7 сент. 2011 г.

Это невозможно и бессмысленно!

Бывает, что формулировка вопроса кажется такой странной, что даже думать о решении не хочется. Но ведь именно в таких граничных проявлениях может вылезти что-то интересное. Грубо говоря, нет никакого интереса в решении тысяч, например, квадратных уравнений. Они все почти одинаковые, с этой работой и компьютер справится. А вот если будет хоть какое-то разнообразие, хоть минимальные ловушечки, то и у человека уже будет возможность развернуться (конечно, с примером по ссылке у компьютера не будет никаких проблем, но и не для него подобные задачки сочиняют).

Задачка о трёх детяхНо вернёмся к формулировкам, кажущимся абсурдными. Есть интересный класс задач-диалогов. От решающего требуется не столько знание азов школьной математики, сколько умение осознать, что и в какой момент знает каждый из участников разговора. Поскольку знания эти во время беседы меняются, то и в смысл последующих фраз не так легко сразу вникнуть.

Давайте рассмотрим, например, такую задачку: Задержанный признался, что у него три сына, произведение их возрастов равно 36, а сумма равна числу окон дома, около которого произошло задержание. Милиционер сказал, что для определения возраста детей этого недостаточно. Когда задержанный добавил, что его старший сын рыжий, милиционер определил возрасты детей. Сколько им было лет?

Многие начинают возмущаться тем, что в условии не указано количество окон дома. Кто-то сразу отбрасывает очевидно ненужную информацию о рыжем сыне (при чём тут цвет волос?!), а бывают и люди, в ответ задающие свою задачку о том, что «летели два крокодила, один красный, а другой в Африку...» Но ведь в этой задачке о трёх сыновьях есть смысл!

Думаю, многие уже поняли, с какой стороны подступиться к этой задачке. Если нет, то предлагаю сначала подумать о слегка облегчённой вариации этой же идеи.

Итак, диалог:
- Привет!
- Привет!
- Как дела?
- Хорошо. Растут два сына, но пока ещё в школу не ходят.
- А сколько им лет?
- Произведение их возрастов равно числу голубей около этой скамейки.
- Этой информации мне недостаточно…
- Старший похож на мать.
- Вот теперь я знаю ответ на свой вопрос.


задачка о возрастах двух детейВ нынешнем мире, к сожалению, принято ехидно спрашивать, что же курил автор задачки, когда сочинял такой нелепый диалог. Но если отвлечься от кажущейся абсурдности беседы (вместо прямого ответа на вопрос о возрасте даются какие-то намёки, зачем-то сообщается сходство одного из детей с матерью и так далее), то и тут найдётся математическая составляющая.

Кстати, математика здесь, конечно, не очень сложная. Эта задачка была на олимпиаде для пятиклассников в середине прошлого десятилетия. А первая задачка о трёх детях взята из раздела «Задачи для семиклассников» из приложения к журналу «Квант» №4/2000 (А.В.Спивак, «Математический праздник», часть 2). Другими словами, сама математика очень простая, но важно правильно перевести на математический язык эти текстовые задачки.

А зачем они так абсурдно сформулированы? Чтобы мы учились прорываться через непривычные препятствия. Когда-то ведь идея, например, вычисления квадратного корня из отрицательного числа тоже была дикой. Но надо было преодолеть себя, понять, что это не ерунда и абсурд, а очень даже полезное и естественное действие.

А какие странно звучащие, но при этом очень осмысленные задачки знаете вы?

Хорошего дня!

62 комментария:

  1. Ну, решение и ответы задачи выкладывать не буду, ибо она проста. Но существует, на мой взгляд, 3 варианта ответа. Конечно же, если речь идет о натуральных числах (то есть возраст исчисляется в полных годах), количество окон не указано, а старшинство определяется вплоть до секунд или минут. А если старшинство определяется количеством полных лет, то вариантов ответа 2. Ну а в случае, когда дано и количество окон, то ответ один. Я прав?

    А насчет задачек подобного рода - увы, просто так не вспомню.

