Взвешивания и четырёхмерность

Добрый день в новом добром году!

Все уже привыкли к мысли, что «как раньше» уже не будет? Я не про ковид (кстати, кто уже привился?), а про то, что даже если большинство успешно получит вакцину, то мир прежним-то не станет. И это как-то одновременно интересно и беспокойно получается. Даже не говоря об остальных событиях в мире (включая такие индикаторы, как война с вышками сотовой связи, привычность массового двоемыслия и т.д.).

Поэтому давайте поговорим о хорошем и красивом:

1) А знаете ли вы задачи на взвешивание, которые можно решить (или легко решить) если у нас N+1 монета, но невозможно (или очень сложно) решить, если у нас всего N монет? Я к тому, что обычно при росте количества монет растёт и количество взвешиваний, поэтому в формулировке вида «выясните ... за 3 взвешивания» рост количества монет N вызывает проблемы. А хотелось бы, чтобы в какой-то момент уменьшение N вызвало проблему. Ниже я приведу тривиальный пример, чтобы стало яснее.

А пока всем любителям таких задачек хочу напомнить об интересном расширении одной старинной задачки. Итак, двенадцать лет назад в первом же комментарии к очень простой задачке было сказано: «Решил, но потому, что знал более сложный вариант этой задачи (12 монет и неизвестно, в какую сторону отличается по весу фальшивая)». Тогда мне это вообще не показалось «более сложным вариантом», а показалось совсем другой и очень сложной задачкой (без бумажки её в голове удержать нелегко). Но задачка-то очень хорошая, поэтому вот ссылка для всех желающих посмотреть на её обобщение из Кванта №10 за 1979 — «Как обнаружить фальшивую монету» (заодно тут же ответ на вопрос «Кому вообще эти системы счилений нужны?»)

Но вернёмся к тривиальному примеру. Представьте, что вам надо с помощью весов обнаружить единственную фальшивую монету среди N монет. Если N=1, то рассматривать нечего (есть только фальшивая), но вот если N=2, то никаким взвешиванием этих двух монет мы не выясним, тяжелее фальшивая или легче, а значит не сможем её определтиь. При увеличении же N до 3 проблема решается — за два взвешивания мы надёжно выявляем фальшивую монету. А знаете ли вы менее тривиальный пример? Хотелось бы узнать такие задачи, в которых нам никак не справиться (или очень сложно), если есть всего N монет, но которую можно решить (или очень легко решить), имея N+1 монету.

И не могу не поделиться задачкой, которую мы обсуждали восемь лет назад — Задача о двух милиционерах.

2) Любителям красоты и четырёхмерности рекомендую с третьей минуты посмотреть ролик SIGGRAPH 2020 Technical Paper: n-Dimensional Rigid Body Dynamics. В нём сперва покажут элементарное (взгляд плоского человечка на трёхмерные предметы), а потом уже взаимодействие четырёхмерных объектов глазами трёхмерных нас. По-моему, ролик было бы полезно показать детям.



3) Кстати, если не показывали детям игру-тренажёр Море слов, то обратите на неё внимание! Оно и взрослым может быть интересно (не только в плане профилактики болезни Альцгеймера), а дети тут и память со способностью перебирать потренируют, и словарный запас расширят. Чем-то оно напоминает Mindtrainer, т.к. похоже, что генерирует задачки, а не берёт их из заранее подготовленного списка. Мне такие штуки нравятся. А что вам удачного попадалось?

Хорошего года и удачного начала рабочей недели!

Какая прелестная школа!..

Добрый день!

1) А вы уже читали этот рассказ про дистанционное обучение автора Ллойд Биггл-младший? Он есть на lib.ru. Понятно, что тема это сложная, что надо как минимум различать «экономическую оптимизацию» и нынешнюю «эпидемиологическую вынужденность», а не бездумно их смешивать. Сам текст очень короткий, написан в 1966 году (называется «And Madly Teach»). Приведу цитату, в которой житель Земли рассказывает учительнице с Марса, как всё изменилось на нашей первой планете:

Колонисты относятся к образованию совершенно иначе. Брать с нас пример - все равно что покончить с собой. Иной раз я думаю, что, быть может, мы тут, на Земле, совершаем самоубийство. Это новое обучение дает результаты, которые вам, наверное, неизвестны. Худший из них - то, что дети не получают образования. В учреждениях приходится обучать новых служащих с самых азов. Это сказалось и на правительстве. Чего можно ждать от избирательной кампании, если подавляющее большинство избирателей приучилось усваивать информацию в минимальных дозах и в виде подслащенных пилюль?

2) Также рекомендую недавний разговор с горячо рекомендованной ранее Женей Кац про понимание математики, увлечённость и проблемы ментальной арифметики. В статье обсуждается и вопрос увлечённости родителей, и полезность калькуляторов, и ярлык «гуманитарий», и геометрические задачки (кстати, напоминаю про Euclidea, подходы к решению и эллипсы) и прочие игры с кубиками, нацеленные на здоровое развитие.

3) И спасибо за ваши решение задачки про «кое без дефиса»! Делитесь подобными вопросами, пожалуйста!

Хорошего завершения недели!

Бесконечная последовательность бросков

Добрый день!

В прошлый раз мы рассмотрели, как можно начать перебор в простой задачке. Смысл здесь в следующем: раз к нам быстро не пришла светлая мысль, то давайте поможем ей — рассмотрим несколько возможностей. Нередко это приводит к тому, что мы начинаем «чувствовать» задачку, а от этого уже и до решения рукой подать.

Следующая задачка о бесконечных последовательностях чем-то похожа на эту про один бросок, поэтому есть смысл повторить этот же подход. Каждый из наших математиков применяет функцию, которая принимает бесконечную последовательность бит, а отдаёт натуральное число — индекс в последовательности другого математика. Математикам надо выбрать такие функции, чтобы как можно чаще выигрывать. А наша задача — перебрать хоть какие-то возможные функции, чтобы лучше понять условие задачи.

Разных таких функций может быть очень много, поэтому давайте временно упростим игру — пусть наши математики смотрят только на результат первого броска, а всю остальную последовательность игнорируют. Соответственно, имея на входе только один бит (будем обозначать буквами O и R от слов obverse и reverse), он будет называть число, задаваемое одним битом (мы считаем, что последовательность начинается с 1, поэтому на выходе у функций математиков будет 1 или 2).

Пусть, например, первый математик, увидев результат первого броска «O», всегда называет индекс 1, а увидев «R» — отвечает 2. А второй математик пусть действует наоборот. Ниже приведены две таблицы для всех возможных 16 входных состояний, названные индексы обоих математиков (выделено жирным), а также результаты броска другого математика по названному индексу.



