11 нояб. 2013 г.

Парадокс неожиданной казни

Добрый день!

В октябре мы начали поднимать тему математических ментальных вирусов (кстати, а интересна ли вам тема общечеловеческих ментальных вирусов?) Поэтому сейчас самое время перейти к древней задаче, которая всё ещё прекрасно умеет захватывать мозги и сердца (как раз об этом в последнем абзаце предложен опрос — пожалуйста, примите в нём участие).

Более того, поскольку недавний опрос показал, что лишь четверть подписчиков знакома с книгами и статьями Мартина Гарднера, то даже это стандартное введение должно быть многим полезно. Ниже цитата из статьи "Казнь врасплох и связанный с ней логический парадокс" этого великолепного популяризатора науки:

"Появился великолепный новый парадокс", — так начиналась мало понятная для непосвященного статья Майкла Скривена в июльском номере британского философского журнала Mind за 1951 год. Скривен занимал кафедру философии науки в Университете штата Индиана, и в подобных вопросах с его мнением нельзя было не считаться. Парадокс действительно оказался великолепным. Достаточное тому подтверждение — более двадцати статей о нем в различных научных журналах. Авторы, среди которых были известные философы, сильно разошлись во мнениях относительно того, что следует считать решением парадокса. За многие годы ни к какому соглашению прийти не удалось, так что парадокс и поныне является предметом горячих споров.

Неизвестно, кому первому пришла в голову идея парадокса. Согласно У. В. Куайну, логику из Гарвардского университета, автору одной из упоминавшихся выше статей, впервые об этом парадоксе заговорили в начале сороковых годов нашего века, нередко формулируя его в виде головоломки о человеке, приговоренном к смертной казни через повешение.

Осужденного бросили в тюрьму в субботу.
— Тебя повесят в полдень, — сказал ему судья,— в один из семи дней на следующей неделе. Но в какой именно день это должно произойти, ты узнаешь лишь утром в день казни.

Судья славился тем, что всегда держал свое слово. Осужденный вернулся в камеру в сопровождении адвоката. Как только их оставили вдвоем, защитник удовлетворенно ухмыльнулся.

— Неужели не понятно? — воскликнул он.— Ведь приговор судьи нельзя привести в исполнение!

— Как? Ничего не понимаю,— пробормотал узник.

— Сейчас объясню. Очевидно, что в следующую субботу тебя не могут повесить: суббота — последний день недели, и в пятницу днем ты бы уже знал наверняка, что тебя повесят в субботу. Таким образом, о дне казни тебе бы стало известно до официального уведомления в субботу утром, следовательно, приказ судьи был бы нарушен.

— Верно, — согласился заключенный.

— Итак, суббота, безусловно, отпадает,— продолжал адвокат,— поэтому пятница остается последним днем, когда тебя могут повесить. Однако и в пятницу повесить тебя нельзя, ибо после четверга осталось бы всего два дня — пятница и суббота. Поскольку суббота не может быть днем казни, повесить тебя должны лишь в пятницу. Но раз тебе об этом станет известно еще в четверг, то приказ судьи опять будет нарушен. Следовательно, пятница тоже отпадает. Итак, последний день, когда тебя еще могли бы казнить, это четверг. Однако четверг тоже не годится, потому что оставшись в среду живым, ты сразу поймешь, что казнь должна состояться в четверг.

— Все понятно! — воскликнул заключенный, воспрянув духом. — Точно так же я могу исключить среду, вторник и понедельник. Остается только завтрашний день. Но завтра меня наверняка не повесят, потому что я знаю об этом уже сегодня!


Как вы понимаете, как только заключённый осознал, что казнить его не смогут ни в один из ближайших семи дней, он полностью расслабился. Поэтому для него было совершенно неожиданно, когда в понедельник утром (или четверг, например) к нему в камеру зашли солдаты, чтобы отвести его на казнь. Приговор судьи был исполнен идеально точно: в предшествующий день заключённый не знал о том, что следующим утром его казнят.

В математике часто возникает ощущение, что что-то здесь не так. Но настоящие математики не могут отмахнуться от рассуждения, сказав «здесь какая-то ошибка». Очень важно найти, где именно это ошибка. Потому что если нам не удаётся найти её в таком простом рассуждении, то как мы сможем верить доказательствам более сложных теорем? К сожалению, эта простая мысль слишком сложна для очень многих людей, поэтому зачастую попытки обсуждения подобных парадоксов преобразовываются в рассуждения о том, надо ли забивать себе голову подобной ерундой.

С моей точки зрения, эта задача — прекрасный математический ментальный вирус. Мне кажется, этот вирус сильнее задачки про остров Беззеркалья, так как формулируется данный парадокс значительно проще (пожалуй, единственная сложность в предложенной выше формулировке — неудобное для нашего восприятие начал недели в воскресенье, а не в понедельник).

А теперь вопросы:
1) Знаком ли вам этот математический парадокс?
2) Если да, то
   а) С какого возраста (примерно)? Из литературы или от друзей/родственников/учителей?
   б) Имеете ли вы давно сложившееся чёткое мнение о том, в чём состоит решение этого парадокса?
3) Если да, то сформулируйте, пожалуйста, в 3-5 словах, в чём оно состоит.

