26 сент. 2010 г.

Куб простого числа

Несколько дней назад мы решали простую задачку о мышонке, которого кормили кубиками сыра в невесомости. Кстати, саму задачу мгновенно разобрали по косточкам в комментариях (изящные соображения предложили несколько человек :)

Простые числаА сегодня будет алгебраическая задачка. И опять о кубах, как договаривались.

Итак, британские учёные решили найти все тройки простых чисел, одно из которых является разностью кубов двух других. Для этого они зарядили суперкомпьютер на перебор и проверку всех троек простых чисел (ага, «зачем думать, если есть компьютер?»).

А вопрос у задачи простой: перечислите все такие тройки простых чисел (и докажите, что других нет). Естественно, предполагается решение без использования суперкомпьютера :)

Хорошего окончания выходных и удачного начала недели!

15 комментариев:

  1. Все простые числа, кроме 2, нечетны. Их кубы тоже. Соответственно, p^3 = q^3 - r^3 может быть только если r = 2 или p = 2. Допустим, r = 2.

    Тогда p^3 = q^3 - 8, следовательно:
    (q - p)(q^2 + qp + p^2) = 8

    Есть 4 варианта:

    1) q - p = 1; q^2 + qp + p^2 = 8
    Быть не может, т.к. q и p должны быть нечетны.

    2) q - p = 2; q^2 + qp + p^2 = 4
    (q - p)^2 = 4 = q^2 - 2qp + p^2
    Не сходится.

    3) q - p = 4; q^2 + qp + p^2 = 2
    Быть не может, т.к. p и q больше 2.

    4) q - p = 8; q^2 + qp + p^2 = 1
    Тем более быть не может.

    ОтветитьУдалить
  2. Забыл ответ) Таких троек простых чисел нет.

    ОтветитьУдалить
  3. Анонимный26.09.2010, 17:40

    Shooshpanchick, Вам сказать номер строчки с ошибкой? ;-)

    ОтветитьУдалить
  4. Анонимный26.09.2010, 17:52

    Shooshpanchick, еще вы видимо неправильно прочитали условие:
    "найти все тройки простых чисел, одно из которых является разностью кубов двух других"
    то есть, нужно найти p, q, r - такие, что p^3 - q^3 = r (а не r^3 как вы считаете)

    ОтветитьУдалить
  5. Ответ 2 3 19.
    Решение
    p=q^3-r^3=(q-r)(q^2+qr+r^2).
    q^2+qr+r^2>=3 -> q-r=1 и q^2+qr+r^2=p
    Из простоты следует что q=3 r=2 -> p=19.

    ОтветитьУдалить
  6. Я рассуждал так:
    x^3-y^3=z
    Ясно, что тут одно из чисел должно быть чётным, единственное такое простое - 2.

    z не может быть 2, т.к. разница кубов любых нечётных чисел, даже соседних, больше(вариант с чётным простым, т.е. y=2, рассмотрел отдельно - не подходит).

    x не может быть 2, т.к. y тогда должно быть меньше двойки.
    Значит, x^3-8=z
    Раскладываем:
    (x-2)(x^2+2x+4)=z
    Из простоты числа z следует либо первый, либо второй множитель = 1.
    В первом случае x=3, z=19
    Во втором x^2+2x+3=0 - не имеет действительных решений.
    Итого 3^3-2^3=19.

    ОтветитьУдалить
  7. Вспомнилось число Рамануджана-Харди - если кому-то будет это интересно.
    http://ru.wikipedia.org/wiki/1729_(число)

    ОтветитьУдалить
  8. z = x^3 - y^3

    Из этого следует, что
    1. x, y, z не могут одновременно быть нечётными; значит одно из них равно 2;
    2. x < y, значит x <> 2

    Разложим разность кубов на множители
    x^3 - y^3 = (x-y)(x^2 + xy + y^2)
    Так как это произведение должно равняться простому числу, то x-y=1 (вторая скобка не может быть =1, т.к. все числа x^2, xy, y^2 положительны и >1).
    Т.к. x^2 + xy + y^2 > 3, то z <> 2.
    Значит, это возможно только если
    y = 2
    x = 3

    Тогда z=27-8=19 — простое число.

    Получаем (3, 2, 19) — единственная подходящая тройка простых чисел.

    ОтветитьУдалить
  9. Нельзя смотреть в комментарии до того, как сам не попробовал решить... Хотя, в общем-то, задача не сложная и суперкомпьютер тут уж точно не нужен :)

    Словосочетание "британские ученые" скоро станет именем нарицательным :)

    ОтветитьУдалить
  10. monkegoist, в данной задаче "британские учёные" присутствуют именно по той причине, что уже стали именем нарицательным.

    ОтветитьУдалить
  11. - Не смотря в комментари: -

    1) Все простые числа, кроме 2, нечёиные.
    x^3-y^3=z
    (x-y)*(x^2+x*y+y^2)=z
    Так как z-простое, то либо
    x-y=z, x^2+x*y+y^2=1 - очевидно, что второе равенство невыполнимо.
    либо:
    x-y=1, x^2+x*y+y^2=z
    Значит x=y+1, значит они разной чётности. А единственное чётное простое число - это двойка.
    Т.е. x или y равно 2. (*)
    Если y=2, то получаем решение: x=3, y=2, z=19.
    Если x=2, то получаем решение: x=2, y=1, z=7, но так как современная наука 1 не считает простым числом, то это решение не соответствует условию задачи.
    Других решений (без 2) быть не может согласно *.

    Ответ: x=3, y=2, z=19.

    ОтветитьУдалить
  12. darth-sauber, спасибо за ссылку :)

    ОтветитьУдалить
  13. Анонимный27.09.2010, 9:01

    Shooshpanchick, то, что p^3 = q^3 - r^3 не имеет решений можно доказать просто ссылкой на великую теорему ферма :)

    ОтветитьУдалить
  14. Забавная задача, особенно после предыдущей. Инерция мышления заставляет сразу задуматься о четности, тем более что так тоже можно решить. Но если не торопиться, легко увидеть, что напрашивающаяся формула разности кубов дает однозначный ответ: произведение двух целых чисел (напоминаю с = (a-b)*(...) ) может быть простым, только если один из сомножителей равен единице. сумма натуральных чисел всегда больше единицы, значит, остается a-b=1. Таких простых чисел всего одна пара: 3-2=1 (хотя бы потому, что для больших простых чисел между ними будет минимум одно четное). Ответ: 19=3^3-2^3. Со всеми оговорками доказательство получилось не короче, чем с четностью, и на нечетность простых чисел больше двух все равно пришлось сослаться. Но, субъективно, подход от a-b=1 кажется менее "переборным", если так можно сказать.

    ОтветитьУдалить
  15. Анонимный27.09.2010, 21:10

    а^3-b^3=c, где а, в, с принадлежат натуральному ряду чисел.

    а^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)
    Т.к. это произведение должно быть равным простому числу, то один из множителей равен 1. Рассмотрим:
    1) а-в=1, тогда а=3, в=2 (других простых чисел, идущих друг за другом нет, ряд четных и нечетных чисел). следовательно, с=19.
    2) a^2+ab+b^2=1 - это уравнение не имеет решения среди ряда натуральных чисел.
    Итак, решение единственное у данной задачи - 2,3,19.

    ОтветитьУдалить

Понравилась заметка? Подпишитесь на RSS-feed или email-рассылку.

Хотите поделиться ссылкой с другими? Добавьте в закладки:



Есть вопросы или предложения? Пишите письма на адрес mytribune АТ yandex.ru.

С уважением,
      Илья Весенний