А в нижней таблице приводятся результаты сравнения этих бросков по названным индексам. Как видите, вероятность победы при таких функциях получилась меньше 50% (6/16=37.5%). Уже в этот момент нам должно стать странно, ведь совсем недавно было совершенно очевидно, что при любых договорённостях математики выигрывают с вероятностью 50% (мол, они ничего не знают про последовательности друг друга, поэтому могут называть любые индексы — как раз будут случайно совпадать в половине случаев). А тут вдруг они небольшим усилием смогли выигрывать реже, чем при назывании случайных индексов. Как так?

Полагаю, сейчас стало понятнее, как здесь имеет смысл вести перебор. Если рассматривать больше, чем один первый бросок, то можно добиться более заметных результатов. Скорее всего, такой перебор в Excel вести будет неудобно, но почти любой другой язык программирования сгодится. Пожалуйста, делитесь своими результатами перебора и программами для их получения в комментариях. С какой максимальной вероятностью математики могут побеждать?

Если вы хотите ещё почитать о том, как считать вероятности, то предлагаю вспомнить разбор другой задачки о бросках монетки (вопрос был в том, проще выиграть три раза из четырёх или пять раз из восьми). Там мы сперва перебирали на Javascript, а потом аккуратно всё проверили. Самое ценное в той заметке в комментариях, как обычно.

Хорошего дня!

Организуем перебор

Добрый день!

Здорово, что задачку про угадывание чужой монетки вы одолели так быстро. И интересно, что доказательство единственности в вопросе о трёх числах с известной суммой пока так и не появилось.

Но давайте подумаем, а как вообще решать задачи. Методы есть разные: озарение (самый быстрый и эффектный, но как правило требующий серьёзной подготовки), исследование (долго, нудно, но предполагает победу над куда более сложными проблемами). Конечно, это шутка, ведь в серьёзных исследованиях без озарений тоже практически невозможно. Но сегодня я приглашаю подумать про эту задачку о двух математиках с монетками именно в этих терминах.

Итак, каждый из двух математиков подбрасывает монетку, после чего сообщает свою гипотезу о том, что выпало у другого математика. Если хотя бы один из них прав, то они оба победили.

Если вы ещё не дожали эту задачку, то призываю пару минут подумать, прежде чем читать рассуждения ниже.

Переформулировать исходную задачу в следующий вид можно, проводя мысленные эксперименты (т.е. считая вероятности победы при разных нелепых договорённостях между математиками). Это надо, чтобы «пощупать задачку». И вот после этого этапа достаточно легко сформулировать следующее: математик должен применить функцию, которая преобразует один бит в один бит. Т.е., увидев результат своего броска (орёл или решка), он должен дать предположение о броске второго (назвать орла или решку).

Осталось перечислить функции, которые переводят бит в бит:
1) О -> О, Р -> О (т.е. «всегда орёл»);
2) О -> Р, Р -> Р (т.е. «всегда решка»);
3) О -> О, Р -> Р (т.е. «не менять»);
4) О -> Р, Р -> О (т.е. «менять на противоположный»).
(возможно, в комментариях мы обсудим, какие ещё бывают функции, а также, почему мы их сейчас даже не упоминаем)

Соответственно, задача математиков — договориться, кто из них какую функцию применяет. А решающий эту задачку может прямо сейчас перебрать все 4x4=16 вариантов этих договорённостей. Что именно перебирать? Для всех 16 вариантов договорённостей математиков надо перебрать все 4 возможных результата бросков двух монет (ОО, ОР, РО, РР) — так мы узнаем, при каких правилах и сколько раз они выиграли. Например, в прошлой заметке мы показали, как выигрывать в 75% случаев.

Итого, имеем 16х4=64 варианта — не так много. Более того, в процессе перебора должна включиться интуиция, которая быстро его направит к решению. Зачем проделывать этот перебор? Чтобы решить куда более интересную задачку о половине бесконечной последовательности бросков, известной каждому из двух пойманных математиков.

Вы уже начали её исследовать?

Хороших выходных!

Математики договорятся

Добрый день!

Ну что, раз мы размялись детскими задачками про даты и короля Артура, давайте перейдём к настоящей сложной проблеме о двух математиках, которые борются с теорией вероятностей.

Вы слышали про Форт Боярд Математиков? Пару недель назад у них была интересная задачка про бесконечную последовательность бросков честной монетки, которую разделили на чётные и нечётные броски, причём каждую из этих подпоследовательностей сообщили чётному и нечётному математику, сидящим в разных подземельях. Каждый математик должен назвать номер броска в последовательности своего товарища по несчастью, чтобы сравнить соответствующие результаты бросков. Цель математиков — так заранее договориться, чтобы результат броска в последовательности первого под номером, который назвал второй математик, совпал с результатом броска в последовательности второго под номером, который назвал первый. Как выигрывать чаще, чем в половине случаев? Какова вероятность их победы, если они хорошо предварительно подумали?

Короче, формулировка запутанная, некоторые решения после той игры уже разобраны (пока настоятельно не рекомендую смотреть, в частности, потому что там озвучены лишь ответы, а не пути к ним, что гораздо интереснее). По-моему, перед обсуждением этой задачки нам гораздо полезнее было бы рассмотреть разминочный вариант, так как он близок по духу, настраивает на нужный лад и т.д. А к исходной формулировке мы вскоре вернёмся.

Итак, два математика сидят в разных подземельях. Каждому из них завтра утром принесут честную монетку, каждый из них подбросит её, а потом сообщит своё предположение о результате броска своего товарища по несчастью. Если хотя бы один из них угадает, то они выиграли. Понятно, что им легко выигрывать в 75% случаев, давая случайные ответы. Но они прямо сейчас могут договориться о более умной игре. С какой вероятностью они будут выигрывать, если хорошо подумают?

Прелесть задачи в том, что она кажется неразрешимой. В самом деле, первый математик ничего не знает о результате броска второго, а второй — о результате первого. Поэтому может показаться, что самое умное — всегда говорить, что у коллеги выпал, например, орёл. Тогда в трёх ситуациях из четырёх (ОО, ОР, РО) у них будет гарантированная победа, а лишь в одной (РР) — не менее гарантированное поражение.

Сложно поверить, но результат выше 75% возможен. И его стоит научиться получать до того, как браться за задачу о бесконечном количестве бросков (кстати, если знаете её автора, пожалуйста, сообщите). Поэтому комментарии открывайте с осторожностью, чтобы случайно не прочитать решение.

Дополнение: в следующей заметке мы начали разбор этой задачки.

Хорошей недели!

Статистика по излечившимся и детские задачки

Добрый день!

Давненько мы задачек не решали! Сегодня будет целых две: про симметричные даты и про мудрецов. Но сперва короткий вопрос о подаче информации.