Хорошего начала недели!

53 комментария:

  1. Первый раз прочитал.
    Парадокс, и тот с натяжкой, состоит в том, что если бы судья был "идеально" честный, то чтобы делать такое утверждение он должен был бы абсолютно точно знать будущее, что невозможно. В дальнейшем никакого парадокса нет - предсказывалось конечное состояние системы, а не то, как именно система к нему придет.

    ОтветитьУдалить
  2. В детстве слышал, лет в 11 где-то мимоходом прочитал.
    Тогда сошелся на том, что заключенный не правильно понял судью. Должно быть что-то вроде: "Пока мест нет, очень плотный график. Но как только - так сразу."

    ОтветитьУдалить
  3. 1) Парадокс знаком
    2)
    а) Не помню где и когда первый раз прочитал
    б) Решения тоже не помню
    3) Но попробую поразмышлять сейчас - мне кажется всё дело в конечном ограничении по времени - неделя.

    Это как начальник, который пообещал вас принять до конца рабочего дня.
    И вот чем ближе к концу срока - тем выше вероятность срабатывания события.
    "Ну блин, уже 17:50, ну вот теперь он уже точно должен меня принять! 10 минут осталось же! Что ж он там возится..."

    Но с точностью до секунды нельзя сказать когда именно оно произойдёт - ровно в конце срока, или чуть раньше. Или может он вообще к обеду освободится. Поэтому событие всегда будет сюрпризом, и ты до последнего не веришь, что да ну нафиг - неужели самым последним?
    Хотя тут, конечно, время протяжённое, это немного другое. Но в целом достаточно казнить в любой из дней кроме последнего, для того, чтобы это было сюрпризом.

    ОтветитьУдалить
  4. Читал несколько лет назад, не помню где.
    По индукции выходит, что его должны казнить в первый же день. Ошибка в переходе от этого шага индукции к общему "не могут казнить вообще". Если человек каждый день будет считать, что его казнят на следующий, приговор нельзя будет исполнить.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Тут тонкий момент: "каждый день считать, что его казнят на следующий день" - это совсем не то же самое, что "знать, что казнят на следующий день".

      Удалить
  5. Владимир11.11.2013, 13:50

    Если записать формально в логике высказываний, то у нас есть утверждения:
    "Казнь состоится"
    "Судья честен", что эквивалентно ("Казнь состоится" и "не существует вывода в логике выскаываний утверждения "Казнь состоится"") (формализованное понятие знания)
    Но даже при первом шаге рассуждения, о пятнице, у осужденного нет вывода утверждения "Казнь состоится", а только "Судья честен, следовательно казнь состоится", что совсем не одно и то же. Поэтому рассуждение не работает.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Интересная мысль. Пожалуйста, опишите её подробнее.

      Удалить
  6. Парадокс не знал.
    Ошибка в словах «узнаешь». Судья имел в виду, что узнику об этом сообщат, однако узник может узнать дату казни косвенно, через другие источники информации, в этом и заключается нестыковка.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Можете пояснить, где именно эта нестыковка?

      Удалить
  7. Если вы набираете статистику, то
    1) не слышал;
    но большое спасибо за парадокс, интересно подумать :)

    ОтветитьУдалить
  8. 1. Парадокс знаком.

    2а. Из литературы. Возраст не помню, но, видимо, >27

    2б. Я знаю решение (вроде бы), но все равно остается какая-то неудовлетворенность, кажется, что-то еще не додумано до конца.

    3. Насколько я понимаю, ошибка возникает при переходе от "суббота не может быть днем казни" к "пятница не может быть днем казни", и заключается она в том, что нельзя полагаться на то, что судья исключит субботу из возможных дней казни.

    То есть, вечером пятницы можно точно сказать, что приказ судьи нарушен. Но вечером четверга можно сказать лишь, что казнь будет либо в пятницу (в соответствии с приказом), либо в субботу (с его нарушением).

    ОтветитьУдалить
  9. 1) Да.

    2а) Впервые услышал об этом парадоксе в 1973 году. В летней математической школе один из учеников решил испытать учителя на вшивость и поставил эту задачу перед ним. Учитель не растерялся (подозреваю, что он слышал об этом парадоксе до того) и сказал: А давай начнем рассуждение не с субботы, а, скажем, с четверга. Ученик никак не соглашался начинать рассуждение с четверга, потому что представленное им логическое здание, казавшееся несокрушимым, рассыпалось тогда как карточный домик. Так они и не договорились.

    2б) Я не помню, к какому именно выводу я пришел тогда, но подумавши сейчас, сложил чёткое мнение о том, в чём состоит решение этого парадокса.

    3) Доверяй – но проверяй.

    Я уложился в прокрустово ложе 3-5 слов, которое вы предложили для формулировки решения парадокса. Но, пожалуй, следует пояснить.

