15 нояб. 2013 г.

Как обдумывать задачку?

На этой неделе мы начали разбираться с парадоксом заключённого. Сама по себе эта задача очень интересна, поэтому мы постараемся погрузиться в неё основательно.

Но сперва давайте рассмотрим два самых первых шага, которые обычно полезно предпринимать против (или "за"?) подобных задачек:
1) зафиксировать условие задачи (выяснить, какими способами можно его понять, а потом чётко решить для себя, какую именно из возможных задач решать),
2) покачать условие задачи (что-то изменить в нём, чтобы задача стала чуть-чуть другой).

О чём здесь речь?

1) Если вы читали комментарии к предыдущей заметке, то могли обнаружить, что многие подписчики смотрят на условие задачи под разными углами, поэтому предлагают решения разных задач. Как вы понимаете, часто «парадоксальность» задачек основана именно на этом свойстве исходного условия — его можно понимать разными способами. Достаточно ярко прочувствовать это можно было в обсуждении задачи о двух конвертах (там условие кажется ещё более простым, поэтому «рубить с плеча» хочется ещё сильнее).

Если же пользоваться прогрессивным способом «сформулировал утверждение — сформулировал его обоснование», то и обсуждение сразу пойдёт конструктивнее, и читателям будет проще понять, за что идёт борьба в каждом конкретном комментарии. Как же я скучаю по дискуссиям, в которых люди до потока аргументов не забывают сообщить, что же конкретно они пытаются доказать!..

Полезно научиться отвечать, например, на следующие вопросы:

- в каких формах можно проверять, что узник не знает, казнят ли его на следующий день? (чтобы проверить, что приговор исполнен точно)
   -- он пишет об этом на бумажке вечером каждого дня?
   -- пишет в день оглашения приговора?
   -- или утром сообщает пришедшим за ним стражникам, что их приход его не удивил?

- А как определяется день казни?
   -- судья его пишет на бумажке в день оглашения приговора?
   -- начальник тюрьмы решает этот вопрос вечером каждого дня, пообщавшись с узником? (чтобы случайно не нарушить приговор)

Какие вопросы вы ещё считаете важными для этой задачи?

2) Качать задачу можно, например, следующим образом:
- Что изменится, если у узника будет не неделя, а два дня? (т.е. его пообещали казнить в воскресенье или понедельник)
- А если у него будет всего один день? (т.е. ему сказали, что его казнят завтра в воскресенье, но для него это будет полной неожиданностью)
- Что изменится, если узнику не гарантировали, что его заведомо казнят на этой неделе?

Может быть полезно рассмотреть вариант без жёсткого порядка дней недели, например:
- есть семь камер, одна из которых с сюрпризом (в ней потолок в полдень прижимается к полу),
- узник каждый вечер должен выбрать новую камеру из этих семи, чтобы провести в ней весь следующий день.
(здесь возможны варианты с разными вероятностями срабатывания механизма «сюрприза»).

Какие ещё небольшие изменения этой задачи вам кажутся осмысленными? (т.е. открывающими новые грани, которые полезно рассмотреть)

Кстати, если вы любите не только подумать об интересной задачке, но и изучить её качественный разбор, а потом ещё и узнать о её пользе для народного хозяйства, то приглашаю вас прочитать следующие две статьи Константина Кнопа на «Элементах»:
1) Испытание для трубадура,
2) Меченые шарики.

Я настоятельно не рекомендую читать подсказки и решения этих задач, пока вы сами не придёте к пониманию, как надо их решать. Но вот прочитать последнюю часть «Послесловие» вполне можно и до самостоятельного решения задач. Там весьма познавательно!

Хороших выходных!

11 комментариев:

  1. Хм... если проверять, что узник не знает, казнят ли его на следующий день, в любой из предложенных форм, то это будет не та задача, которую я воспринимал как парадокс неожиданной казни.

    Ведь в таком случае узник попросту играет в лотерею. Ему совершенно необязательно иметь какие-либо логические основания, чтобы написать на бумажке свой прогноз. Задача, таким образом, превращается в задачу из области теории игр.

    А я полагал, что сама суть задачи в том, что у узника должны быть (или не должно быть) строго логические рассуждения, из которых однозначно следует, что казнь состоится на следующий день. И проверять, в таком случае, нужно именно наличие таких рассуждений, а не формальный ответ узника, устный или письменный.

    И если рассматривать ее именно так, то ответ вырисовывается банальный: условия задачи логически несовместимы друг с другом. Не может быть такого, чтобы судья изрекает истину и только истину, утверждая, что узника казнят в течение недели и что он не в состоянии будет определить точный день казни.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Ну да, я к этому и клоню: некоторые способы понять условие задачи неинтересны, а некоторые вовсе бессмысленны.

      Конечно, задавая эти вопросы я не хотел перечислить все возможные варианты. Цель была проще - предложить некоторые, чтобы разбудить фантазию. Ещё я старался предложить что-то абсурдное, чтобы подписчики в ответ тоже придумали свои абсурдные варианты (нам надо "забраковать" как можно больше заведомой ерунды).

