Транзитивность

Добрый день.

В недавней заметке о разборчивой невесте мы рассматривали группу кандидатов, между которыми есть транзитивное отношение. Записывали мы это так: если А лучше Б, а Б лучше В, то А заведомо лучше В для произвольных A, Б и В. При выполнении этого условия для любой тройки кандидатов можно говорить, что отношение «лучше» является транзитивным.

Например, отношение «тяжелее» тоже является транзитивным: если А тяжелее Б, который тяжелее В, то А тяжелее В. С числами тоже всё легко: если a>b и b>c, то a>c. Легко показать, что свойства параллельности прямых или делимости чисел являются транзитивными.

А отношение дружбы уже может не быть транзитивным: иногда бывает так, что одному и тому же человеку рады в двух воинствующих компаниях. Отношение «коллега» тоже не обязано быть транзитивным: если А и Б работают в одной организации, а Б и В тоже работают в одной организации, то это не значит, что А и В коллеги, так как Б может успевать работать в двух разных местах. Отношение любви вообще не является транзитивным: если А любит Б, а Б любит В, то, скорее всего, А испытывает к В неприязнь.

Итак, мы знаем, что не все отношения являются транзитивными, но иногда попадаем в ловушку собственной интуиции. В комментариях к прошлой задачке о трёх шестигранных костях звучала идея о том, что если первый кубик выигрывает чаще второго, а второй - чаще третьего, то первый должен выигрывать чаще третьего. В это хочется поверить, но легко убедиться в том, что это всего лишь иллюзия.

Но сначала давайте поймём, как вообще можно считать вероятность того, что одна кость выиграет другую. Предлагаю доверить это дело компьютеру (кстати, это неплохая задачка для освоения его возможностей): запускаем любой табличный процессор и записываем в него строчку и столбец из 6 чисел - значения на гранях первого и второго кубиков, соответственно. В образовавшееся поле 6 на 6 клеток поставим статусы «победил»/«проиграл» (я ставил 1 и 0, чтобы было проще считать). Для этого я записал формулу в верхнюю левую ячейку таблицы, которая для каждой из 36 ячеек сравнивает самое левое число (с грани одного кубика) с самым верхним (с грани второго кубика) - моя формула видна в верхнем правом углу изображений. А потом просто «растянул» эту ячейку на оставшиеся 35 клеток, чтобы получить результаты для всех возможных состояний.

Что мы получили? Сейчас поймём! Один кубик может выпасть шестью разными способами. Второй - тоже шестью способами. Поскольку кубики друг на друга не влияют, то есть 36 разных равновероятных вариантов состояний пары кубиков после броска. Вот мы и рассмотрели все эти 36 вариантов. Остаётся просуммировать единички в таблице, чтобы увидеть, что кубик, значения граней которого расположены вертикально, побеждает в 21 случае из 36. Это значит, что с вероятностью примерно 58% кость (2 3 4 15 16 17) окажется сильнее кости (1 8 10 11 13 14).

Научившись точно определять вероятность победы одного кубика, мы можем рассмотреть разные наборы из трёх кубиков. Например, в комментариях был предложен набор, в котором первый кубик сильнее второго, второй - сильнее третьего, а третий - сильнее первого. Другими словами, какой бы кубик ни оказался у нашего соперника, мы всегда можем выбрать из оставшихся двух такой, который будет чаще побеждать. Прекрасная аналогия на эту тему - игра «камень-ножницы-бумага». В ней нет самого сильного хода, так как каждый вариант проигрывает одному, но выигрывает другого.

Мне кажется, самое сложное в этой задачке - сопротивление интуиции. Не так сложно найти набор из трёх кубиков, для которых отношение «сильнее» не является транзитивным (как мы убедились выше, легко реализовать перебор на компьютере). Сложнее догадаться, что такой набор костей существует :)

Другими словами, побеждает тот, кто размещает числа на кубиках, а не тот, кто выбирает любой из трёх кубиков, как многим кажется. Напишите, пожалуйста, с какими случаями иллюзии транзитивности вы сталкивались. Бывают не только математические задачки, но и вполне жизненные ситуации - интересны и те, и другие.

Хорошей вам недели!