    - Что ты делаешь после решения задачи? - спросил я свою десятилетнюю дочь.
    - Я проверяю полученное решение, - ответила она.
    - А как ты это делаешь?
    - Я прокручиваю решение в обратную сторону.

    Я решил последовать этой нехитрой логике. Наш заключённый пришел с помощью своего адвоката к определённому выводу: Его не казнят. Начинаем проверку правильности этого решения с помощью «обратной прокрутки», как выразилась моя дочь. Если мы решили алгебраическую задачу, и получили корень, в чём заключается проверка правильности полученного решения? Она заключается в подстановке этого корня в алгебраическое уравнение и удостоверении, что корень действительно удовлетворяет уравнению. А в нашем случае, в чем заключается эта «подстановка» и «удостоверение»? В том, чтобы дождаться конца следующей недели и посмотреть, останется ли заключённый в живых или нет. В четверг утром пришли с пренеприятным для него сообщением, и в полдень того же дня его казнили.

    Вывод: проверка показала, что полученное с помощью юриста решение было неверным. Как тут не вспомнить известную цитату из Шекспира: The first thing we do, let's kill all the lawyers.

    ОтветитьУдалить
  10. Спасибо, было интересно почитать. О парадоксе не слышал, но с интересом почитал статью на вики (там есть упрощенная версия под названием "Яйцо-сюрприз").

    ОтветитьУдалить
  11. Для тех, кто думает, что в данном парадоксе содержится более глубокий смысл, чем тот, что я предложил в предыдущем комментарии, скажу следующее. Для философов-бездельников подобная игрушка – настоящая находка. Они до бесконечности будут мусолить её, умудрившись при этом не сказать абсолютно ничего заслуживающего рабоче-крестьянского внимания. Для чистых математиков, т.е. другой категории бездельников, охотников заниматься ерундой за счет других, вопрос сводится к тому, что считать доказательством. Эта категория людей тоже ничего полезного не в состоянии предложить по той простой причине, что они убеждены, что доказательство имеет абсолютное, а не относительное значение. Я неприязненно отношусь к тем, кто безапелляционно заявляет, что они могут доказать то-то и то-то. Сможете вы доказать что-то, или нет, зависит не только от вас, и часто не столько от вас, сколько от того, кому вы пытаетесь доказать то, что вы думаете вы можете доказать.

    Попробуйте доказать девушке, что вы - лучший парень в деревне с помощью логических построений. Прежде чем доказать это, вам следует сначала понять, в чем именно состоит это доказательство. А в чем состоит это доказательство определяется, увы, не вами. Это полностью определяется той самой девушкой. И не надо морочить мне голову и говорить, что девушка это не математика. Девушка – это математика такого порядка, что вам и не снилось.

    К вещам надо относиться ровно с той степенью серьезности, какую они заслуживают – ни меньше, но и ни больше. В противном случае – это бесплодное занятие. Беда современной физики – в стократно более серьезном отношении к математике, чем того заслуживает абстракция. Не надо искать в математике того, чего там нет и быть не может. Математика – это как свежий труп. Она полезна для изучения анатомии - не более того. Математика не может в принципе родить ничего. Не надо копаться в трупе глубже и дольше, чем того заслуживает изучение анатомии. Здесь предел полезности математики. Дальше надо изобретать, т.е. рождать новую математику. Жизнь рождает математику, а математика не может родить ничего.

    Извините, кажется, я не в меру разгорячился. Пойду хлебну холодного пивка.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Arthur Baraov, ваш спич (кстати, абсолютный оффтоп), очень похож на провокацию.
      Или вам не повезло с учителями математики и вы её не то что не знаете, вы её не понимаете? :) В любом случае, примите мои соболезнования :)

      А что касается девушки, как математики "высокого порядка" (кстати, что это за математика такая?), так опишите себя и вашу девушку формулами, определите функцию "лучший парень", и я вам "безапелляционно заявляю", что независимо от вашего отношения ко мне и математике (чем, собственно, и хороша математика) я вам докажу, что вы "лучший" либо что это не так. Это в физике вы можете стремиться что-то доказать (существование бозона хиггса, например, хе-хе) и остаться в дураках, а математика просто исследует объект без каких либо предубеждений. Как патологоанатом исследует труп. Кстати, физика как раз частенько этим трупом и является.
      Такшта, сэр, вам надо меньше пить пивасик и больше... впрочем, воздержусь от советов, а то ещё подумаете, что я вас учу. Боже упаси.

      Удалить
    2. В математике тоже есть недоказанные теоремы/проблемы/гипотезы аналогичные бозону хиггса. Например, есть abc-гипотеза, которую Мотидзуки вроде как доказал, но при этом придумал столько новой математики, что его 500 страниц уже больше года всем миром читают и пока никто так и не осилил.

      Удалить
  12. 1) и 2а) - где-то читал год или пять назад; в другой ситуации предположил бы, что читал у вас, но если вы об этом спрашиваете, то начинаю чуточку сомневаться 8)

    2б) и 3) Если и имел, то забыл.

