Игры во взаимопонимание

А недавно меня спросили, зачем нужны игры, в которых участники поочередно объясняют друг другу различные слова или словосочетания. Мол, кому нужна игра «Крокодил» (в которой жестами показывают фразы, загаданные одним из игроков), зачем играют в различные командные объяснялки без использования однокоренных и созвучных слов?

Ответ на эти вопросы очень легко найти, понаблюдав, как играют дети и взрослые. Как ребёнок объясняет слово «весы»? Например так: «это у меня такой знак по гороскопу». Чтобы отгадать, о чём речь, мы должны не только знать дату рождения ребёнка, но и преобразовать её в название знака Зодиака. Не очень сложно, но не всем под силу.

А как это же слово «весы» объясняет взрослый? Он обращается к конкретному человеку со словами: «это то, что ты на прошлой неделе купила электронные на кухню». И получает молниеносный правильный ответ (кстати, нередко в этих играх надо объяснить так, чтобы партнёр понял раньше, чем участники остальных команд, поэтому неразумно говорить «прибор для измерения массы»).

О чём это всё? А о том, что даже взрослый человек часто демонстрирует свою неспособность осознавать, что другие люди обладают другим набором знаний. Глупый человек рассчитывает, что всё, что лично ему очевидно, будет столь же очевидно другим. А умный продумывает, кто и что должен правильно понять или сделать, после чего анализирует, хватает ли у него для этого данных. И если собеседник не знает какого-то факта, то наивно рассчитывать, что он на этот факт обопрётся.

Другими словами, эти игры помогают лучше научиться пользоваться своим знанием о том, что знают другие люди (год назад мы рассматривали классическую задачку об этом). Зачем это всё надо? Сейчас объясню.

Видимо, из-за того, что я Весенний, по весне ко мне традиционно направляется поток вопросов типа «я вся такая красивая и умная, а где принцы?» и «почему мне попадаются такие странные девушки, я же вроде нормальный парень?»

Конечно, об этом можно опубликовать тысячи томов, чем и занимаются писатели во все времена. Но есть один простой и важный аспект, о котором эта заметка - «люди не только не понимают друг друга, но и не понимают, что они не понимают друг друга».

Это элементарные лингвистические проблемы:

Что делает парень, чтобы понравиться девушке? Ведёт себя так, как бы он повёл себя в мужском обществе, чтобы заявить о своей «клёвости». Например, он может рассказать, как круто на прошлой неделе напился с друзьями, как позавчера подрался с приезжими ребятами, как в прошлом году сломал руку, упав с мотоцикла, как перешёл с Win2000 на Debian, как смог реализовать обход графа для жутко интересной задачи... Короче, разные есть темы для разговоров у мужчин, но женщина может перевести эти высказывания на свой язык: задиристый алкоголик, рискующий своим здоровьем, который бездарно просиживает штаны у компьютера. То, что у мужчин может быть нормальной темой для разговора, у женщин может стать тупиком, из которого нет выхода. И это естественно, потому что мужчины и женщины разные (и не надо писать, что видели задиристую байкершу, у которой дома сетка на 5 компьютеров под Фряхой, так как речь не о ней, а о том, что одни и те же слова разные люди переводят на свой язык разным способом).

Что делает девушка, чтобы понравиться парню? Рассказывает, как летом с родителями ездила в Рим, в какие бутики ходила и каких чудесных платьиц оттуда привезла. Делится своей мечтой перейти с третьего iPhone на четвёртый, потому что к нему есть такой классный пушистый чехольчик (а старый телефон в него не влазит). Старается вести себя «загадочно» (как и положено принцессе), неожиданно бросаясь в крайности, например, не отвечая на звонки по паре дней, а потом внезапно возвращается к общению, как ни в чём не бывало. Ещё один досадный момент состоит в том, что нередко девушки красятся и одеваются так, что только другие девушки способны оценить их затраты времени и энергии. А откуда типичному парню знать, сколько сил уходит на это? Из этого возникают глупые обиды (мол, «не ценит»). Многие парни в этом всём видят типаж, которого так хочется избежать: балованная истеричка, которая не знает, чего хочет, но предъявляет массу непонятных претензий (и не надо писать, что видели мужчин, которым нравятся невменяемые женщины, потому что речь опять не о них).

