12 янв. 2011 г.

Сопоставление размеров

Добрый день!

В последнем абзаце этой заметки будет маленькая геометрическая задачка, но сначала хотелось бы вспомнить моменты, когда воображаемый размер сущности меняется очень существенно.

Если посмотреть честно на окружающий мир, то окажется, что мы (человечество) о нём очень мало знаем. Да, мы можем неплохо предсказывать, что именно произойдёт, но не можем быть абсолютно уверенными в этих прогнозах. По любому поводу мы имеем теорию, которую пока не смогли опровергнуть. Но мы не знаем, удастся ли когда-нибудь построить или найти пример, не укладывающийся в ставшую привычной модель (что уже много раз бывало). Биологи и химики, физики и астрономы - все они получили от предшественников определённый набор убеждений, на которых базируется их дальнейшая исследовательская деятельность. И это хорошо, так как без базы они не смогли бы двигаться дальше в понимании устройства мира. Но мы не знаем, когда в каждой из этих наук произойдёт очередная революция, которая существенно изменит все представления.

Например, мы привыкли считать, что ничто не может двигаться быстрее скорости света. Скорее всего, каждый из нас это проверить или даже толком понять не может, но такая убеждённость есть внутри, верно? Для меня это долгое время было фактором, существенно ограничивающим размер интересной части вселенной. Конечно, забавно бывает подумать о том, что где-нибудь ещё может быть планета, на которой сможет зародиться жизнь, интересно поразмышлять о внеземных цивилизациях. Но я понимал, что на расстоянии сотни световых лет таких планет почти наверняка нет, а нормальной внеземной цивилизации вылетать к нашей планете более ста лет назад как-то странно (не были мы достаточно развитыми, чтобы с кем-либо общаться). Другими словами, если к нам что-то может прилететь, то
1) оно летело мимо случайно (на мой взгляд, неинтересный и совсем маловероятный сценарий),
2) оно было очень развитым уже давно и вылетело к нам заранее (обнаружив перспективную планету с неразвитой жизнью?),
3) оно умеет перемещаться со скоростью, большей скорости света.

Честно говоря, долгое время я не видел третьей возможности, потому что публикации о «переднем крае науки спереди» так поражали, что критичность куда-то уходила. Здесь сработала масса эффектов, но речь не о них. Просто я хорошо помню, как считал, что мы живём в огромной вселенной, полной всякого интересного, но у нас руки коротки вырваться из нашего маленького шарика (радиусом всего несколько световых лет). А потом появилась надежда, что это всего лишь наше слабое понимание устройства мира не позволяет нам надеяться на взаимодействие с такими же запертыми в маленьких шариках, но находящимися далеко от нас. Если так, то размер нашего крошечного мирка может радикально вырасти.

Другой случай переосмысления размеров был у меня после освоения курсов всяких дискретных наук (полгода назад мы уже погружались в мир машин Тьюринга). Идея состоит в следующем: если человечество достаточно башковито, то оно сможет выжить (или хотя бы прожить ещё несколько тысячелетий). При этом, скорее всего, оно продолжит развивать компьютерные технологии, постепенно достигая невероятной вычислительной мощи. Что можно сделать с этими вычислительными ресурсами? Например, можно попробовать запустить на них симуляции других миров... И помогать им не уничтожить себя (чтобы было интересно за ними наблюдать). Видели же фильмы «Матрица», «Тринадцатый этаж» и так далее? Фантасты уже давно об этом думают, поэтому, как только суперкомпьютеры нужной мощности будут созданы, мы на них что-то такое запустим.

А теперь возникает следующий логичный вопрос:
Вот мы живём тут себе спокойненько, как было сказано выше, в крошечном шарике с радиусом всего несколько световых лет, ничего не подозреваем... А вдруг мы вовсе не верхняя цивилизация в цепочке симуляций? Какие у нас есть основания рассчитывать на то, что выше нас нет таких же (или совсем других) людей, которые тоже круто развили свои компьютеры и тоже смогли не уничтожить себя? Вообще говоря, можно даже представить сценарий, в котором наш мир считается на чьём-то смартфоне в фоновом режиме...