    ОтветитьУдалить
  2. во второй задаче есть ограничение возраста 6 годами, так что от первой она все-таки отличается, и там все здорово зависит от количества окон, которое известно обеим сторонам. и вариантов, в зависимости от количества окон может быть несколько: 14 (1,4,9), 16 (12,3,1), 10 (4,3,3).

    ОтветитьУдалить
  3. zidberg, Вы правы, в таких задачах необходимо указывать, что интересен возраст в годах, а один человек считается старше другого, если ему полных лет больше, чем другому.

    Я привёл исходные тексты без этих уточнений, чтобы лишний раз показать наличие сложившихся соглашений при описании задачек.

    ddt, ещё чуть-чуть дожмите задачку.

    ОтветитьУдалить
  4. Анонимный07.09.2011, 10:13

    ответ только один в обоих случаях. то что нам количество окон неизвестно - не так уж важно, главное что оно было известно милиционеру и даже зная его он с первого раза не сумел отгадать возраст детей

    ОтветитьУдалить
  5. Анонимный07.09.2011, 10:49

    Количество окон ведь будет четное всегда?

    ОтветитьУдалить
  6. Анонимный07.09.2011, 10:50

    sashafujin, не могут быть двое детей одного возраста. Ну, если они от одной матери.

    ОтветитьУдалить
  7. Анонимный07.09.2011, 10:56

    получается, что возможных вариантов 3: 16 (1,3,12), 13(1,4,9), 11(2,3,6). Я так понимаю, главная подсказка содержится в комментарии о цвете волос старшего. Вот только никак не могу понять, как интерпретировать эту подсказку?

    ОтветитьУдалить
  8. Анонимный07.09.2011, 10:58

    @sashafujin, почему, а если двойня? Не такая уж и редкость

    ОтветитьУдалить
  9. Анонимный07.09.2011, 10:59

    Я бы предположил, что двое близнецы, поэтому старший по цвету волос от них и отличается. Но натяжка уж очень большая ;)

    ОтветитьУдалить
  10. Анонимный07.09.2011, 11:00

    Поэтому мне симпатичен ответ 3-3-4, но нужна опять же натяжка о четном кол-ве окон ;)

    ОтветитьУдалить
  11. Анонимный07.09.2011, 11:03

    Во второй задаче застопорился на парах 6 (1-6, 2-3) и 12 (2-6, 1-4)

    ОтветитьУдалить
  12. sashafujin, бинго!
    Осталось найти другие варианты с суммой 13 :)

    ОтветитьУдалить
  13. Анонимный07.09.2011, 11:04

    если говорить о четном количестве окон, тогда и 16(12, 3 и 1) тоже сходиться

    ОтветитьУдалить
  14. Анонимный07.09.2011, 11:11

    "Во второй задаче застопорился на парах 6 (1-6, 2-3) и 12 (2-6, 1-4)"

    Если бы это были эти пары, то после уточнения что один из детей старше, собеседнику это не дало никакой новой информации, и он не смог бы ответить на вопрос. Логично предположить что у него было 2 варианта ответа, когда возрасты двух детей равны и когда не равны.

    ОтветитьУдалить
  15. >>> sashafujin, не могут быть двое детей одного возраста. Ну, если они от одной матери.
    вот это новость! :) не поверите, бывает даже 3 и более, причем от 1 матери))

    ОтветитьУдалить
  16. facedancer, нашел, только вариант 13(1,6,6) не подходит т.к. здесь нет старшего.

    ОтветитьУдалить
  17. Анонимный07.09.2011, 11:27

    есть еще один вариант -> 21(18, 2, 1)

    ОтветитьУдалить
  18. Как мне кажется, вариант ответа в обеих задачках единтвенный - в первой задаче детям 2,2 и 9 лет, а во второй 1 и 4.

    ОтветитьУдалить
  19. Думаю в первой задаче смысл слов "старший сын рыжий" состоит только в сообщении нам того факта, что один из детей "старше других". Раз это потребовалось уточнить, значит визуально его старшинство не бросается в глаза = их возрасты близки. Единственная комбинация: 4 года и близняшки 3-х лет.