    Теперь, если отбросить "давно сложившееся" и "чёткое" (и "в 3-5 словах"), то вот мнение, сложившееся по прочтении поста.

    Как мне видится, ошибка в том, что адвокатом и заключённым не учтён тот вариант, что может произойти следующее:
    "Как только заключённый осознал, что казнить его не смогут ни в один из ближайших семи дней, он полностью расслабился. Поэтому для него было совершенно неожиданно, когда в понедельник утром (или четверг, например) к нему в камеру зашли солдаты, чтобы отвести его на казнь. Приговор судьи был исполнен идеально точно: в предшествующий день заключённый не знал о том, что следующим утром его казнят".

    То есть со стороны заключённого адекватнее такое рассуждение: "(Допустим,) сегодня вечер пятницы, завтра последний день, когда меня могут казнить. Из предложенной адвокатом логической цепочки выходит, что казнить не могут. Но если я уверен, что казнить меня не могут, а они вдруг придут и сообщат о казни в полдень, это будет для меня сюрпризом, и приговор судьи останется честным и логически будет полностью воплощён. Следовательно, приговор судьи останется честным независимо от моих (и адвокатских) вычислений, так как вычисления не приведут меня к окончательному и полному знанию о том, состоится ли казнь в тот или иной день".

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Возможно, проще это формулируется так: "Заключённым не учтён парадокс неожиданной казни" 8))

      Удалить
    2. Да, пожалуй, именно этот парадокс и не был учтён :)

      Удалить
  13. Что касается задачки, то читал её давным давно, где именно - и не припомню, в какой-то популярной книжке типа Перельмана. Но там это звучало несколько иначе и было представлено не как парадокс, а как некий казус. Там судья сказал, что если ты сможешь до объявления времени казни предугадать день казни, то будешь помилован, на что преступник тут же сказал, что казни не будет, потому что... далее по тексту. И, вроде, был помилован :) но точно не помню.
    ИМХО, логика рассуждений адвоката нарушается уже на втором шаге. Вероятность того, что казнят в субботу разная в разные дни. В пятницу днём эта вероятность равно 100%, а вот в четверг днём - уже 50%. Можно то же самое сказать по другому. Вероятность казни в субботу всегда равна 100%, но в пятницу - безусловно, а в четверг - при условии, что не казнят в пятницу.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Уважаемый Avegar, который в отличие от меня обладает глубоким пониманием математики, и который безапелляционно и весьма неосторожно заявил, что он может что-то доказать, не замечает даже элементарную ошибку в своих рассуждениях. Действительно, он заявляет: В пятницу днём вероятность того, что осуждённого казнят в субботу, равна 100%.

      Я подозреваю, что у Avegar очень смутное представление о том, что такое вероятность. Я почти убежден, что он не имеет ни малейшего представления о том, что вероятность это относительная величина. О вероятности не имеет смысла говорить в отрыве от агента, который дает эту самую вероятность. О чьей вероятности в данном случае идет речь? О вероятности адвоката, очевидно. Но как адвокат может быть уверен в пятницу вечером на 100%, что казнь СОСТОИТСЯ в субботу (как утверждает Avegar), когда этот адвокат уверен на 100%, что казнь НЕ СОСТОИТСЯ в субботу (ведь именно так он заявляет своему подзащитному)?!

      Удалить
    2. На самом деле, логика рассуждений адвоката нарушается уже на ПЕРВОМ шаге. Почему? Очень просто. Наступил вечер пятницы. В чем уверен адвокат? Да ни в чем. Сказать, что он уверен в казни в субботу нельзя, потому что это противоречит словам судьи, который слов своих не нарушает. Сказать, что он уверен, что казнь не состоится в субботу тоже нельзя, потому что это тоже противоречит словам судьи, который слов своих не нарушает.

      Здесь ситуация точно такая же как с носом Пинокио. Что произойдет с носом Пинокио - будет он расти или нет? Ни то, ни другое – нос Пинокио будет вибрировать! То же самое с адвокатом и его подзащитным: их мнение о том, что именно произойдет, будет колебаться между двумя крайними пределами до самого момента, пока не придут за осуждённым.

      Удалить
    3. Но вот какой вопрос меня беспокоит: ежели бога нет, то, спрашивается, кто же управляет жизнью человеческой и всем вообще распорядком на земле?
      – Сам человек и управляет, – поспешил сердито ответить Бездомный на этот, признаться, не очень ясный вопрос.
      – Виноват, – мягко отозвался неизвестный, – для того, чтобы управлять, нужно, как-никак, иметь точный план на некоторый, хоть сколько-нибудь приличный срок. Позвольте же вас спросить, как же может управлять человек, если он не только лишен возможности составить какой-нибудь план хотя бы на смехотворно короткий срок, ну, лет, скажем, в тысячу, но не может ручаться даже за свой собственный завтрашний день? И, в самом деле, – тут неизвестный повернулся к Берлиозу, – вообразите, что вы, например, начнете управлять, распоряжаться и другими и собою, вообще, так сказать, входить во вкус, и вдруг у вас… кхе… кхе… саркома легкого… – тут иностранец сладко усмехнулся, как будто мысль о саркоме легкого доставила ему удовольствие, – да, саркома, – жмурясь, как кот, повторил он звучное слово, – и вот ваше управление закончилось! Ничья судьба, кроме своей собственной, вас более не интересует. Родные вам начинают лгать, вы, чуя неладное, бросаетесь к ученым врачам, затем к шарлатанам, а бывает, и к гадалкам. Как первое и второе, так и третье – совершенно бессмысленно, вы сами понимаете. И все это кончается трагически: тот, кто еще недавно полагал, что он чем-то управляет, оказывается вдруг лежащим неподвижно в деревянном ящике, и окружающие, понимая, что толку от лежащего нет более никакого, сжигают его в печи.