И такой взгляд опять невероятно меняет размер интересной части мира. Владелец компьютера, реализующего наш мир, может у нас что угодно менять (а он в нашей симуляции запросто может двигать предметы со скоростью выше скорости света и творить прочие нереальные вещи). А может никак себя не выдавать, что мы даже никогда не догадаемся о его существовании. И оба сценария интересны для исследователя :)

А теперь обещанная (классическая) задачка о сопоставлении размеров:
Представьте себе треугольник, все высоты которого меньше единицы. Может ли у такого треугольника площадь быть больше 100? А больше 1000000?

Хорошего дня!

30 комментариев:

  1. Если Вы смотрели фильм "Звонок" (римейк японского ужастика) и он Вам не понравился, то рекомендую почитать цикл романов, по первой книге которого был снят японский "звонок". Книги называются "Кольцо", "Спираль" и "Петля" (звонок — это неправильный перевод названия "The Ring").

    Там в конце развязка оказывается именно такой: наш мир считался на кластере в японии, а девочка из колодца была "вирусом".

    ОтветитьУдалить
  2. Может, если он тупоугольный, тогда высота будет не внутри треугольника.

    ОтветитьУдалить
  3. Родилась идея фантастического рассказа:

    Человечество создало суперкомпьютер и запускает на нем эмуляцию вселенной. И в тот момент когда система выходит на проектную мощность все вокруг начинает рушиться, после чего остается только надпись "stack overflow" на фоне черного неба.

    ОтветитьУдалить
  4. Для начала задачка.
    Площади X будет равнобедренный треугольник с основанием 4*X и высотой 1/2. Нетрудно убедиться, что остальные 2 высоты так же меньше 1.

    « 1) оно летело мимо случайно (на мой взгляд, неинтересный и совсем маловероятный сценарий),
    2) оно было очень развитым уже давно и вылетело к нам заранее (обнаружив перспективную планету с неразвитой жизнью?),
    3) оно умеет перемещаться со скоростью, большей скорости света. »

    Третий вариант вполне вероятно сводится ко второму. В том смысле, что цивилизация путешествующая со сверхсветовой скоростью вполне возможно не сочтёт нашу цивилизацию развитой.
    Один из возможных сценариев такой встречи: http://lib.rus.ec/b/162122/read

    ОтветитьУдалить
  5. Анонимный12.01.2011, 9:55

    Ага, мы идем по этому пути. Сейчас как раз стало модно у буржуев развивать технологии "lifelike experience".

    ОтветитьУдалить
  6. Анонимный12.01.2011, 10:41

    Есть пара рассказов у Максима Шапиро на эту тему
    http://zhurnal.lib.ru/editors/s/shapiro_m_a/insider.shtml
    http://zhurnal.lib.ru/s/shapiro_m_a/pravilorub.shtml

    ОтветитьУдалить
  7. Спасибо за ссылки на рассказы по теме.

    ОтветитьУдалить
  8. Анонимный12.01.2011, 12:28

    > Площади X будет равнобедренный треугольник с основанием 4*X и высотой 1/2. Нетрудно убедиться, что остальные 2 высоты так же меньше 1.

    Не вижу, почему в этой ситуации две остальные высоты должны быть также меньше 1. Если длина высоты, падающей на основание, фиксирована (1/2), то длина других двух высот равнобедренного треугольника зависит от длины основания (4*X).

    ОтветитьУдалить
  9. Анонимный12.01.2011, 12:38

    Лично мне кажется, что такие безумные и невероятные компьютерные мощи, если человечество в срок, не превыщающий того, что нужен для разработки таких суперкомпьютеров, не поменяет свои взгляды на жизнь, будут использоваться исключительно для нанесения вреда "тем, кто не с нами". Ну и самим себе, по мере сил и возможности.
    У самого когда-то были идеи для рассказов. В одной неведомый щуплый человечек в очках - Архитектор - складывает пирамиду жизни планеты Земля, поскольку он над ней поставлен Планировщиком. Но видя, как люди гробят себя и природу, всячески надувают, он начинает слабеть, в конце концов чахнет от осознания того, что идеальное общество (символом которого будет завершенная пирамида) на этой планете не будет построено, а значит, его задача не будет выполнена, и умирает.
    Вторая - сюжет развивается в мире, где персональные компьтеры настолько захватили умы владеющих ими людей, что теперь даже глобальные войны перенесены в виртуальную реальность. Дело в относительно близком будущем происходит, так что нет никаких приставок симуляции виртуальной реальности в промышленных масштабах, люди просто днями сидят за компьютером. В принципе, все бы ничего, да только они позабыли про себя и про окружаюший мир - все, что требует ухода, остается без него, природа где-то забирается в города, где-то гибнет от невнимательности человека; кто-то сошел с ума и начал обожествлять компьютер, видя в нем решение всех проблем, а про то, чтобы хоть бы книжку прочитать, оторвавшись от гпнотического мерцания монитора, а не то что отойти от него и заняться другими делами, речь уже давно не идет.
    Графоманство, конечно, чистой воды на модную нынче (пост)апокалиптическую тематику, но все же...

