10 дек. 2011 г.

Вероятность победы

Добрый день!

А давайте проверим, как связаны наши представления о здравом смысле с сухой математикой. Представьте, что вы несколько раз участвуете в игре, в которой вероятности победы во всех партиях равны. Простейший пример такой игры — подбрасывание честной и симметричной монетки (если выпал орёл, то вы победили, а в противном случае — проиграли).

Теперь прикиньте на глазок, как соотносятся вероятности следующих событий:
А) вы победили ровно в трёх играх из четырёх,
Б) вы победили ровно в шести играх из восьми (т.е. мы увеличили оба числа в два раза),
В) вы победили ровно в пяти играх из восьми.

Я прошу вас написать в комментариях что-то вроде «вероятности Б и В одинаковы, а про вероятность А не знаю, но вроде бы должна быть меньше Б» (не это, а то, что подсказывает ваш здравый смысл).

Да, это не парадоксальный вопрос теста, но уверяю, что и здесь есть возможность ошибиться повод для интересной беседы. Два года назад мы уже рассматривали предновогоднюю задачку о подарках, в которой здравый смысл подсказывал одно, а трезвый подсчёт выявил совсем другое. Давайте в этот раз сначала соберём из ваших комментариев мнения интуиции и здравого смысла, а в одной из следующих заметок проанализируем и задачу, и ответы.

Хороших выходных!

UPD: опубликовано продолжение разговора.

39 комментариев:

  1. Таки наврал, забыл, что с увеличением числа попыток крутизна пика распределения растет.
    А > В > Б

    ОтветитьУдалить
  2. Так, а тут надо уточнять. Речь идет о том, что мы победили точно 6 раз или минимум?

    ОтветитьУдалить
  3. Eyeless, ровно 6 раз (спасибо за вопрос).

    ОтветитьУдалить
  4. Анонимный10.12.2011, 18:11

    В>Б
    А>Б
    А,В интуицией у меня не берется (быстрая прикидка показала А>В)

    ОтветитьУдалить
  5. Анонимный10.12.2011, 18:17

    Помогите разобраться, пожалуйста... я совсем запутался уже на первом этапе.
    Если отношение побед к играм
    А) 3/4; Б) 6/8; В) 5/8
    , то почему мне здравый смысл должен подсказывать, что "вероятности Б и В одинаковы, а вероятность А должна быть меньше Б"?
    Или я неправильно читаю условие, или у меня _слишком_ плохо с математикой: совсем не думая, я не могу прийти к выводу, что вероятность исхода 6/8 равна вероятности 5/8.

    ОтветитьУдалить
  6. Уважаемый аноним,
    в заметке был приведён пример возможного комментария (образец, чтобы стало яснее, чего я ожидаю). Оказалось, что иногда это сбивает с толку :)

    ОтветитьУдалить
  7. Анонимный10.12.2011, 18:23

    Илья, благодарю.
    Я не думал, что Вы напишете, что ожидаете неверного решения :)

    ОтветитьУдалить
  8. В первую секунду решил, что вероятности А и Б равны, но потом подумал, что А больше всех, а В побольше Б.

    ОтветитьУдалить
  9. Анонимный10.12.2011, 19:15

    Я хочу сказать, что вероятности А и Б равны, но давно читаю этот блог, поэтому понимаю, что тут зарыта ловушка. Но вот в чём она?
    Вот В явно больше Б, тут проблем быть не может. А почему тогда А не равно Б?

    ОтветитьУдалить
  10. Анонимный10.12.2011, 19:23

    Если без расчетов, то мне кажется, что В > Б > А. Грубо говоря, чем дальше мы от экстремальных случаев (100% выигрышей или проигрышей), то вероятность выше.
    С уважением, Александр.

    ОтветитьУдалить
  11. Что-то комментарий сбился, удалите. Вот правильный:
    р(А)больше р(Б). На пальцах - в первом случае нужно выбрать число (номер броска, где проиграл) от 1 до 4. Во втором - сделать то же самое дважды, выбирая по одному числу в первой и второй четвёрках. При этом мы ещё не учли варианты, когда оба проигрыша в одной четвёрке. Значит, p(A)^2 больше р(Б), но как оценить насколько именно, не знаю.
    р(В) больше р(В) - очевидно, базовые свойства биномиальных коэффициентов.
    Как сравнить А и В - не додумался. Хотя задним числом интерпретировать ответ можно. Рассуждаем, почти как в случае с А и Б. Вариант, когда все выигрыши сразу или в первой или во второй четвёрке, маловероятны (хотя, опять же, не ясно, насколько). Тогда в одной четвёрке будет два выигрыша, два проигрыша. Игра честная, выигрышей и проигрышей поровну, так что эта четвёрка на результат не повлияет. В другой четвёрке имеем ситуацию А. Значит, р(В)<р(А)