1) Не имея медицинского образования, легко задавать глупые вопросы. Например, почему редко публикуется информация о поправившихся после диагноза коронавирус? В англоязычном интернете почему-то про это вообще почти нигде не пишут. Или я не там смотрю? Почему-то везде только следующая статистика о 2019-nCoV: infected, death и fatality. Причём последнее, на мой неквалифицированный взгляд, посчитать из первых двух чисел невозможно, но это зачем-то всюду делают.

На русском изредка публикуют переводы с китайского (см. примеры табло или отчёт о 632 вылеченных). Например, на табло сейчас видно, что количество выздоровевших за сутки почти в три раза превышает количество умерших.

Понятно, что 1:3 — это очень много, но если это верная информация, то не менее понятно, что она хотя бы имеет смысл. И если общее количество победивших вирус всего в полтора раза выше, чем число смертельных случаев, а за последние сутки выздоровело в три раза больше людей, чем умерло, то это может указывать как на постепенное повышение эффективности лечения, так и на разную скорость принятия решения, ведь куда сложнее признать человека здоровым («давайте ещё недельку понаблюдаем»), чем умершим.

2) Позавчера Константин Кноп поделился следующей короткой задачкой, которая, по-моему, хорошо подходит для обсуждения с детьми по дороге домой и аналогичного доброго времяпрепровождения:

«Задача про 02.02.2020

Предыдущий раз дата-палиндром, записанная всего двумя различными цифрами, была хоть и на нашем веку, но почти 18 лет назад, 20.02.2002. Следующая будет совсем скоро - 22.02.2022. А сколько лет ждать после этого?

Бонус-вопрос - когда была последняя такая дата до наступления нынешнего столетия?»

Есть идеи?

3) Кстати, про красивые даты — тот же Константин перепечатал забавные факты про число 2020 из Facebook Euclidea (пару лет назад мы с вами обсуждали построения циркулем и линейкой, а потом ещё и Пифагорию).

Ниже пример из той записи — пояснение про совпадение 2020-х цифр в десятичной записи трёх интересных констант:

«The 2020th decimal digits of constants π, e and φ are the same. By the way, this property is not so rare. The minimum such number is 12, the predecessor of 2020 is 1905, the next will be 2060.
3,141592653589 ... 12694683 ...
2,718281828459 ... 82922443 ...
1,618033988749 ... 43062623 ...»

4) Но вернёмся к детским задачкам. Одно дело — просто хорошая задачка, которая полезна ребёнку для разгрызания и обдумывания. А другое — приятная задачка, которую дети придумали сами. Представляете, какую пользу они получили, когда исследовали наборы чисел, пока не нашли интересное сочетание! В комментариях к одной записи Константина мне понравилась следующая формулировка, в частности, из-за вклада школьников:

«Задачу сочинили на Ринруте-2019 три Новосибирских пятиклассника, Горелова Аня, Шевченко Роза и Степанов Ярослав из команды Зинцовой Анастасии Сергеевны. Пришлось немного ее литературно обработать.

Мудрецы
Король Артур задумал натуральное число N и разбил его на три различных натуральных возрастающих слагаемых: N=n1+n2+n3, n1<n2<n3. Затем он вызвал к себе трех мудрецов и вручил каждому из них по конверту с одним из загаданных чисел: младшему n1, среднему n2, а старшему n3. Само число N он тоже озвучил и заявил: “Тот из вас, кто сумеет понять, какие числа у товарищей, будет объявлен ГЛАВНЫМ научным мудрецом.” Средний и старший лихорадочно вскрыли конверты, но не смогли сразу ответить Артуру, а младший после этого заявил: ”Мне не требуется вскрывать конверт, я знаю ваши числа!”
Сможете назвать число N, пользуясь приведенной информацией?»

Понятно, что «сразу» — ключевое слово в условии. Надо понимать, что средний и старший не могли успеть учесть замешательство друг друга (тут уместно вспомнить задачку про остров Беззеркалья, где у всех время подумать было). Сможете придумать решение?

Хорошей недели!

Чем измерять? Какой цифры нет?

Добрый день!

Про единицы измерения мы можем не переживать, потому что человечество сперва успело придумать их достаточно много, а потом более-менее редуцировало это многообразие до разумных размеров. Впрочем, исторически оставшихся особенностей хватает (см. американскую и британскую тонны, например; кстати, там комментарий удачный есть про умение человечества всё стандартизировать).

Интересно, что иногда достаточно отличающиеся по первоначальным определениям величины могут оказаться взаимосвязанными. В разборе детского вопроса о том, что произойдёт, если взять моль кротов (кстати, рекомендую этот сайт для совместного чтения с детьми), упоминается следующее забавное совпадение: «сфера с радиусом X километров будет такого же объема, что и куб со стороной X миль». Ясно, что это достаточно приблизительно, но не менее ясно, что и само понятие мили весьма гибкое: морская миля = 1852 метра, географическая миля = 1855,3 метра, а ведь есть ещё французские сухопутная и морская мили, древнеримская, датская, норвежская и т.д., а также шотландская миля, длина которой варьировалась в зависимости от региона, но была примерно на 200 метров длиннее британской (1809−1814 метров).

Кстати, про совпадения: сегодня мне рассказали, что в десятичной записи числа числе 2²⁹ (два в двадцать девятой степени) ровно девять цифр (это легко понять), причём все они различны (а вот в это придётся поверить). Из такого факта может получиться удачная разминочная задачка. Сможете ли вы определить, какой цифры нет в записи этого числа, не вычисляя его? Задачка приятная, рекомендую (путёвые младшеклассники вполне способны определить 5-6 цифр, которые точно есть в записи этого числа, так что для вечернего совместного обсуждения задачка подходит).

Но вернёмся к разнообразию единиц измерения. Что забавного ещё сразу же вспоминается? Пример: градусы Фаренгейта, если верить легенде, вышли такими необычными ещё и из-за того, что жена Фаренгейта болела (мол, он планировал определить свою шкалу так, чтобы 100 градусов соответствовали температуре здорового человека, но не тут-то было, т.к. калибровал установку он по слегка температурящей жене). Ноль же градусов он решил определить, ориентируясь на физические свойства смеси воды, льда и хлорида аммония, что с нашей нынешней колокольни тоже не вполне интуитивно (разные подходы применялись для исправления отдельных дефектов систем, которые были очевидны исследователям; скажем, Цельсий прекрасно понимал, что температура кипения воды зависит от атмосферного давления — попыткой обойти эту особенность стало, например, определение градуса Реомюра через расширение спирта на 1 тысячную его объёма).


(картинка из Википедии)

А какие ещё забавные факты и удивительные совпадения вы можете вспомнить о различных единицах измерения?

Хорошего дня!

Чем телевизор хуже интернета?

Добрый день!