Какая мораль? Люди любят, когда их понимают. И большинство осознаёт, что идеальное взаимопонимание является большой редкостью, поэтому люди хотят даже не его, а хотя бы искреннего и сильного желания понять друг друга. Поэтому надо стремиться вникнуть, что увидит и услышит другой человек, когда что-либо будет сказано или сделано. Если твои слова будут с большой вероятностью восприняты неверно, то сразу скажи понятно на языке собеседника, а не удивляйся, почему он такой странный. Быть понятным - это не значит быть простым, тупым, ограниченным или элементарным, поэтому не стоит бояться своей ясности.

В этих смешных «играх в объяснения» необходимо постоянно подстраиваться под партнёров, если хочется выиграть, а это развивает способность к пониманию чужого состояния, ощущения, мнения и так далее. А разве «понимать друг друга без слов» - это не то, о чём многие мечтают?

Три задачки II

Добрый день!

Сегодня в нашей традиционной рубрике «Три чего-нибудь» мы решим три разнородные задачки: о вероятностях, разрезаниях и взвешиваниях.

Задачка 1 (она уже обошла весь интернет, поэтому источник я не знаю). Поздравляю, вас зовут Эрнест Джозеф Кинг, и вы командуете флотом США во время Второй Мировой войны!

Сегодня от вас требуется принять решение: построить один большой корабль-авианосец, или два малых. Стоимость большого авианосца - включая абсолютно все затраты - ровно такая же, как двух малых. Авианосцы вам нужны, чтобы выполнить некое секретное задание. Авианосец либо выполняет это задание, либо его уничтожает враг. При этом у большого авианосца вероятность выполнить задание успешно в два раза больше, чем у малого. Малые авианосцы работают независимо друг от друга: если один из них уничтожен, второй все еще может выполнить задание, и риск одного из них не зависит от риска второго.

Что вы выберете - построить один большой, или два малых?

Задачка 2. Разрежьте по линиям на две равные фигуры (т.е., совпадающие при наложении).

Эту задачку при мне как минимум один раз сочинили лет 10 назад, но куда раньше она была опубликована Мартином Гарднером. Впрочем, старинные задачки имеют особую ценность :)

Задачка 3. Было 8 грузиков массами 1, 2, ..., 8 грамм. Один из них потерялся, а остальные выложили в ряд по возрастанию массы. Есть весы с лампочкой, при помощи которых можно проверить, имеют ли две группы грузиков одинаковую массу. Как за 3 проверки определить, какой именно грузик потерялся?

Эта задача была на XXXIII турнире Ломоносова (кстати, любителям этого дела рекомендую и остальные формулировки по ссылке), а её автор - А. В. Шаповалов.

(последние две задачки подсмотрел в ЖЖ Константина Кнопа)

Кстати, год назад уже была заметка «Три задачки», в которой подняты темы логики, физики и пристального взгляда.

Хорошего завершения выходных!

Что читать?

А иногда приходят такие письма:

«Мне 14 лет и я ВНЕЗАПНО понял, что хоть и отличник, но что-то ничего не смыслю ни в чем... Посоветуйте, пожалуйста, хорошие книжки по физике, математике, истории, биологии и по остальным школьным предметам। Чтобы с азов. Чтобы глубоко. Чтобы авторитетно.

Ну, конечно, я математику для своего девятого класса знаю хорошо, физику люблю, биология - тема генетика, важна и интересна, но в школе пропустил часть, а потом играл в морской бой, по истории запомнить могу что-то не длиннее параграфа, хотя и память хорошая, по-русски писать умею, но углубиться бы тоже, информатика - лучший ученик в классе, но это ни о чем не говорит... Такие дела. Может, посоветуете что-то с нестандартными методами, вроде иллюстрированного атласа по физике?

А знаете, что меня подвигло на мысли о будущем, к которому я решил начать готовиться? Это, в основном, серия книг Ника Горькавого «Астровитянка», которую я неожиданно для себя прочитал. Сейчас вот могу только сказать, что я под впечатлением, даже последние строки трилогии не вызывают того чувства потери любимых героев, настолько хорошо они написаны.

Я слышал про открытые проекты вроде ВикиВирситета и других, но они не очень развиты, про платные школы тоже слышал. Посоветуйте что-нибудь из этого, если есть практика и впечатления.»

Я попробовал ответить автору письма ниже, а всех читателей приглашаю поделиться своими соображениями в комментариях.