    ОтветитьУдалить
  10. Анонимный12.01.2011, 12:42

    > Представьте себе треугольник, все высоты которого меньше единицы. Может ли у такого треугольника площадь быть больше 100? А больше 1000000?

    Мы говорим о треугольнике не плоскости? Если нет, то можно себе представить очень-очень странное искривленное пространство, в котором при всех высотах меньше единицы, площадь треугольника будет какой угодно.

    Например можно взять тругольник на плоскости и "продавить" или "вытянуть" в направлении, перпендикулярном плоскости треугольника, те области внутри треугольника, которые не лежат на сторонах или высотах. При этом площадь поверхности, ограниченной треугольником будет какой угодно.

    ОтветитьУдалить
  11. > Другими словами, если к нам что-то может прилететь, то <...>

    Есть еще одна возможность: для инопланетян время воспринимается по-другому. Если среднестатистический инопланетянин живет десять тысяч лет, а почесать нос у него занимает год, то сто лет лететь до Земли и не будет каким-то подвигом. Могут просто из любопытства прилетать.

    ОтветитьУдалить
  12. Анонимный12.01.2011, 14:16

    > Не вижу, почему в этой ситуации две остальные высоты должны быть также меньше 1. Если длина высоты, падающей на основание, фиксирована (1/2), то длина других двух высот равнобедренного треугольника зависит от длины основания (4*X).

    Зависит. Но всё равно меньше. При увеличении x коэффициент подобия треугольников и, соответственно, отношение остальных высот к падающей на основание высоте монотонно возрастает и стремится к 2. То есть остальные 2 высоты всегда меньше 1.

    Движение быстрее скорости света может быть возможно и согласно нашим текущим представлениям о мире, если верны некоторые относительно экзотические гипотезы (отрицательная материя, червоточины и т.д.). Даже если это не так, это никак не помешает летать между звёздами: люди через 100-200 лет перестанут умирать от естественных причин. Что тебе путешествие в тысячи-миллионы лет, если впереди ещё сотни триллионов? Это, конечно, если вообще ещё будут существовать люди в смысле отдельных сознаний.

    Опять же, для развитых цивилизаций мы не являемся разумными существами (не более, чем для нас черви или муравьи), а мы их не можем отличить от явлений природы. Когда энтомолог наносит краску на муравьёв на одной из их дорог, чтобы отслеживать перемещения, муравьи скоро привыкают и начинают на этой дороге останавливаться и ждать. Это просто дорога такая. Здесь красят. Явление природы.

    ОтветитьУдалить
  13. Cyril, да, если он долго живёт, то ему не трудно вылететь заранее. Вопрос в другом: 100 лет назад мы были ещё менее интересными для общения, чем сейчас. То есть получается, что 50 лет сигнал шёл от нас, чтобы они его увидели, а потом 50 лет они летели к нам со скоростью света, чтобы прилететь сейчас? А что такого интересного мы представляли 100 лет назад, чтобы к нам было интересно лететь? Мы и сейчас не очень приятны :)

    Уважаемый аноним, понятно, что почти бессмертные люди могут летать между звёздами. Но вот как сообщить обратно на Землю о том, куда они прилетели? То есть, сообщить, конечно, можно, на за такое огромное время на Земле всё поменяется. Это уже будет совсем другое человечество.

    ОтветитьУдалить
  14. а вы учитываете относительность времени? ведь если сильно приближаться к скорости света время замедляется..чем не решение проблемы?

    ОтветитьУдалить
  15. pestsov, о том и речь.
    С точки зрения путешественника всё хорошо - он сохраняется молодым. А вот в центре управления полётами сменится множество поколений, пока путешественник доберётся до цели. За время такого полёта человечество может как уничтожить себя случайно, так и существенно развиться. У путешественника может не остаться повода говорить с той цивилизацией, потому что он будет "морально устаревшим".