Вот сейчас будет непросто, потому что следующий текст легко можно воспринять как наезд на двух конкретных журналистов и телеведущих, а хочется вообще пройти мимо личностей. По-моему, эти два примера хороши, но вокруг есть ещё миллионы аналогичных. Поэтому давайте постараемся смотреть на явление, а не на людей.

Нынче модно говорить про fake news, но только ли к новостям это относится?

1) Недавно на форуме Ларина в теме ляпы Шнобеля предложили ссылку на фрагмент старинного выпуска игры «Кто хочет стать миллионером?» от 05 ноября 2016 — https://youtu.be/XrcqaeV5oUI?t=600.



Понимаете? С серьёзным лицом по центральному телевидению в головы зрителей вылили эту ерунду! «Площади каких двух фигур ни при каких размерах не могут быть в точности равны? A) круга и квадрата; B) треугольника и ромба; C) трапеции и параллелограмма; D) прямоугольника и пятиугольника«. На 100 тысяч рублей вопрос! Актёры, кстати, большие молодцы, потому что прямо сказали, что не знают и не понимают. А ведущий тоже не знает, но вокруг играет правильная музыка, массовка хлопает, камера наезжает — «внимание, правильный ответ».

Понятно, что человек с более-менее математическим образованием справился бы с этим вопросом, потому что догадался бы, чего там гуманитарии не поняли, когда его сочиняли. Но как же дивно всё объяснено — https://youtu.be/XrcqaeV5oUI?t=838 (эффектно, даже с пением). А как быть менее подготовленному зрителю? «Если по телевизору сказали, значит правда, у них ведь редакторы есть, научные консультанты и т.д.»

2) А вот ещё немножко про нашу любимую математику — https://youtu.be/lDnwPZLfF1Q?t=1354 — здесь идёт беседа о религии, но между делом происходит следующий диалог:

— Другое дело, что аксиому в науке можно доказать. Не требуется. Но то, что дважды два четыре доказывается. Хотя это аксиома...
— Не все аксиомы в науке доказываются... Аксиомы о параллельности доказываются?
— Да, конечно... Кстати, древние греки говорили, что две параллельные прямые не пересекаются... И это доказывается. А потом Лобачевский вышел с другим — что нет, в бесконечности они пересекаются... И это доказано, иначе бы никто не принял.

В саму религиозную дискуссию мы сейчас уходить не будем, но качество отдельных аргументов впечатляет. Кстати, здорово, что собеседник журналиста высказал сомнение в том, что в науке аксиомы доказываются. Жаль, что он потом тактично промолчал.

Ещё раз: личности не обсуждаем. Журналисты могут не знать математику, как и математики могут не понимать в журналистике. Кроме того, если верить Википедии, одному из этих телеведущих пришлось сменить несколько учебных заведений в разных регионах, а для получения аттестата он поступил в школу при полевой почте, где обучались советские военные, не получившие среднее образование из-за войны. Короче, всякое бывает.

А что же тут тогда важно? По-моему, главный недостаток телевидения — отсутствие комментариев или другой формы обратной связи. Любая ерунда может демонстрироваться, но никаких опровержений или пояснений не будет. Квалифицированный человек может видеть с голубого экрана ту же чушь, что и миллионы других зрителей (тут комментарии особо ценные), но через тот же информационный канал (телевизор) никак не сможет тут же до них достучаться.

Помните, раньше в научных книгах на последней странице был вклеен листочек «Замеченные опечатки»? И там можно было прочитать, что на 468-й странице в 20-й снизу строке вместо (S_nO₂) следует читать (SnO₂). Потому что авторам и издателям было важно доносить до читателя информацию как можно точнее. И если бы на телевидении было принято в момент повторного показа ерунды прерваться, чтобы пояснить про эту самую «квадратуру круга», то было бы не так уж и плохо. Впрочем, это тоже полумера, даже если бы это было возможно.

Нынешний век интернета приглашает высказываться каждого, но и ответ этот каждый теперь может получить достаточно оперативно, если не отключил комментарии. Поэтому спасибо вам огромное за комментарии, иногда здорово разрушающие заблуждения! Это так полезно!

Хорошего дня!

Игра Ландау на трёхзначных номерах

Добрый день!

Тяжело с любовью осваивать алгебру, если даже начальная арифметика идёт со скрипом. И умение нажимать кнопочки калькулятора хоть и может облегчить вычисления, но едва ли заменит навыки быстрого счёта.

Возможно, поэтому выдающийся академик АН СССР и лауреат Нобелевской премии по физике Лев Ландау, путешествуя в автомобиле, нередко предлагал лично придуманную игру в номера (см. статью М. И. Каганова и 3. И. Горобец-Лифшиц в книге «Воспоминания о Л. Д. Ландау», Москва, 1988, а также статьи 1 и 2 в Науке и жизни).

Задача состояла в том, чтобы получить верное выражение, вставив между первой и второй парами цифр номера знак равенства, а также добавив произвольное количество математических действий.

В формуле выше показано классическое универсальное решение всех подобных задач. Но если договориться универсальными решениями не пользоваться, то игра Ландау может быть интересной и полезной. Более того, поиск универсальных решений — тоже очень хорошее дело.

Игра на четырёхзначных номерах выглядит хорошо и естественно (кстати, чем-то она похожа на трамвайные и автобусные билетики, только набор операций существенно шире). Сложность же в том, что сейчас автомобильные номера трёхзначные. Иногда детям везёт обнаружить четырёхзначный номер какого-нибудь прицепа, но это всё же редкость.

Последнее время обсуждаются планы введения четырёхзначных номеров, но можем ли мы ждать их реализации, если детские мозги жаждут весёлой нагрузки? Ведь дети яростно набрасываются на интеллектуальные тренажёры и просят ещё. Что делать?

Поэтому вопрос всем: Какие вы знаете математические игры с попадающимися на пути трёхзначными номерами автомобилей? Поделитесь, пожалуйста, своими находками!

Хороших выходных!

Зачем криптовалюты?

Добрый день!

Давайте сравним две ситуации:

1) Человечество тратит полезные ископаемые и бесценное время своей короткой жизни, чтобы сконцентрировать распределённое по планете золото в нескольких больших хранилищах и в десятках миллионов маленьких хранилищ.

2) Человечество тратит полезные ископаемые ..., чтобы выявить числа, обладающие некоторыми особенностями (это я про майнинг криптовалют), чтобы записать эти числа в миллионы хранилищ.

Может ли так быть, что первое действие полезно? Теоретически, да. Представьте себе, что стало точно известно, что наша планета скоро исчезнет или что появилась какая-то заразная болезнь, остановить которую практически невозможно. Но тут вдруг учёные чудом находят способ спасения, для реализации которого надо очень много и тяжело работать, а также столько-то десятков тысяч тонн золота.