Итак, понятно, что единого рецепта не существует. Все люди разные, склонности и способности у каждого свои, а что конкретному человеку пригодится в современном мире - вообще не ясно. Поэтому осваивать надо не набор определённых знаний по чьему-то списку, а искать то, что лично вам близко. Приведу цитату из давней заметки, потому что уж очень здесь она по делу: «Если человек очень увлечён какой-то темой, то его эффективность вырастает не в разы, а на порядки. Даже если сама эта тема не очень полезна для его будущего, то огромные пласты дополнительных знаний и навыков, которые возникают в процессе освоения интересного, могут иметь определяющее значение».

Теперь переходим к ответу на вопрос, что же полезно почитать. Я рекомендую попробовать полистать следующие книги, внимательно прислушиваясь к себе. Если книга «цепляет», то продолжайте погружаться в неё. Дочитали? Тогда смотрите другие книги этого автора. Если скучно или неприятно, то пробуйте других авторов. Возможно, через некоторое время вы вернётесь к ранее отвергнутым книгам, потому что поменяется ваше внутреннее состояние. Я постарался перечислить как можно меньше книг, чтобы не пугать гигантским списком, поэтому многие достойные вещи даже не упомянуты, прошу фанатов не обижаться.

По математике стоит смотреть в сторону:
- любых книг Мартина Гарднера (недавно как раз мы про него вспоминали) - многие из них есть в открытом доступе,
- трудов Дьёрдь Пойа (пожалуй, это сложнее, чем Гарднер, но очень интересно) - из той же википедии можно взять ссылки на пару его книг,
- классического трёхтомника Григория Фихтенгольца (одновременно самые азы важнейших понятий и образец аккуратных рассуждений) - есть во всех библиотеках.

Ещё о физике и математике стоит читать книги Якова Перельмана. Его труды легко найти в интернете, но я рекомендую, если возможно, воспользоваться районной библиотекой, так как бумажную версию приятнее читать :)

Далее можно углубиться в физику, перейдя на Ричарда Фейнмана. Его знаменитые «Фейнмановские лекции по физике», написанные по мотивам его же курса лекций, очень увлекательны.
Если это будет сложно, то рекомендую почитать подшивку журнала «Квант» (тоже легко скачать в сети, если не найдёте бумажную версию). Есть ещё чудесная «Библиотечка Кванта» - это более сотни совершенно удивительных книжечек. Читать можно в любом порядке, выбирайте по названию :)

Многие из перечисленных книг можно найти в библиотеке koob.ru (кстати, стоит просто посмотреть на названия по ссылке - если что заинтересует, то скачивайте и пробуйте читать).

По программированию я рекомендую какие-нибудь «Алгоритмы и структуры данных» Никлауса Вирта (про него тоже писал чуть-чуть), Дональда Кнута (начать можно с тоненькой «Конкретной математики», а потом и многотомник «Искусства программирования» подтянется). А далее можно вникать в конкретные языки, но об этом пока рано говорить.

По биологии попробуйте Клинтона Ричарда Докинза. Начать можно с «Эгоистичного гена». Если понравится, то остальные книги тоже должны увлечь.

По химии стоит полистать журналы «Химия и жизнь». Их читают далеко не только химики, потому что очень интересно :)

По физике, математике, химии, биологии и программированию есть много хороших задачников. Очень полезно не только читать теорию, но и решать сначала простые задачки, а потом постепенно переходить к более сложным и интересным. Это позволяет одним из самых быстрых способов погружаться в науку. Мне кажется, без этого невозможно сколько-нибудь серьёзно продвинуться в самообразовании. Попробуйте, например, Project Euler (сразу понадобится проявить свои способности к математике и программированию).

По истории можно почитать увлекательный блог Бориса Акунина Любовь к истории. Если увлечёт, то потом уже переключитесь на Николая Карамзина и так далее.

По русскому языку - справочник Дитмара Розенталя. Вообще, мне кажется, что простейший способ научиться грамотно писать - это начать много писать, заглядывая по каждому поводу в справочник Розенталя (или ищите на gramota.ru). Например, заведите блог с регулярными заметками о том, что интересного прочитали за неделю, что почему-то не заинтересовало, что показалось полезным, но сложным... Это и самому потом будет интересно перечитать, и для грамотности хорошо.

Ну и про ОБЖ можно. Только не бесцельно заучивать названия отравляющих газов, как на уроках, а почитать полезные рекомендации от практиков.

