29 сент. 2010 г.

Куб покрыт квадратами

Добрый день!

Три кубаС разностью кубов простых чисел вам не потребовалось пространственное воображение. Холодная голова, формулы сокращённого умножения и логика позволили почти мгновенно одолеть эту задачку (решение в комментариях). Фактически, это получилось ещё проще, чем в задачке на хоть какое-то представление трёхмерного объекта (про мышонка, поедающего сыр ради науки). Но сегодня всё изменится. Нынешняя задачка будет чуть сложнее и вынудит многих не просто напрягать своё воображение, но даже взять в руки карандаш и бумагу :)

Итак, наша сегодняшняя цель - покрытие поверхности куба шестью квадратами. Легко представить тривиальный вариант такого покрытия - шесть одинаковых квадратов ложатся на шесть граней куба, полностью закрывая его поверхность (без перекрытий, конечно). И это вполне нормальное покрытие. Но есть ли другие?

Вопрос в следующем: можно ли полностью покрыть поверхность единичного куба шестью квадратами с суммарной площадью равной шести так, чтобы не все эти квадраты имели одинаковый размер? Если да, то как? Если нет, то почему?

Хорошего дня и интересных решений!

12 комментариев:

  1. Можно, сейчас нарисую ответ.

    ОтветитьУдалить
  2. Анонимный29.09.2010, 9:20

    Как это можно?!
    Я уже почти доказывал, что это нельзя сделать из-за точек перегиба на ребрах :-)

    ОтветитьУдалить
  3. Вот.
    2 квадрата с площадью 2 и 4 с площадью 1/2.

    ОтветитьУдалить
  4. 2 квадрата с площадью 1+2s и 4 с площадью 1-s.
    1/2 >= s >= 0

    ОтветитьУдалить
  5. Можно ли положить на единичный куб квадрат со стороной больше 1? То есть квадрат, больший грани куба? По-моему -- нельзя.
    Если я прав, то решение очевидно: если все 6 квадратов меньше или равны 1, то в сумме они равны 6 только когда все по 1, то есть тривиальное покрытие единственно.

    ОтветитьУдалить
  6. Посмотрел решение. Надо было подумать подольше.

    ОтветитьУдалить
  7. Анонимный29.09.2010, 14:43

    Надо уточнить в условии что квадраты допускается сгибать. Тогда можно: 2 квадрата площадью 2 и 4 квадрата площадью 1/2.

    ОтветитьУдалить
  8. LisandreL, спасибо за публикацию изображения с решением!

    eyeless-watcher, было бы интересно узнать Ваше решение.

    vzay, спасибо за Ваш комментарий. Надеюсь, он многих удержит от преждевременного изучения картинки с решением.

    Уважаемый аноним, из того факта, что количество граней куба равно количеству квадратов, которыми осуществляется покрытие, это следует. Разве не так?

    ОтветитьУдалить
  9. Да тоже самое, только внутренние маленькие квадратики можно же вертеть вокруг центра :)

    ОтветитьУдалить
  10. Хотя нет, нельзя. Да, только первое и остается.

    ОтветитьУдалить
  11. Ну вот. Только решил, как оказалось, что и рассказывать никому ничего не надо, все всё уже знают. :)

    ОтветитьУдалить
  12. Антон, подозреваю, что Вы тоже понимаете, что главная ценность именно в процессе решения, а не в демонстрации факта решения :)

    eyeless-watcher, теперь понимаю, что подразумевалось.

    ОтветитьУдалить

Понравилась заметка? Подпишитесь на RSS-feed или email-рассылку.

Хотите поделиться ссылкой с другими? Добавьте в закладки:



Есть вопросы или предложения? Пишите письма на адрес mytribune АТ yandex.ru.

С уважением,
      Илья Весенний