      Мастер и Маргарита. М.А. Булгаков

      Удалить
    4. Я бы сказал, что у Avegar типичный комплекс, который у евреев называется хуцпа.

      Согласно свободной русской энциклопедии «Традиция»: Ху́цпа (от идиш חוצפּה хуцпэ — дерзость, восходит к ивр. חֻצְפָּה, в англ. hutzpa, chutzpa, hutzpah, chutzpah, нем. chuzpe, польск. hucpa, чеш. chucpe, итал. chutzpah) — присущее евреям свойство характера, приблизительно определяемое русскими словами «дерзость», «борзость» или «наглость».

      У самих евреев хуцпа означает особую смелость, стремление бороться с непредсказуемой судьбой, поэтому носители хуцпы ведут себя так, будто их не заботит вероятность оказаться неправым. Понятие «хуцпа» отсутствует у других народов и его аналогия не встречается в других языках.

      Удалить
    5. Уважаемый (это без стёба) Arthur, сразу замечу, что я не утверждал, что "обладаю глубоким пониманием математики" вообще и относительно вас, в частности. :) Что касается вашего высказывания относительно относительности вероятности, я с вами согласен, но тут же хочу вам попенять, что сказав про "агента", вы тут же забыли эту фразу и стали думать за меня. И, конечно же, надумали совсем не то, что я имел ввиду. Так вот, я исходил лишь из утверждения относительно главного события всей этой истории, а именно, что казнить ДОЛЖНЫ ОБЯЗАТЕЛЬНО и далее по приговору. Всё. Больше ничего. Рассуждения адвоката, честность судьи и любые другие фишечки - это второстепенное. Вот теперь - критикуйте. :)

      ps А к Булгакову никакого пиетета я не испытываю. Приведённый же вами отрывок - яркий пример нарушения логического мышления. Но это отдельная тема для разговора.

      Удалить
    6. Ну что ж, я охотно воспользуюсь вашим любезным приглашением покритиковать. Сразу замечу, что манера спорить у вас сбивается с существа дела на форму. У вас типичный «юридический» подход к делу: я сказал, вы сказали, я не говорил это, я говорил то и т.д. То есть вместо того, чтобы обсуждать суть вопроса, вы сбиваетесь на форму. Такой спор не может привести спорящие стороны ни к чему полезному. В лучшем случае, спорящие вежливо согласятся не спорить дальше и мирно разойтись. В худшем же случае, будут взаимные обиды и испорченные настроения.

      Суть вот в чем: Я обнаружил логическую ошибку в ваших рассуждениях. Вы согласны с этим или нет?

      P.S. Я охотно верю, что вы к Булгакову никакого пиетета я не испытываете. Вот теперь я проявлю хутцпа и возьму на себя наглость утверждать, что вы даже не подозреваете, что математическая, т.е. формальная логика это всего лишь часть – причем очень незначительная, даже игрушечная я бы сказал, часть – человеческой логики. Я искренне буду рад, если вы сумеете убедить меня в обратном, т.е. в том, что вы что-то знаете о расширении логики за пределы ее узкой формальной формы.

      Удалить
    7. Arthur, вы меня ни с кем не перепутали? Какой "юридический подход"? Вы решали ДРУГУЮ, чем я, задачу и в пух и прах "разбили" моё решение. Вы молодец. Вот только ни желания разобраться, ни критики, извините, я так и не увидел. Зато увидел позу. Неприятно удивлён.

      Хоть я и не Сухов, но подумал над вашим примером. Суть функции вроде понял. Нашёл три решения. Доказать, что других нет, пока не могу.

      PS "Если Вы познали истину, подайте ее другому как подают пальто, чтобы удобнее было надеть, а не тычьте ею в лицо как мокрым носовым платком!"

      PPS Извините, что поздно, но я не "вольный художник", у меня производство.

      Удалить
    8. Avegar, есть правда в ваших словах. Я приношу извинения за доставленную неприятность. И спасибо, что нашли время взглянуть на мою задачку. Я сам не уверен, что разобрался с ней до конца. Если вдруг обнаружите изящное доказательство, что других решений нет, дайте, пожалуйста, знать.

      Еще раз мои искренние извинения.

      Удалить
    9. Arthur, спасибо.
      Ваша задачка, действительно, интересна. Я разобрал случаи нуля, чётности и нечётности f(x), но в общем случае, вполне возможно, что есть и другие решения. С удовольствием ознакомился бы с результатами вашего исследования этого уравнения.