Ещё обязательно учите английский. Поскольку читать про грамматику на первых порах неинтересно, я рекомендую смотреть фильмы/сериалы/мультфильмы (главное, чтобы было интересно, а речь героев была чуть-чуть сложнее, чем можете комфортно воспринимать).

Получилось гораздо длиннее и многословнее, чем хотелось. Надеюсь, что этот список пригодится.

А всех читателей я приглашаю рассказать в комментариях о том, какие книги и журналы вас особенно сильно заинтересовали в детстве, повлияли на ваше развитие, что вы до сих пор регулярно тепло вспоминаете, какие путные сайты можете порекомендовать девятикласснику, который хочет стать умнее.

Тонкости перевода

Эта заметка только для тех, кто ещё не устал от логических хитросплетений последних двух записей. В обсуждаемом вопросе есть много важных моментов, мы же пока разобрали только один: неправильно считать, что из ложного утверждения следует любое, так как бывают неосмысленные фразы, про истинность или ложность которых нет резона что-либо говорить.

Второй тонкий момент - способ перевода исходной текстовой задачи с человеческого языка на строгий язык математики. Чтобы не путаться в геометрических картинках, давайте решим простое алгебраическое уравнение x - x = 2 (речь, конечно, идёт о классическом поле вещественных чисел).

Слишком просто? Сейчас посмотрим :)

Итак, если x - x = 2, то, перенеся одно из слагаемых через знак равенства, получаем x = x + 2. Теперь вспомним, что если два числа равны, то и их квадраты равны. Другими словами, x² = (x + 2)².

А теперь честно перемножим скобки: x² = x² + 4x + 4. Из обеих частей равенства можно безопасно вычесть равные числа, поэтому 0 = 4x + 4. Получается, что x = -1. Вроде бы всё правильно делали, но получили неверный ответ (легко проверить, что если подставить -1 в исходное уравнение, то верного равенства не получится). Почему?

Дело в том, что задачу «решить уравнение x-x=2» можно перевести на строгий язык математики несколькими способами:
1. Найти все такие вещественные числа x, при подстановке которых в уравнение x-x=2, получатся верные равенства (это классическое и вполне естественное понимание такого задания),
2. Считая, что x-x=2, найти x...,
3. ... (сколько фантазии хватит)

Как видите, мы сейчас прошли по второму пути: расширили свою аксиоматику неверным утверждением, что нам позволило получить произвольный ответ (это как раз была иллюстрация к тому, что из ложного следует любое утверждение). Естественно, мы могли получить и любой другой ответ, выполняя иные преобразования. Более того, опираясь на x-x=2, можно сразу получить утверждение 0=2, умножая которое на все возможные вещественные числа, мы выясняем, что все числа равны нулю... Короче, неинтересная система аксиом вышла :)

Примерно то же самое было у нас с геометрическими задачками: если опираться на то, что треугольник, описанный в условии, существует, то можно доказать что угодно. Если же идти не по второму пути (более формальному, я считаю), а по первому, то надо решать задачу найти такие радиусы вписанных окружностей, при которых существуют треугольники с заданными периметром и площадью.

Выходит, это вопрос соглашений о переводе. В школе мы договорились, как понимать тексты задач, опубликованных в учебнике. Если сказано «решить x-x=2», то мы находим все подходящие x (т.е. ничего не находим). Если сказано «найти радиус окружности, вписанной в треугольник», то мы ищем все радиусы, при которых условие задачи выполнимо.

Кто-то скажет, что это не самый лучший способ понимать условия. Но он достаточно естественный и вполне подходящий для обучения. Если вы хотите обосновать разумность применения в школе других трактовок традиционных текстов задач, то приглашаю в комментарии.

Формальный подход

Добрый день!

Сегодня мы будем говорить об очень важной проблеме - подмене существа дела правдоподобным наукообразным текстом. Меня эта беда очень волнует, потому что формальный подход в образовании набирает силу, что не идёт на пользу школьникам (и тем, кто из них вырастает). Поэтому я прошу вас найти терпение на все три части.

Часть 1. Всё лучшее детям.

Давайте вспомним пару похожих задачек:
1) Одну обнаружил в своё время В. И. Арнольд в американском тесте: «гипотенуза прямоугольного треугольника - 10 дюймов, а опущенная на неё высота - 6 дюймов. Найти площадь треугольника».
2) Вторая до сих пор встречается в очень распространённом в России учебнике геометрии и предложена в прошлой заметке: «найдите радиус окружности, вписанной в треугольник с площадью 60 и периметром 24» (увы, в учебнике без оговорок указан ответ 5).