Мгновенно добыть столько было бы просто невозможно, но человечество-то много веков золото копило, поэтому получает шанс продлить своё существование. И речь не об оплате труда учёных, конечно, а о переднем крае науки, который успел подобраться к способу отклонения метеоритов, к методу противодействия супервирусу или ещё к чему-то такому. Короче, мы пока не знаем что произойдёт, но золото имеет особые свойства, которые теоретически могут когда-то весьма пригодиться.

Есть даже фантастические рассказы, в которых описывается смысл существования человечества — добыть золото из Земли для более развитой цивилизации, которая как раз и поселяет биороботов (нас) на планетах, богатых этим редким металлом. А зачем золото той цивилизации? Возможно, чтобы тоже как-то продлить или улучшить свою жизнь.

Но вернёмся к криптовалютам. Есть ли шанс, что человечество не зря сейчас сжигает тераватты для получения каких-то особых чисел? Этот процесс ведь очень похож на добычу золота (тратятся огромные ресурсы), но при этом нет ясности, зачем он идёт. Конкретные участники, зарабатывающие на этом, конечно, могут этим вопросом не задаваться, но если посмотреть на глобальную пользу для человечества, то не похоже, что мы знаем, зачем нужно так много золота и так много особых чисел.

Предлагаю теорию. Вот представьте, что в будущем удастся доказать, что P=NP, но для работы за полиномиальное время требуется гигантская таблица коэффициентов, вычислить которые дольше и сложнее, чем решить исходную NP-полную задачу. А тут внезапно оказывается, что эти коэффициенты уже были случайно насчитаны много десятилетий назад при добыче криптовалют, а сейчас доступны каждому. Сразу же сломаются многие криптографические алгоритмы, но это уже совсем другая история.

А вы видите более реалистичный сценарий применения огромных массивов специально сформированных чисел? Кстати, от золота числа отличаются тем, что другой цивилизации было бы проще самостоятельно насчитать эти числа, чем создавать нас для этого, а вот про золото такого ощущения нет :)

Хорошей недели!

Математические игры и Tower Defense

Добрый день!

А помните, была такая разновидность игры о защите башни, в которой мощность и скорострельность защитных модулей зависела от того, как эти модули расположены на поле относительно других модулей? Если я правильно помню, поле было из шестиугольников, а в одном из уровней дорожка, по которой бежали бесконечные полчища врагов, имела форму, как на картинке справа.

Почему-то у меня с этой игрой связано воспоминание, что уж в ней-то было математическое содержание. Да, не очень много. Но было же. Кажется, сперва пришлось экспериментировать, чтобы найти эффективные комбинации пушек для каждого вида нападающих. И на некоторых уровнях приходилось разбирать старые конфигурации, чтобы собрать новые (потому что первые волны врагов были одного вида, а последующие — другого). Но сейчас игр такого типа так много, что найти нужную не удалось. А все, что я попробовал, похожи на скучные и однотипные.

Поделитесь, пожалуйста, какие ещё игры с математической начинкой вы помните. Речь тут не столько об уроках и сборниках задач, сколько об играх, в которых побеждает вникнувший в суть, а не тот, то быстрее на кнопки давить умеет.

Хорошей недели!

Пифагория

Добрый день!

Полтора месяца назад в записи про тренажёр Euclidea я кратко упомянул другие тренажёры этого же разработчика, добавив, что они ориентированы на более младший возраст. Теперь, посмотрев на них гораздо внимательнее, могу уверенно сказать, что они весьма хороши.

Я восхищён командой, которая нашла желание, квалификацию и ресурсы, чтобы сделать три полезных и при этом практически бесплатных тренажёра. В Пифагории и Пифагории 60 (которые, как я понял, есть для Android и iOS, но не бывают для браузера, в отличие от Euclidea, работающей везде) нам предлагают «почувствовать плоскость». Мне сразу приходит в голову аналогия с тем, что делает Женя Кац в своей «Мышематике» (речь о книгах «Необычная математика. Тетрадь логических заданий для детей ... лет»).

На изображении справа вы видите, на каких полях ведётся работа в двух тренажёрах Пифагория. С одной стороны, это проще, чем в Euclidea, где вообще не за что было зацепиться на голой плоскости (тут-то хоть узлы решётки есть). Но когда вдруг хочется провести окружность, чтобы построить равные отрезки, выясняется, что окружностей-то у нас нет — всё надо делать, проводя только прямые (да, конечно, теорему Штейнера-Понселе никто не отменял, но и окружности на чертеже есть далеко не во всех задачах).

Если думаете, что все задачки в этих тренажёрах элементарные, то напишите в комментариях, сколько треугольников вы бы построили в 13.10 (в верхнем левом углу изображения). Я обратил внимание на эту задачку, потому что потратил на неё более минуты, в то время как до неё все остальные пробежал быстро (это не из-за того, что тренажёр плохой, а потому что я не вхожу в целевую аудиторию тренажёра).

А знаете, какая у меня мечта? Чтобы Роскомнадзор или Google Play с iTunes'ом заблокировали эти тренажёры по требованию нашего министерства образования или любой другой структуры. Понимаю, что звучит странно, но дослушайте. Было бы здорово, если бы по всем федеральным новостям неделю рассказывали о том, что какие-то злодеи сделали программы, после работы с которыми школьники перестают ходить на уроки, но всё равно легко сдают ЕГЭ на 100 баллов. И, мол, чтобы вернуть детей в школы, приходится эти программы заблокировать, а то непорядок какой-то.

И вот тогда-то миллионы школьников найдут возможность обойти блокировки, пройти все три тренажёра, а потом неожиданно выяснится, что у нас уровень математической грамотности в стране резко вырос. Эх, мечты...

А закончим мы сегодня списком игр, в которых нужно писать код. Сама идея понятна, но хорошую реализацию сделать не так-то просто. Что вам в этой области больше всего нравится? Что сразу вспомнилось?

Хорошего завершения недели!

Интеллектуальный тренажёр и задачи на построение

Добрый день!

Если вы тоже считаете, что исследование задач на построение циркулем и линейкой крайне полезно для развития головы и освоения логики, то, вероятно, видели тренажёр «Euclid: The Game». Он работал в браузере, предлагал хороший набор задач растущей сложности, имел весьма удобный интерфейс, но сейчас почему-то его сайт не работает. Мне не попалась информация, связан ли этот проект с Euclidea, который работает и в браузере, и на мобильных устройствах.

Не исключаю, что несмотря на явное внешнее сходство, тренажёр Euclidea сделала другая команда, т.к. задач на построение начального уровня существует не так уж много (например, автор статьи «Ошибки новичка в сфере разработки игр» рассказал, что когда он сделал свою аналогичную игру, ориентируясь на литературу, то обнаружил существенное пересечение набора уровней с «Euclid: The Game», из-за чего связался с автором, но тот отказался от сотрудничества), да и другой естественный интерфейс для приёма решений тоже придумать сложно.