      Мне кажется, эта задачка - прекрасный тренировочный полигон, на котором можно многому полезному научиться. В частности, предложенная банальная идея "покачать" условие почти сразу помогает решить обе предложенные задачки из статей Константина Кнопа.

      Другими словами, мне кажется неправильным подход "я понял условие Парадокса узника так-то, поэтому моё решение такое-то, а другой пользы из задачи извлечь нельзя". Пользы может быть много. Например:

      - научиться осознавать, что именно поняли другие люди, прочитав это условие,

      - выяснить какие из возможных пониманий этого нечёткого условия полезно рассмотреть и почему,

      - поучиться слушать других людей, чтобы по их решениям догадаться, какую именно задачу они решили разобрать

      и так далее.

      Удалить
    2. Нет-нет, я ни в коем случае не хочу сказать, что другой пользы из задачи извлечь нельзя, а предложенные варианты излишни. Я, в данном случае, говорил не из метапозиции, а из своей частной позиции. Для меня-то как раз и оказалось полезным осознать, какие бывают способы понять задачу и каким образом понимаю ее я. Спасибо вам за удачную формулировку.

      Удалить
  2. Илья, я могу ошибаться, но, похоже, что публика не разделяет ваше мнение
    «Сама по себе эта задача очень интересна, поэтому мы постараемся погрузиться в неё основательно». Никто не хочет погружаться основательно в неё, и мне кажется, что причина такого состояния дел довольно проста: погрузиться основательно в нечто очень мелкое довольно трудно.

    Возможно, я беру на себя непосильную задачу, но попробую убедить и вас в этом. Я начну с очень хорошей идеи, которую вы предложили. А именно: предельно упростить задачу с полным сохранением сути парадокса. Внесём очень маленькое изменение в постановку задачи: сократим период времени, в течение которого должны казнить осуждённого, с одной недели до одного дня. Другими словами мы рассматриваем следующую задачу. Судья, который всегда и во всём говорить только правду, объявляет осужденному: Вас казнят завтра, но вы узнаете о дне своей казни не раньше завтрашнего утра.

    Я утверждаю, что этот, предельно упрощенный вариант задачи полностью сохранил суть парадокса. Действительно, всё дальше идет точно так же, как и в оригинальном варианте:

    Осужденный вернулся в камеру в сопровождении адвоката. Как только их оставили вдвоем, защитник удовлетворенно ухмыльнулся.

    — Неужели не понятно? — воскликнул он.— Ведь приговор судьи нельзя привести в исполнение!

    — Как? Ничего не понимаю,— пробормотал узник.

    — Сейчас объясню. Очевидно, что завтра тебя не могут повесить, потому что ты уже знаешь наверняка, что тебя повесят завтра, т.е. о дне казни тебе стало известно до официального уведомления об этом завтра утром, следовательно, приказ судьи был бы нарушен.

    — Верно! — воскликнул заключенный, воспрянув духом.

    Как вы понимаете, как только заключённый осознал, что казнить его не смогут, он полностью расслабился. Поэтому для него было совершенно неожиданно, когда утром следующего дня к нему в камеру зашли солдаты, чтобы отвести его на казнь. Приговор судьи был исполнен идеально точно: в предшествующий день заключённый не знал о том, что следующим утром его казнят
    .

    Продолжение следует …

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Я полностью согласен с Sophist–том, когда он заявляет: «ответ вырисовывается банальный: условия задачи логически несовместимы друг с другом». Но это заключение требует пояснения. Чтобы окончательно и бесповоротно понять правоту вывода Sophist-а, надо сделать ещё один шаг на пути упрощения.

      Представьте себе, что судья, который всегда и во всём говорит правду, объявляет осуждённому: Вас казнят завтра, но вас не казнят завтра. В такой постановке задачи, вы тут же, легко, и без всяких колебаний придёте к заключению, к которому пришёл Sophist: условия задачи логически несовместимы друг с другом .

      Теперь остаётся лишь осознать, что с точки зрения формальной математической логики, следующие два утверждения, логически эквивалентны:

      (1) Вас казнят завтра, но вы узнаете о дне своей казни не раньше завтрашнего утра;
      (2) Вас казнят завтра, но вас не казнят завтра.

      Если ваш мозг всё ещё находится в ступоре и продолжает буксовать, я могу сказать следующее. Вспомните, что мозг – это материальный объект и ведет себя так, как и положено вести себя материальному объекту в соответствующих условиях.

      Мозг это слишком сложный объект, поэтому я хочу проиллюстрировать эту мысль о буксующем мозге на реальном примере, т.е. показать, что этот вывод относится не только к мозгу, но и к гораздо более простым и прозаическим вещам.

