28 июн. 2012 г.

Самый большой стол

Добрый день.

В прошлой задачке-игре про сто мудрецов в шляпе мы уже хорошо продвинулись (есть очень содержательные комментарии), поэтому можем переходить к следующей:

У начальника Дяди Васи есть квадратный кабинет размером 3х3 метра с дверью метровой ширины, расположенной посередине одной из стен. Для повышения своей солидности Дядя Вася хочет поставить себе в комнату стол, причем, чем больше площадь этого стола, тем солиднее Дядя Вася выглядит в глазах своих подчиненных.

Вопрос: стол какой максимальной площади можно занести в кабинет Дяди Васи?

Задача двумерная (стол на ребро ставить нельзя). Стенки кабинета считаются сколь угодно тонкими и недеформируемыми, любой стол, подходящий Дяде Васе, считается неразборным и недеформируемым. Дяде Васе не необходима возможность входа в кабинет (можно запереть вход столом, лишь бы это был самый большой стол).


(Интересно, что источник предлагает хитрое, но неправильное решение, в чём честно сознаётся в комментариях. Будьте осторожны, переходя по этой ссылке, так как там есть хорошая идея, до которой гораздо приятнее дойти самостоятельно)

Ну а если вы соскучились по теории вероятностей, то есть две темы:
- Заметка про вероятностное чутьё + ответы к ней,
- Парадокс двух конвертов и стратегия Ковера (реализация эксперимента, к которой может быть немало вполне обоснованной критики, но обсуждение прочитать невредно).
А продолжение ранее начатой беседы о финансовых стратегиях пока в работе, скоро будет.

Да, и ещё: завтра (в пятницу, 29 июня 2012 в 20.00 Москвы) состоится очередной (и последний в этом сезоне) турнир по игре «Банальности» (подробнее). Не пропустите интересную игру! Вы можете попробовать сыграть с роботами на сайте, чтобы почувствовать, в чём смысл.

По поводу самого большого стола: легко предложить решение с площадью 3, несложно доказать, что площадь 9 недостижима. А до какой степени вам удалось сблизить эти границы?

Хорошего дня!

51 комментарий:

  1. Сразу навскидку посчиталось 3,57 кв. метра

    ОтветитьУдалить
  2. И сразу же расширил до 4,78 кв. метра))

    ОтветитьУдалить
  3. Четырёхметровый, кажется, точно можно. Стол в форме буквы Г, разве нет? Да и пять метров в принципе реально затащить (стол в форме С?) Я прав?

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Анонимный29.06.2012, 21:02

      Если вырезать из бумаги и попробовать затащить, то станет ясно, что г-образный стол не войдет, потому что у него самое узкое из широких мест sqrt(2), что больше размера двери. И буква С поэтому же не войдёт. А вот если там сделать скругления, то можно затащить 3+pi/2 ~= 4.57

      Удалить
    2. Анонимный02.07.2012, 12:37

      Боюсь что буква С не войдет даже со скруглениями, чисто топологически.
      2+pi/4 от площади такого стола еще можно внести, а дальше теряется свобода маневра столом внутри помещения.

      Удалить
    3. Если сбоку к решению 2+pi/4 приделать ещё один квадратик, то легко получится 3+pi/4 (только заталкивать стол в комнату надо коротким концом). Так что, рассуждение про потерю свободы движения тут не очень точное.

      Удалить
    4. Анонимный02.07.2012, 14:03

      Это было пояснение предыдущему анониму относительно С-образного стола 3+pi/2. Такая "вогнутая" фигура застрянет. В возможности затащить Г-образный стол я не сомневаюсь.

      Удалить
  4. Анонимный29.06.2012, 22:40

    Не указана высота комнаты, соответственно, не очень получается вычислить диагональ входной двери =(

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Анонимный30.06.2012, 6:05

      "...Задача двумерная (стол на ребро ставить нельзя)..."

      Поэтому диагональ не надо вычислять, она равна ширине двери.

      Удалить
    2. Верно, задача плоская, поэтому диагональ двери равна её ширине.