    ОтветитьУдалить
  20. А чем плохо (36,1,1), если мужчина женился во второй раз?

    ОтветитьУдалить
  21. > Количество окон ведь будет четное всегда?
    Почему же? Бывают дома и с нечётным количеством окон.

    > визуально его старшинство не бросается в глаза = их возрасты близки
    Не факт, что дети присутствуют при разговоре. Возможно, они сейчас в садике.

    Да, варианты с детьми от нескольких матерей имеют право на существование. Но в задачках такого типа есть давно сложившаяся договорённость их не рассматривать, потому что это сильно уменьшает математическую часть задачи (со всеми этими редкими случаями "всё всегда будет возможно", поэтому задачки просто не будет).

    ОтветитьУдалить
  22. Если дети от одной матери, и есть один старший, то 21(18,2,1), 16(12,3,1), 14(9,4,1), 13(9,2,2), 11(6,3,2) и 10(4,3,3).

    ОтветитьУдалить
  23. Собственно надо взять все варианты трех возрастов дающих при умножении 36. Их восемь. Затем сложить возраста всех вариантов и увидеть что только два варианта при сложении дают одинаковую сумму. 1 год, 6 лет, 6 лет дают в сумме 13. 2 года, 2 года 9 лет дают в сумме 13. Тут и пригодилось условие что есть старший сын, первый вариант отпадает. Получается 2 года, 2 года и 9 лет.

    ОтветитьУдалить
  24. marichek, плохо тем, что это единственный вариант с суммой 36+1+1=38. Если милиционер видит, что окон 38, то ответ для него уже был бы известен.

    ОтветитьУдалить
  25. Mike, правильно.

    igorlet, всё правильно, кроме вывода. Милиционер в глаза не видел детей задержанного, всё, чем он располагает — информация о произведении.

    В таких задач решение находится намного быстрее, если искать не подходящий (таких много) вариант, а тот, который не удовлетворяет последнему условию. От него потом и плясать: и количество окон, и правильный ответ.

    ОтветитьУдалить
  26. Анонимный07.09.2011, 12:44

    10(3,3,4), 11(2,3,6), 13(1,6,6), 13(2,2,9), 14(1,4,9), 16(1,3,12), 21(1,2,18), 38(1,1,36)
    *все существенно различные варианты

    Милиционер знает сумму возрастов и произведение, но не может определить сами возраста. Из написанного выше видно, что, зная сумму, всегда можно однозначно определить сами возраста, кроме случая с 13. Учитывая то, что среди сыновей должен быть старший, получаем единственный ответ 13(2,2,9).

    ОтветитьУдалить
    Ответы
    1. Анонимный09.02.2013, 13:11

      я не понимаю, но ведь в других вариантах тоже есть старший сын.
      почему вы решили, что именно 13?? 10 тоже подходит и 16 там есть старший сын.

      Удалить
    2. Дело в том, что для 10 и 16 не выполняются другие условия задачи (а именно, что зная сумму, невозможно однозначно определить сами возраста). Например, если видно 10 окон, то возраста детей сразу известны (3, 3 и 4). И подсказка о том, что есть старший, совершенно не помогает (т.е. без неё уже ответ известен). Аналогично с 16 окнами.

      А вот 13 окон дают два разных способа: 1, 6, 6 или 2, 2, 9. И именно тут (только тут) возникает потребность в дополнительной информации.

      Удалить
  27. Анонимный07.09.2011, 13:18

    Вторую задачку, конечно, решил сразу, первую решать лень, так как методика уже ясна.

    Но вот в чем вопрос. В обеих задачах персонажи имеют больше информации, чем это требуется для правильного решения, в частности - точное число голубей и окон. Поэтому я не удивляюсь, что милиционер тоже легко справился с своей задачей. А вот смог бы он ее решить, имея только набор предлагаемых нам данных?