    ОтветитьУдалить
  16. > Не вижу, почему в этой ситуации две остальные высоты должны быть также меньше 1.
    Боковая сторона равна sqrt((2*x)^2+0.5^2), где sqrt - квадратный корень, ^2 - в квадрате.
    Значит площадь равна 1/2*h*sqrt((2*x)^2+0.5^2), но она равна x.
    1/2*h*sqrt((2*x)^2+0.5^2)=x
    h=2*x/sqrt((2*x)^2+0.5^2)
    Ну а так как
    (2*x)^2<(2*x)^2+0.5^2, то для положительных x
    2*x<sqrt((2*x)^2+0.5^2)
    2*x/sqrt((2*x)^2+0.5^2)<1, т.е.
    h<1.

    ОтветитьУдалить
  17. Кстати, по теме инопланетян актуален будут рассказ Стругацких "О странствующих и путешествующих"

    ОтветитьУдалить
  18. Рассмотрим равнобедренный треугольник со сторонами длины a, высотой h и основанием b. При этом рассмотрим случай, где h/b весьма мало.
    Площадь равна высоте на основание, т.е. S=0.5*h*b
    Другие две высоты по этой же формуле будут h2=2*S/a = h*(b/a)
    При h/b стремящемся к нулю b/a будет стремиться к 2, так что h2 будет чуть меньше 2*h.

    Посему рассмотрим треугольник с b=10^7 и h=0.4.
    S=0.5*0.4*10^7=2*10^6 - больше 1000000
    a = sqrt(h^2 + (b/2)^2) примерно равно (5*10^6 + 1.6*10^-8)
    Вторая высота h2=2*S/a = 0.79999...

    ОтветитьУдалить
  19. Берем равносторонний треугольник со стороной 1, основание вдоль оси абсцисс.
    Затем "верхнюю вершину" тянем горизонтально в сторону на любое расстояние :)

    ОтветитьУдалить
  20. Имхо, доказывать проще всего геометрически, вписав тупоугольный треугольник в прямоугольник с высотой 1 и шириной "очень много" так, чтобы одна вершина треугольника была на середине длинной стороны прямоугольника, остальные две вершины треугольника в противоположных вершинах прямоугольника.
    Если ширину прямоугольника взять за Х, тогда площадь треугольника будет равна 1*1*Х-(1/2)*1*1*Х-(1/2)*1*1*(Х/2)=Х/4.
    Две высоты будут равны 1 и одна при больших Х будет примерно равна 1/2.

    ОтветитьУдалить
  21. doctor-notes, я не понимаю Вашу идею. Если тянуть вершину, не принадлежащую основанию, вдоль оси абсцисс (т.е. параллельно основанию), то площадь треугольника никак не изменится.

    ОтветитьУдалить
  22. Camill, если я правильно понимаю ваше построение, то утверждение
    Две высоты будут равны 1 и одна при больших Х будет примерно равна 1/2.
    неверно. Одна высота, которая будет совпадать с высотой прямоугольника и будет равна 1, две другие будут стремиться к 2.
    Площадь опять же будет X/2.

    ОтветитьУдалить
  23. взять равнобедренный треугольник, у которого высота от вершины к основанию 0.5
    а основание стремится к бесконечности.
    тогда две оставшиеся высоты меньше единицы.
    а площадь какую угодно можно получить.

    ОтветитьУдалить
  24. Анонимный14.01.2011, 8:36

    В принципе можно представить себе параллельное существование миров общение между которыми абсолютно исключено, даже если скорость света была бы бесконечной.

    Я вспоминаю лекцию А Н Колмогорова, которую он прочел в летней математической школе в 1973 нам, будущим школьникам ФМШ 18, где он утверждал, что никакие знакомые нам законы природы не исключают принцииальной возможности, что вся видимая вселенная есть ничто иное, как дым от сигары какого-то невообразимо гигантского бизнесмена.

    Теперь представьте себе изменения, которые успели бы произойти в мире нашего масштаба за время, в течение которого наш космический бизнесмен успел бы только моргнуть. Пожалуй тысячи цивилизаций успели бы возникнуть и исчеснуть навсегда, и если информация о том что происходило мгновенно достигала мозга бизнесмена, этот мозг не смог бы даже осознать, что информация вообще поступила.

