Овалы и эллипсы

Добрый день.

А давайте попробуем написать краткие сочинения для нынешних выпускников на тему «Почему стоит выбрать изучение такой-то науки?» Вдруг кто-то сейчас как раз колышется с выбором, в какой вуз или на какой факультет податься, а мы ему ещё сильнее карты спутаем... Ниже предлагаю свою версию про всякую математику и геометрию (ранее была и другая запись на близкую тему — «Зачем изучать математику?») Приглашаю вас поделиться своим вариантом!

Итак, долгое время я считал, что «овал» — это жаргонное название эллипса. Потом начались уроки черчения, на которых нас учили рисовать в том числе и овалы (как четвёрку дуг: две одного радиуса и две — другого). Уже тогда было понятно, что эллипс циркулем и линейкой не нарисовать, поэтому по данному свойству овал казался куда удобнее, хоть и нелепее. А затем и вовсе началась эпоха интернета, поэтому узнать о том, что такое овал может каждый, но уже не каждому это понравится или даже захочется сделать.

Чем же хорошо нам всем знакомый эллипс драматически отличается от множества других хорошо знакомых фигур? Оказывается, мы не можем выразить длину дуги произвольного эллипса в элементарных функциях. Вот для частных случаев ещё справиться можем: например, если эллипс является окружностью, то всё хорошо — длина дуги выражается как удвоенное произведения радиуса и числа Пи. А вот с произвольным эллипсом, задаваемым парой радиусов a и b, такое уже не пройдёт.

Кстати, легко понять, что для частного случая овала с уроков черчения никаких проблем нет: раз он состоит из дуг окружностей, то про него мы всё знаем.

Но всё равно сложно избавиться от ощущения, что что-то здесь не так. Как может простой эллипс, легко получаемый растяжением окружности, вызывать какие-то проблемы, если с самой окружностью всё достаточно легко? Чтобы понять это, давайте сравним периметры и площади у следующих фигур:



Казалось бы, если мы знаем площадь круга радиуса a, то знаем и площадь эллипса эллипса с радиусами a и b (достаточно домножить площадь круга на b/a, чтобы получить искомое значение). Этот же трюк прекрасно работает на квадратах, что совершенно правильно и естественно. В чём же проблема с периметром? Может показаться, что всё должно быть совершенно аналогично. Но мысленный эксперимент с растяжением квадрата эту теорию легко ломает... Иногда полезно попредставлять такие штуки, чтобы лучше чувствовать, чем отличается длина от площади.

К сожалению, описанную выше проблему с невозможностью выразить длину дуги эллипса нередко формулируют неверно (что-то вроде «на дворе 21 век, а математики так и не смогли найти формулу эллипса» или даже грубее; иногда, видимо, желая упростить, журналисты позволяют себе говорить, что число Пи равно трём, поэтому фраза про математиков, которые «до сих пор не могут одолеть эллипс» не слишком раздражает). Как вы понимаете, эллипс человечество знает очень давно и исследовало весьма плотно. Дело не в том, что математики чего-то не смогли, а в том, что это принципиально невозможно.

Казалось бы, обычная сплющенная окружность, а уже вылезают дивные эффекты! Если вас завораживает эта мысль и вы как раз заканчиваете школу, то хорошо подумать о поступлении на математический факультет определённо стоит. Ведь гораздо интереснее учиться тому, что вам нравится (см. об этом ещё тут).

А если вы любите всякое красивое и геометрическое, то рекомендую статью с массой внятных анимированных картинок про арбелос.