Как обдумывать задачку?

На этой неделе мы начали разбираться с парадоксом заключённого. Сама по себе эта задача очень интересна, поэтому мы постараемся погрузиться в неё основательно.

Но сперва давайте рассмотрим два самых первых шага, которые обычно полезно предпринимать против (или "за"?) подобных задачек:
1) зафиксировать условие задачи (выяснить, какими способами можно его понять, а потом чётко решить для себя, какую именно из возможных задач решать),
2) покачать условие задачи (что-то изменить в нём, чтобы задача стала чуть-чуть другой).

О чём здесь речь?

1) Если вы читали комментарии к предыдущей заметке, то могли обнаружить, что многие подписчики смотрят на условие задачи под разными углами, поэтому предлагают решения разных задач. Как вы понимаете, часто «парадоксальность» задачек основана именно на этом свойстве исходного условия — его можно понимать разными способами. Достаточно ярко прочувствовать это можно было в обсуждении задачи о двух конвертах (там условие кажется ещё более простым, поэтому «рубить с плеча» хочется ещё сильнее).

Если же пользоваться прогрессивным способом «сформулировал утверждение — сформулировал его обоснование», то и обсуждение сразу пойдёт конструктивнее, и читателям будет проще понять, за что идёт борьба в каждом конкретном комментарии. Как же я скучаю по дискуссиям, в которых люди до потока аргументов не забывают сообщить, что же конкретно они пытаются доказать!..

Полезно научиться отвечать, например, на следующие вопросы:

- в каких формах можно проверять, что узник не знает, казнят ли его на следующий день? (чтобы проверить, что приговор исполнен точно)
   -- он пишет об этом на бумажке вечером каждого дня?
   -- пишет в день оглашения приговора?
   -- или утром сообщает пришедшим за ним стражникам, что их приход его не удивил?

- А как определяется день казни?
   -- судья его пишет на бумажке в день оглашения приговора?
   -- начальник тюрьмы решает этот вопрос вечером каждого дня, пообщавшись с узником? (чтобы случайно не нарушить приговор)

Какие вопросы вы ещё считаете важными для этой задачи?

2) Качать задачу можно, например, следующим образом:
- Что изменится, если у узника будет не неделя, а два дня? (т.е. его пообещали казнить в воскресенье или понедельник)
- А если у него будет всего один день? (т.е. ему сказали, что его казнят завтра в воскресенье, но для него это будет полной неожиданностью)
- Что изменится, если узнику не гарантировали, что его заведомо казнят на этой неделе?

Может быть полезно рассмотреть вариант без жёсткого порядка дней недели, например:
- есть семь камер, одна из которых с сюрпризом (в ней потолок в полдень прижимается к полу),
- узник каждый вечер должен выбрать новую камеру из этих семи, чтобы провести в ней весь следующий день.
(здесь возможны варианты с разными вероятностями срабатывания механизма «сюрприза»).

Какие ещё небольшие изменения этой задачи вам кажутся осмысленными? (т.е. открывающими новые грани, которые полезно рассмотреть)

Кстати, если вы любите не только подумать об интересной задачке, но и изучить её качественный разбор, а потом ещё и узнать о её пользе для народного хозяйства, то приглашаю вас прочитать следующие две статьи Константина Кнопа на «Элементах»:
1) Испытание для трубадура,
2) Меченые шарики.

Я настоятельно не рекомендую читать подсказки и решения этих задач, пока вы сами не придёте к пониманию, как надо их решать. Но вот прочитать последнюю часть «Послесловие» вполне можно и до самостоятельного решения задач. Там весьма познавательно!

Хороших выходных!