    Какой-то не жизненный милиционер. Или он уже прошел переаттестацию? :)

    ОтветитьУдалить
  28. Отличные задачки! Помню, пытался в Штатах перевести на английский и задать американцу. Сдался он быстро, хотя возможно, что это меня подвели мои языковые навыки :)

    ОтветитьУдалить
  29. Первую мне давали в школе на кружке по математике. А во второй вроде 1 и 4 получается, если нет детей которые начинают ходить в школу в 9 лет

    ОтветитьУдалить
  30. Не по теме, но смешно.

    Владимир Путин загадывает 3 двухзначных числа: a, b, и c. Дмитрий Медведев должен назвать ему три числа X, Y, Z, после чего Путин сообщить ему сумму aX+bY+cZ. Медведев должен отгадать задуманные числа, иначе его уволят с поста президента. Как ему спастись?

    Картинка, ссылка на первоисточник и неожиданное продолжение истории тут
    http://alexsmail.blogspot.com/2011/09/8.html

    ОтветитьУдалить
  31. Вот ещё одна интересная задачка. Задача Эйнштейна

    ОтветитьУдалить
  32. Первая задачка - 2, 2, 9
    Вторая - 1 и 4.

    ОтветитьУдалить
  33. Анонимный08.09.2011, 11:48

    почему в первой задаче ответ 2, 2, 9 - понятно. Обьясните пожалуйста ход решения второй

    ОтветитьУдалить
  34. Уважаемый аноним, соображения во второй задачке такие:
    1. Пусть x и y - возрасты детей. Из первого условия (дошкольники) следует, что x <= 7 и y <= 7.
    2. Из последнего условия следует, что это разные числа, поэтому можно считать, что x < y.
    3. Из второго условия следует, что x * y = N, причём, зная только N, невозможно установить эти x и y.

    Другими словами, разложение N на простые множители не позволяет сразу установить x и y, а вот следующая порция информации о том, что x < y, позволяет. Следовательно, N является квадратом натурального числа.

    Дальше, думаю, всё ясно. Если остались вопросы, то смело задавайте.

    ОтветитьУдалить
  35. Анонимный08.09.2011, 19:27

    все, спасибо, понял. хорошая задача

    ОтветитьУдалить
  36. Анонимный09.09.2011, 7:26

    Вот ещё одна интересная задачка. Задача Эйнштейна.


    Да не такая уж и интересная, я бы сказал. Брутальный перебор. Задача для компьютера, а не для человека.

    ОтветитьУдалить
  37. Анонимный09.09.2011, 12:53

    > Задача Эйнштейна.
    Вся фишка в том, что решать надо в уме, без бумаги. А заявления типа "Эйнштейн [...] полагал, что 98% жителей Земли не в состоянии ее решить" - идиотизм.

    ОтветитьУдалить
  38. Предположим, нам не говорится количество, но спрашивающий посчитал голубей, и знал чему равно N.

    тогда...

    ОтветитьУдалить
  39. Анонимный10.09.2011, 12:59

    а если голубей 6,
    тогда или 1 и 6 или 2 и 3...

    ОтветитьУдалить
  40. Анонимный10.09.2011, 14:35

    Предположим, голубей 6.

    Тогда бы, на подсказку "старший похож на мать", спрашивающий никак не мог ответить "Вот теперь я знаю ответ". Отсюда следует, что голубей не 6.

    ОтветитьУдалить
  41. Нам нужно найти две такие комбинации возрастов, произведение которых равно 36, сумма одинаковая, и возрасты двух старших сыновей одинаковы.
    Так как задача олимпиадная, она имеет единственный ответ, то есть наличия таких двух комбинаций будет достаточно для решения этой задачи. ;-) (По хорошему, нужно было бы проверить, что нет второй такой пары комбинаций)
    То, что сразу бросилось в глаза, это: (1, 6, 6) и (2, 2, 9).