Но это всё не отменяет того, что тренажёр Euclidea хорошо продуман, поэтому я его рекомендую всем. Конечно, можно как раньше решать задачи на бумаге. Помните, как мы оптимизировали количество действий? И, кстати, для решения задач Euclidea мне бумага частенько была нужна. Конечно, не для построения нужной фигуры (это легко сделать, глядя только на экран), а для оптимизации решения.

Зачем нужна оптимизация? Мне сначала показалось, что это лишнее, что достаточно просто решить задачу. Но постепенно тренируясь справляться с задачами за всё меньшее количество действий, я получал не только удовольствие, но и пользу — пришлось подумать, вспомнить красивые геометрические теоремы... Короче, можно заплатить авторам игры, чтобы получить доступ ко всем задачам сразу, а можно оптимальнейшим образом решить все задачи текущего уровня, чтобы перейти к следующему. И мне кажется, это как раз тот случай, когда монетизация вполне удачно встроена в игру.

Три года назад, когда «Euclid: The Game» ещё работал, на Math.SE обсуждали один из уровней этого тренажёра. Автор вопроса не мог поверить, что за три действия можно построить перпендикуляр. И тут в комментариях появился автор «Euclid: The Game», чтобы рассказать следующее:
- Этот рекорд был обновлён совсем недавно, никто из десяти сильнейших игроков в таблице рекордов не справился с этой задачей (одной из самых первых в тренажёре) за три действия.
- Однажды кто-то из пользователей заметил в комментариях, что с этой задачей можно справиться быстрее, но он (автор тренажёра) не поверил в это.
- Тогда тот пользователь показал решение, которое к тому же оказалось очень простым (что верно для многих вещей в математике).
- Также он дал красивую и полезную подсказку вида «первое действие должно быть не таким-то».

У Euclidea тоже есть раздел подсказок, но я бы рекомендовал его по возможности избегать, потому что там не столь изящные подсказки. Например, для упомянутой выше задачи явно указана теорема, которой надо воспользоваться, а также даётся последовательность инструментов.

Итого: тренажёр Euclidea я однозначно рекомендую пройти в бесплатном режиме, а уже потом по возможности оплатить это удовольствие и пользу. У этой же команды есть другие тренажёры, среди них тоже есть удачные, но этот мне нравится больше всех (остальные, по-моему, ориентированы на более младший возраст).

А какие геометрические тренажёры нравятся вам?

Хорошего дня!

Научите не экономить бумагу!

Добрый день!

Дорогие учителя математики, научить школьников решать задачи — дело сложное, но нужное. И совершенно естественно, что концентрация в этом вопросе у нас именно на развитии способности исследовать задачу, выбирать из нескольких способов решения наиболее надёжного (чтобы было меньше шансов ошибиться), проверять качество своего решения и так далее.

Поэтому отбивать желание учиться, навязывая какие-то строгие правила оформления, совершенно нет желания. «Пусть запишут как умеют, но решат задачу» — понятная позиция. В самом деле, нет никакого смысла хорошо оформить отсутствие решения. Гораздо лучше плохо оформить его наличие.

Но, пожалуйста, научите школьников, участвующих в олимпиадах, начинать решение задачи с верхнего левого угла разворота тетради! Начинать же решать с нижнего правого угла разворота (чтобы записать пару-тройку строчек, а затем перевернуть лист — это всё же форма проявления неуважения к проверяющему. А сделать чертёж в нижнем правом углу разворота тетради, а само решение записать на следующем развороте — это уже издевательство!

Я понимаю, что школьники не специально делают, как хуже. Поэтому важно объяснить им, что размещая чертёж на одной стороне листа, а текст решения на другой, они мешают и себе (ведь им и самим сложнее не ошибаться в обозначениях, когда они не видят своего чертежа). Другой аспект, который важно понимать, состоит в следующем: проверяющий олимпиаду должен разобраться, где именно ученик ошибся. Зачем? Чтобы вместо 0 баллов за отсутствие решения задачи поставить 1-2 балла за правильные ходы. А для этого надо постараться так оформить своё решение, чтобы эти ходы были видны.

Школьники, не экономьте считанные сантиметры бумаги — начните решать задачу со следующего разворота!

Ссылки по теме:
- Как решать геометрическую задачку?
- Как решать алгебраическую задачку?
- Как обдумывать задачку?
- Как решать задачу по физике?

Хорошей недели!

Задачка про чаепитие

Добрый день.

Как уже иногда бывало, предлагаю перевод сентябрьской задачки от IBM (или прочтите оригинал):

Невозможно на протяжении шести часов так рассаживать по трём стульям трёх человек (Аню, Витю и Сашу), чтобы они пересаживались после каждого часа, причём ни разу не повторили конфигурацию, а также никто два раза подряд не сидел на одном и том же стуле. Рассмотрим "почти" решение:
A B C A B C
B C A C A B
C A B B C A

Единственное нарушение здесь — это "B B" в средней части третей строки.

Задача этого месяца состоит в следующем: надо составить такой план размещения четырёх участников на 24 часа, чтобы они ни разу не повторили конфигурацию, а количество нарушений было минимальным. В этой задаче нарушением называется ситуация, в которой кто-то остаётся сидеть на том же месте, где был только что или где был один час назад (т.е. в прошлый или позапрошлый раз).

Дополнение от 29 августа: Нарушения считаются по всем четырём участникам отдельно, поэтому при смене ABCD-ABDC будет зафиксировано два нарушения. Также сохранение своей позиции на протяжении трёх часов подряд считается как три нарушения (t vs t+1; t+1 vs t+2 and t vs t+2).

Если вам интересны подобные задачки, то поделитесь, пожалуйста, в комментариях ответами на следующие вопросы:
1) Придумали ли вы решение первой задачи-примера (в которой хоть и нельзя два раза подряд сидеть на одном и том же стуле, но разрешено возвращаться на то место, где был в позапрошлый раз) для четырёх участников и 24 часов с нулевым количеством нарушений?
2) Нашли ли вы решение основной задачи для троих участников и шести часов?
3) Какие эвристики обнаружили, пока решали (1) и (2)? Помогло ли это лучше понять основную задачу?

Хорошей недели и интересных задачек!

Ускорение как на Youtube

Добрый день!

Последние годы я начал иногда смотреть видеоподкасты, поскольку нашёл функцию, появившуюся на Youtube года три назад — правильное ускорение звука. Раньше просто никакого терпения не хватало на паузы между словами и прочую неторопливость авторов, поэтому я читал тексты, но практически никогда не слушал. Если вы ещё не сталкивались с этой функциональностью, то кратко поясню, что правильность ускорения состоит в том, что голоса не становятся писклявыми (как это происходит при банальном ускорении), а сохраняют своё звучание. Если ещё не знаете, как это включить, то есть старая статья (в которой самое главное для большинства — это комментарий о том, что надо включить проигрыватель HTML5).