    ОтветитьУдалить
  12. Попробую так А=В>Б :)
    Еще есть видеокурс на английском, вот эти лекции как раз про вероятности
    https://www.ai-class.com/course/video/quizquestion/41

    ОтветитьУдалить
  13. Анонимный10.12.2011, 19:57

    Ага, понял, что В ровно в два раза больше Б.

    ОтветитьУдалить
  14. Анонимный10.12.2011, 20:40

    Здравый смысл:
    1. p(В) явно больше p(Б)
    2. p(А) явно больше р(Б)
    3. В уме сравнить р(А) и р(В) не получается

    Точные расчеты дали:
    р(В) = 2 * р(Б)
    p(A) > p(В)

    А р(A) и р(В) не сильно разнятся)

    ОтветитьУдалить
  15. В сравнении А и Б я наврал. Вторая попытка.
    Оцениваем Б. Нам нужно выбрать 2 числа из 8. Они будут отличаться как минимум в одном двоичном разряде. С другой стороны, 8 чисел можно разбить на две четвёрки как раз сгруппировав по одинкаовым значениям любого из битов. Всего разрядов 3. Так что 3*р(А)^2 больше р(Б). Учитывая, что р(А) равно 1/4, получаем ответ.
    И ещё, в сравнении А и В можно сказать точнее: р(В) чуть меньше половины р(А)

    ОтветитьУдалить
  16. А)1/4 Б)7/64 В)7/32


    Здравый смысл подсказывает что вероятность А должна быть близка к вероятности Б и обе должны быть меньше В.

    ОтветитьУдалить
  17. Анонимный10.12.2011, 23:30

    Вероятность Б меньше вероятности А, вероятность В больше Б и примерно одинакова с А.

    ОтветитьУдалить
  18. Сорри, но это элементарно: каждое подбрасывание монетки никак не влияет на предыдущие и последующие.
    Кроме того, Илья не указал, что выигрыши были ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫ.
    Мой ответ: во всех трёх случаях вероятности ОДИНАКОВЫ

    ОтветитьУдалить
  19. Анонимный11.12.2011, 1:43

    в уме сходу не вышло, прикинул все же на калькуляторе, (4/16), ((8*7)/2/256), ((8*7*6)/6/256), вышло A>В>Б

    ОтветитьУдалить
  20. Анонимный11.12.2011, 9:30

    Очевидно вероятности А и Б равны, а В больше их.

    [Роман]

    ОтветитьУдалить
  21. На вскидку если, то наиболее вероятен выигрыш А, затем В, затем Б.
    Теперь можно и посчитать. Все задачи решаются формулой Бернулли (вроде так называлась, хотя может и перепутаю название) p^k*q^(n-k)*(C из n по k), где p = 1/2, q = 1/2:
    А) всего попыток n = 4, выигрышей из них k = 3, итого имеем вероятность P = 0,25
    Б) всего попыток n = 8, выигрышей из них k = 6, итого имеем вероятность P = 0,109
    В) всего попыток n = 8, выигрышей из них k = 5, итого имеем вероятность P = 0,218

    ОтветитьУдалить
  22. Возможно, мой смысл не такой уж здравый (а рассчеты проводить лень), но кажется очевидным, что:
    1) наибольшую вероятность имеет событие А;
    2) вероятности Б и В равны.

    ОтветитьУдалить
  23. Мой здравый смысл предположил: вероятность А больше В, которая больше Б

    ОтветитьУдалить
  24. Ну, интуиция подсказывает, что событие А вероятней Б, а Б вероятней В. Почему? А хрен знает, наверное потому что проиграть один раз - это 50%, проиграть два раза - это 50*50%, и проиграть ровно три раза - это 50*50*50%. Тервера не знаю, поэтому могу ошибаться.

    ОтветитьУдалить
  25. Я согласна с Павлом. Считаю, что нужно решать по формуле Бернулли. Т. е. А > В > Б.