    ОтветитьУдалить
  42. Анонимный12.09.2011, 4:21

    1 Задача
    9, 2, 2
    Раскладываем 36 на множители:
    1*2*2*3*3=36
    На решение повлияло то, что старший лишь один сын. Значит, милиционер полагал, что старших могло быть два. Это может быть только в одном случае:
    6, 6, 1
    Сумма дает 13. Окон 13
    Если старший один, то комбинация единственна:
    9, 2, 2

    Задача 2
    Опять же, отгадка в том, что возраст их различен
    Изначально наш герой считал, что дети одного возраста. При условии, что они дошкольники, голубей могло быть:
    1*1=1
    2*2=4
    3*3=9
    4*4=16
    5*5=25
    Но, как мы поняли, один старше другого, следовательно
    4*1=4
    4года и 1 год. 4 голубя. Другие варианты не подходят, т.к. дети дошкольники.

    ОтветитьУдалить
  43. Вначале просто бесился на задачи, ибо они давали много различный вариантов ответа. Пока не понял, что условие задачи не одно общее, а два и одно идёт только после того, как найдены варианты для первого. Если рассматривать сразу общее задание, то комбинаций получается много, если по очереди, то только одно. А... в этом и была подсказка Ильи перед задачами: "От решающего требуется не столько знание азов школьной математики, сколько умение осознать, что и в какой момент знает каждый из участников разговора."

    Т.е. ВНАЧАЛЕ один даёт первому информацию о дошкольниках и голубях, и после того как второй её переварил и сказал: "постой, этого недостаточно", то первый понимал, какие уже варианты сложились у второго и только ТЕПЕРЬ он даёт дополнительную информацию проясняющую второму из его вариантов.

    ОтветитьУдалить
  44. Вот только не пойму почему получив информацию о дошкольниках и голубях первый в обязательном порядке должен был решить что они одногодки? По идее у него должна была возникнуть матрица решений от 1*1, 1*2, 1*3... 6*4, 6*5, 6*6. И потом получая информацию что один старше почему он должен был сразу решить, что он до этого должен был подумать об одногодках, что бы именно получение информации о старше/младше позволило выбрать вариант 4*1 (или он же 1*4)? Вот чего я не могу понять. Тоже самое и с первой задачей.

    ОтветитьУдалить
  45. Олег, а он и не считал их одногодками. Он считал, что не знает, одинаковые у них возраста или разные.

    ОтветитьУдалить
  46. Представляю себя на месте первого:
    Я: - Как дела?
    Он: - Хорошо. Растут два сына, дошкольника.
    Я: - А сколько им лет?
    Он: - Произведение их возрастов равно числу голубей около этой скамейки.
    Тут я понимаю следующее:
    а * в = х, при этом 1 < a < 7, 1 < b < 7, а и b - натуральные числа.
    После чего варианты их возрастов могут быть в пределах 1*1, 1*2, 1*3... 6*4, 6*5, 6*6.
    Или, учитывая что a может быть b и b может быть a, т.е. нам не надо определить что именно Пете 5 лет, а Мише 3 года, то тогда вариантов становится меньше. Останутся:
    а) 1*1, 2*2, 3*3, 4*4, 5*5, 6*6 - для одногодок
    б) 1*2, 1*3, 1*4, 1*5, 1*6, 2*3, 2*4, 2*5, 2*6, 3*4, 3*5, 3*6, 4*5, 4*6, 5*6 для разногодок.

    Затем я уточняю:
    Я: - Этой информации мне недостаточно…
    Он: - Старший похож на мать.

    Хорошо, я понял, что они не одногодки. Какую ещё я получил информацию для точного определения пары 4*1?

    ОтветитьУдалить
  47. Олег, они оба видят, сколько голубей сейчас у скамейки. Поэтому, услышав ответ «Произведение их возрастов равно числу голубей около этой скамейки», второй собеседник сразу понимает, что детям или 2 и 2 года, или 1 и 4. О чём он и информирует, говоря, что информации недостаточно.