      Недавно машина моей супруги отказалась заводиться, и она попросила меня разобраться с непослушной машиной. Имейте в виду, пожалуйста, что я ничего не выдумываю – я рассказываю всё, как было на самом деле. Я покрутил ключом несколько раз – машина не заводится. Потом я обратил внимание, что ручка коробки передач заперта. Я позвонил жене и спросил, зачем она заперла коробку передач. Она сказала, что ничего подобного она не делала. Затем я запер запертую коробку передач (есть специальный штырёк для этого) и затем отпер её обратно. После этого стало возможно свободно перемещать ручку коробки передач. Я поставил ручку в положение «парковка» и попытался снова завести машину. Она фыркнула, но не завелась. Потеряв надежду, что удастся завести машину, я вылез из нее с решением, потом разобраться, и нажал кнопку «ремута», чтобы запереть двери машины. И тут она завизжала и начала вести себя совершенно невероятным образом: я вижу по прыгающим то вверх, то вниз штырькам, что двери то запираются, то отпираются. Я лихорадочно нажимаю различные кнопки «ремута» на разные лады – никакого результата. Машина продолжала визжать с отпиранием-запиранием дверей, пока я не догадался, наконец, отпереть дверцу с стороны водительского кресла с помощью ключа, открыть капот, и отключить батарею простым размыканием.

      Удалить
    2. Вопрос о полезности и осмысленности любой задачи всегда может вызвать споры - это нормально. Извлекать ли пользу из процесса обдумывания задачи - это личное дело каждого. Конечно, я согласен, что при прочих равных проще извлечь много пользы там, где её изначально много. Но я не согласен, что особенности данной задачки препятствуют развитию мозга. Бывают и более эффективные способы развиваться, но и этот вполне хороший, я думаю. К счастью, никого не заставляют отложить эти другие способы, чтобы заняться данным Парадоксом заключённого :)

      Удалить
  3. Говорят: факты – упрямая вещь. Факты сами по себе бессильны, если нет логики, способной защитить эти факты. Действительно, мы все хорошо знаем, что умелый софист может вывернуть любой факт наизнанку при нашем попустительстве. Сейчас я скажу нечто, но убедительно прошу тех, у кого, возможно, есть еврейские этнические корни, не спешить с эмоциональной реакцией, но задуматься. У меня нет ни малейшего желания, или намерения оскорбить, унизить или упрекнуть евреев. Тем более что, если следовать еврейскому методу определения этноса по материнской линии, мои дети стопроцентные евреи.

    На одном форуме некий Самвел Саруханян заявил: Евреи евреи евреи, у пятой колонны нет конкретной этнической окраски, а вы такими обобщениями людей к фашизму толкаете. Хотя его обвинение было адресовано не мне, я счёл возможным возразить ему таким образом, из которого явно следует, что я с ним не согласен:

    Дорогой Самвел, что является для вас критерием «конкретной этнической окраски»? Я согласился бы полностью с вами, если бы вы сказали, что, мол, даже 99% евреев в составе пятой колонны само по себе не является «конкретной этнической окраской» … если (и это «если» - очень важное «если») … если бы процент евреев среди населения России составлял 99%. Но если учесть, что процент евреев составляет всего лишь 2-3%, то вывод напрашивается совсем другой. Здесь мы имеем дело с простой логикой, дорогой Самвел, и ничего больше. Перефразируя известную поговорку: ничего этнического – только бизнес.

    Я прекрасно понимаю, что этот форум носит несколько иной характер, и что, мол, политика – грязное дело, и мы просто не хотим этим заниматься. Заниматься каждый может, чем хочет, конечно, но избежать думать об очень важных вещах, о которых не хочется думать, по моему глубокому убеждению, не удастся никому в ближайшие несколько лет.

    Дай Бог, что я ошибаюсь в своём прогнозе.

    ОтветитьУдалить
  4. Илья, если Вас интересует, о чём думают люди, глядя на условие задачи, зайдите сюда: http://grihanm.livejournal.com/410671.html Имхо, обсуждение результатов опроса получилось интересное. Причём тут задача честная и не ставит в тупик, связанный с отсутствием телепатии.

    ОтветитьУдалить
  5. Детская задачка в журнале Смурфики:

    “Мы решили устроить праздник, и мне поручили зажечь фонарики. Одной спичкой я зажигаю четыре фонарика, но один непременно гаснет. Можешь сосчитать, сколько спичек мне придется потратить, чтобы зажечь 24 фонарика?”

    Можно решить не думая. А если подумать, то будет несколько верных решений.
    Жду красиво разбора данной задачи в данном блоге.

    Если что, то моя почта на gmail. (Думать полезно)

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Спасибо, эту задачку мы начали сегодня. Надеюсь, будет интересно.

      Удалить

Понравилась заметка? Подпишитесь на RSS-feed или email-рассылку.

Хотите поделиться ссылкой с другими? Добавьте в закладки:



Есть вопросы или предложения? Пишите письма на адрес mytribune АТ yandex.ru.

С уважением,
      Илья Весенний