Как многие понимают, тонкость этих задачек состоит в том, что требуется найти несуществующую величину. В самом деле, не существует треугольников с таким соотношением площади и периметра (гипотенузы и высоты, опущенной на неё), поэтому и площадь не определена.

И тут выходит на сцену формальный подход: если в условии задачи противоречие, то любой ответ правильный. Поскольку в таком виде это звучит нечётко, то можно построить более аккуратное «доказательство»:
«Решением задачи вида "Пусть P. Доказать Q." является доказательство теоремы P -> Q. Решением задачи вида "Пусть P. Вычислить X." является доказательство теоремы "P -> X = F", где F - число. Если из P выводимо противоречие, то из него тривиально выводимо X = F, где F - любое число.» (почти точная цитата их комментариев к заметке о первой задачке).

Вроде бы всё гладко? Любое число (кстати, почему только число?) можно считать ответом к обеим этим задачкам, так как в них требуется найти свойство несуществующего объекта. Или вы видите ошибку в этом рассуждении? Или не видите её, но чувствуете, что она есть? В любом случае, разбор будет в третьей части этой заметки.

Часть 2. Как учить простому?

Можно учить детей числам, многократно считая с ними яблоки/морковки/игрушки. Это работает веками. Полагаю, все читающие эту заметку учились считать именно так. А можно, получив образование, узнав из лекций первого курса, например, про аксиомы Пеано, попробовать научить ребёнка сначала им («как можно учиться считать, не понимая, что такое натуральное число?»). Но что-то я не видел детей, усвоивших сначала эту аксиоматику, а потом научившихся уверенно считать...

Когда в школе рассказывают про понятие длины отрезка, то не делают естественных оговорок о том, что длина - это неотрицательное число, определённое для существующего отрезка, обладающее рядом свойств. Почему не делают? Потому что понятие длины достаточно интуитивно, а если произносить много (необязательных на данном этапе) слов, то можно отбить весь интерес к учёбе. Когда дети выберут, что хотят быть математиками, то будет возможно говорить с ними строгими математическими определениями (так как дети сами это выбрали). Но начинать с них - это почти невозможное дело.

Ещё раз, чтобы не путаться:
Нужен ли строгий подход в математике? Да, он необходим!
Возможно ли строго формулировать математические понятия людям без математической культуры (школьникам, постигающим азы)? Не знаю. Пока я не вижу такого пути. Разными людьми постоянно предпринимаются попытки давать вместо ясного, простого и обозримого определения какое-нибудь нагромождение слов, отбивающих охоту учиться. Я верю, что они хотят «как лучше», но пока не вижу добившихся успеха на этом пути. Предлагаю разбор примера с изучением квадратных уравнений (вторую половину текста).

Часть 3. Смысл в бессмысленности

Где же была ошибка в первой части?

Распространённое заблуждение состоит в том, что из ложного утверждения следует что угодно. Если опираться на это предположение, то легко доказать утверждение «площадь несуществующего треугольника равна 30». Но тонкость состоит в том, что из ложного следует только истинное или ложное. Если же человек постоянно сталкивается только с истинными или ложными высказываниями (как в задачнике по логике), то он забывает про остальные. А они есть.

Наборы букв делятся на имеющие и не имеющие смысл. И только осмысленные можно разделить на истинные и ложные. Не верите? Тогда предложите разумный способ определить, истинным или ложным является высказывание «гкостспушвд»? (это я кулаком по клавиатуре провёл)

(Небольшая оговорка: в разных классических книгах по логике используются слегка разные термины. Например, некоторые авторы делят все наборы букв на высказывания (то, что бывает истинным или ложным) и всё остальное. Мы же в данном тексте используем слово «высказывание» как синоним «утверждения» или даже «фразы»)

Другими словами, фраза «площадь несуществующего треугольника равна 30» не может являться истинной или ложной, так как это не утверждение, а набор букв. Конечно, речь о случае, когда мы используем естественное определение площади (т.е. предполагаем, что площадь определена только для существующих объектов). Поэтому данная фраза не следует из любого ложного утверждения, как казалось ранее.