Кстати, это интересно с алгоритмической точки зрения, поэтому для желающих вникнуть в то, как что-то подобное делают, рекомендую пару статей Хабра:
- Делаем Liquid Resize своими руками,
- Алгоритм seam carving для изменения размера изображения.

Если знаете материалы о том же, но для звука, то, пожалуйста, поделитесь в комментариях.

Что же я ищу? Я хочу себе аппаратный плеер, который умеет это же. Потому что скопилось уже несколько десятков mp3-шек с длинными разговорами, которые хочется выслушать, но некогда. Ладно, время найти можно, а вот терпение?! Если бы можно было покрутить на плеере волшебную ручку «ускорять в x раз», то было бы гораздо лучше. Но почему-то ничего про такие устройства я не нашёл. Может, эта функциональность как-то неожиданно называется, а я не то ищу? (с предиктивным набором примерно так было год назад)

На самом деле, мечта даже чуть больше: хочется не линейного ускорения (как на Youtube, насколько я могу судить), а динамическую подстройку под плотность информации (резкое ускорение при тишине и т.д.). Другими словами, кроме волшебной ручки регуляции скорости хочется ещё и волшебную кнопку «пропускать длинные паузы и замедляться при быстрой речи». Или это из области фантастики пока?

Если знаете не аппаратное, а программное решение, то тоже будет здорово. Например, простой способ перегнать все mp3 из текущего в ускоренный формат — это хоть и не идеальное (потому что нет возможности налету замедлять, если не успеваю понимать), но приемлемое решение. Поделитесь, пожалуйста, если знаете.

А для тех, кто хочет улыбнуться, есть добрая ссылка навстречу Новому году.

Хороших выходных!

Овалы и эллипсы

Добрый день.

А давайте попробуем написать краткие сочинения для нынешних выпускников на тему «Почему стоит выбрать изучение такой-то науки?» Вдруг кто-то сейчас как раз колышется с выбором, в какой вуз или на какой факультет податься, а мы ему ещё сильнее карты спутаем... Ниже предлагаю свою версию про всякую математику и геометрию (ранее была и другая запись на близкую тему — «Зачем изучать математику?») Приглашаю вас поделиться своим вариантом!

Итак, долгое время я считал, что «овал» — это жаргонное название эллипса. Потом начались уроки черчения, на которых нас учили рисовать в том числе и овалы (как четвёрку дуг: две одного радиуса и две — другого). Уже тогда было понятно, что эллипс циркулем и линейкой не нарисовать, поэтому по данному свойству овал казался куда удобнее, хоть и нелепее. А затем и вовсе началась эпоха интернета, поэтому узнать о том, что такое овал может каждый, но уже не каждому это понравится или даже захочется сделать.

Чем же хорошо нам всем знакомый эллипс драматически отличается от множества других хорошо знакомых фигур? Оказывается, мы не можем выразить длину дуги произвольного эллипса в элементарных функциях. Вот для частных случаев ещё справиться можем: например, если эллипс является окружностью, то всё хорошо — длина дуги выражается как удвоенное произведения радиуса и числа Пи. А вот с произвольным эллипсом, задаваемым парой радиусов a и b, такое уже не пройдёт.

Кстати, легко понять, что для частного случая овала с уроков черчения никаких проблем нет: раз он состоит из дуг окружностей, то про него мы всё знаем.

Но всё равно сложно избавиться от ощущения, что что-то здесь не так. Как может простой эллипс, легко получаемый растяжением окружности, вызывать какие-то проблемы, если с самой окружностью всё достаточно легко? Чтобы понять это, давайте сравним периметры и площади у следующих фигур:



Казалось бы, если мы знаем площадь круга радиуса a, то знаем и площадь эллипса эллипса с радиусами a и b (достаточно домножить площадь круга на b/a, чтобы получить искомое значение). Этот же трюк прекрасно работает на квадратах, что совершенно правильно и естественно. В чём же проблема с периметром? Может показаться, что всё должно быть совершенно аналогично. Но мысленный эксперимент с растяжением квадрата эту теорию легко ломает... Иногда полезно попредставлять такие штуки, чтобы лучше чувствовать, чем отличается длина от площади.

К сожалению, описанную выше проблему с невозможностью выразить длину дуги эллипса нередко формулируют неверно (что-то вроде «на дворе 21 век, а математики так и не смогли найти формулу эллипса» или даже грубее; иногда, видимо, желая упростить, журналисты позволяют себе говорить, что число Пи равно трём, поэтому фраза про математиков, которые «до сих пор не могут одолеть эллипс» не слишком раздражает). Как вы понимаете, эллипс человечество знает очень давно и исследовало весьма плотно. Дело не в том, что математики чего-то не смогли, а в том, что это принципиально невозможно.

Казалось бы, обычная сплющенная окружность, а уже вылезают дивные эффекты! Если вас завораживает эта мысль и вы как раз заканчиваете школу, то хорошо подумать о поступлении на математический факультет определённо стоит. Ведь гораздо интереснее учиться тому, что вам нравится (см. об этом ещё тут).

А если вы любите всякое красивое и геометрическое, то рекомендую статью с массой внятных анимированных картинок про арбелос.

Тригонометрия и ЕГЭ

Добрый день!

Позавчера мы начали обсуждать свежую и старинную статьи о ЕГЭ, но поскольку чтение длинных текстов требует сил и времени, то главную идею стоит выделить в самом начале: Даже если бы задания ЕГЭ были хорошими, сам тест всё равно являлся бы разрушительным для системы образования, потому что от его результатов слишком много всего зависит: результат ЕГЭ жизненно важен для школьников, поэтому вместо учёбы они готовятся к ЕГЭ, но этот же результат важен для педагогов, поэтому они «накручивают» результаты, отклоняясь от программы, а также не мешая списыванию и прочим хитростям. Аналогичная ситуация в администрациях школы, района, города, области и т.д. (см. статью «Конкуренция и ЕГЭ»).

В любой большой махине есть масса изъянов. Естественно, ЕГЭ не является исключением. С моей точки зрения, за последние годы достигнут большой прогресс в исправлении раздражающих мелочей (сквозная нумерация заданий, дополнительные бланки, апелляции, расписания, наборы задач... многие люди добросовестно старались, чтобы сделать ЕГЭ лучше). Важно понимать, что большинство исполнителей в этом процессе не имеют злого умысла. Но если велосипеду с квадратному колёсами старательно приделали седло, то он хоть и стал более удобным, но плавать всё равно будет плохо. Даже если его покрасить и прицепить светоотражатели, на плавучесть это почти не повлияет. Кто-то смеётся над квадратными колёсами, но беда в другом.