      Удалить
    10. Avegar, к этому уравнению я пришел через физику, а не через математику. Когда я вывел это уравнение, первое что пришло в голову это, конечно, подсмотреть где-то его решение, чтобы не изобретать велосипед. Я перерыл все доступные в интернете источники, в том числе классические труды, пожалуй, самого авторитетного на сегодня специалиста в области функциональных уравнений Aczél-я, и, к моему великому удивлению, не смог найти не только решения этого уравнения, но даже самого уравнения. Казалось бы, чему тут удивляться: мало ли какие уравнения можно выдумать.

      Но важность этого уравнения заключается в том, что из него можно вывести … второй закон Ньютона и закон сохранения количества движения. А как хорошо известно, закон сохранения количества движения логически эквивалентен третьему закону Ньютона. То есть – как ни парадоксально это прозвучит – получается, что из ФУНКЦИОНАЛЬНОГО уравнения можно вывести логическим путем чуть ли не всю классическую механику Ньютона!

      Вы совершенно правы, что это оффтоп, поэтому, пожалуй, не следует злоупотреблять терпением Ильи и продолжать разворачивать эту тему здесь. Но если вам действительно интересно, я с удовольствием пришлю текст доклада с изложением полученных результатов, который был доложен год назад в Германии на конференции:
      32nd International Workshop on Bayesian Inference and Maximum Entropy Methods in Science and Engineering.

      Здесь меня по праву можно обвинить в позировании. Ну что ж, чему быть тому не миновать :)

      Выбор канала коммуникации пусть будет за вами.

      Удалить
    11. Arthur, сорри, все три решения свелись к одному, более общему: f(x) = a*x*x + b*x.
      Можно доказать, что среди гладких функций других решений точно нет.

      Удалить
    12. Arthur, послал вам письмо на адрес, указанный в профиле blogspot.

      Удалить
    13. Avegar, ответил с приложенным докладом.

      Удалить
  14. Сухов говоришь? Cейчас мы поглядим … какой это Сухов

    Уважаемый Avegar, раз вы такой Сухов, не могли бы вы сделать для меня небольшое одолжение. Найдите, пожалуйста, все решения следующего функционального уравнения и докажите, что других нет:

    f(-x) + f(x) = f(-x+y) + f(x + y) – 2f(y)

    Всё, что требуется от функции f(x), это удовлетворение указанному уравнению и больше ничего, т.е. она не обязательно должна быть дифференцируемой, непрерывной и т.д.

    Надеюсь, Илья и читатели простят нас за этот небольшой «оффтоп шоудаун», выражаясь на модном теперь оксимороническом языке.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Артур,
      спасибо за внимание к заметкам моего блога и к комментариям всех подписчиков. Благодарю Вас заранее за умение вовремя обуздать конфликтно-провокационную эмоциональность, которая иногда нет-нет, да и проскочит.

      Удалить
    2. f(-x) + f(x) = f(-x+y) + f(x + y) – 2f(y)
      Ок, вечером посмотрю. Только какое это имеет отношение к теме?

      Удалить
    3. Илья, спасибо за тактичность. Но у меня нет умения обуздать конфликтно-провокационную эмоциональность. Напротив, я считаю, что конфликтная ситуация - это вполне нормальный и абсолютно естественный атрибут человеческой жизни. А без эмоциональности нет истинного творчества. Вместе с тем, я прекрасно понимаю, что ваш аванс есть вежливый призыв не нагнетать все-таки обстановку до ненужных высот, ибо далеко не каждый разделяет мои взгляды на положительную роль конфликта и эмоций для развития способностей человека в целом :)

      Удалить
  15. 1-2. знаком еще со школы (=советское время), впервые встретил, наверное у гарднера - не помню точно. там, вроде, картинка была, где палач в камеру заходит, а недавно пролистывал гарднера в поисках другого парадокса (монти холла) - там по другому оформлено:) но было где-то в 86-88 годы.

    у гарднера там красивые вариации приводятся типа с коробкой и яйцом, с тузом и двойкой, или - куда жизнеутверждающе чем казнь - с подарком жене. как-то понятнее становится, что жена все равно не узнает подарят, ли ей золотой браслет - до тех пор, пока ей его не подарят.

    ++ ну это уже мои личные домыслы, но что касается именно казни, как акта прекращения физического состояния - человек скорее должен испытывать сильный стресс и невроз, думая: "так, завтра меня казнят", чем спокойно все разложить и дожить до четверга. это конечно уже психология, но все же...

    3. если в двух словах, то словами бродского: "никто никогда ничего не знает наверняка". ну или совсем в двух словах - "кот шредигера" (хотя тут поспорить можно). и еще - очень удивился, что многие не знакомы с этим парадоксом, думал что он очень известный.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Отражение действительности в произведениях талантливых художников, безусловно, богаче, а порой даже точнее, чем то, что могут предложить естествоиспытатели, не говоря уже о математиках-бездельниках (к прикладникам это не относится). Но что вы имели в виду, когда говорили о "коте шредигера"? Я подозреваю, что вы все ещё верите в то, что говорят нам теоретики квантовой механики, т.е. в то, что в микромире, в отличие от макромира, действуют вероятностные, а не причинные законы. Так? Какова была, по-вашему, точка зрения самого Шрёдингера на этот счёт?