      Удалить
  5. Я додумалась только до стола площадью около 3,785. (L-тетрамино со скруглённым углом)

    Кстати, то, что площадь стола по ссылке стремится к шести квадратам для меня сомнительно. Имхо, в любом из приближений она остаётся равной трём квадратам. (Основание каждого из п-ма равно единице, а сумма высот всех п-мов -- три)

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Анонимный01.07.2012, 8:48

      Ага, по ссылке плохо прикрытый обман, а не решение :-)

      Удалить
    2. Ну да, я потому и написал, что автор предложил неверное решение, но тут же сам сознался в этом.

      Удалить
    3. В бесконечности в общем-то может получиться совсем не то, то в любом из приближений (вспомните "вазу с чмслами"), но в столь тонких материях я не очень-то разбираюсь. :)

      Удалить
    4. О какой вазе идёт речь? Я пока не могу вспомнить задачу, подходящую под описание "ваза с числами".

      Удалить
    5. Это у Гарднера было. Примерно следующее:

      Первоначально ваза на столе пустая. За минуту до полудня положим в неё числа 1, 2 и 3. За 1/2 минуты до полудня вытащим число 1 и добавим числа 4, 5 и 6. За 1/3 минуты до полудня вытащим число 2 и добавим числа 7, 8 и 9. И так далее: за 1/Н минуты до полудня будем вытаскивать число Н-1 и добавлять числа 3Н-2, 3Н-1 и 3Н. Сколько чисел окажется в вазе в полдень?

      Удалить
    6. Точно! Спасибо, что напомнили!

      Удалить
    7. Анонимный05.07.2012, 9:46

      А в чем фокус с вазой? Ответ 0 что-ли по Вашему?

      На самом деле если из бесконечности отнять бесконечность одинаковой мощности, то правильный ответ "неизвестно" или "неопределено".

      Можно построить "доказательство" с любым ответом. Можно например "доказать" что в вазе будет ровно пять чисел.

      Удалить
    8. Попробуйте. Хотелось бы увидеть Ваше доказательство, что чисел останется ровно пять.

      Удалить
    9. Анонимный06.07.2012, 8:28

      Бесконечность плюс пять равно бесконечность, следовательно бесконечность минус бесконечность равно строго пять.

      Я же сказал "доказать", а не доказать, почувствуйте разницу. Зачем Вам упражнения в софистике?

      Для затравки:
      http://www.factroom.ru/facts/16370

      Подробное объяснение содержится здесь:
      http://dunaevv1.narod.ru/other/infinity.htm

      Ключевая фраза всех рассуждений по последней ссылке:
      Поэтому математики и считают противоречивые объекты несуществующими.

      Удалить
    10. Уважаемый аноним, со стороны выглядит, как будто Вы сначала обвинили user_ ami в том, что она считает правильным ответом 0, а потом объяснили, почему эта её позиция неправильна. Знайте меру, будьте конструктивны!

      Вы справедливо напомнили, что бесконечность - это не такое простое понятие, как считают нянечки в некоторых детских садах (кстати, мы про это тоже не так давно говорили в заметке Бесконечность - не число). Но это соображение - вовсе не повод неконструктивно наезжать.

      Удалить
    11. Анонимный09.07.2012, 6:42

      Изначально я просто хотел узнать ответ по Гарднеру или кому там и не более.

      Уважаемый user_ ami сам продолжил тему, задав вопрос, на который был дан ответ. Ни на кого я не наезжаю, извините если что не так.

      Удалить
    12. Спасибо за пояснения. Мне в какой-то момент показалось, что тут девушку обижают, поэтому, возможно, я погорячился сильнее, чем следовало.

      Но Ваши слова «Бесконечность плюс пять равно бесконечность, следовательно бесконечность минус бесконечность равно строго пять.» меня очень смутили. Вы обращаетесь с бесконечностью, как будто это число, с которым можно делать что угодно, хотя следом пишете, что понимаете недопустимость таких вычислений.

      Удалить
    13. Анонимный09.07.2012, 14:44

      Но я же сразу предупредил, что это будет доказательство в кавычках, а не доказательство в нормальном смысле этого слова.

      Я просто хочу сказать, что любое доказательство о том чему будет равно бесконечность минус бесконечность (равномощные бесконечности) является софистикой, словоблудием, доказательством в кавычках. Это чтобы никто не заблуждался.

      Меня интересует чему там Гарднер удивился.

      Удалить
    14. А если такая постановка вопроса:
      "Найти минимальное число n, которое останется в вазе в полдень." ?