Давайте продолжим читать текст 2007 года Юрия Неретина «О будущей эволюции и влиянии ЕГЭ», чтобы узнать, что было плохо до ЕГЭ и почему переход на ЕГЭ сделал всё ещё хуже. Первые две мысли кажутся понятными, но на них стоит обратить внимание:

1) «Основная цель обычного экзамена (скажем, семестрового) — дать возможность студенту ознакомиться с курсом, или, говоря формальным языком, составить целостный (или лишь более целостный) взгляд на предмет.»

2) «положительных функций регулярных семестровых экзаменов экзамены вступительные лишены.» (в исходном тексте есть пояснения ко всем этим цитатам; рекомендую найти возможность прочитать).

Потом мы переходим к теме бессмысленных задач (речь здесь о математике), которые имеют малое отношения к науке, но являются удобными (для придумывания, проверки и т.д.): «Где-то около 1970 года были изобретены замечательные варианты вступительных экзаменов по математике. Задачи для экзаменов все время надо изобретать, это вполне серьезная и непростая проблема. Но в тот момент был изобретен универсальный способ их изобретения. Оказалось, что несколько сюжетов позволяют написать сколько угодно таких задач. А именно: тригонометрические уравнения, раскрывание модуля, логарифмические уравнения, уравнения с параметром (и все это обогащенное поисками ОДЗ)»

Вот эта вся тригонометрия вступительных экзаменов в реальной жизни мало когда нужна (настоящие проблемы не сводятся к тем некрасивым монстрам с «подводными камнями»), но маховик раскрутился: с каждым годом сильные вузы давали всё более противные задачи, поэтому лучшие школы учили с ними справляться («стандартизация экзаменационных вариантов есть путь к их усложнению»). Возник класс ненужных задач, которые приходится научиться решать, чтобы поступить в выбранный вуз («новая отрасль человеческого знания — математика вступительных экзаменов. Единственная цель ее существования — обеспечение функционирования приемно-экзаменационной машины»).

Далее следует реверанс о том, что «в определенной степени, это математика». Но тут же совершенно правильные вопросы возвращают нас в суровую реальность: «Многим ли из тех, кто «готовился в вуз» пошло в вузе на пользу то, что он учил при «подготовке»? А если нет, то и это странно. Не странна ли тогда роль «курсов по подготовке в вуз»?»

Почему это плохо? Да по той причине, что «Человек более склонен «готовиться к экзамену», чем учиться»

Что было дальше? «К сожалению, то что было тенденцией в 80е годы, свершилось в 90е: вступительная математика вытеснила обычную из образования старшеклассников.

Обратите внимание! Вступительные экзамены настолько важны, что их варианты, при неосторожности, некомпетентности или злой воле, могут начать формировать облик образования в старших классах, иной, чем это предполагается официальной школьной программой». Собственно, перед разговором про единую систему для проверки знания по всем предметам, для принятия решения о качестве обучения в школах, о зачислении в вузы и т.д. — перед обсуждением всего этого стоит понять, что на куда меньшей задаче клубок проблем сплетается в узел, который практически невозможно разрубить.

До ЕГЭ мы ещё не добрались, но уже подошли к нему вплотную. Продолжим в следующей части. Для более эффективного обсуждения призываю найти 15-20 минут на чтение первоисточника (там есть и про русский язык, и про опыт других стран... если ещё не читали, то рекомендую).

Хорошего дня!

Двоичные немагические прямоугольники

Добрый день.

Начало нового месяца — это часто хороший повод порешать очередную задачку от команды IBM (год назад мы уже обращались к этому источнику). Предлагаю перевод декабрьского задания (или прочтите оригинал):

У двоичной матрицы NxM (т.е. в ячейках которой только нули и единицы) мы можем посчитать N сумм значений в строках и M сумм значений в столбцах. Эти суммы иногда могут однозначно задавать матрицу. Например, суммы [1,2,0][2,1] могут быть только у следующей матрицы:
     1 0
     1 1
     0 0

Но иногда суммы задают не одну матрицу. Например, суммы [1,1,2][2,2] соответствуют следующим двум матрицам:
     0 1     1 0
     1 0     0 1
     1 1     1 1

Декабрьское задание состоит в поиске таких сумм, которые описывают ровно 29 разных двоичных матриц. Чтобы исключить тривиальные решения, наложим ещё одно ограничение: матрица должна содержать не более 50 бит. В качестве решения принимаются две строки: в первой N целых чисел и во второй M целых чисел. Произведение N*M должно быть не больше 50.

Если вам интересен такой класс задачек, то давайте поделимся друг с другом в комментариях ответами на следующие вопросы:
1) Придумали ли вы тривиальное решение (более 50 бит, на которое намекают авторы задачи)?
2) Какие количества двоичных матриц вы умеете выражать преложенным способом (в условии задачи есть решения для 1 и 2, а спрашивается про 29, но ведь есть ещё много других чисел)?
3) Придумали ли вы способы «умножать» ранее найденное решение (т.е. получать наборы сумм, описывающих N*k матриц, имея решение для N матриц)?
4) Нашли ли вы решение для 29 матриц и небольшого их размера? Если да, то можете вписать своё имя на сайт IBM, отправив им своё решение (каждый месяц несколько десятков человек пользуются этой возможностью)

Хорошей недели и интересных задачек!

Первоапрельские задачки

Добрый день.

Уже возник достаточно широкий класс заметок, начинающихся словами «мне только что объяснили, кто такой слоупок», но эту мы начнём с извинений за опечатку в условии задачи о мате в 549 ходов. Обратите внимание, это вовсе не первоапрельская шутка, а реальная жизненная ситуация: читатель Сергей обнаружил, что предложенная конфигурация сводится к ничьей, а потом указал, что в правильном условии ферзь должен стоять на g7. Приятный бонус — ссылка на полное решение (см. первый комментарий от авторов). Любителям шахмат этот блог (7-man TB — про анализ семифигурных окончаний) должен понравиться.

Ну а во-вторых, напоминаем любителям математики прошлогоднюю первоапрельскую подборку из трёх задач от Элементов (автор предложенной заметки «Три уловки для мудрых» — Константин Кноп). В тексте рассматриваются три софизма, из названия которых сразу понятно, в чём проблема (остаётся понять, где ошибка):
1. Углы тупыми не бывают (для любителей геометрии);
2. Квадратное уравнение имеет три корня (для любителей алгебры);
3. 1 = 0 (для любителей математического анализа).

(кстати, на всякий случай напоминаю, что мы тоже иногда разбираем забавные задачки)

Ну и последняя на сегодня ссылка, которую, к сожалению, нельзя отнести к первоапрельским — на статью Александра Привалова «О гальванизации умершего ЕГЭ». В ней не формулируются курьёзные задачки, но, думаю, прочитать стоит.

Хорошего дня!