    ОтветитьУдалить
  48. Всё, нашёл решение (не сам, в нете), и наконец понял в чём логика:

    берем ваш ряд чисел
    1x1=1
    1x2=2
    1x3=3
    1x4=4
    1x5=5
    1x6=6 2x2=4
    2x3=6
    2x4=8
    2x5=10
    2x6=12 3x3=9
    3x4=12
    3x5=15
    3x6=18 4x4=16
    4x5=20
    4x6=24 5x5=25
    5x6=30 6x6=36

    Только варианты 4, 6 и 12 имеют 2 комбинации.
    4: 1*4 и 2*2
    6: 1*6 и 2*3
    12: 2*6 и 3*4

    И я и он видим одних и тех же голубей и отвечая, что они разных годов, он понимает, что этой информации в ОБЯЗАТЕЛЬНОМ порядке должно быть достаточно. Тогда я выбираю 1*4, т.к. 2*2 - одногодки, в противном случае (если бы их было там больше 6 или 12), то я должен был бы задать ещё один уточняющий вопрос.

    Т.е. надо понимать, что второй предоставил вторым ответом абсолютно полную информацию, т.е. больше уточнять этого не надо. Так выходит?

    ОтветитьУдалить
  49. *Подразумевая, что если бы там было не 4, не 6 и не 12 - то я бы не задавал первый уточняющий вопрос.

    ОтветитьУдалить
  50. Олег,
    оба человека видят, что там сидят ровно четыре голубя. Этой информации нет только у решающего задачу (как раз по диалогу нужно догадаться, сколько там голубей, а уже из этого понять, сколько лет внукам).

    ОтветитьУдалить
  51. Если бы голубей было 6, то информация о том, что один из детей старше другого, не помогла бы второму собеседнику определить возраста детей (так как по прежнему оставалось бы два варианта: 6=1*6=2*3). А раз информация помогла, значит остался только один вариант после отбрасывания версии с одинаковыми возрастами детей.

    ОтветитьУдалить
  52. Анонимный08.12.2011, 15:28

    "информация помогла" - в чем, догадаться что 1 и 4, он предположил и попал в точку.Так почему он сказал 1 и 4 был уверен что правильно , а не задал следующий вопрос, а если детям 2 и 3,то он бы ошибся , получается что человек просто угадал. Бредовая задача на самом деле, а может там 0 голубей и ответ 4 и 0. Вообще задача некорректная!

    ОтветитьУдалить
  53. Уважаемый аноним,
    он сказал 1 и 4 и был уверен, что это правильно, потому что своими глазами видел, что голубей четыре.
    Это мы должны по диалогу догадаться, сколько было голубей и какие у детей возраста. А участники диалога прекрасно видели количество голубей.

    ОтветитьУдалить
  54. Анонимный13.12.2011, 9:35

    Дошкольный возраст — период детства, занимающий место между ранним и младшим школьным возрастом — от 3 до 7 лет. Обычно выделяют младший (3 — 4 года), средний (4 — 5 лет) и старший (5 — 7 лет) Д. в.
    Если учесть определение дошкольного возраста - задача не имеет решения. Так как в единственно подходящем ответе 1 и 4 только один дошкольник - 4хлетний.

    ОтветитьУдалить
  55. Анонимный13.12.2011, 9:38

    ЯСЕЛЬНЫЙ ВОЗРАСТ - период развития ребенка от 4 нед. до 3 лет. Условно подразделяется на младший ясельный, или грудной, возраст - от 4 нед. до 1 года (см. Грудной ребенок) и старший ясельный, или преддошкольный, - от 1 года до 3 лет.

    ОтветитьУдалить
  56. Анонимный13.12.2011, 9:40

    в условиях задачи надо ставить не "два сына, дошкольники", а "сыновья не ходят в школу".

    ОтветитьУдалить
  57. Уважаемый аноним, спасибо за уточнение!

    ОтветитьУдалить

Понравилась заметка? Подпишитесь на RSS-feed или email-рассылку.

Хотите поделиться ссылкой с другими? Добавьте в закладки:



Есть вопросы или предложения? Пишите письма на адрес mytribune АТ yandex.ru.

С уважением,
      Илья Весенний