      Удалить
    2. А какие есть альтернативные научные точки зрения на этот счет, и где с ними можно ознакомиться? Лично я не то чтобы верю в вероятностные законы (это кажется мне странным, особенно переход от вероятностных к причинным в макромире) - я умудрился пройти мимо всех альтернатив, если они есть в науке.

      Да, и какова была точка зрения Шредингера? Насколько мне известно, Эйнштейн говорил, что Бог не играет в кости, но придумть эксперимент, подтверждающий причинность в противовес вероятностности ему (и никому другому), насколько мне известно, не удалось. Нет?

      Удалить
    3. Алексей,

      Шрёдингер разделял точку зрения Эйнштейна и многих других учёных, категорически отвергавших полную мистицизма интерпретацию квантовой механики Бором, согласно которой законы природы имеют вероятностный, а не причинный характер на уровне микромира.

      Многие ошибочно полагают, что Шрёдингер предложил свой мысленный эксперимент с котом, чтобы ярко проиллюстрировать странный мир квантовой механики. На самом же деле, этим воображаемым экспериментом он хотел просто показать, что если мы примем точку зрения Бора в отношении к мИкромиру, то мы просто вынуждены будем распространить эту нелепую, как он считал, точку зрения и на мАкромир. То есть, свой эксперимент он рассматривал как логический аргумент в пользу того, что допущение о принципиально вероятностном характере законов природы на уровне мИкромира неприемлемо, поскольку оно неизбежно ведет к абсурдному логическому выводу о принципиально вероятностном характере законов природы на уровне мАкромира тоже.

      Ещё Маделунг дал разумную и вполне естественную альтернативу (пожалуй, правильнее сказать – интерпретацию) уравнениям Шрёдингера. Уравнения Шрёдингера сформулированы в терминах ψ–функции, уравнения Маделунга – в терминах обычной материальной плотности ρ какой-то тонкой среды (которую принято было называть эфиром то того, как этот термин впал в опалу, и которую сейчас приходится возрождать под нелепыми названиями типа физического вакуума). Связь между ρ и ψ–функцией проста: ρ = m|ψ|^2, т.е. квадрат модуля ψ–функции имеет смысл плотности распределения какой-то сплошной среды.

      Удалить
  16. 1. Да
    2. а) лет с 18
    б) нет, точнее сразу возникла мысль, что ошибка в шаге индукции и особо формализовывать не было желания.
    3. Хоть и нет. попытаемся подумать, пятница она не точка в пространстве, в ней есть 24 часа. Допустим, что приходят уводить на казнь с 09 до 13, так вот, шаг индукции с субботы переодит нас лишь на отрезок пятницы с 13 до 24, а относительно времени с 00 до 13 у нас никакой информации нет.
    Ну и если придираться к условиям задачи, то еслим судья сказал, что казнят и судья всегда выполняет свои обещания - казнят 100%;-)


    А спор с элементами троллинга не одобряю - ничего хорошего в таком споре не рождается, к сожалению.

    ОтветитьУдалить
  17. С парадоксом знаком, спасибо, что напомнили.
    С решением знаком, пока читаю, выйду - забуду:)

    ОтветитьУдалить
  18. С этим парадоксом я познакомился лет 15-20 назад.
    Тогда же определился с его решением, которое по сей день считаю верным.
    Заключенный считает вероятные события аксиоматическими.
    В пять слов уложился, а теперь поясняю:
    Ошибка в рассуждениях заключенного (адвоката) состоит в том, что они думают (цитирую): "ОЧЕВИДНО, что в следующую субботу тебя не могут повесить: суббота — последний день недели, и в пятницу днем ты бы уже ЗНАЛ НАВЕРНЯКА, что тебя повесят в субботу"
    А должны думать следующим образом: "СКОРЕЕ ВСЕГО, что в следующую субботу тебя не могут повесить: суббота — последний день недели, и в пятницу днем ты бы уже СЧИТАЛ ВЕСЬМА ВЕРОЯТНЫМ, что тебя повесят в субботу".
    То есть не учитывается возможность того, что судья может когда-нибудь и не сдержать слово, может изменить своё решение, да и не всё от судьи зависит (представляете себе - незапланированный инфаркт у заключенного - и вся логика псу под хвост).