    Артур Бараов

    ОтветитьУдалить
  25. Анонимный16.01.2011, 0:29

    Представьте себе треугольник, все высоты которого меньше единицы. Может ли у такого треугольника площадь быть больше 100? А больше 1000000?

    Ivan предложил безусловно правильное математическое решение, которое однако требует некоторой затраты умственного труда.

    А вот почти 'бесплатное' логическое решение этой проблемы, вероятность правильности которого приближается к единице. Да, может: в противном случае Илья не задал бы эти вопросы в том контексте, в котором они были заданы.

    Что дает мне основание заявить, что вероятность правильности этого, основанного на здравом смысле, решения очень близка к единице? Две вещи. Вопрос был задан (a) довольно компетентным и добросовестным математиком (b) в таком контексте, который практически полностью исключает вероятность подвоха или шутки.

    Это решение основано на классическом Лапласовском понимании вероятности как меры веры во что-то (degree of belief), и никак не связанной с многократным повторением какого-то физического эксперимента. Не зря Лаплас говорил: теория вероятности - это ничто иное как математическое исчисление здравого смысла (theory of probability is nothing but common sense reduced to calculation). Подобной мысли придерживался также Edwin Jaynes, кто впервые осознал, что теория вероятности - ничто иное как общая теория логики умозаключений. Обычная математическая логика (т. е. Булева алгебра двоичных умозаключений) - это просто-напрсто предельный случай общей теории, когда вероятность любого утверждения равна либо 0 либо 1.

    Интересно отметить, что русское слово 'вероятность' имеет своим корнем именно понятие 'верить', а не 'пробовать' или 'попытка' как в английском слове probability, probe - испытывать. Если бы мы захотели называть физическое понимание вероятности как основанной на многократном повторении какого-то физического эксперимента, мы пожалуй могли бы использовать слово 'попыткоятность', или более благозвучное 'пробность'. А англоязычники могли бы с таким же успехом отразить факт существования двух различных понятий, используя различные термины для различных понятий: probability и credibility.

    Артур Бараов

    ОтветитьУдалить
  26. Анонимный08.02.2011, 15:16

    Передача информации со сверхсветовой скоростью? Да легко. Берется твердый предмет (палка) длиной Х световых лет. Некто берет эту палку за один конец и легким движением руки ударяет другим ее концом по энному предмету. Расстояние любое, скорость - доли секунды. Это, конечно, баян и абстракция, но кто его знает - все гениальное просто.

    ОтветитьУдалить
  27. Анонимный18.02.2011, 14:57

    Насчет манипуляций с нашим миром: есть такой фильм 13 этаж - вышел почти одновременно с Матрицей - но тем не менее почти не хуже нее.

    ОтветитьУдалить
  28. Уважаемый аноним, в тексте данной заметке этот фильм упомянут. Да и ранее мы к нему обращались :)

    ОтветитьУдалить
  29. «Некто берет эту палку за один конец и легким движением руки ударяет другим ее концом по энному предмету.»
    Палка состоит из атомов, которые связаны между собой химически, а это, по сути, электромагнитное взаимодействие, значит, его скорость ограничена скоростью света. Следовательно, палка сдвинется не мгновенно, а по ней будет распространяться волна смещения атомов, скорость которой ни при каких обстоятельствах не превысит скорость света (а в реальности будет даже меньше скорости света).

    На текущий момент в физике известно лишь о нелокальном (читайте мгновенном) «взаимодействии» квантово запутанных частиц, но это «взаимодействие» не возможно использовать для передачи информации по фундаментальным физическим причинам:
    http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D1%8F_%D1%82%D0%B5%D0%BB%D0%B5%D0%BF%D0%BE%D1%80%D1%82%D0%B0%D1%86%D0%B8%D1%8F

    Как верно заметил аноним, дать возможность двигаться и передавать информацию быстрее света могут такие экзотические объекты как отрицательная материя, червоточины и т.п., но пока что их существование не обнаружено и находится под вопросом.

    ОтветитьУдалить

Понравилась заметка? Подпишитесь на RSS-feed или email-рассылку.

Хотите поделиться ссылкой с другими? Добавьте в закладки:



Есть вопросы или предложения? Пишите письма на адрес mytribune АТ yandex.ru.

С уважением,
      Илья Весенний