    ОтветитьУдалить
  26. Сергей11.12.2011, 23:15

    Вероятность события А - 1/16
    Вероятность события Б - 1/256
    Вероятность события В - 1/256

    ОтветитьУдалить
  27. Моя интуиция подсказывает, что p(A) > p(Б) и p(Б) < p(В), а ручка и бумажка говорят, что
    A) p(A)=16/64
    Б) p(Б)=7/64
    B) p(В)=14/64,

    итого, p(A)>p(В)>p(Б)

    --MK

    ОтветитьУдалить
  28. Изначально подумал:
    р(А) = р(Б) > р(В)

    потом вспомнил про слово "ровно" и подумал что в таком случае каждая комбинация (выиграл-проиграл) имеет равную вероятность и всё зависит только от количества игр.
    Соответственно:
    р(А) > р(Б) = р(В)

    а потом подумал что под понятие "ровно N" подходит несколько комбинаций (тут же вспомнилось слово "бином").

    собственно:

    р(А) > р(В) > р(Б)

    ОтветитьУдалить
  29. Анонимный13.12.2011, 6:39

    Вероятность выиграть в 3 играх из 4 = 4096/16384.
    Вероятность выиграть в 6 играх из 8 = 1792/16384.
    Вероятность выиграть в 12 играх из 16 = 455/16384.

    Мы так до нуля скатимся?

    ОтветитьУдалить
  30. Анонимный13.12.2011, 14:26

    *без расчетов и не читая комментарии:

    1) выбрать 5 из 8 можно большим числом способов, чем 6 (кажется очевидным).
    2)
    Сначала показалось, что P(Б) >= P(А), но подумав получше решил, что такого быть не может - число вариантов всего в Б выросло очень сильно.

    либо P(А)>P(В)>P(Б) либо P(В)>P(А)>P(Б)

    ОтветитьУдалить
  31. Вот акт навскидку, и не читая каментов:
    1. 3 из 4 самая высокая вероятность
    2. 4 из 5 вероятность меньшая, чем предыдущая
    3. 6 из 8 самая низкая вероятность из всех вариантов.

    Теперь читаем каменты и считаем... )))

    ОтветитьУдалить
  32. здравый смысл, во-первых, мне кажется, что вероятности будут примерно равны. вероятность А и Б должны быть абсолютно равны, а вероятность В чуть выше.

    ОтветитьУдалить
  33. Здравый смысл у тех кто проходил тервер и тех кто его прогуливал разный. У нас в ограниченном объеме предмет был и на вскидку А>В>Б, хотя оценить А и В честно сложно. Предпочел А, т.к. меньше комбинаций, хотя это ни о чем не говорит - чисто интуитивно.

    После этого посчитал:
    A - 4/16 или 128/512
    Б - 84/512
    В - 126/512

    ОтветитьУдалить
  34. Качественное сравнение вероятностей событий в случаях Б) и В) довольно легко, потому что количество бросков монеты одинаково в этих случаях. Ясно, что событие с максимальной вероятностью при 8 бросках - это 4 выигрыша и 4 проигрыша, т. е. событие на макушке кривой, напоминающей колокол. Теперь достаточно спросить: А какое событие самое вероятное после макушки? Ответ очевиден: Точка, а точнее точки, симметрично примыкающие непосредственно к макушке, т. е. 5 или 3 выигрыша. Следовательно, 5 выигрышей из 8 имеет большую вероятность, чем 6 выигрышей из 8: Р(В) > Р(Б).

    Несколько труднее качественно сравнить вероятности событий А) и В). Но давайте все-таки попробуем. 3 выигрыша из 4 - это точка непосредственно примыкающая к макушке одного колокола - узкого, но высокого; 5 выигрышей из 8 - это тоже точка непосредственно примыкающая к макушке, правда, другого колокола - широкого, но низкого. Поэтому разумно ожидать, что вероятности этих событий соотносятся качественно точно также как вероятности близких к ним событий, т. е. макушки этих двух различных колоколов: 2 выигрыша из 4 для высокого, но узкого колокола; 4 выигрыша из 8 для широкого, но низкого колокола. Следовательно, Р(А) > Р(В).

    Итого: Р(А) > Р(В) > Р(Б).

    ОтветитьУдалить

Понравилась заметка? Подпишитесь на RSS-feed или email-рассылку.

Хотите поделиться ссылкой с другими? Добавьте в закладки:



Есть вопросы или предложения? Пишите письма на адрес mytribune АТ yandex.ru.

С уважением,
      Илья Весенний