      Удалить
    15. Анонимный10.07.2012, 7:04

      Ответ: неизвестно.

      Удалить
    16. Анонимный10.07.2012, 7:09

      PS
      Это все равно что спрашивать:
      "Найти минимальное число n, прибавляя к которому 1 получим бесконечность."

      Удалить
    17. Ну почему же.
      Я бы ответил, что такого n не существует. Поскольку для любого натурального n существует момент времени строго меньше полудня, когда это число убирается из вазы.

      Разве не так?

      Удалить
    18. P.S. "Это все равно, что спрашивать..."
      В каком-то смысле, да, всё равно. Правда, бесконечность - это не число, его в результате сложения получить не возможно, но тем не менее. :)
      В обоих случаях ответ "такого числа не существует".

      Удалить
    19. Анонимный10.07.2012, 7:25

      PSPS
      Или спрашивать:
      "Чему равен тангенс прямого угла". Вас же не удивляет наверно тот факт что тангенс прямого угла не существует.

      Удалить
    20. Т.е. Вы согласны с тем, что такого числа не существует?

      Удалить
    21. Анонимный10.07.2012, 7:34

      Не пойму в чем по Вашему разница между "такого n не существует" и "такое n неизвестно". Я бы ещё добавил "значение функции в точке полдень не определено" и "значение функции в точке полдень не задано".

      Во всех этих фразах общий смысл: никто не сможет назвать конкретное число в точке полдень.

      Удалить
    22. Ну, скажем, неизвестно доказательство совпадения или несовпадения классов P и NP. Но это не значит, что такого доказательства не существует.
      Одно из двух, вполне вероятно, существует, просто нам пока неизвестно.

      "Не существует" - более жёсткая позиция, чем "неизвестно".
      Если принять за истину то, что такого n не существует, разве из этого не следует, что в полдень в вазе будет именно 0 чисел?

      Удалить
    23. Анонимный10.07.2012, 8:18

      Из того что тангенс прямого угла не существует (в слабом смысле, неизвестен или неопределен), вовсе не следует то что мы обязаны доопределить функцию тангенс на всей числовой прямой значением 0 в точках пи-пополам. Мы можем её доопределить как нам заблагорассудится исходя из наших личных предпочтений, которые продиктованы удобством дальнейшего использования с целью решения конкретных прикладных задач. Для одних прикладных задач мы создаем функцию ТангенсМ1 (модернизированный-1), доопределяя функцию нулем в точках пи-пополам, для решения прикладных задач другого плана мы создаем другую функцию ТагенсМ2, доопределяя функцию условным значением Бесконечность в точках пи-пополам и т.д.

      Вернемся к нашим баранам. Поскольку для любого натурального n существует момент времени строго меньше полудня, когда в вазу добавляется число, гораздо большее чем n и которое к этому моменту времени еще не убрано из вазы, то можно говорить о том что ваза не пустая. Таким образом Ваше сильное утверждение о не существовании несправедливо.

      До этого везде "не существует" и "неизвестно" я употреблял в слабом смысле "не определено".

      Удалить
    24. >Вернемся к нашим баранам. Поскольку для любого натурального n существует
      >момент времени строго меньше полудня, когда в вазу добавляется число,
      >гораздо большее чем n и которое к этому моменту времени еще не убрано из
      >вазы, то можно говорить о том что ваза не пустая. Таким образом Ваше
      >сильное утверждение о не существовании несправедливо.

      Насколько я понимаю, правильно будет лишь утверждать, что "ваза не пустая в любой момент времени, строго меньший полудня". Ваше "поскольку", если я не ошибаюсь, можно переформулировать как "для любого натурального числа существует момент строго меньший полудня, когда это число помещается в вазу". Даже более того, каждое число находится в вазе в течении какого-то ненулевого промежутка времени. Но как из этого следует несправедливость вышеупомянутого утверждения?

      P.S. Попробую сформулировать менее сильный тезис. Если считать, что значение функции "количество чисел в вазе" в момент "полдень" неопределено, то верно ли, что доопределить эту функцию в этот момент можно лишь нулем (без нарушения исходных условий о добавлении/извлечении чисел)?

      Удалить
    25. Анонимный10.07.2012, 11:58

      ---Насколько я понимаю, правильно будет лишь утверждать, что "ваза не пустая в любой момент времени, строго меньший полудня".