То же самое со второй задачкой. Что значит фраза «5 является радиусом окружности, вписанной в несуществующий треугольник»? Как можно определить истинность или ложность этого набора букв? (не расширяя понятия длина и окружность, конечно) Что вообще такое «окружность, вписанная в несуществующий треугольник»?

Я уважаю людей, стремящихся к чёткости и ясности. Мне и самому хочется, чтобы как можно больше текстов допускали только один смысл. Но нельзя же погрязать в формальном исполнении правил (например, логического правила «из ложного следует что угодно», забывая, что это правило относится только к осмысленным фразам).

Мы же не хотим вырастить из школьников тупые винтики, которые выполняют любую глупость. Мало кому нужны подчинённые, которые, понимая, что делают неправильно, доведут дело до провала, а потом скажут: «Босс, я выполнял Ваше распоряжение с точностью до буквы». Боссы ведь тоже ошибаются. Поэтому надо уметь найти неточности в указаниях начальника (а начать можно хотя бы с проверки корректности своих ответов на математические задачки).

Что вырастает из детей, если их учить только формальному подходу? Два года назад мы рассматривали несколько примеров. Поэтому ещё раз прошу: не обманывайте детей. Хватит подсовывать школьникам формальные тексты вместо сути, не мешайте детям развиваться.

Площадь треугольника

В прошлый раз мы разминались следующей азартной игрой: девять карт с достоинствами от 1 до 9 лежат на столе рубашками вниз, а два человека поочерёдно берут их себе. Выигрывает тот, у кого первого найдётся три карты, сумма значений которых составит 15.

Часть решающих не сразу заметила, что для выигрыша необходимо набрать ровно три карты, поэтому старалась не позволить сопернику получить одновременно карты 7 и 8, например. Часть вспомнила эту задачку, судя по молниеносности ответа. Некоторые даже нашли энергию, чтобы взломать задачку методом грубой силы. А остальные дошли до вполне хорошего решения, сделав качественный перевод с одного языка на другой (то, чем занимаются, например, математики и программисты).

Существует всего восемь троек карточек, сумма которых составляет 15:
  9+5+1 = 15,
  9+4+2 = 15,
  8+6+1 = 15,
  8+5+2 = 15,
  8+4+3 = 15,
  7+6+2 = 15,
  7+5+3 = 15,
  6+5+4 = 15.

Глядя на эти строчки, можно заметить, что пятёрка встречается 4 раза, чётные числа по 3 раза, а остальные нечётные - по 2. Вообще говоря, это уже подсказывает, что выгодно брать карточку с пятёркой или с чётными числами, если пятёрки нет.

Ну а далее нужно применить «метод пристального взгляда». Как мы можем удачно расположить девять чисел? Например, в квадратике 3 на 3. Причём в центр стоит поставить пятёрку, так как через неё проходит сразу четыре линии (две диагонали, горизонталь и вертикаль). А в углы надо ставить чётные числа, ведь через них как раз проходят три линии (ровно столько, сколько есть строчек с чётными числами в нашем списке).

У меня получился следующий магический квадрат (квадрат, у которого суммы элементов по всем строчкам, столбцам и диагоналям совпадают):
  2 9 4
  7 5 3
  6 1 8.

Полагаю, все уже догадались, что теперь можно играть в обычные «крестики-нолики», так как все ходы этой детской игры взаимооднозначно переводятся в ходы исходной игры с девятью картами. Но теперь-то игра нам кажется гораздо более простой, не так ли? Например, теперь мы твёрдо знаем, что тот, кто ходит первым, заведомо может свести игру к ничьей, если будет правильно действовать.

Что делать дальше? А давайте от скучных карточных игр перейдём к весёлой геометрии. Многие из вас помнят, что площадь треугольника можно выразить через его периметр и радиус вписанной в него окружности (S = R * P/2). Как доказать это утверждение? Достаточно разбить наш треугольник на три, чтобы одна из вершин каждого из них совпадала с центром вписанной окружности, а две другие были вершинами исходного треугольника. Тогда мы легко можем вычислить площадь большого треугольника, так как она равна сумме площадей трёх маленьких. А площадь каждого маленького треугольника - это половина произведения радиуса вписанной окружности на сторону. Всё верно? Точно? ;)

Ну раз так, то давайте уже решим задачку: найдите радиус окружности, вписанной в треугольник с площадью 60 и периметром 24.

P.S. Слишком просто? Но мы же уже сталкивались с тем, что даже площадь прямоугольного треугольника может себя неожиданно проявить :)