, что событие с максимальной вероятностью при 8 бросках - это 4 выигрыша и 4 проигрыша, т. е. событие на макушке кривой, напоминающей колокол. Теперь достаточно спросить: А какое событие самое вероятное после макушки? Ответ очевиден: Точка, а точнее точки, симметрично примыкающие непосредственно к макушке, т. е. 5 или 3 выигрыша. Следовательно, 5 выигрышей из 8 имеет большую вероятность, чем 6 выигрышей из 8: Р(В) > Р(Б).
ОтветитьУдалитьНесколько труднее качественно сравнить вероятности событий А) и В). Но давайте все-таки попробуем. 3 выигрыша из 4 - это точка непосредственно примыкающая к макушке одного колокола - узкого, но высокого; 5 выигрышей из 8 - это тоже точка непосредственно примыкающая к макушке, правда, другого колокола - широкого, но низкого. Поэтому разумно ожидать, что вероятности этих событий соотносятся качественно точно также как вероятности близких к ним событий, т. е. макушки этих двух различных колоколов: 2 выигрыша из 4 для высокого, но узкого колокола; 4 выигрыша из 8 для широкого, но низкого колокола. Следовательно, Р(А) > Р(В).
Итого: Р(А) > Р(В) > Р(Б).