      Да, но Ваше аналогичное утверждение тоже относилось к ситуации строго меньше полудня:

      "Поскольку для любого натурального n существует момент времени строго меньше полудня, когда это число убирается из вазы."

      Т.е. и мое и Ваше утверждение в одинаковой степени притянуты за уши к ситуации вокруг вазы, а поскольку они оба противоречат друг другу, следовательно они оба врут в одинаковой степени. Отсюда и следует единственный верный ответ: Не определено.

      ---Если считать, что значение функции "количество чисел в вазе" в момент "полдень" неопределено, то верно ли, что доопределить эту функцию в этот момент можно лишь нулем.

      Нет, ведь я как раз таки на примере тангенса и говорил, что доопределять можно как угодно, лишь бы была польза, но при этом иметь ввиду что выполнено такое допущение.

      Функцию факториала тоже доопределили в действительнозначной, отрицательнозначной и комплекснозначной области, исходя из неких соображений, но при этом надо четко понимать, чем руководствовались и для чего это надо. Если надо было бы для чегото другого, то можно было бы доопределить по другому.

      Удалить
    26. Анонимный22.07.2012, 8:52

      Я так и не понял, в курсе ли дискутирующие, что правильный ответ - ноль. (В противном случае - к чему эта дискуссия?). При корректной формулировке задачи будет существовать предел последовательности для множеств шаров, содержащихся в вазе на н-том шаге. Мощность этого множества будет равна нулю.

      Удалить
    27. Я утверждаю, что для любого положительного вещественного число E стол площадью max{1,6 – E} можно занести в комнату.
      Идея решения аналогично приведенной в моем LJ, однако нужно рассмотреть стол с двумя свободными параметрами, которыми можно управлять величиной предела (идея чем-то напоминает «Сапог Шварца»). Доказательство достаточно длинное и требует немало картинок, однако я его тщательно проверил и уверен в его верности (хотя и не привожу его ).

      Удалить
    28. Да, я прочитал этот Ваш комментарий у Вас в ЖЖ :)

      Удалить
  6. Вроде получилось затащить стол площадью 4.323794 квадратных метра.

    https://docs.google.com/open?id=0B4-_ODwhstSyY1JnVThqUlhzSE0

    Дверь сверху (так удобнее рисовать из программы). Граница состоит из 9 отрезков, 2 дуг окружности и алгебраической кривой (ее порядок определить пока затрудняюсь).

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Круто! Но, пологаю, Вы чувствуете, что можно больше :)

      Удалить
    2. Это очевидно. Но я сначала хочу убедиться, что правильно посчитал площадь этой фигуры.

      Удалить
    3. Все, нашел ошибку. Правильная площадь - 3.960825.

      Удалить
  7. Дмитрий К.10.07.2012, 19:28

    Вопрос по условию. А как расположен кабинет? Посреди прямого коридора? Или на углу двух коридоров?

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Вокруг кабинета на десятки метров простирается холл, поэтому стол вокруг кабинета может вращаться как душе угодно.

      Удалить
  8. Интересный вариант нащупал. Если считать площадь стола не строго-математически, а из соображений "здравого смысла"*, то стол в виде синусоидальной полосы шириной 1 с достаточно мелким периодом - будет сколь угодно приближаться к 6 квадратам.

    Опять же, подчиненные будут колоться об острые углы стола, что также влияет на чувство солидности Начальника Василия Петровича...

    * "здравый смысл" подсказывает, например, что эффективная площадь решетчатого стола и сплошного стола одинаковых линейных размеров - одинакова.

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Георгий11.07.2012, 18:14

      Хех, гугл-аккаунт без создания своего профиля на блогспот не работает, что ли?

      Удалить
    2. Идея интересная!
      А с гугл-аккаунтами вполне может быть такой эффект :(

      Удалить
  9. У меня получилась площадь 4,2
    http://cs307111.vk.me/v307111886/804c/9MRmvKvSoBc.jpg

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Спасибо за интересное решение!

      Удалить

Понравилась заметка? Подпишитесь на RSS-feed или email-рассылку.

Хотите поделиться ссылкой с другими? Добавьте в закладки:



Есть вопросы или предложения? Пишите письма на адрес mytribune АТ yandex.ru.

С уважением,
      Илья Весенний