    ОтветитьУдалить
  19. По задаче Ильи. Я вчера рассказал об этом парадоксе детям, но сформулировал задачу по другому: есть пять пронумерованных коробок, которые вы будете открываться по порядку. Мне нужно положить в одну из коробок яблоко так, чтобы вы не смогли предугадать, где оно лежит. Если яблоко положить в пятую коробку, то вы, открыв первые четыре и не найдя там яблока, точно скажете, что яблоко в пятой, и я проиграл. Значит, в пятую коробку мне класть яблоко нельзя, это понимаю и я, и вы, поэтому пятую коробку можно в расчёт не брать. Осталось четыре коробки. Далее те же рассуждения.
    В таком варианте этого парадокса, дети достаточно быстро поняли, что 1) нумерация коробок не имеет никакого смысла и что 2) есть яблоко в коробке или его там нет, определяется исключительно вероятностью (в классическом понимании). Т.е., перед открытием первой коробки вероятность обнаружить там яблоко = 20%, перед открытием второй = 25%, далее 33,3%, 50%, и, наконец, перед открытием последней коробки, если яблоко не попалось раньше, мы имеем 100% гарантию того, что оно лежит в последней оставшейся коробке. И нумерация коробок (последовательность открытия) здесь совершенно не при чём.
    В случае с заключённым всё то же самое, но фокус в том, что в такой постановке это осознать сложнее, так как время имеет направление и "перемешать" дни недели невозможно. :)

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Этот комментарий был удален автором.

      Удалить
    2. Avegar, у меня есть сомнения по поводу этого решения. Попробуйте их развеять. Мои возражения будут выглядеть прозрачнее, если я изложу их в формате вопрос-ответ.

      1. Вопрос: Чему равна вероятность того, что осужденного вообще не казнят?
      Ответ: Нулю, просто-напросто потому что это часть формулировки задачи. Эта вероятность – абсолютный инвариант, т.е. она не подлежит манипуляции ни под каким предлогом и ни при каких условиях. Принятие любой другой вероятности означало бы, что мы меняем условие задачи. Это абсолютно недопустимо.

      2. Вопрос: Чему равна условная вероятность (т.е. при условии, что он дожил до этого момента) того, что осужденный узнает о дне казни накануне вечером (например, в пятницу вечером)?
      Ответ: Нулю, просто-напросто потому что это часть формулировки задачи. Эта вероятность – абсолютный инвариант, т.е. она не подлежит манипуляции ни под каким предлогом и ни при каких условиях. Принятие любой другой вероятности означало бы, что мы меняем условие задачи. Это абсолютно недопустимо.

      Согласно вероятностям, которые вы расписали, вы допускаете, что осужденный может дожить до пятницы. Поэтому я, на вполне законном основании, задаю третий вопрос.

      3. Вопрос: Какова вероятность того, что осужденный узнает о дне казни в пятницу вечером, при условии, что он дожил до пятницы?
      Ваш ответ таков: эта условная вероятность равна 100%. Но эта вероятность равна нулю по условию задачи и не подлежит абсолютно никакой манипуляции.

      Вывод: Ваше решение противоречит условиям задачи, т.е. вы решаете другую задачу.

      Укажите, пожалуйста, точно, с каким именно пунктом из вышеприведенной цепочки рассуждений вы не согласны.

      Удалить
    3. Из условий задачи следует не то, что условная вероятность того, что осужденный узнает о дне казни накануне вечером, равна нулю, а то, что она не равна 100%.

      Удалить
  20. Спасибо, Sophist. Пожалуй, вы правы. Чтобы пояснить, почему же я склонен соглашаться с вашим возражением, я хочу прибегнуть к помощи Максвелла (см. От Колмогорова к Максвеллу, Лапласу, Байесу):

    Говорят, что понимание должно вырабатываться согласно правилам правильного суждения. Эти правила содержатся или должны содержаться в логике; но в настоящее время логика как наука имеет дело только с утверждениями, которые являются несомненными, невозможными или полностью неопределенными, т. е. с вещами, которых (к счастью) у нас практически никогда не бывает, чтобы делать выводы на их основе. Следовательно, настоящая логика этого мира — это исчисление вероятностей, дающее величину вероятности, которая есть, или должна быть в уме разумного человека

    Другими словами, логика (Максвелл имеет здесь в виду, конечно, формальную логику) оперирует только тремя логическим категориями, а именно: несомненно (true, т.е. вероятность = 1), невозможно (false, т.е. вероятность=0), или же полностью неопределённо (вероятность≠0, и вместе с тем, вероятность≠1).

    Вот про эту категорию третьего типа (полностью неопределённо) я и забыл. Что же это за зверь такая? Программисты легко ответят на этот вопрос. Это то, что называется null. Вы подобрали название для своей переменной типа Boolean (myVar, например), но ещё не назначили значение для этой переменной, т.е. переменная уже существует, но вы еще не назначили ячейку памяти для неё. В Java это делается так: myVar = null.

    ОтветитьУдалить
  21. Знаком с 14 лет.
    Из рассуждений приговоренного следует, что до пятницы все будущие дни одинаково (не)возможны, то есть равновероятны.

    ОтветитьУдалить

Понравилась заметка? Подпишитесь на RSS-feed или email-рассылку.

Хотите поделиться ссылкой с другими? Добавьте в закладки:



Есть вопросы или предложения? Пишите письма на адрес mytribune АТ yandex.ru.

С уважением,
      Илья Весенний